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人教版数学必修二《立体几何》、《空间向量与立体几何》练习题

《立体几何》、《空间向量与立体几何》练习题

一、填空题

1．所成的角的大小为 6

．

2．【江苏·扬州】4．长方体1111ABCD A BC D -

中，

11AB BC AA ===，则1BD 与平面1111A B C D

所成的角的大小为 ★6

．

3．【江苏·苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若,,,m l A A m l m αα?=?点则与不共面；

②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；

④若,,,//,//,//.l m l m A l m ααββαβ??=点则其中为真命题的是▲ ①②④ . 4．【江苏·苏北四市】14．若RtΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高

为h ，则

221

11b a h +=，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，记M=21PO ,N=2

221

11PC PB PA ++,那么M 、N 的大小

关系是▲M=N ．

5．【江苏·苏州】已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______①④________．

6．【江苏·泰州实验】13.已知正四棱锥P —ABCD 的高为4，侧棱长与底面所成的角为0

60，则该正四棱锥的侧面积是

．

D A 1

B 1

C 1

D 1

A B

D D C 1

B 1

A 1 7．【江苏·泰州】3、已知βα,、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：

①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥；

③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。其中正确命题的序号是 ② ④

8．【江苏·泰州】11、正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成0

45角，则点A 到侧面PBC

9．【江苏·盐城】13.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义

()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥

M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1()(,,)2f M x y =,且18

x y

+≥恒成立,则正实数a 的最小值为____▲1____.

二、计算题

1．【江苏·无锡】16．（本小题满分14分）

直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形， ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；

（Ⅱ）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与

平面ACB 1都平行？证明你的结论．

证明：（Ⅰ）直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面

ABCD ，∴BB 1⊥AC ． ………………2分

又∠BAD ＝∠ADC ＝

90°，222AB AD CD ===，

∴AC CAB ＝45°，∴BC ∴ BC ⊥AC ．………………5分又1

BB BC B =，1,BB BC ?平面BB 1C 1C ，∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ． …7分

（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． ……………………………………8分证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝

AB ．……………………9分又∵DC‖AB ，DC ＝

AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC PB 1为平行四边形，从而CB 1∥DP ．…………………………11分又CB 1?面ACB 1，DP ?面ACB 1，∴DP‖面ACB 1．

………………………………13分

第13题

同理，DP‖面BCB 1．…………………………………………………14分评讲建议：

本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ⊥AC ，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．

2．【江苏·淮、徐、宿、连】16.(本小题满分14分)

如图，四边形ABCD 为矩形，BC 上平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证：AE ⊥BE ；

(2)设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点．求证：MN ∥平面DAE ．

【解】（1）证明：因为ABE BC 平面⊥，ABE AE 平面?，所以BC AE ⊥，………………………………………………2分又ACE BF 平面⊥，ACE AE 平面?，

所以BF AE ⊥， ……………………………………………4分又BF

BC B =，所以BCE AE 平面⊥

又BCE BE 平面?，所以BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连接PN PA ,，因为点N 为线段CE 所以PN ||DC ，且DC PN 2

， ……………………………………………………10分又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，所以AM ||DC ，且DC AM 2

=，所以PN ||

，且AM PN =，故四边形A M N P 是平行四边形，所以

MN ||AP

…………12分

而?AP 平面DAE ，?MN 平面DAE ，所以MN ∥平面DAE ． …………………14分

3．

【江苏·淮、徐、宿、连】22.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，F 是BC 的中点，点E 在D 1C 1上，且D 1E=

4D 1C 1,试求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值. 【解】设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系xyz D -，

则各点的坐标分别为()1,1,11B ,??

? ??1,41,0E , ??

? ??0,1,2

1F ，……………………2分

B C

F M

N C

A 1

B 1

C 1 E

D 1

所以)1,1,1(1=DB ，)1,4

,21(-=， ……………………4分

1DB 为平面AC D 1的法向量，

87871

4131

143

1211,cos 11=++??-?+?=

.………………………………10分 4．【江苏·南通】15．（本小题14分）

如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ．（1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1；（2）设E 是B 1C 1上的一点，当11

B E

EC 的值为多少时，

A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．

解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ?平面ABC ，

∴ AD ⊥C C 1．………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内，

∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ……………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．…………7分

当11

1B E

EC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．…………………8分事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． ……………………10分又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1，

∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． …………………………………………12分所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．

而E A 1?面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． …………………………14分

5．【江苏·启东中学模拟】16．（本小题满分14分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面A B C 为等腰直角三角形， ∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；【解】（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平面（2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE

B 1

A 1

A C C 1

∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段 ∵CE=

23，AC=1 , ∴CD=.22 ∴2

)()(22=

CD CE DE ； 6．【江苏·启东中学】16．（本题满分14分，第1问4分，第2问5分，第3问5分）

如下的三个图中，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的主视图和左视图（单位：cm ）

（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

（3）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．

【解】（1）如图

------------4分

（2）所求多面体体积

V V V =-长方体正三棱锥1144622232??

=??-???? ???

2284(cm )3=．--------9分

（3）证明：在ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥．

因为E G ，分别为AA '，A D ''中点，所以AD EG '∥--11分从而EG BC '∥．又BC '?平面EFG ，所以BC '∥面EFG ． --------------14分

7．【江苏·苏北四市】16. (本题满分14分) 如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点．

（俯视图）

（正视图）

（侧视图）

E D A

C F G B '

C '

D '

C D

E F

A '

B '

C '

D '

求证：（1）⊥AB 平面CDE ；（2）平面CDE ⊥平面ABC ．

（3）若G 为ADC ?的重心,试在线段AE 上确定一点F,使得GF 平面CDE ．

【解】证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?同理，AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E = ∴AB ⊥平面CDE ． …………………5分（2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ü平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC ．………………9分

（3）连接AG 并延长交CD 于H ，连接EH ，则2

AG GH =，在AE 上取点F 使得2

AF FE =，则GF EH ，易知GF 平面CDE ．…………………14分

8．【江苏·苏北四市】4. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，

90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥。

（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；（III ）求二面角1A A B C --余弦值的大小。

【解】（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，

则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，

()10,0,A t ，()10,2,C t ，

()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，

()2,0,0CB =，由10AC CB ?=，知1AC

CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；

（II ）由1AC ?2130BA t =-+=

，得t =

设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =

，(1AA

=，()2,2,0AB =，所以

220

n AA y n AB x y ??==??

?=+=??，设1z =，则(

)

n =-

所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n

。（III ）再设平面1A BC 的法向量为(),,

m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，

所以

130

m CA y m CB

x ??=-+=??

?==??，设1z =，则()

m =，

故cos ,m n m n m n

?<>=

可知二面角1A A B C --

9．17．【江苏·苏州】（本小题满分15分）

在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；

（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（Ⅲ）求证CE ∥平面P

AB ．【解】（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，

∠BAC ＝60°，∴BC AC

＝2．在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，

∴CD ＝AD ＝4

．

∴S ABCD

＝

AB BC AC CD ?+? 1112

22=?

?? 3分则V ＝123= ……………… 5分

（Ⅱ）∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，

∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，

∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，

∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分（Ⅲ）证法一：

取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥P A ．

F E

B A

E F

∵EM ?平面P AB ，P A ?平面P AB ， ∴EM ∥平面P AB ． ……… 12分在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ?平面P AB ，AB ?平面P AB ， ∴MC ∥平面P AB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，

∴平面EMC ∥平面P AB ． ∵EC ?平面EMC ，

∴EC ∥平面P AB ． ……… 15分证法二：

延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ， ∴C 为ND 的中点． ……12分 ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．……14分 ∵EC ?平面P AB ，PN ?平面P AB ，

∴EC ∥平面P AB ． ……… 15分

10．【江苏·泰州实验】16. (本题满分14分)四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，,2,2=

=CD BC AB AC =．（Ⅰ）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：||FG 面ABC ；（Ⅱ）证明：AD CE ⊥．

【解】 (1)取BE 的中点为,P 连,,PG PF 可以证明

BC FP AB GP ||,||

∴面||ABC 面FGP ， ∴||FG 面ABC …………………6分

（2）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，

AB AC =，

∴AF BC ⊥，

又面ABC ⊥面BCDE ，

∴AF ⊥面BCDE ，

∴AF CE ⊥．………………….10分

tan tan CED FDC ∠=∠=，

∴90OED ODE ∠+∠=，

F E

A P

C D

高中数学必修2全套同步练习与单元检测课后作业全套下载(共44份)

超级资源高中数学必修２全册同步练习与单元检测第一章空间几何体 §1.1空间几何体的结构 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________． 4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥． 5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台． (2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．

一、选择题 1．棱台不具备的性质是() A．两底面相似B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点 2．下列命题中正确的是() A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3．下列说法正确的是() A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 4．下列说法正确的是() A．直线绕定直线旋转形成柱面 B．半圆绕定直线旋转形成球体 C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()

高中数学必修二第一章测试题及答案

高二数学必修2第一章练习题一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体 2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )． A ．2＋2 B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋1 3．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶3 6．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )． A ．29π B ．27π C ．25π D ．2 3π 7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130 B ．140 C ．150 D ．160

8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2 3，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )． A ． 29 B ．5 C ．6 D ．2 15 9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D ．水平放置的圆的直观图是椭圆 10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )． (第10题) 二、填空题 11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱． 12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ， (第8题)