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高中数学必修
2 立体几何考题
13. 如图所示，正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 、N 分别是 A 1B 1，B 1C 1 的中点．问：
(1) AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；
(2) D 1B 和 CC 1 是否是异面直线？说明理由．
解析：(1)由于 M 、N 分别是 A 1B 1 和 B 1C 1 的中点，可证明 MN ∥AC ，因此 AM 与 CN 不是异面直线．(2)由空间图形可感知 D 1B 和 CC 1 为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法．
探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题， 这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的．
解：(1)不是异面直线．理由如下：
∵M 、N 分别是 A 1B 1、B 1C 1 的中点，∴MN ∥A 1C 1.
又∵A 1A ∥D 1D ，而 D 1D 綊 C 1C ，
∴A 1A 綊 C 1C ，∴四边形 A 1ACC 1 为平行四边形．
∴A 1A ∥AC ，得到 MN ∥AC ，
∴A 、M 、N 、C 在同一个平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线．
(2)是异面直线．理由如下：
假设 D 1B 与 CC 1 在同一个平面 CC 1D 1 内，
则 B ∈平面 CC 1D 1，C ∈平面 CC 1D 1.
∴BC ?平面 CC 1D 1，这与在正方体中 BC ⊥平面 CC 1D 1 相矛盾，
∴假设不成立，故 D 1B 与 CC 1 是异面直线．
14. 如下图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为 AB 的中点，N 为 BB 1 的中点，O 为面 BCC 1B 1 的中心．
(1) 过 O 作一直线与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q (只写作法，不必证明)；
(2) 求 PQ 的长(不必证明)．
解析：(1)由 ON ∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面 α.又 O 、C 、M 三点确定一个平面 β(如下图所示)．
∵三个平面 α，β 和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP 、CM 、DA ，其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面．
∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q .
∴OQ 是 α 与 β 的交线．连结 OQ 与 AN 交于 P ，与 CM 交于 Q ，
故 OPQ 即为所作的直线．
(2)解三角形 APQ 可得 PQ ＝ . 15. 如图，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝BC ＝B 1B ＝a ，∠ABC ＝90°，D 、E
分别为BB1、AC1的中点．
(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；
(2)证明：DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线；
(3)求异面直线BB1与AC1的距离．
解析：(1)由于直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥BB1，所以∠A1AC1就是异
面直线BB1与AC1所成的角．
又AB＝BC＝B1B＝a，∠ABC＝90°，
所以A1C1＝2a，tan∠A1AC1＝2，
即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为2.
(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E 作AA1的平行线MM1分别
交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，则BB1綊MM1.
又D、E 分别是BB1、MM1的中点，
可得DE 綊BM.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
由条件AB＝BC 得BM⊥AC，
所以BM⊥平面ACC1A1，
故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，
即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．
解法二：如图，延长C1D、CB 交于点F，连结AF，由条件易证D
是C1F 的中点，B 是CF 的中点，又E 是AC1的中点，所以DE∥AF.
在△ACF 中，由AB＝BC＝BF 知AF⊥AC.
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
所以AF⊥AA1，故AF⊥平面ACC1A1，
故DE⊥平面ACC1A1，所以DE⊥AC1，DE⊥BB1，
即DE 为异面直线BB1与AC1的公垂线．
(3)由(2)知线段DE 的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，
2
a.
所以DE＝
2
反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行．
16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，M 分别是BD1，AA1的中点．
(1)求证：MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线；
(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；
(3)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离．
解析：(1)证明：∵O 是BD1的中点，
∴O 是正方体的中心，
∴OA＝OA 1，
又M 为AA1的中点，
即OM 是线段AA1的垂直平分线，
故OM⊥AA1.
连结MD1、BM，则可得MB＝MD1.
同理由点O 为BD1的中点知MO⊥BD1，
即MO 是异面直线AA1和BD1的公垂线．
3
3
3
3
3 2
(2)由于AA1∥BB1，
所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角．
在Rt△BB1D1中，设BB1＝1，则BD1＝3，
所以cos∠B1BD1＝，
故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.
(3)由(1)知，所求距离即为线段MO 的长，
1 a
由于OA＝AC1＝a，AM＝，且OM⊥AM，所以OM＝a.
2 2 2 2
13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分
别有两点E、F，且B1E＝C1F，求证：EF∥ABCD.
证明：解法一：分别过E、F 作EM⊥AB 于M，FN⊥BC 于N，连结MN.
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN.
又B1E＝C1F，∴EM＝FN，
故四边形MNFE 是平行四边形，
∴EF∥MN，
又MN 在平面ABCD 中，
所以EF∥平面ABCD.
解法二：过E 作EG∥AB 交BB1于G，
B1E B1G
连结GF，则
1
＝
1
，
B A B B
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
C1F B1G
∴
1
＝
1
，∴FG∥B1C1∥BC.
C B B B
又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD，
而EF?平面EFG，
∴EF∥平面ABCD.
14.如下图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.过BD 作与PA 平行的平面，交侧棱PC 于点E，又作DF⊥PB，交PB 于点F.
(1)求证：点E 是PC 的中点；
(2)求证：PB⊥平面EFD.
证明：(1)连结AC，交BD 于O，则O 为AC 的中点，连结EO.
∵PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，∴PA∥OE.
∴点E 是PC 的中点；
(2)∵PD⊥底面ABCD 且DC?底面ABCD，
∴PD⊥DC，△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，
∴DE⊥PC，①
又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，CD⊥BC，
∴BC⊥平面PDC.
而DE?平面PDC.∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC，
2
2
AB
6 3
∴DE⊥PB，又DF⊥PB 且DE∩DF＝D，
所以PB⊥平面EFD.
15.如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A、B 在l1上，C
在l2上，AM＝MB＝MN.
(1)求证AC⊥NB；
(2)若∠ACB＝60°，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．
证明：(1)如图由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1＝M，可得l2⊥平
面ABN.
由已知MN⊥l1，AM＝MB＝MN，可知AN＝NB 且AN⊥NB.
又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，
∴AC⊥NB.
(2)∵Rt△CNA≌Rt△CNB，
∴AC＝BC，又已知∠ACB＝60°，因此△ABC 为正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC＝NA＝NB，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心．连结BH，∠NBH 为NB 与平面ABC 所成的
角．在Rt△NHB 中，
3
HB 3
AB
cos∠NBH＝
NB
＝＝.
16.如图，在四面体ABCD 中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F 分别是AB、BD 的中点．
求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．
证明：(1)在△ABD 中，∵E、F 分别是AB、BD 的中点，所以EF∥AD.
又AD?平面ACD，EF?平面ACD，∴直线EF∥平面ACD. (2)
在△ABD 中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.
在△BCD 中，∵CD＝CB，F 为BD 的中点，∴CF⊥BD.
∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，EF 与CF 交于点F，∴BD⊥平面EFC.
又∵BD?平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.
13.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB.
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)求二面角B－PC－D 的余弦值．
5 6 解析：(1)证明：∵PA ⊥平面 ABCD ，
∴PA ⊥BD .
∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD .
∴BD ⊥平面 PAC ，又 BD 在平面 BPD 内，∴平面 PAC ⊥平面 BPD . (2)
在平面 BCP 内作 BN ⊥PC ，垂足为 N ，连结 DN ，
∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，
由 BN ⊥PC 得 DN ⊥PC ；
∴∠BND 为二面角 B －PC －D 的平面角，
在△BND 中，BN ＝DN ＝ a ，BD ＝ 2a ， 5 5 a 2＋ a 2－2a 2 6 6 ∴cos ∠BND ＝ 5 a 2 3
1 ＝－ . 5 14. 如图，已知 ABCD －A 1B 1C 1D 1 是棱长为 3 的正方体，点 E 在 AA 1 上，
点 F 在 CC 1 上，G 在 BB 1 上，且 AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是 B 1C 1 的中点．
(1) 求证：E 、B 、F 、D 1 四点共面；
(2)求证：平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .
证明：(1)连结 FG .
∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，
∴BG 綊 A 1E ，∴A 1G 綊 BE .
∵C 1F 綊 B 1G ，
∴四边形 C 1FGB 1 是平行四边形．
∴FG 綊 C 1B 1 綊 D 1A 1，
∴四边形 A 1GFD 1 是平行四边形．
∴A 1G 綊 D 1F ，∴D 1F 綊 EB ，
故 E 、B 、F 、D 1 四点共面． 3 (2) ∵H 是 B 1C 1 的中点，∴B 1H ＝ . 2 又 B 1G ＝1，∴ B 1G 3 ＝ . B 1H 2 FC 2 又 ＝ ，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， BC 3
∴△B 1HG ∽△CBF ，
∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，
∴HG ∥FB .
又由(1)知 A 1G ∥BE ，且 HG ∩A 1G ＝G ，
FB ∩BE ＝B ，
∴平面 A 1GH ∥平面 BED 1F .
15. 在三棱锥 P －ABC 中，PA ⊥面 ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分
别为 BC 、AC 的中点，设 AB ＝PA ＝2.
(1) 求证：平面 PBE ⊥平面 PAC ；
(2) 如何在 BC 上找一点 F ，使 AD ∥平面 PEF ，请说明理由；
(3) 对于(2)中的点 F ，求三棱锥 B －PEF 的体积．
解析：(1)证明：∵PA ⊥面 ABC ，BE ?面 ABC ，
∴PA ⊥BE .
∵△ABC 是正三角形，E 为 AC 的中点，
∴BE ⊥AC ，又 PA 与 AC 相交，
∴BE ⊥平面 PAC ，
∴平面 PBE ⊥平面 PAC .
(2) 解：取 DC 的中点 F ，则点 F 即为所求．
， 3 3 6 2 2 3 3 3
∵E ，F 分别是 AC ，DC 的中点，
∴EF ∥AD ，
又 AD ?平面 PEF ，EF ?平面 PEF ，
∴AD ∥平面 PEF . 1 1 1 3 (3) 解 ：V B －PEF ＝V P －BEF ＝ S △BEF ·PA ＝ × × × ×2＝ . 3 3 2 2 2 4
16．(2009·天津，19)如图所示，在五面体 ABCDEF 中，FA ⊥平面 ABCD ，AD ∥BC ∥FE ， 1 AB ⊥AD ，M 为 CE 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝ AD . 2
(1) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；
(2) 求证：平面 AMD ⊥平面 CDE ；
(3) 求二面角 A －CD －E 的余弦值．
解答：(1)解：由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线 BF
与 DE 所成的角．设 P 为 AD 的中点，连结 EP ，PC .因为 FE 綊 AP ，所以 FA
綊 EP .同理，A B 綊 PC .又 FA ⊥平面 ABCD ，所以 EP ⊥平面 ABCD .而 PC ，AD
都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，E P ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a
则 EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝ 故∠CED ＝60°.
2a .
所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60°.
(2) 证明：因为 DC ＝DE 且 M 为 CE 的中点，所以 DM ⊥CE .连结 MP ，则 MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故 CE ⊥平面 AMD .而 CE ?平面 CDE ，所以平面 AMD ⊥平面 CDE .
(3) 设 Q 为 CD 的中点，连结 PQ ，EQ .因为 CE ＝DE ，所以 EQ ⊥CD .因为 PC ＝PD ，所以 PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角 A －CD －E 的平面角．
由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝ a ，PQ ＝ a . PQ 于是在 Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝ ＝ .
EQ 3 所以二面角 A －CD －E 的余弦值为 . 13．(2009·重庆)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面 ABCD ，PA 1 1 ＝AD ＝DC ＝ AB ＝1，M 为 PC 的中点，N 点在 AB 上且 AN ＝ NB .
2 3
(1) 求证：MN ∥平面 PAD ；
(2) 求直线 MN 与平面 PCB 所成的角．
解析：(1)证明：过点 M 作 ME ∥CD 交 PD 于 E 点，连结 AE . 1 ∵AN ＝ NB ， 3 1 1 ∴AN ＝ AB ＝ DC ＝EM .
4 2
又 EM ∥DC ∥AB ，∴EM 綊 AN ，
∴AEMN 为平行四边形，
∴MN ∥AE ，∴MN ∥平面 PAD .
(2)解：过 N 点作 NQ ∥AP 交 BP 于点 Q ，NF ⊥CB 于点 F .
连结 QF ，过 N 点作 NH ⊥QF 于 H ，连结 MH ，
易知 QN ⊥面 ABCD ，∴QN ⊥BC ，而 NF ⊥BC ，
∴BC ⊥面 QNF ，
∵BC ⊥NH ，而 NH ⊥QF ，∴NH ⊥平面 PBC ，
∴∠NMH 为直线 MN 与平面 PCB 所成的角．
2 2 6 2 2 10 10 5 2 10 5
3 3 通过计算可得 MN ＝AE ＝ ，QN ＝ ，NF ＝ 2，
4 4 QN ·NF ON ·NF ∴NH ＝ ＝ ＝ ，
QF QN 2＋NF 2 4 NH 3 ∴sin ∠NMH ＝ ＝ ，∴∠NMH ＝60°，
MN 2
∴直线 MN 与平面 PCB 所成的角为 60°.
14．(2009·广西柳州三模)如图所示，已知直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AD ⊥BD ， AD ＝BD ＝a ，E 是 CC 1 的中点，A 1D ⊥BE .
(1) 求证：A 1D ⊥平面 BDE ；
(2) 求二面角 B －DE －C 的大小．
解析：(1)证明：在直平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，
∵AA 1⊥平面 ABCD ，∴AA 1⊥BD .
又∵BD ⊥AD ，
∴BD ⊥平面 ADD 1A 1，即 BD ⊥A 1D .
又∵A 1D ⊥BE 且 BE ∩BD ＝B ，
∴A 1D ⊥平面 BDE .
(2)解：如图，连 B 1C ，则 B 1C ⊥BE ，
易证 Rt △BCE ∽Rt △B 1BC ，
CE BC ∴ ＝ 1 ，又∵E 为 CC 1 中点， BC ∴BC 2 B B 1BB 21.
BB 1＝ ＝ 2
2BC ＝ 2a .
取 CD 中点 M ，连结 BM ，则 BM ⊥平面 CC 1D 1C ，
作 MN ⊥DE 于 N ，连 NB ，由三垂线定理知：
BN ⊥DE ，则∠BNM 是二面角 B －DE －C 的平面角． BD ·BC 在 Rt △BDC 中，BM ＝ DC ＝ a ， Rt △CED 中，易求得 MN ＝ a ， BM Rt △BMN 中，tan ∠BNM ＝ ＝ 5， MN
则二面角 B －DE －C 的大小为 arctan 5.
15．如图，已知正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点．
(1) 求直线 B 1C 与 DE 所成的角的余弦值；
(2) 求证：平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD ；
(3) 求二面角 E －B 1C －D 的余弦值．
解析：(1)连结 A 1D ，则由 A 1D ∥B 1C 知，B 1C 与 DE 所成的角即为 A 1D 与 DE 所成的角． 连结 A 1E ，由正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1，可设其棱长为 a ，则 A 1D ＝ ∴cos ∠A 1DE
A 1D 2＋DE 2－A 1E 2 2a ，A 1E ＝DE ＝ a ， ＝ 2·A 1D ·DE ＝ . 10
∴直线 B 1C 与 DE 所成角的余弦值是 5
. (2)证明取 B 1C 的中点 F ，B 1D 的中点 G ，连结 BF ，EG ，GF .
∵CD ⊥平面 BCC 1B 1，
3 3 3
3 ＝ 且 BF ?平面 BCC 1B 1，∴DC ⊥BF .
又∵BF ⊥B 1C ，CD ∩B 1C ＝C ，
∴BF ⊥平面 B 1CD . 1 1 又 ∵GF 綊 CD ，BE 綊 CD ，
2 2
∴GF 綊 BE ，∴四边形 BFGE 是平行四边形，
∴BF ∥GE ，∴GE ⊥平面 B 1CD .
∵GE ?平面 EB 1D ，
∴平面 EB 1D ⊥平面 B 1CD .
(3)连结 EF .
∵CD ⊥B 1C ，GF ∥CD ，∴GF ⊥B 1C .
又∵GE ⊥平面 B 1CD ，
∴EF ⊥B 1C ，∴∠EFG 是二面角 E －B 1C －D 的平面
角． 设正方体的棱长为 a ，则在△EFG 中，
1 GF ＝ a ，EF ＝ a ，
2 2 FG ∴cos ∠EFG ＝EF ＝ ， 3
∴二面角 E －B 1C －D 的余弦值为 3 . 16．(2009·全国Ⅱ，18)如图所示，直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为 AA 1、 B 1C 的中点，DE ⊥平面 BCC 1.
(1) 求证：AB ＝AC ；
(2) 设二面角 A －BD －C 为 60°，求 B 1C 与平面 BCD 所成的角的大小．
解析：(1)证明：取 BC 中点 F ，连结 EF ， 1
则 EF 綊 2B 1B ，从而 EF 綊 DA . 连结 AF ，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF ∥DE .
又 DE ⊥平面 BCC 1，故 AF ⊥平面 BCC 1，从而 AF ⊥BC ，即 AF 为 BC 的垂直平分线， 所以 AB ＝AC .
(2)解：作 AG ⊥BD ，垂足为 G ，连结 CG .由三垂线定理知 CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面 2 角 A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设 AC ＝2，则 AG ＝ .又 AB ＝2，BC ＝2 2，故 AF ＝ 2. 由
AB ·AD ＝AG ·BD 得 2AD 2 · 3
AD 2＋22， 解得 AD ＝ 2，故 AD ＝AF .
又 AD ⊥AF ，所以四边形 ADEF 为正方形．
因为 BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故 BC ⊥平面 DEF ，因此平面 BCD ⊥平面 DEF . 连结 AE 、DF ，设 AE ∩DF ＝H ，则 EH ⊥DF ，EH ⊥平面 BCD .
连结 CH ，则∠ECH 为 B 1C 与平面 BCD 所成的角．
4 17 17 16 17 17 6 因 ADEF 为正方形，AD ＝ 2，故 EH ＝1，又 EC 1 B C ＝2， ＝ 1 2
所以∠ECH ＝30°，即 B 1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.
13. 在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，底面边长为2
的中点．
(1) 求证：平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1；
(2) 求点 D 1 到平面 B 1EF 的距离 d .
2，侧棱长为 4，E 、F 分别为棱 AB 、BC
分析：(1)可先证 EF ⊥平面 BDD 1B 1.(2)用几何法或等积法求距离时，可由 B 1D 1∥BD ， 将点进行转移：D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4 倍，先求 B
点到平面 B 1EF 的距离即可．
解答：(1)证明：E rr o r !?EF ⊥平面 BDD 1B 1?平面 B 1EF ⊥平面 BDD 1B 1. (2)
解：解法一：连结 EF 交 BD 于 G 点．
∵B 1D 1＝4BG ，且 B 1D 1∥BG ，
∴D 1 点到平面 B 1EF 的距离是 B 点到它的距离的 4
倍． 利用等积法可求．
由题意可知，EF 1 AC ＝2，B G ＝ 17. S △B EF ＝ 2 1 1 EF ·B G 1 2× 17＝ 17，
1 ＝
2 1 S BE ·BF 1 ＝ × 2 1 △BEF ＝ ＝ × 2 2
∵VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ， 设 B 到面 B EF 的距离为 h 1 17×h 1 1×4，
1 ∴h 1＝ . 1，则 × 3 1＝ × 3 ∴点 D 1 到平面 B 1EF 的距离为 h ＝4h 1＝ . 1 解法二：如图，在正方形 BDD 1B 1 的边 BD 上取一点 G ，使 BG ＝ BD ， 4
连结 B 1G ，过点 D 1 作 D 1H ⊥B 1G 于 H ，则 D 1H 即为所求距离． 16 17
可求得 D 1H ＝ 17
(直接法)． 14. 如图直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱CC 1＝2，∠BAC ＝90°，AB ＝AC
＝ 2，M 是棱 BC 的中点，N 是 CC 1 中点．求：
(1) 二面角 B 1－AN －M 的大小；
(2) C 1 到平面 AMN 的距离．
解析：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝ ∴AM ⊥BC ，BC ＝2，AM ＝1.
∴AM ⊥平面 BCC 1B 1.
∴平面 AMN ⊥平面 BCC 1B 1.
2，M 是棱 BC 的中点，
作 B 1H ⊥MN 于 H ，HR ⊥AN 于 R ，连结 B 1R ，
∴B 1H ⊥平面 AMN .
又由三垂线定理知，B 1R ⊥AN .
∴∠B 1是二面角 B 1－AN －M 的平面角．
由已知得 AN ＝ 3 2
3，MN ＝ 2，B 1M ＝ 5＝B 1N ， 则 B 1H ＝ 2 ， RH HN 又 Rt △AMN ∽Rt △HRN ， ＝ ，∴RH ＝ .
AM AN 6 2× 2＝1.
7 10 5 ∴B 1R ＝
14 RH 3 ，∴cos ∠B 1RH ＝ 1 ＝ . B R 14 7
∴二面角 B 1－AN －M 的大小为 arccos 14
. (2)∵N 是 CC 1 中点，
∴C 1 到平面 AMN 的距离等于 C 到平面 AMN 的距
离． 设 C 到平面 AMN 的距离为 h ，
由 V C －AMN ＝V N －AMC 1 1 1 1 得 × ·MN ·h ＝ × AM ·MC . 3 2 3 2 2
∴h ＝ 2
. 15．(2009·北京海淀一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形，且 AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4. (1) 求证：BC ⊥PC ；
(2) 求 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值；
(3) 求点 A 到平面 PBC 的距离．
解析：(1)证明：如图，在直角梯形 ABCD 中，
∵AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2，
∴∠ADC ＝90°，且 AC ＝2 2.
取 AB 的中点 E ，连结 CE ，
由题意可知，四边形 ABCD 为正方形，
∴AE ＝CE ＝2. 1 1 又∵BE ＝ AB ＝2.∴CE ＝ AB ，
2 2
∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴AC ⊥BC .
又∵PA ⊥平面 ABCD ，且 AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影，
BC ?平面 ABCD ，由三垂线定理得，
BC ⊥PC .
(2) 由(1)可知，BC ⊥PC ，BC ⊥AC ，PC ∩AC ＝C ，
∴BC ⊥平面 PAC .
PC 是 PB 在平面 PAC 内的射影，
∴∠CPB 是 PB 与平面 PAC 所成的角．又 CB ＝2 2，
PB 2＝PA 2＋AB 2＝20，PB ＝2 5， BC 10 ∴sin ∠CPB ＝PB ＝ 5
，即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为 . (3) 由(2)可知，BC ⊥平面 PAC ，BC ?平面 PBC ，
∴平面 PBC ⊥平面 PAC .
过 A 点在平面 PAC 内作 AF ⊥PC 于 F ，
∴AF ⊥平面 PBC ，
∴AF 的长即为点 A 到平面 PBC 的距离．
在直角三角形 PAC 中， PA ＝2，AC ＝2 2，
2 6
3 2 6 3
6 PC ＝2 3，∴AF ＝ . 即点 A 到平面 PBC 的距离为 . 16．(2009·吉林长春一模)如图所示，四棱锥 P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面 ABCD ， PA ＝2，∠PDA ＝45°，点 E 、F 分别为棱 AB 、PD 的中点．
(1) 求证：AF ∥平面 PCE ；
(2) 求二面角 E －PD －C 的大小；
(3) 求点 A 到平面 PCE 的距离． 解析：(1)证明：如图取 PC 的中点 G ，连结 FG 、EG ，
∴FG 为△PCD 的中位线， 1 ∴FG ＝ CD 且 FG ∥CD . 2
又∵底面四边形 ABCD 是正方形，E 为棱 AB 的中点， 1 ∴AE ＝ CD 且 AE ∥CD ， 2
∴AE ＝FG 且 AE ∥FG .
∴四边形 AEGF 是平行四边形，
∴AF ∥EG .
又 EG ?平面 PCE ，AF ?平面 PCE ，
∴AF ∥平面 PCE .
(2)解：∵PA ⊥底面 ABCD ，
∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD .
又 AD ⊥CD ，
PA ∩AD ＝A ，
∴CD ⊥平面 PAD .
又∵AF ?平面 PAD ，
∴CD ⊥AF .
又 PA ＝2，∠PDA ＝45°，
∴PA ＝AD ＝2.
∵F 是 PD 的中点，∴AF ⊥PD .
又∵CD ∩PD ＝D ，
∴AF ⊥平面 PCD .
∵AF ∥EG ，∴EG ⊥平面 PCD .
又 GF ⊥PD ，连结 EF ，
则∠GFE 是二面角 E －PD －C 的平面角．
在 Rt △EGF 中 ，EG ＝AF ＝ 2，GF ＝1，
GE ∴tan ∠GFE 2.
＝ ＝ GF
∴二面角 E －PD －C 的大小为 arctan 2.
(3)设 A 到平面 PCE 的距离为 h ， 1 1 1 1 由 V A －PCE ＝V P －ACE ，即 × PC ·EG ·h ＝ PA · AE ·CB ，得 h ＝ ， 3 2 3 2 3 6
∴点 A 到平面 PCE 的距离为 3
. 13．(2009·陕西，18)如图所示，在直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3， ∠ABC ＝60°.
，
6 2 6 3 6 3 3 4 3 2 3 M
(1) 求证：AB ⊥A 1C ；
(2) 求二面角 A －A 1C －B 的大小．
解析：(1)证明：∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 为直三棱柱，
∴AB ⊥AA 1，
在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝ ∴∠BAC ＝90°，即 AB ⊥AC .
3，∠ABC ＝60°，由正弦定理得∠ACB ＝30°，
∴AB ⊥平面 ACC 1A 1，又 A 1C ?平面 ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C .
(2)解：如图，作 AD ⊥A 1C 交 A 1C 于 D 点，连结 BD ，由三垂线定理知
BD ⊥A 1C ，
∴∠ADB 为二面角 A －A 1C －B 的平面角． AA 1·AC 3 × 3 在 Rt △AA 1C 中，AD ＝ ＝ ＝ ， A 1C 6 AB 6 在 Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝ ＝ ，
AD 3 ∴∠ADB ＝arctan ，即二面角 A －A 1C －B 的大小为 arctan . 14．如图，三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧面 ABB 1A 1 是菱形且垂直于底面，∠A 1AB ＝60°，M 是 A 1B 1 的中点．
(1) 求证：BM ⊥AC ；
(2) 求二面角 B －B 1C 1－A 1 的正切值；
(3) 求三棱锥 M －A 1CB 的体积．
解析：(1)证明：∵ABB 1A 1 是菱形，∠A 1AB ＝60°?△A 1B 1B 是正三角形 E rr o r !
?BM ⊥平面 A 1B 1C 1. E rr o r !?BM ⊥AC . E rr o r !?BE ⊥B 1C 1，∴∠BEM 为所求二面角的平面角， △A 1B 1C 1 中，ME ＝MB 1·sin60°＝ a ，Rt △BMB 1 中，MB ＝MB 1·tan60°＝ a ， MB ∴tan ∠BEM ＝ ＝2， E ∴所求二面角的正切值是 2. 1 1 1 1 1 3 1 (3)VM －A 1CB ＝ VB 1－A 1CB ＝ VA －A 1CB ＝ VA 1－ABC ＝ × × a 2· a ＝ a 3. 2 2 2 2 3 4 2 16
15．(2009·广东汕头一模)如图所示，已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥ AE AF 平面 BCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且 ＝ ＝λ(0<λ<1)．
AC AD
(1) 求证：不论 λ 为何值，总有 EF ⊥平面 ABC ； 1 (2) 若 λ＝ ，求三棱锥 A －BEF 的体积． 2
解析：(1)证明：∵AB ⊥平面 BCD ，
∴AB ⊥CD .
又∵在△BCD 中，∠BCD ＝90°，
∴BC ⊥CD .
∵又 AB ∩BC ＝B ，
6 15 ＝ 3，S 15 ∴CD ⊥平面 ABC .
AE AF 又∵在△ACD 中，E 、F 分别是 AC 、AD 上的动点，且 ＝ ＝λ(0<λ<1)， AC AD ∴不论 λ 为何值，都有 EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面 ABC . (2)在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1， ∴BD ＝ 2. 又∵AB ⊥平面 BCD ， ∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD . 又∵在 Rt △ABD 中，∠ADB ＝60°， ∴AB ＝BD ·tan60°＝ 6， 由(1)知 EF ⊥平面 ABC ， ∴V A －BEF ＝V F －ABE 1 ＝ S △ABE ·EF 3 1 1 ＝ × S △ABC ·EF 3 2 1 1 1 ＝ × ×1× 6× ＝ . 6 2 2 24 6 故三棱锥 A －BEF 的体积是 24 . 16．在四棱锥 P －ABCD 中，侧面 PDC 是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是面积为 2 3的菱形，∠ADC 为菱形的锐角． (1) 求证：PA ⊥CD ； (2) 求二面角 P －AB －D 的大小； (3) 求棱锥 P －ABCD 的侧面积； 解析：(1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E ，由 PE ⊥CD ，得 PE ⊥平面 ABCD ，连结 AC 、AE . ∵AD ·CD ·sin ∠ADC ＝2 3， AD ＝CD ＝2， 3 ∴sin ∠ADC ＝ 2 ， 即∠ADC ＝60°，∴△ADC 为正三角形，∴CD ⊥AE . ∴CD ⊥PA (三垂线定理)． (2) 解：∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PA ，AB ⊥AE ， ∴∠PAE 为二面角 P －AB －D 的平面角． 在 Rt △PEA 中，PE ＝AE ，∴∠PAE ＝45°. 即二面角 P －AB －D 的大小为 45°. (3) 分别计算各侧面的面积： ∵PD ＝DA ＝2，PA ＝ 6， 1 ∴cos ∠PDA ＝ ，sin ∠PDA ＝ . 4 1 1 S AB ·PA ＝ 2· 3＝ 6， △PCD △PAB ＝ 2 ·2· 2 1 S △PAD ＝S △PBC ＝ PD ·DA ·sin ∠PDA ＝ . 2
∴S P －ABCD 侧 ＝ 3＋ 6＋ 15.
13. 把地球当作半径为 R 的球，地球上 A 、B 两地都在北纬 45°，A 、B 两点的球面距离 π
是 3
R ，A 点在东经 20°，求 B 点的位置． 解析：如图，求 B 点的位置即求 B 点的经度，设 B 点在东经 α，
7 2 7 21 ＝ ， π
∵A 、B 两点的球面距离是 3R . π ∴∠AOB ＝ ，因此三角形 AOB 是等边三角形，∴AB ＝R ， 3
又∵∠AO 1B ＝α－20°(经度差) 2
问题转化为在△AO 1B 中借助 AO 1＝BO 1＝AO cos45°＝ 2 R ， 求出∠AO 1B ＝90°，则 α＝110°，同理：B 点也可在西经 70°，即 B 点在北纬 45°东经 110° 或西经 70°.
14. 在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49πcm 2 和 400πcm 2， 求球的表面积和体积．
解析：如图，两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为 AO 1、BO 2，则 AO 1∥BO 2. 若 O 1、O 2 分别为两截面圆的圆心，则由等腰三角形性质易知 OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2， 设球半径为 R ，∵πO 2B 2＝49π，
∴O 2B ＝7cm ，同理 O 1A ＝20cm.
设 OO 1＝x cm ，则 OO 2＝(x ＋9)cm.
在 Rt △OO 1A 中，R 2＝x 2＋202，
在 Rt △OO 2B 中，R 2＝(x ＋9)2＋72，
∴x 2＋202＝72＋(x ＋9)2，解得 x ＝15cm.
∴R ＝25cm ，∴S 球＝2500πcm 2， 4 62500 V 球＝ πR 3＝ πcm 3. 3 3 π
15. 设 A 、B 、C 是半径为 1 的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为3，点 A 与 B 、C π
两点间的球面距离均为2
，O 为球心，求： (1) ∠AOB 、∠BOC 的大小； (2)
球心 O 到截面 ABC 的距离． π 解析：(1)如图，因为球 O 的半径为 1，B 、C 两点间的球面距离为3， π π
点 A 与 B 、C 两点间的球面距离均为2，所以∠BOC ＝3，∠AOB ＝∠AOC ＝ π ， 2 3 (2) 因为 BC ＝1，AC ＝AB ＝ 2，所以由余弦定理得 cos ∠BAC sin ∠BAC ＝ ，设 4 4 截面圆的圆心为 O 1，连结 AO 1，则截面圆的半径 r ＝AO 1，由正弦定理得 r ＝ BC ＝ ，所以 OO 1
＝ OA 2－r 2＝ .
2sin ∠BAC 7 7
16. 如图四棱锥 A －BCDE 中，AD ⊥底面 BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE .
(1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共球；
(2) 若∠CBE ＝90°，CE ＝ 3，AD ＝1，求 B 、D 两点的球面距离．
解析：(1)证明：取 AB 的中点 P ，连结 PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、
△ADB 、△ABC 都是直角三角形． 1 故 PE ＝PD ＝PC ＝ AB ＝PA ＝PB . 2
所以 A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上．
(2)解：由题意知四边形 BCDE 为矩形，
所 以 BD ＝CE ＝ 3，
在 Rt △ADB 中，AB ＝2，AD ＝1， 2 ∴∠DPB ＝120°，D 、B 的球面距离为 π. 3
2 2 15 5 6
3 5 17．(本小题满分 10 分)如图，四棱锥 S —ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面 ABCD ，E 是 SC 上一点．
(1) 求证：平面 EBD ⊥平面 SAC ；
(2) 假设 SA ＝4，AB ＝2，求点 A 到平面 SBD 的距离；
解析：(1)∵正方形 ABCD ，∴BD ⊥AC ，又∵SA ⊥平面 ABCD ，∴SA ⊥BD ，则 BD ⊥平面 SAC ，又 BD ?平面 BED ，∴平面 BED ⊥平面 SAC .
(2)设AC ∩BD ＝O ，由三垂线定理得BD ⊥SO .AO 1 1 AC 2AB 1 · 2·2＝ 2，SA ＝4， ＝ ＝ ＝ 2 2 2 则 SO ＝ SA 2＋AO 2＝ 16＋2＝3 2，S 1 BD ·SO 1 ·2 2·3 2＝6.设 A 到面 BSD 的距 △BSD ＝ ＝ 2 2 1 1 4 离为 h ，则 V S －ABD ＝V A －BSD ，即 3S △ABD ·SA ＝ S △BSD ·h ，解得 h ＝ ，即点 A 到平面 SBD 的距 3 3 4 离为 . 3
18．(本小题满分 12 分)如图，正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AA 1＝2AB ＝4，
点 E 在 C 1C 上且 C 1E ＝3EC . (1)
证明 A 1C ⊥平面 BED ；
(2)求二面角 A 1－DE －B 的大小．
解析：依题设知 AB ＝2，CE ＝1，
(1) 证明：连结 AC 交 BD 于点 F ，则 BD ⊥AC .
由三垂线定理知，BD ⊥A 1C .
在平面 A 1CA 内，连结 EF 交 A 1C 于点 G ， AA 1 AC
由于FC ＝CE
＝2 ， 故 Rt △A 1AC ∽Rt △FCE ，∠AA 1C ＝∠CFE ，∠CFE 与∠FCA 1 互
余． 于是 A 1C ⊥EF .
A 1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD 、EF 都垂
直． 所以 A 1C ⊥平面 BED .
(2) 作 GH ⊥DE ，垂足为 H ，连结 A 1H .
由三垂线定理知 A 1H ⊥DE ，
故∠A 1HG 是二面角 A 1－DE －B 的平面角．
EF ＝ CF 2＋CE 2＝ 3， CE × CF
2 CG ＝ EF ＝
3 . 3
EG ＝ CE 2－CG 2＝ 3 . EG 1 1 EF × FD ＝ ，GH ＝ × ＝ .
EF 3 3 DE 又 A 1C ＝ AA 21＋AC 2＝2 A 1G
6，A 1G ＝A 1C －CG ＝ ， tan ∠A 1HG ＝ HG
＝5 . 所以二面角 A 1－DE －B 的大小为 arctan5 5.
19．(本小题满分12 分)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°， AB ＝BC ＝SB ＝SC ＝2CD ＝2，侧面 SBC ⊥底面 ABCD .
3 3 3 2 3 2
＝ (1) 由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH ，试确定垂足 H 的位置；
(2) 求二面角 E －BC －A 的大小．
解析：(1)作 SO ⊥BC 于 O ，则 SO ?平面 SBC ， 又面 SBC ⊥底面 ABCD ， 面 SBC ∩面 ABCD ＝BC ， ∴SO ⊥底面 ABCD ① 又 SO ?平面 SAO ，∴面 SAO ⊥底面 ABCD ， 作 EH ⊥AO ，∴EH ⊥底面 ABCD ② 即 H 为垂足，由①②知，EH ∥SO ， 又 E 为 SA 的中点，∴H 是 AO 的中点． (2)过 H 作 HF ⊥BC 于 F ，连结 EF ， 由(1)知 EH ⊥平面 ABCD ，∴EH ⊥BC ， 又 EH ∩HF ＝H ，∴BC ⊥平面 EFH ，∴BC ⊥EF ， ∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角． 在等边三角形 SBC 中，∵SO ⊥BC ， ∴O 为 BC 中点，又 BC ＝2. ∴SO ＝ 22－12＝ 3，EH 1SO ＝ ， 1 又 HF ＝ AB ＝1， 2 2 2 3
EH 2 ∴在 Rt △EHF 中，tan ∠HFE ＝ ＝ ＝ ，
HF 1 2 ∴∠HFE ＝arctan . 即二面角 E －BC －A 的大小为 arctan
. 20．(本小题满分 12 分)(2010·唐山市高三摸底考试)如图，在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，AB ＝1，AA 1＝2，N 是 A 1D 的中点，M ∈BB 1，异面直线 MN 与 A 1A 所成的角为 90°. (1) 求证：点 M 是 BB 1 的中点；
(2) 求直线 MN 与平面 ADD 1A 1 所成角的大小；
(3) 求二面角 A －MN －A 1 的大小．
解析：(1)取 AA 1 的中点 P ，连结 PM ，PN .
∵N 是 A 1D 的中点，∴AA 1⊥PN ，又∵AA 1⊥MN ，MN ∩PN ＝N ，
∴AA 1⊥面 PMN .
∵PM ?面 PMN ，∴AA 1⊥PM ，∴PM ∥AB ，
∴点 M 是 BB 1 的中点．
30
5 2 2 2 2
(2) 由(1)知∠PNM 即为 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角．
1 在 Rt △PMN 中，易知 PM ＝1，PN ＝ ，
2 PM
∴tan ∠PNM ＝PN ＝2，∠PNM ＝arctan2. 故 MN 与平面 ADD 1A 1 所成的角为 arctan2.
(3) ∵N 是 A 1D 的中点，M 是 BB 1 的中点，∴A 1N ＝AN ，A 1M ＝AM ，
又 MN 为公共边，∴△A 1MN ≌△AMN .
在△AMN 中，作 AG ⊥MN 交 MN 于 G ，连结 A 1G ，则∠A 1GA 即为二面角 A －MN －A 1 的平面角．
在△A 1GA 中，AA 1＝2，A 1G ＝GA ＝ ， A 1G 2＋GA 2－AA 12 2 2 ∴cos ∠A 1GA ＝ 2A 1G ·GA ＝－ ，∴∠A 1GA ＝arccos(－ )， 3 3 2 故二面角 A －MN －A 1 的大小为 arccos(－ )． 3
21．(2009·安徽，18)(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 F －ABCD 的底面 ABCD 是菱 形，其对角线 AC ＝2，BD ＝ 2.AE 、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE ＝1，CF ＝2. (1) 求二面角 B －AF －D 的大小；
(2) 求四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 公共部分的体积．
命题意图：本题考查空间位置关系，二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．
解答：(1)解：连接 AC 、BD 交于菱形的中心 O ，过 O 作 OG ⊥AF ，G 为垂足，连接 BG 、DG . 由 BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得 BD ⊥平面 ACF ，故 BD ⊥AF .
于是 AF ⊥平面 BGD ，所以 BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角 B －AF －D 的平面角．
π 由 FC ⊥AC ，FC ＝AC ＝2，得∠FAC ＝ ，OG ＝ . 4 2 π 由 OB ⊥OG ，OB ＝OD ＝ ，得∠BGD ＝2∠BGO ＝ . (2)解：连接 EB 、EC 、ED ，设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H ，则四棱锥 E －ABCD 与四棱锥 F －ABCD 的公共部分为四棱锥 H －ABCD .
3 2 3 2 过 H 作 HP ⊥平面 ABCD ，P 为垂足．
因为 EA ⊥平面 ABCD ，FC ⊥平面 ABCD ，
所以平面 ACEF ⊥平面 ABCD ，从而 P ∈AC ，HP ⊥AC . HP HP AP PC 2 由 ＋ ＝ ＋ ＝1，得 HP ＝ . CF AE AC AC 3 又因为 S 1 菱形ABCD ＝ AC ·BD ＝ 2， 2 1 2 2 故四棱锥 H －ABCD 的体积 V ＝ S 菱形ABCD ·HP ＝ .
3 9
22．(2009·深圳调考一)(本小题满分 12 分)如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E 、F 在圆 O 上，AB ∥EF ，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在的平面互相垂直．已知 AB ＝2，EF ＝1.
(1) 求证：平面 DAF ⊥平面 CBF ；
(2) 求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小；
(3) 当 AD 的长为何值时，二面角 D －FE －B 的大小为 60°？
解析：(1)证明：∵平面 ABCD ⊥平面 ABEF ，CB ⊥AB ，
平面 ABCD ∩平面 ABEF ＝AB ，
∴CB ⊥平面 ABEF .
∵AF ?平面 ABEF ，∴AF ⊥CB ，
又∵AB 为圆 O 的直径，∴AF ⊥BF ，
∴AF ⊥平面 CBF .
∵AF ?平面 DAF ，∴平面 DAF ⊥平面 CBF .
(2)解：根据(1)的证明，有 AF ⊥平面 CBF ，
∴FB 为 AB 在平面 CBF 上的射影，
因此，∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角．
∵AB ∥EF ，∴四边形 ABEF 为等腰梯形，
过点 F 作 FH ⊥AB ，交 AB 于 H .
AB ＝2，EF ＝1，则 AH ＝ AB －EF 1 ＝ . 2 2
在 Rt △AFB 中，根据射影定理 AF 2＝AH ·AB ，得 AF ＝1， AF 1 sin ∠ABF ＝ ＝ ，∴∠ABF ＝30°， AB 2
∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°.
(3)解：过点 A 作 AM ⊥EF ，交 EF 的延长线于点 M ，连结 DM .
根据(1)的证明，DA ⊥平面 ABEF ，则 DM ⊥EF ，
∴∠DMA 为二面角 D －FE －B 的平面角，
∠DMA ＝60°. 1 在 Rt △AFH 中，∵AH ＝ ，AF ＝1， 2 ∴FH ＝ .
又∵四边形 AMFH 为矩形，∴MA ＝FH ＝ . 3 ∵AD ＝MA ·tan ∠DMA ＝ 2 · 3＝3 2 .
3
因此，当AD 的长为时，二面角D－FE－B 的大小为60°.
2
高中数学必修一测试卷及答案3套 测试卷一 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0?A B ．{0}∈A C ．?∈A D ．{0}?A 2．已知f (1 2x －1)＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( ) A ．－14 B.14 C.32 D ．－32 3．函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是( ) A ．(1,2) B ．[1,4] C ．[1,2) D ．(1,2] 4．函数f (x )＝x 3 ＋x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数 D ．一次函数 6．若0
必修四常考题型总结 三角函数篇 三角函数的基础知识与基本运算： 。的值为1．585sin3232??(D) (C) (B)(A) 22222.（列关系式中正确的是（） 000000BA．．cos10sin11?sin11sin168?cos10??sin168000000 CD．．cos10?sin168?sin11sin11?sin168?cos10?1???”是“．（2009北京理）“）” 的（3?cos2)?Z?(kk?226 ．必要而不充分条件 B A．充分而不必要条件 ．既不充分也不必要条件 D C．充分必要条件 ??? 4．(2008浙江理)( )tan???5,若cos则?2sin11 D）（）C （B）2 ）（A（?2?22 图像与性质： 1．已知是实数，则函数的图象不可能是( ) aax?asin)f(x?1．．． ?2??f()??，则的图象如图所示，=Acos(3.已知函数)= )xf((0)f?x232211?(B) (C)－(D) ）（A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3223
????，数数为（常函4.）,?AsinA(x?,)y??上的图象如图所）在闭区间,0]?0?[A?0,?. 示，则= ??????示，则图）的知函数y=sin（图x+）（像>0, -如<所已4.?? =________________ ?7?????f。的图像如图所示，则5.已知函数)xf()??2sin(x??12?? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ???7.已知函数的图象如图所示，0)???xf()sin(x)(?
则＝ ????(cos0))?3sinxx?(fx y?f(x)的图像与直线，已知函数的2y??，则的单调递增 区间是两个相邻交点的距离等于)f(x????5115）A ）（（B ?????k[],k?Zk,?Z],k?,k??k[12121212????2（D）（C） ????Z],?[kk?,k?Z?,?],[kk?k3663?4?? 2．如果函数的最小值的图像关于点 中心对称，那么,0)(||)?y?3sin(2x 3 C）为（????（B）（A）（C）(D) 3264 ?，下面结论错误的是3．已知函数)?R?sin(x?)(xf(x)．．2?A．函数的最 小正周期为)(xf2?函数在区间上是增函数B．][0,)(xf2x 0 C．函数的图象关于直线对称＝)xf(函数是奇函数 D．)f(x?（本小题共 12分）已知函数．4．x)cos?f(x)?2sin(x的最小正周期；（Ⅰ）求)(xf????,?上的最 大值和最小值．在区间（Ⅱ）求)x(f??26?? ????????0,0A?0,?，的周期为已知函数）（其中．5Rf(x?sin(Ax?),x)?2?2,?2)M(．且 图象上一个最低点为3?][0,?x，求求（Ⅱ）当的解析式；的最值．)( Ⅰ)x(x(f)f 12 ?2x. f(x)=cos(2x+)+sin本小题满分12分)设函数2. (3(1)求函数f(x)的最大值和 最小正周期. C11(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，??f()?324 求sinA. 4.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．） ???xx2．设函数1)?2cos?f(x)?sin(?468（Ⅰ）求的最小正周
高一数学必修1综合测试题 1．集合{|1,}A y y x x R ==+∈，{|2,},x B y y x R ==∈则A B 为（ ） A ．{(0,1),(1,2)} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．(0,)+∞ 2．已知集合{ } 1| 1242 x N x x +=∈<
人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( )
第3题图 高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷 时间:120分钟。总分：150分。 班别: 姓名: 座号： 一、选择题（将选择题的答案填入下面的表格。本大题共10小题，每小题5分，共50分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、下列各组对象中不能构成集合的是（ ） A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生 B 、佛冈中学全校学生家长的全体 C 、李明的所有家人 D 、王明的所有好朋友 2、已知集合{}{} 5,1,A x R x B x R x =∈≤=∈>那么A B 等于 （ ） Ａ．｛１，２，３，４，５｝ Ｂ．｛２，３，４，５｝ Ｃ．｛２，３，４｝ Ｄ．{} 15x R x ∈<≤ 3、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =， 则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,8 4、下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A.x x f =)(，2())g x x = B.()2 2 1)(,)(+==x x g x x f C.2()f x x = ()g x x = D.()0f x =，()11g x x x =-- 5、函数2 () 21f x x ，(0,3)x 。() 7,f a 若则a 的值是 （ ） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2± 6、2, 0()[(1)]1 0x x f x f f x （）设,则 ，（）+≥?=-=?
高中数学必修三所有知识点总结和常考题型试精选
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高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 一，算法与程序框图 1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。 2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。 3，程序框图：也称流程图，是一种用程序框，流程线及文字说明来表示算法的图形。 图形符号 名称 功能 终端框 表示一个算法的起始和结束 输入（输出框） 表示一个算法输入和输出的信息 处理框 赋值、计算 判断框 判断某一个条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y ”， 不成立时标明“否”或“N ”。 流程线 连接程序框 连接点 连接程序框图的两部分 4，三种程序框图 （1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。 （2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。 （3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结构，应该包括三个内容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。 二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式） 1，输入语句 2，输出语句 3，赋值语句 注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量 4，条件语句 5，循环语句： 直到型 当型 注意：提示内容用 IF 条件 THEN INPUT “提示内PRINT “提示内变量 = IF 条件 THEN 语句体 DO WHILE 条
高一数学必修一试卷及答案 一、选择题： （每小题 3 分，共 30 分） 1 、已知全集 I {0,1,2,3,4} ，集合 M {1,2,3} ， N {0,3,4} ，则 (C I M )I N 等于 ( ) A.｛ 0， 4｝ B.｛ 3，4｝ C.｛1， 2｝ D. 2、设集合 M { x x 2 6 x 5 0}，N { x x 2 5x 0}，则M UN 等于 （ ） A.｛ 0｝ B.｛ 0， 5｝ C.｛ 0，1， 5｝ D.｛ 0，－ 1，－ 5｝ 3、计算： log 2 9 log 38 ＝ （ ） A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数 y a x 2(a 0且 a 1) 图象一定过点 ( ) A （ 0,1） B （ 0,3） C （1,0） D （3,0 ） 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一 觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终 点 用 S 1 2 分别表示乌龟和兔子所行的路程， t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ） 、 S 6、函数 ylog 1 x 的定义域是（ ） 2 A {x ｜ x ＞0} B {x ｜ x ≥ 1} C {x ｜ x ≤ 1} D {x ｜ 0＜ x ≤1} 7、把函数 y 1 2 个单位后， 所得函数的解析式 的图象向左平移 1 个单位， 再向上平移 x 应为 （ ） A 2x 3 B y 2x 1 2x 1 2x 3 y 1 x C y 1 Dy 1 x 1 x x 8、设 f (x ) lg x 1 ，g(x) e x 1 ，则 ( ) x 1 e x A f(x)与 g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数， g(x)是偶函数 C f(x)与 g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数， g(x)是奇函数
高中数学必修1测试题 一、选择题 1．设集合{}012345U =，，，，，，{}035M =，，，{}145N =，，，则()U M C N ?=（ ） A ．{}5 B ．{}0,3 C ．{}0,2,3,5 D ．{}0,1,3,4,5 2、设集合2{650}M x x x =-+=,2{50}N x x x =-=，则M N 等于 （ ） A.｛0｝ B.｛0，5｝ C.｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝ 3、计算：9823log log ?＝ （ ） A 12 B 10 C 8 D 6 4、函数2(01)x y a a a =+>≠且图象一定过点 ( ) A （0,1） B （0,3） C （1,0） D （3,0） 5、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则与故事情节相吻合是 （ ） 6、函数y =的定义域是（ ） A {x ｜x ＞0} B {x ｜x≥1} C {x ｜x≤1} D {x ｜0＜x≤1} 7、把函数x 1y -=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为 （ ） A 1x 3x 2y --= B 1x 1x 2y ---= C 1x 1x 2y ++= D 1 x 3x 2y ++-= 8、设x x e 1e )x (g 1x 1x lg )x (f +=-+=，，则 ( ) A f(x)与g(x)都是奇函数 B f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 C f(x)与g(x)都是偶函数 D f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
【必考题】高中必修一数学上期末试卷附答案(1) 一、选择题 1．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98 2．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，12 1log 2b b ??= ???，21log 2c c ??= ???．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有 2121 ()() 0f x f x x x -<-，则（ ）． A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<- 4．已知函数ln ()x f x x =，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c a b << 5．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的 “上界值”，则函数33 ()33 x x f x -=+的“上界值”为（ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 6．函数 ()()2 12 log 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞ D ．()1,+∞ 7．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时， ()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =?-有五个零点，则正数k 的取值范围是 （ ） A ．()3log 2,1 B ．[ )3log 2,1 C ．61log 2, 2? ? ??? D ．61log 2,2 ?? ?? ? 8．已知函数()2log 14x f x x ?+=?+? 0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(3)0f x f x ++-=，且(1)0f ≠，若函数 6()(1)cos 43g x x f x =-+?-有且只有唯一的零点，则(2019)f =（ ） A ．1 B ．-1 C ．-3 D ．3
高一数学试卷 一、选择题： ( 本大题 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。 ) 1、已知全集 I{0,1,2,3,4}，集合 M{ 1,2,3} ， N{0,3,4} ，则 e I M N () 等于 () A.｛0，4｝ B.｛3，4｝ C. ｛1，2｝ D. 2、设集合M{ x x26x 5 0} ， N { x x25x0}，则M N 等于（） A. ｛0｝ B.｛0，5｝ C. ｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝ 3、计算：log29log 38＝（） A12B10 C 8 D 6 4、函数y a x2(a 0且 a1)图象一定过点() A （0,1 ）B（0,3 ）C（1,0 ）D（3,0 ） 5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A. y x ( x R) B. y x3x( x R) C. y (1 )x( x R) D. y 1 (x R,且 x 0) 2x 6、函数y log 1 x的定义域是（） 2 A {x ｜x＞0} B {x｜x≥1} C {x ｜x≤1} D {x｜0＜x≤1}
7、把函数 y 1 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 x 后，所得函数的解析式应为 （ ） A y 2x 3 B y 2x 1 x 1 x 1 C y 2x 1 D y 2x 3 x 1 x 1 8、设 f (x ) lg x 1 ， g(x) e x 1x ，则( ) x 1 e A f(x) 与 g(x) 都是奇函数 ; B f(x) 是奇函数， g(x) 是偶函数 ; C f(x) 与 g(x) 都是偶函数 ; D f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数 . 9、使得函数 f (x ) ln x 1 x 2 有零点的一个区间是 ( ) 2 A (0 ，1) B (1 ，2) C (2 ，3) D (3 ，4) 10、若 a 20.5 ， b log π3 ， c log 2 0.5 ，则（ ） A a b c B b a c C c a b D b c a 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 11、函数 f (x) 2 log 5 (x 3) 在区间 [-2 ，2] 上的值域是 ______ 12、计算： 1 － 3 2 2 ＋ 643 ＝______ 9 13、函数 y x 2 4 x 5 的递减区间为 ______
（数学1必修）第一章（上） 集合 [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ． },01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{ }1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1 ______,_______,______2 R Q Q e C Q π- （e 是个无理数） （3{} |,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． A B C
2012届锐翰教育适应性考试数学试卷 满分150分，考试时间：120分钟 一. 选择题（每题4分，共64分）： 1. 若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是（ d ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 2.方程062=+-px x 的解集为M,方程062=-+q x x 的解集为N,且M ∩N={2},那么p+q 等于（ ） A.21 B.8 C.6 D.7 3. 下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是（ ） A.()2x y = B.y=33x C.y=2x D.y=x x 2 4.已知A={x|y=x,x ∈R},B={y|2x y =,x ∈R},则A ∩B 等于（ ） A.{x|x ∈R} B.{y|y ≥0} C.{(0,0),(1,1)} D.? 5. 32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)1(-f ，)2(-f ，)3(f 的大小关系为（ ） A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<-
必修一数学练习题及解析 第一章练习 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．集合{1,2,3}的所有真子集的个数为() A．3 B．6 C．7 D．8 解析：含一个元素的有{1}，{2}，{3}，共3个；含两个元素的有{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3个；空集是任何非空集合的真子集，故有7个． 答案：C 2．下列五个写法，其中错误 ．．写法的个数为() ①{0}∈{0,2,3}；②?{0}；③{0,1,2}?{1,2,0}；④0∈?；⑤0∩?＝? A．1 B．2 C．3 D．4 解析：②③正确． 答案：C 3．使根式x－1与x－2分别有意义的x的允许值集合依次为M、F，则使根式x－1＋x－2有意义的x的允许值集合可表示为() A．M∪F B．M∩F C．?M F D．?F M 解析：根式x－1＋x－2有意义，必须x－1与x－2同时有意义才可． 答案：B 4．已知M＝{x|y＝x2－2}，N＝{y|y＝x2－2}，则M∩N等于() A．N B．M C．R D．? 解析：M＝{x|y＝x2－2}＝R，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，故M∩N＝N.
答案：A 5．函数y＝x2＋2x＋3(x≥0)的值域为() A．R B．[0，＋∞) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴函数在区间[0，＋∞)上为增函数，故y≥(0＋1)2＋2＝3. 答案：D 6．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰的长x的函数，则y等于() A．20－2x(0
高中数学必修一测试 题
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 必修I 测试题 本试卷分为选择题、填空题和简答题三部分，共计120分，时间120分钟。 一、选择题（本大题共12道小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U A C B =I （ ） A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈，则集合 M N I （ ） A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ） A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射，下列叙述正确的是 （ ） ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合B A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5 、在221,2,,y y x y x x y x ===+= （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6、已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是 （ ） A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 （ ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 （ ） A 、15- B 、15 C 、150 D 、1625 9、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 （ ） A 、01a << B 、112a << C 、102 a << D 、1a > 10、设 1.50.90.4814,8,2a b c -??=== ???，则,,a b c 的大小顺序为 （ ） A 、a b c >> B 、a c b >> C 、b a c >> D 、c a b >> 11、已知()()2212f x x a x =+-+在(],4-∞上单调递减，则a 的取值范围是 （ ） A 、3a ≤- B 、3a ≥- C 、3a =- D 、以上答案都不对 12、若()lg f x x =，则()3f = （ ） A 、lg 3 B 、3 C 、310 D 、103 二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，共12分。把答案填在题中横线上）
高中数学必修一试卷 一、选择题 1．设集合A ，B 中分别有3个，7个元素，且A B 中有8个元素，则A B 中的元素的 个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2．下列函数中，值域是()0,+∞的函数是（ ） A ．23 y x -= B ．21y x x =++ C ．11x y x -= + D ．2log (1)y x =+ 3．函数()11f x x x =+--，那么()f x 的奇偶性是（ ） A ．奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数 C ．偶函数 D ．既是奇函数也是偶函数 4．下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是（ ） A ．12 ()(0)x x =-> B 13 (0)y y =< C ．34 0)x x -=> D ．130)x x -=≠ 5．设,a b 满足01a b <<<，下列不等式中正确的是（ ） A ．a b a a < B ．a b b b < C ．a a a b < D ．b b b a < 6．2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．(),1-∞- C ．13(,)11-∞- D ．13 (,)(1,)11 -∞-+∞ 7．设函数21 ()2 f x x x =-+的定义域是[],1n n +，*n N ∈，则()f x 的值域中所含整数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．2n 个 8．若(1)y f x =+为偶函数，则（ ）
A ．()()f x f x -= B ．()()f x f x -=- C ．(1)(1)f x f x --=+ D ．(1)(1)f x f x -+=+ 9．函数2311y x x =---的图象与x 轴不同的交点的个数共有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 10．设()f x 是定义在R 上的一个增函数，()()()F x f x f x =--，那么()F x 为（ ） A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数 11．图中的曲线是log a y x =的图象，已知a 的值为， 43，310，15 ，则相应曲线1234,,,C C C C 的a 依次为（ ） A 43，15，310 B ，43，310，15 C ．15，310，43 D ．43 ，310，15 12．已知函数()()()2()f x x a x b a b =---<，并且α，β是方程()0f x =的两根()αβ<，则实数a b αβ，，，的大小关系可能是（ ） Ａ．a b αβ<<< Ｂ．a b αβ<<< Ｃ．a b αβ<<< Ｄ．a b αβ<<< 二、填空题 13．设集合{} 21A x x =-≤<，且{} B x x a =≤，若A B φ≠，则实数a 的取值范围是 ___________________。 14．不等式127x ≤-≤的解集是 ____________ 。 15 函数2()lg(32)f x x x = -+的定义域为 _______。 16.已知函数f （3x ＋2）的定义域为（－2,1），则f (1－2x)的定义域为_________________ 0 x C 1 C 2 C 4 C 3 1 y
必修二立体几何常考证明题 一．证明线线平行，线面平行，面面平行 1．利用三角形中位线 2. 利用平行四边形 考点1：线面平行的判定（利用三角形中位线） 例1：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//AC 平面 BDE 。 考点2：线面平行的判定（利用平行四边形） 例2：已知正方体111 1 ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ； 练习： 1、如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、 AB 的中点，求证：直线AE ∥平面PFC A E D 1 C B 1 D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C
2正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。 （1）求证：直线AB 1∥平面C 1DB ； 3、 如图，已知ABCD PA 矩形 所在平面，N M 、分别为PC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：PAD MN 平面//； 4、如图，在三棱锥D-ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB=BC=a ，E 为 BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF=3FC ． （1）求三棱锥D-ABC 的表面积；（2）求证AC ⊥平面DEF ； （3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． A 1 C 1 C B A B 1
考点3：面面平行的判定 例7：如图，在正方体111 1 ABCD A BC D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1 1 C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . 5、棱长为a 的正方体AC 1中，设M 、N 、E 、F 分别为棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点． （1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求证：面AMN ∥面EFBD ．
高一数学必修1综合测试题（一） 1．集合{|1,}A y y x x R ==+∈，{|2,},x B y y x R ==∈则A B 为（ ） A ．{(0,1),(1,2)} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．(0,)+∞ 2．已知集合{ } 1| 1242 x N x x +=∈<
高中数学必修1和必修2测试题 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分?在每小题给出的四个选项中?只有 B . :— 5,+ a ) C . (— 5, 0) D . (— 2, 0) 6.已知A （1,2）, B （3,1）,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A.4x 2y 5 B.4x 2y 5 C.x 2y 5 D.x 2y 5 7.下列条件中，能判断两个平面平行的是（） A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面； B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 0 , P ABC 所在平面外一点 PA 丄平面ABC ，则四面体 P-ABC 中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 1 9. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4 ，那么圆柱的体积等于（ A B 2 C 4 D 8 一项是符合题目要求的. 1 .设集合 A {x| 3 0},B={x|-1 3测 A n B=( C . :0,3] ) A . :-1,0] B . : -3,3] 2.下列图像表示函数图像的是（ y ) D ? [ -3,-1] 「X X 3.函数 f (X )x 5 lg （2X 1）的定义域为 （ 4. 已知a b 0，则3a ,3b ,4a 的大小关系是（ ） A . 3a 3 b 4a B . 3b 4 a 3a C . 3b 3 a 4a 5. 函数f （x ） X 3 x 3的实数解落在的区间是（ ） D . 3a 4a A 0,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,4 A . (— 5,+ a) C
必修1综合检测 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(每小题5分，共50分) 1．函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 2．已知U ＝{y|y ＝log 2x ，x>1}，P ＝???? ??y|y ＝1x ，x>2，则?U P ＝( ) A.??????12，＋∞ B.? ????0，12 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪???? ??12，＋∞ 3．设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12 ，则a ＝( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 4．设f(x)＝g(x)＋5，g(x)为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)的值等于( ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．12 5．已知函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx 2－ax －1的零点是( ) A ．－1和－2 B ．1和2 C.12和13 D ．－12和－13 6．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( ) A ．f(x)＝x B ．f(x)＝x 2 C ．f(x)＝x －3 D ．f(x)＝x －1 7．直角梯形ABCD 如图Z-1(1)，动点P 从点B 出发， 由B →C →D →A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ， △ABP 的面积为f(x)．如果函数y ＝f(x)的图象如图 Z-1(2)，那么△ABC 的面积为( ) A ．10 B ．32 C ．18 D ．16 8．设函数f(x)＝??? x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是 ( ) A ．幂函数 B ．对数函数 C ．指数函数 D ．一次函数 10．甲用1000元人民币购买了一支股票，随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，
高一数学必修一测试题 及答案 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高中数学必修1检测题 一、选择题： 1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ） A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{2，4，5} D ．{2，5} 2．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ?φ ④A ?-}1,1{ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有 （ ） （1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像； （3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像； （4）像的集合就是集合B . A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5、下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x =()g x = ②()f x x =与()g x = ③0()f x x =与01 ()g x x = ； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--。 A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 6．根据表格中的数据，可以断定方程02=--x e x 的一个根所在的区间是（ ）