单纯形算法的一般原理
单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
考虑到如下线性规划问题：
其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。
根据线性规划基本定理：
如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界，
则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法，
即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。
Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解
（即可行域顶点）中。
其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下：
（1）寻找一个初始的基本可行解。
（2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，
则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
（3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，
然后转会到步骤（2）。
求解思想如下图所示：
maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定
为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即
Ａ=（ＢＮ），其中
Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基，
Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。
那么约束方程AX=b 就可表示为：
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
若令所有非基变量 ，则基变量
由此可得初始的基本可行解
B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→
● 问题：
要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。 基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。 因为不能保证基变量ＸB=Ｂ-1b ≥0。 为了求得基本可行解 ，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
● 结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，
为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在性规
划标准化过程中作如下处理：
若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，
那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变
量xn+i (i=12…m)。
若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，
那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变
成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为
人工变量．
若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在
等式左端添加人工变量。
加入已求的一个基本可行解 ， ，将这一基本可行解代入目标函数，可
求得相应的目标函数值
其中 ，
分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 是否已经达到最大值，只需将 代入目标
函数，使目标函数用非基变量表示，即：
1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭1-1B N B B b Z=CX=(C C )=C B b 0-⎛⎫ ⎪⎝⎭B 12m N m+1m+2n C =(c ,c ,c ), C =(c ,c ,c ) -1B Z=C B b -1-1B N X =B b-B NX B B N N -1-1B B N N B N N N -1-1B N B N X Z=CX=(C C )X =C X +C X =C (B b-B NX )+C X =C B b+(C -C B N)X ⎛⎫ ⎪⎝⎭m+1m+2-1-1B N N B m+1,m+1,n n x x C B b+σX C B b+(σσσ)x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
其中 称为非基变量ＸN 的检验向量，它的各个分量称为检验数。若σN 的每一个检验数均小于等于0，即σN ≤0，那么现在的基本可行解就是最优解。
对于单纯形算法有如下定理：
定理1：最优解判别定理
对于线性规划问题 若某个基本可行解所对应的检验向量 ， 则这个基本可行解就是最优解。
定理2：无穷多最优解判别定理
若 是一个基本可行解，所对应的检验向量
，
其中存在一个检验数σm+k=0，则线性规划问题有无穷多最优解。
如果现行的基本可行解Ｘ不是最优解，即在检验向量
中存在正的检验数，则需在原基本可行解Ｘ的基础上寻找一个新的基本可行解，并使目标函数值有所改善。具体做法是：
先从检验数为正的非基变量中确定一个换入变量，使它从非基变量变成基变量（将它的值从零增至正值），
再从原来的基变量中确定一个换出变量，使它从基变量变成非基变量（将它的值从正值减至零）。 由此可得一个新的基本可行解，由 可知，这样的变换一定能使目标函数值有所增加。
此外，换入变量原则为最大增加原则，即：
假设检验向量 ，若其中有两个以上的检验数为正，那么为了使目标函数值增加得快些，通常要用“最大增加原则”，即选取最大正检验数所对应的非基变量为换入变量，即若
则选取对应的 为换入变量,由于
且为最大，因此当 由零增至正值，可使目标函数值
-1
N N B m+1m+1n =C -C B N=(,,)σσσσ {}n maxZ=CX,D=X R /AX=b,X 0∈≥-1N N B =C
-C B N 0σ≤m+1m+2-1B m+1,m+1,n n x x Z C B b+(σσσ)x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1N N B =C -C B N 0σ≤-1N N B =C -C B N σm+1m+2-1B m+1,m+1,n n x x Z C B b+(σσσ)x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
-1N N B m+1m+2
n =C -C B N=(,,)σσσσ {}j j m+k max σ/σ>0,m+1j n =σ≤≤m+k x m+k 0σ>m+k x
最大限度的增加。
换出变量的原则则为最小比值原则，即： 换出变量原则为最小比值原则 如果确定 为换入变量，方程
其中 为Ａ中与 对应的系数列向量。
现在需在
中确定一个基变量为换出变量。 当 由零慢慢增加到某个值时， 的非负性可能被打破。
为保持解的可行性，可以按最小比值原则确定换出变量：
若
则选取对应的基变量
为换出变量。
定理3：无最优解判别定理
若 是一个基本可行解，
有一个检验数 ，但是 ，
则该线性规划问题无最优解。
证明略。
m+1m+2-1B m+1,m+1,n n x x Z C B b+(σσσ)x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ m+k x -1-1-1-1B N B m+k m+k
X =B b-B NX X =B b-B P x ⇒m+k P m+k x B 12m X =(x ,x ,x )T m+k x B X -1-1-1i m+k i -1-1m+k i m+k (B b)(B b)min /(B P )>0,1i m =(B P )(B P )l l ⎧⎫⎪≤≤⎨⎬⎪⎭⎩x l 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭m+k 0σ>-1m+k B P 0≤
工程优化设计中单纯形法的基本原理 张云龙 （大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023) 摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。 关键词：线性规划图解法单纯形法大M法 THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGN ZHANG Y un-long (Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023) Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method. Key W ords: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method 1引言 在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。 虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误！未找到引用源。。 因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。 2线性规划问题 2.1数学模型 线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？ 表1-1 工时及利润简表
第二章单纯形法 2.1 单纯形法原理（大M法） 例3 min z＝4x1＋3x2＋8x3 x1＋x3≥2 x2＋2x3≥5 x j≥0（j=1，2，3） 一、构造初始可行基（m×m单位阵） 每个约束都有一个系数为+1的独有变量（基变量）1．引入附加变量，化为标准型 （首先变为b≥0） x1＋x3－x4＝2 x2＋2x3－x5＝5 x j≥0（j=1，2，...,5）（x4、x5为附加变量） min z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5 假设化为标准型后,仍无初始可行基 2. 若约束中附加变量系数为-1或原约束为等式， 必须引入人工变量 x1＋x3－x4＋x6＝2 ① (基变量为x6) x2＋2x3－x5＋x7＝5 ② (基变量为x7) x j≥0（j=1，2，...,7）（x6、x7为人工变量） 人工变量>0时，约束被篡改 3. 目标函数中附加变量系数为0，而人工变量系数为M min z＝4x1＋3x2＋8x3＋0x4＋0x5＋M x6＋M x7③ M——罚因子（很大正数） 大M法——罚函数法
二、求出一个基本可行解 1. 用非基变量表示基变量和目标函数 由①：x6＝2－x1－x3＋x4④由②：x7＝5－x2－2x3＋x5⑤将④、⑤代入③： z＝(4-M)x1＋(3-M)x2＋(8-3M)x3＋M x4＋M x5＋7M ⑥检验数σj= ⑥式中各非基变量x j的系数， z＝z0＋∑σ ∈J j j j x （J为非基变量下标的集合） 基变量的检验数＝0 2、求出一个基本可行解及相应z值 令各非基变量为0，x1＝x2＝x3＝x4＝x5＝0 由④、⑤、⑥得x6＝2，x7＝5，z＝7M 三、最优性检验（求min） 1．最优性检验的依据——检验数σｊ 2．最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数σｊ≥0，且人工变量为0，则这个基本可行解是最优解。 例3中，σ１＜0，σ２＜0，σ３＜0，需继续迭代 3．无穷多组最优解判别定理：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数σｊ≥0，又有某个非基变量检验数为0，且人工变量为0，则线性规划问题有无穷多组最优解。 4．无可行解情况：若在极小化问题中，对于某个基本可行解，所有检验数σｊ≥0，但有人工变量≠0，则该线性规划问题无可行解。
第 六 次课 2学时 本次课教学重点： 单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学难点： 单纯形法原理、基变换、最优检验 本次课教学内容： 第五章 单 纯 形 法 §1 单纯形法的基本思路和原理 一、 单纯形法的基本思路： 从可行域中某一个顶点开始，判断此顶点是否是最优解，如不是,则再找另一个使得其目标函数值更优的顶点，称之为迭代，再判断此点是否是最优解。直到找到一个顶点为其最优解，就是使得其目标函数值最优的解，或者能判断出线性规划问题无最优解为止。 通过第二章例1的求解来介绍单纯形法: 在加上松弛变量之后我们可得到标准型如下： 目标函数： max 50x1+100x2 约束条件：x1+x2+s1≤300， 2x1+x2+s2≤400， x2+s3≤250. xj ≥0 （j=1，2）,sj ≥0 （j=1，2,3） 它的系数矩阵 ??? ? ? ??==100100101200111),,,,(54321p p p p p A 其中pj 为系数矩阵A 第j 列的向量。A 的秩为3,A 的秩m 小于此方程组的变量的个数n ， 为了找到一个初始基本可行解，先介绍以下几个线性规划的基本概念。 二、基本概念 基： 已知A 是约束条件的m ×n 系数矩阵，其秩为m 。若B 是A 中m ×m 阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基。 基向量：基B 中的一列即称为一个基向量。基B 中共有m 个基向量。 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量。 基变量：与基向量pi 相应的变量xi 叫基变量，基变量有m 个。 非基变量：与非基向量pj 相应的变量xj 叫非基变量，非基变量有n －m 个。 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。 在此例中我们不妨找到了 ??? ? ? ??=1010010113B 为A 的一个基，令这个基的非基变量x １，
单纯形法 一、单纯形法的原理 线性方程组的解： ?? ?=----=+-+-432 24254321 54321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。方程的解多于1个。 两种初等变换：5 1）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。 2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。 式（1）做变换得到：（①×-1） ? ? ?=-+-=+-+-2322 242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2） ? ??=-+-=---2 32642354325431 x x x x x x x x （3） 方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。得到：61=x ，22=x 。选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。 基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。 非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。 1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。 旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。基本变量的个数，与方程的个数相同。 基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。 基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。 单纯形法的思路； 1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解； 3）对目标函数做有限次的改善。当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求
目录 第一章单纯形法的提出…………………………………………………………… 1.1 单纯形法提出背景……………………………………………………………第二章单纯形法的一般原理……………………………………………………… 2.1 单纯形法的基本思路………………………………………………………… 2.2 确定初始基本可行解………………………………………………………… 2.3 最优性检验…………………………………………………………………… 2.4 基变换………………………………………………………………………… 2.5 解的判别定理………………………………………………………………… 2.6 单纯形法求解线性规划问题的程序框图……………………………………第三章表格单纯形法……………………………………………………………… 3.1单纯型表求解………………………………………………………………… 3.2 用单纯形法求解线性规划问题的举例………………………………………第四章人工变量及其处理方法…………………………………………………… 4.1大M法………………………………………………………………………… 4.2两阶段法……………………………………………………………………… 4.3无最优解和无穷多最优解…………………………………………………… 4.4退化与循环……………………………………………………………………第五章单纯形法的矩阵表示………………………………………………………总结……………………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………………………
单纯形法的原理(一) 单纯形法（Simplex Method） 什么是单纯形法 单纯形法是一种用于解决线性规划问题的方法。它通过迭代的方式，逐步接近最优解。在线性规划中，我们需要在一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。单纯形法是一种基于几何性质的方法，它通过在可行域内移动到较优区域，逐步逼近最优解。 线性规划问题的标准形式 在介绍单纯形法之前，我们先来了解一下线性规划问题的标准形式。线性规划问题可以写成如下形式： 最大化目标函数： [Z = c_1x_1 + c_2x_2 + … + c_nx_n] 满足约束条件： [a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + … + a_{1n}x_n ≤ b_1] [a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + … + a_{2n}x_n ≤ b_2] … [a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + … + a_{mn}x_n ≤ b_m]
其中，(x_1, x_2, …, x_n) 是决策变量，(c_1, c_2, …, c_n) 是目标函数的系数，(a_{ij}) 是约束条件的系数，(b_i) 是约束条件的右侧常数。 单纯形法的基本思想 单纯形法的基本思想是通过在可行域内移动，逐步逼近最优解。其算法步骤如下： 1.初始化阶段：将线性规划问题转化为标准形式，并 构造初始的基可行解。 2.优化阶段：根据当前的基可行解，计算出相应的目 标函数值。 3.检验最优解：如果当前的基可行解是最优解，则停 止算法；否则，继续下一步。 4.确定进入和离开变量：根据当前基可行解，确定进 入变量和离开变量。 5.计算新的基可行解：通过计算和替换，得到新的基 可行解。 6.回到步骤2：不断迭代，直到获得最优解。 单纯形法的关键概念 在单纯形法中，有几个关键概念需要了解：
单纯形法（不可以解空集问题，无初始解） 一、单纯形法的基本思想 1、顶点的逐步转移 即从可行域的一个顶点（基本可行解）开始，转移到另一个顶点（另一个基本可行解）的迭代过程，转移的条件是使目标函数值得到改善（逐步变优），当目标函数达到最优值时，问题也就得到了最优解。 2．需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎麽转移？ (2)目标函数何时达到最优——判断标准是什么？ （3）初始解的寻找 二、单纯形法原理（用代数方法求解LP） 第一步：引入非负的松弛变量（x3 x4 x5）和剩余变量（算完后剩余的资源） x3,x4,x5, 将该LP化为标准型 第二步：寻求初始可行基（单位阵对应的），确定基变量 第三步：写出初始基本可行解（很多之中找一个，必令原x为0）和相应的目标函数值 两个关键的基本表达式： ① 用非基变量表示基变量的表达式 ② 用非基变量表示目标函数的表达式 第四步：分析两个基本表达式，看看目标函数是否可以改善？ ① 分析用非基变量表示目标函数的表达式 非基变量前面的系数均为正数（必为负数才可以），所以任何一个非基变量进基都能使Z值增加 通常把非基变量前面的系数叫“检验数” ②选哪一个非基变量进基？ 排在最前面的负检验数对应的非基变量 ③确定出基变量 “最小比值原则”（或θ原则）见本 如果x2≤0，会出现什麽问题？ 最小比值原则会失效！ 基变换 新的基变量——x2, x3,x4；新的非基变量x1, x5； 写出用非基变量表示基变量的表达式： 可得新的基本可行解 X（1）=（0,3,2,16,0）T ⑤写出用非基变量表示目标函数的表达式: 检验数仍有正的 第五步：上述过程何时停止？ 当用非基变量表示目标函数的表达式中，非基变量的系数（检验数）全部非正（0时表无穷解，负时表唯一解）时，当前的基本可行解就是最优解! 为什麽？ 分析用非基变量表示目标函数的表达式，如果让负检验数所对应的变量进基，目标函数值将下降！
单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。 单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤： 1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。 2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。 3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。 4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。 5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。 6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。 单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。
单纯形法matlab求解有约束优化问题实验报告 一、实验目的 本次实验旨在通过使用MATLAB软件中的单纯形法，求解约束优化问题，熟悉单纯形法的基本原理和操作方法，并掌握MATLAB软件中单纯形法的使用。 二、实验原理 1.单纯形法基本原理 单纯形法是一种线性规划问题的求解方法，其基本思想是通过不断地 移动一个n维空间中的“单纯形”（即一个n+1个顶点组成的凸多面体），寻找到目标函数最小值或最大值所对应的顶点。在每次移动时，都会将当前顶点与其它顶点进行比较，选择一个更优秀的顶点来替换 当前顶点，并不断重复这个过程直到找到最优解为止。 2.单纯形法步骤 （1）确定初始可行解； （2）检查当前可行解是否为最优解； （3）如果当前可行解不是最优解，则选择一个非基变量进入基变量集合，并确定该变量使目标函数值下降最多； （4）计算新可行解； （5）判断新可行解是否存在并继续执行步骤2-4直到找到最优解。
三、实验步骤 1.建立约束优化问题模型 本次实验采用如下线性规划问题模型： $max\quad z=2x_1+3x_2$ $s.t.\quad x_1+x_2\leq 4$ $x_1\geq 0,x_2\geq 0$ 2.使用MATLAB软件求解 （1）打开MATLAB软件，新建一个m文件； （2）输入以下代码： %建立约束优化问题模型 f=[-2,-3]; A=[1,1]; b=[4]; lb=zeros(2,1); [x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb); （3）保存并运行该m文件，即可得到最优解。 四、实验结果与分析 根据上述步骤，我们可以得到该线性规划问题的最优解为：
单纯形法迭代原理 单纯形法是一种用于求解线性规划问题的常用方法，其迭代原理是该算法能够通过不断调整顶点来逐步接近最优解的过程。 在线性规划问题中，我们需要在给定的一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。单纯形法的核心思想是通过不断移动顶点，逐步接近最优解。下面我们来详细介绍单纯形法的迭代原理。 我们将线性规划问题转化为标准形式，即将约束条件和目标函数都写成等式形式。然后，我们引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束。这样，我们就得到了一个初始可行解。 接下来，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量。入基变量是指将其变为非基变量，而出基变量是指将其变为基变量。为了选择出入基变量，我们需要计算各个非基变量的变化率，即目标函数的增长量与变量的增量之比。我们选择变化率最大的非基变量作为入基变量，然后通过计算约束条件限制下的最小非负比值来确定出基变量。 一旦确定了入基变量和出基变量，我们就可以通过基变量列的调整来计算新的可行解。具体来说，我们需要通过将出基变量对应的列变为单位向量，然后通过一系列列变换，使得入基变量对应的列变
为零向量。这样，我们就得到了一个新的可行解。 接下来，我们需要计算新的目标函数值。如果新的目标函数值比旧的目标函数值更小（或更大，具体取决于求解最小化问题还是最大化问题），那么我们就继续迭代。否则，我们就找到了最优解。 在每次迭代中，我们都可以通过计算目标函数的增长量和各个非基变量的变化率来确定出入基变量。通过不断调整顶点，我们逐步接近最优解。当无法找到更优的解时，算法终止。 需要注意的是，单纯形法并不一定能够找到最优解。在某些情况下，算法可能陷入无限循环或者无界解。为了解决这些问题，我们可以通过添加人工变量或者对偶单纯形法等方法来进行修正。 单纯形法迭代原理是一种通过不断调整顶点来逐步接近最优解的方法。通过选择出入基变量，并通过基变量列的调整来计算新的可行解，我们可以逐步接近最优解。然而，需要注意的是，单纯形法并不一定能够找到最优解，因此在实际应用中需要进行一定的修正。
单纯形法计算对偶变量值 以单纯形法计算对偶变量值 在线性规划中，单纯形法是一种常用的求解最优解的方法。对于一个线性规划问题，除了求出最优解外，还可以通过单纯形法计算对偶变量的值。本文将介绍单纯形法的基本原理，并详细讲解如何计算对偶变量的值。 单纯形法的基本原理是通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解。在这个过程中，我们需要引入对偶问题。对偶问题是原始问题的一种等价形式，通过对原始问题进行变换得到。对偶问题可以用来检验原始问题的最优解，并且可以计算出对偶变量的值。 我们需要了解什么是对偶问题。对于一个线性规划问题，如果原始问题是最大化问题，则对偶问题是最小化问题；如果原始问题是最小化问题，则对偶问题是最大化问题。对偶问题的约束条件是原始问题的目标函数的系数，而对偶问题的目标函数的系数是原始问题的约束条件。通过这种变换，我们可以得到原始问题和对偶问题之间的对应关系。 在单纯形法中，我们首先需要求解原始问题的最优解。通过迭代的方式，不断改进当前解，直到找到最优解。在每一次迭代过程中，我们需要计算对偶变量的值。对偶变量是对偶问题中的变量，表示对应约束条件的价格。
计算对偶变量的值的方法是通过计算最终的单纯形表格得到。单纯形表格是单纯形法中用来记录每一次迭代过程的表格，其中包含了原始问题和对偶问题的所有信息。通过对最终的单纯形表格进行分析，我们可以得到对偶变量的值。 在单纯形表格中，对偶变量的值可以通过检查对应约束条件的松弛变量的值来计算。松弛变量是为了将约束条件转化为等式形式而引入的变量。如果松弛变量的值为0，则对应约束条件的对偶变量的值为非零；如果松弛变量的值不为0，则对应约束条件的对偶变量的值为0。 通过以上步骤，我们可以计算出对偶变量的值。对偶变量的值可以用来检验原始问题的最优解的可行性，并且可以提供额外的信息来解释最优解。对偶变量的值越大，说明对应约束条件的限制越紧，对最优解的影响越大；对偶变量的值越小，说明对应约束条件的限制越松，对最优解的影响越小。 通过单纯形法可以求解线性规划问题的最优解，并且可以计算出对偶变量的值。对偶变量的值可以用来检验最优解的可行性，并且可以提供额外的信息来解释最优解。通过对最终的单纯形表格进行分析，我们可以得到对偶变量的值，并且可以进一步优化我们的决策过程。 在实际应用中，单纯形法是一种非常有效的求解线性规划问题的方
单纯形法原理 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行 域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某 顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再 转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得 出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。 单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。 概述： 根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限 增大）。 单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。②若基本
可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。③若基本可行解存在， 从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变 量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。④按步骤3 进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。 用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的 个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有106个决策变量和104个约束条件的线性规划问题已能在计 算机上解得。 求解步骤： （1）确定初始基可行解 ①从线性规划标准形的系数矩阵中能直接找出m个线性独立的单位向量； ②对约束条件全为“<=”连接的LP，化为标准形，左端添加松弛变 量后即形成一个单位子矩阵； ③约束条件中含有“<=”或“=”连接的方程，在插入剩余变量后找 不到单位矩阵，则必须采用“人造基”法， 也称“人工变量”法。 （2）最优性检验及解的判别准则 ①最优性判定准则②多重最优解判定准则③无界最优解判定准则（3）换基迭代
单纯形法、大M法 单纯形法是一种线性规划算法，通常用于寻找线性规划问题的最优解。它的基本思想 是在约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。单纯形法是由美国数学家乔治·达内 在1947年提出的，是目前应用最广泛的解线性规划问题的方法之一。 单纯性法的原理是基于一个立方体模型的，该模型由各种小三角形组成。每个三角形 都是由原问题的一个约束条件所定义的平面，当这些平面被绘制时，它们会将立方体分成 多个小三角形。在这个模型中，每个小三角形代表了原问题的一个可行解，即满足所有约 束条件的解。 最初的解法是从任意一个可行解作为起始点，通过一系列变形（称为单纯形变换）来 寻找可行解中的最优解。这个过程可以看作是在不断地将一个小三角形变形成另一个小三 角形的过程。具体而言，我们会找到一个角点（即可行解的某个顶点），然后对它进行变形，通过不断调整其他的角点直到得到一个更优的可行解。 在单纯性法的过程中，还有一些其他的要点需要注意。首先，我们需要选择一个合适 的起始点。通常情况下，我们会选择一个位于可行域的角点，这可以通过求解一个最小化 问题来实现。其次，每一次变形都会改变模型中三角形表面的形状，从而使得原来的角点 可能不再是新的最优解。因此，在每次变形后，我们需要重新计算通过各个角点可以到达 的最优解，然后再进行变换。最后，为了保证算法能够收敛，需要对一些特殊情况进行处理，比如出现无界解或无可行解的情况。 尽管单纯性法是目前应用最广泛的线性规划算法之一，但它也存在一些问题。比如， 它对于非特定类型的问题来说，可能会产生较低的收敛速度，尤其是在高维空间中更为明显。此外，如果问题的可行域非常大，那么单纯形法可能需要很长的计算时间才能找到最 优解。因此，针对这些问题，研究人员提出了一些改进的方法，比如内点法、动态规划 等。 大M法是一种针对线性规划问题的算法，它可以将不等式约束转化为等式约束，从而 使问题更容易求解。大M法是一种通用方法，可以用于解决任何线性规划问题，不论其约 束条件是等式还是不等式形式。 接下来，我们将新的约束条件加入到原问题的目标函数中，目标函数变为 max z + Msi；然后使用单纯性法来求解新的问题。如果新问题中的最优解中si=0，则原问题也有一个可行解，并且与新问题的最优解等价；如果si>0，则说明原问题不可行。 大M法的主要优点在于它可以处理任何类型的约束条件，同时也可以产生可行解。然而，在某些情况下，造成了一些问题。例如，引入的人工变量会增加问题的规模，导致算
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思 想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。本文 将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。 一、单纯形算法原理 单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标 函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。算法通过在可 行域内循环改变基变量，以求得最优解。 算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一 个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。 二、单纯形算法的计算步骤 下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该 算法。 1. 初始化阶段 在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始 可行解。标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非 负约束。 2. 检验阶段
在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。首 先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量 准则、最小比率准则等。 3. 转换阶段 在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。 通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新 的可行解。 在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。选择一个出 基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。然后，通过高斯消元法计 算出相应的新基。 4. 终止判断阶段 在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。如 果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。否则，返回检验阶段继 续迭代。 5. 结果输出阶段 当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。 三、单纯形算法的优化 尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。为了优化算法效率，可以采用以下方法： 1. 人工变量法
单纯形算法的一般原理 单纯形法的基本思路是有选择地取基本可行解，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。 考虑到如下线性规划问题： 其中Ａ一个m ×n 矩阵，且秩为m ，ｂ总可以被调整为一个m 维非负列向量，Ｃ为n 维行向量，Ｘ为n 维列向量。 根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig 的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D 的各个顶点上。 Dantzig 的单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解 （即可行域顶点）中。 其基本思路是从一个初始的基本可行解出发，寻找一条达到 最优基本可行解的最佳途径。 单纯形法的一般步骤如下： （1）寻找一个初始的基本可行解。 （2）检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优， 则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。 （3）移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解， 然后转会到步骤（2）。 求解思想如下图所示： maxZ=CX AX=b X 0⎧⎨≥⎩
确定初始的基本可行解等价于确定初始的可行基，一旦初始的可行基确定了，那么对应的初始基本可行解也就唯一确定 为了讨论方便，不妨假设在标准型线性规划中，系数矩阵Ａ中前m 个系数列向量恰好构成一个可行基，即 Ａ=（ＢＮ），其中 Ｂ=（Ｐ1，Ｐ2，…Ｐm ）为基变量x1，x2，…xm 的系数列向量 构成的可行基， Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn 的 系数列向量构成的矩阵。 那么约束方程AX=b 就可表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解 B B N N X AX=(BN)=BX +NX =b X ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b 1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b →→→