第一题：证明角平分
已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。 求证：PCE PCD ∠=∠。
第二题：证明四点共圆
如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。
第三题：证明角的倍数关系
如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。 求证：ACD DPE ∠=∠2。
第四题：证明线与圆相切
已知：ABC ?中，?=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ?外接圆
第五题：证明垂直
已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。求证：AC PQ ⊥。 第六题：证明线段相等
已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。
第七题：证明线段为比例中项
已知ABC ?中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ?与ABC ?有相
同的内心。求证：
GM FM AM ?=2。 第八题：证明垂直
已知：ABC ?为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。求证：BC AP ⊥。
第九题：证明线段相等
过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，过劣弧CD 上一点E 作圆O 的另一条切线分别交PC 、PD 于A 、B ，连结OE 交CD 于点N ，连结PN 交AB 于点M 。求证：MB MA =。
第十题：证明角平分
已知PA 、PB 是⊙O 切线，DE 是过C 的切线，D 、E 分别在AP 、PB 上，AB CF ⊥于F ，连接DF 、EF 。求证：EFC DFC ∠=∠
第十一题：证明垂直
设PAB 是圆O 的割线，PC 是切线，CD 是圆O 的直径，DB 、OP 相交于E 。求证：CE AC ⊥。
第十二题：证明线段相等
设C 、D 是以O 为圆心AB 为直径的半圆上两点，过B 做圆O 的切线交CD 于P ，直线PO 交直线CA 、AD 分别于E 、F 。求证: OF OE =。
第十三题：证明角相等
如图，ABC ?中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，且BC DE //，BE 、CD 交于点F ，BDF ?的外接圆⊙O ，与CEF ?的外接圆⊙P 交于点G ，求证：CAG BAF ∠=∠。 第十四题：证明中点
如图，⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，BO 、PA 延长线交于点C ，CD 、CE 分别切⊙
O 、⊙P 于D 、E ，连接DE 交AB 于F ，求证：F 为DE 中点。
第十五题：证明线段的二次等式
如图，半径不相等的两圆⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，过A 的直线CD 分别交⊙O 、⊙P 于C 、D ，CB 延长线交⊙P 于F ，DB 延长线交⊙O 于E ，过A 作CD 垂线交EF
中垂线于G ，求证：AD AC EG AG ?+=22
第十六题：证明角平分
如图，ABC ?内接于⊙O ，D 为BC 中点，AD 交⊙O 于E ，过E 作BC EF //，交⊙O 于F ，过C 作AC CG ⊥，交AE 于G 。求证：FGC AGC ∠=∠。
第十七题：证明中点
如图，ABC ?内切圆⊙I 切BC 于D ，过I 作AD IE //交BC 于E ，过E 作⊙I 切线，分别交AB 、AC 于F 、G 。求证：E 为FG 中点。
第十八题：证明角相等
如图，如图，⊙P 、⊙Q 交于A 、B 两点，它们的外公切线CD 分别切⊙P 、⊙Q 于C 、D ，E 为BA 延长线上一点，EC 交⊙P 于F ，ED 交⊙Q 于G ，AH 平分FAG ∠交FG 于H 。求证：GDH FCH ∠=∠。
第十九题：证明中点
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，I 、E 分别为ABC ?的内心和一个旁心，BAC ∠的外角平分线交BC 延长线于D ，DE IF ⊥于F ，交⊙O 于G 。求证：G 为IF 中点。 第二十题：证明线段相等
如图，在锐角ABC ?中，C B ∠>∠，F 是BC 的中点，BE 、CD 是高。G 、H 分别是FD 、FE 的中点，若过A 且平行于BC 的直线交GH 于I 。求证：IF IA = 第二十一题：证明垂直
如图，D 是ABC ?边BC 上一点，ABD DAC ∠=∠，⊙O 过点B 、D 分别交AB 、AD 于E 、F ，直线BF 交DE 于G ，M 是AG 中点。求证：AO CM ⊥。
第二十二题：证明角相等
如图，如图，CD 为⊙O 直径，PC 、PE 分别切⊙O 于C 、E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B ，AC 、BD 交于点F ，DE 交AB 于G ，求证：ADE GFE ∠=∠。
第二十三题：证明四点共圆
如图，O 为ABC ?外心，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，DE OF ⊥于F ，L 、M 、N 分别为DE 、BE 、CD 中点。求证：F 、L 、M 、N 四点共圆。
第二十四题：证明两圆相切
如图，ABC ?内切圆⊙I 切BC 于D ，BC AE ⊥于E ，F 为AE 中点，DF 交⊙I 于G ，作BCG ?的外接圆⊙O ，求证：⊙O 、⊙I 相切于点G 。
第二十五题：证明线段相等
如图，ABC ?内接于⊙O ，内切圆⊙I 分别切AB 、AC 于J 、K ，AO 交⊙O 于D ，连接DI ，延长CA 到F ，使得BJ AF =，过F 作DI 的垂线交BA 延长线于G ，求证：CK AG =。
第二十六题：证明四条线段相等
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，
AD 平分BAC ∠交⊙O 于D ，BD OE //交AB 于E ，CD OF //交AC 于F ，H 为ABC ?垂心，AD HG //交BC 于G ，求证：CF GF GE BE ===。 第二十七题：证明线段比例等式
如图，四边形ABCD 中，AC AB =，ABD ?外接圆⊙1O 交AC 于F ，ACD ?外接圆⊙2
O 交AB 于E ，BF 、CE 交于点G ，求证：
CD BD CG BG =。 第二十八题：证明角的倍数关系
如图，O 为ABC ?外心，D 为ABC ?内一点，使得DCB DAB ∠=∠，DCB DAC ∠=∠，E 为AD 中点，过E 作AD EF ⊥交CB 延长线于F ，连接FA 、FD 、FO ，求证：OFC AFD ∠=∠2。
第二十九题：证明三线共点
如图，⊙O 的内接四边形ABCD ，AB 、DC 交于点E ，AD 、BC 交于点F ，EFC ?的外接圆⊙P 交⊙O 于G ，AG 交EF 于H ，HC 交⊙O 于I ，求证AI 、GC 、FE 三线共点。
第三十题：证明平行
如图，ABC ?中，D 为BC 中点，O 为外心，H 为垂心，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，使得AF AE =，且D 、H 、E 三点共线，P 为AEF ?外心，求证：HD OP //。 第三十一题：证明线段相等
如图，四边形A B CD 内接于⊙O ，E 为四边形内一点，使得ECO EAB ∠=∠，EDC EBA ∠=∠，过点E 的直线FG 平分BEC ∠，交⊙O 于F 、G 两点，求证：EG EF =。 第三十二题：证明四点共圆
如图，在ABC ?中，AD 、BE 、CF 是三条高线，点P 为ABC ?内部一点，P 关于BC 、CA 、AB 的对称点分别为L 、M 、N ，线段AP 的中点为G ，求证：D 、E 、G 、F 四点共圆的充要条件为A 、M 、L 、N 四点共圆。
第三十三题：证明三角形相似
如图，⊙1O 、⊙2O 半径分别为1r 、2r ，⊙1O 、⊙2O 交于A 、B 两点，P 为平面上一点，PC 切⊙1O 于C ，PD 切⊙2O 于D ，且
21r r PD PC =，求证：PCA ?∽PBD ?。
第三十四题：证明角相等
如图，平行四边形ABCD 中，E 为BD 上一点，使得ACD ECB ∠=∠，AC 交ABD ?外
接圆⊙O 于F ，连接EF ，求证：AFD BFE ∠=∠。
第三十五题：证明内心
如图，I 是ABC ?内心，E 为BC 中点，F 为弧BC 中点，EF 中点为N ，BI 中点为M ，MN 交BC 于D ，连接AD ，求证：M 为ABD ?内心。
第三十六题：证明角平分
如图，⊙O 为ABC ?的外接圆，AF 平分BAC ∠交⊙O 于F ，H 为ABC ?的垂心，AB CE ⊥于E ，AC BD ⊥于D ，ADE ?的外接圆⊙P 交⊙O 于G 。GF 交BC 于I ，求证：IH 平分BHC ∠。
第三十七题：证明垂直
在ABC ?中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，直线FD 和AC 交于点N ，求证：（1）DF OB ⊥；（2）DE OC ⊥；（3）MN OH ⊥。 第三十八题：证明面积等式
如图，ABC ?和ADE ?均为等腰直角三角形，?=∠=∠90AED BAC ，连接BD 、CE ，
取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，求证：BDF S ?=()ACE ADE ABC S S S ???++321。
三十九题：证明角平分
如图，ABC ?中，旁切圆⊙P 分别切CB 、CA 延长线于D 、E ，旁切圆⊙Q 分别切BC 、BA 延长线于F 、G ，DE 、FG 分别交PQ 于M 、N ，BN 、CM 交于点L 求证：AL 平分BAC ∠。
第四十题：证明角相等
如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、CD 上一点，AF 、CE 交于点G ，AEG ?的外接圆⊙O 与CFG ?的外接圆⊙P 交于点H ，连接BG 、DH ，求证：HDA GBA ∠=∠。
第四十一题：证明中点
如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PCD 为⊙O 一条割线，过C 作PB CF //，交AB 于E ，交BD 于F ，求证：E 为CF 中点。
第四十二题：证明中点
如图，H 为ABC ?垂心，D 为BC 中点，过H 作DH EF ⊥分别交AB 、AC 于E 、F ，求证：H 为EF 中点。
第四十三题：证明角相等
如图，锐角ABC ?中，AC AB <，且D 、E 在边BC 上，满足CE BD =，若在ABC ?内存在点P 满足AE PD //，且EAC PAB ∠=∠，求证：PCA PBA ∠=∠。
第四十四题：证明垂直
如图，AB 为半圆O 的直径，AB OC ⊥，C 在圆上，P 是BA 延长线上一点，PD 切⊙O 于D ，PE 平分DPB ∠，分别交AC 、BC 于E 、F ，求证：?=∠90EOF 。 第四十五题：证明角相等
如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，OP AD ⊥于点D ，ADC ?的外接圆与BC 的另一个交点为E ，求证：ACB BAE ∠=∠。
第四十六题：证明垂直
如图，平行四边形ABCD 中，AB CE ⊥于E ，AD CF ⊥于F ，EF 交BD 于G ，求证：AC GC ⊥。
第四十七题：证明四点共圆
如图，ABC ?内接于⊙O ，BC AD ⊥于D ，AD 交CO 于E ，F 为AE 中点，FO 交BC 于H ，AO CG ⊥于G ，求证：B 、H 、O 、G 四点共圆。
第四十八题：证明四点共圆
如图，I 是ABC ?内心，A 关于BI 的对称点是K ，E 为BC 中点，F 为BC 中点EF 中点为N ，BI 中点为M ，MN 交BC 于D ，求证：A 、K 、D 、M 四点共圆。 第四十九题：证明四点共圆
如图，H 为ABC ?的垂心，D 为CH 中点，AD BE ⊥于E ，证明：B 、C 、E 、H 四点共圆。
第五十题：证明角平分
已知ABC ?，内心为I ，圆1O 与边AB 、BC 相切，圆2O 过A 、C ，且1O 、2O 外切与点M 。求证：AMC ∠的平分线过点I 。
第五十一题：证明线段相等
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，D 为弧BAC 中点，E 为弧BC 中点，AB CF ⊥于F ，连接EF ，过F 作EF FG ⊥交DA 延长线于G ，求证：CD CG =。
第五十二题：证明两圆外切
如图，如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，过C 作AC DC ⊥交AB 延长线于D ，过D 作AO DE ⊥交⊙O 于F ，交AC 于E ，过B 、E 、F 三点的圆为⊙P ，过C 、D 、F 三点的圆为⊙Q ，求证：⊙P 与⊙Q 外切于点F 。
第五十三题：证明垂直
如图，如图，ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 中点，过E 作AC EM ⊥交AD 于M ，过F 作AB FN ⊥交AD 于N ，EM 、FN 交于点O ，CM 、BN 交于点K ，求证：AK OK ⊥。
第五十四题：证明垂直
如图，ABC ?中，D 为BC 中点，⊙O 过A 、C 两点，且切DA 于A ，延长BA 交⊙O 于E ，CE 延长线交DA 于F ，求证：BC FO ⊥。
第五十五题：证明垂直
如图，AB 为⊙O 直径，CB 切⊙O 于B ，D 为弧AB 上任一点，CD 交⊙O 于F ，AD 、OC 交于点E ，连接EB 、FB ，证明：FB EB ⊥。
第五十六题：证明垂直
如图，正方形ABCD 与正方莆EFGH ，EF 交AB 于J ，FG 交BC 于K ，GH 交CD 于L ，HE 交DA 于I ，求证：JL IK ⊥。
第五十七题：证中点
如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，OC 交AB 于D ，过C 点的切线分别交PA 、PB 于E 、F ，PD 交EF 于G ，求证：G 为EF 中点。 第五十八题：证明角相等
如图，⊙P 、⊙Q 交于A 、B 两点，它们的外公切线CD 分别切⊙P 、⊙Q 于C 、D ，E 为BA 延长线上一点，EC 交⊙P 于F ，ED 交⊙Q 于G ，FG 分别交⊙Q 、⊙P 于M 、N ，求证：GDN FCM ∠=∠。
第五十九题：证明角相等
如图，等腰ABC ?中，AC AB =，E 为AC 中点，D 为BC 上一点，使得CD BD 2=，BE DF ⊥于F ，连结CF ，求证：ABC EFC ∠=∠。
第六十题：证明四点共圆
如图，ABC ?中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，且BC DE //，BE 、CD 交于点F ，O 、P 、Q 、R 分别为ADF ?、AEF ?、BDF ?、CEF ?外心，求证：O 、P 、Q 、R 四点共圆。
第六十一题：证明四点共圆
如图，ABC ?旁切圆⊙I 分别切BC 、AB 、AC 于D 、E 、F ，ED 、FD 分别交AI 于
M 、N ，G 为BC 中点，H 为A 在BC 上的垂足，求证：G 、N 、H 、M 四点共圆。 第六十二题：证明四点共圆
如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 、DC 交于点E ，AD 、BC 交于点F ，点G 为EF 中点，AG 交⊙O 于K ，求证：C 、K 、F 、E 四点共圆。
第六十三题：证明角相等
如图，AB 为半⊙O 直径，AB CA ⊥于A ，AB DB ⊥于B ，EC 、ED 分别为半⊙O 的两条切线，CD OF ⊥于F ，连接EF ，求证：FOB EFD ∠=∠。
第六十四题：证明角的倍数关系
如图，AB 、AC 分别切⊙O 于A 、B ，D 为AB 延长线上一点，ADC ?的外接圆⊙P 交⊙O 于E ，CD BF ⊥于F ，求证：ADC DEF ∠=∠2。
第六十五题：证明中点
如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，E 是OC 的中点，AE 的延长线交⊙O 于点F ，DF 交BC 于点G 。求证：G 是BC 的中点。
第六十六题：伪旁切圆
如图，ABC ?外接圆为⊙O ，内切圆⊙I 分别切三边于D 、E 、F ，⊙P 与⊙O 外切于J ，且分别切AB 、AC 于G 、H ，连接AD 并延长交⊙P 于K ，求证：AK AJ =，且CAD BAJ ∠=∠。
第六十七题：证明垂直
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，D 、E 分别为AB 、AC 中点，H 为ABC ?垂心，DH 延长线交⊙O 于F ，EH 延长线交⊙O 于G ，DE 、GF 交于点I ，连接AI ，求证：AO AI ⊥。
第六十八题：证明平行
如图，ABC ?内接于⊙O ，BC AC ≠，ACB ∠平分线CH 交⊙O 于H ，E 、F 分别为AC 、BC 上一点，AB EF //，EF 交CH 于K ，EFH ?的外接圆⊙P 交⊙O 于G ，GK 交⊙O 于D ，求证：AB CD //。
第六十九题：证明圆心在某线上
如图，⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，过O 的直线依次交⊙P 于C 、D ，过P 的直线信用证次交⊙O 于E 、F ，若C 、E 、D 、F 四点共圆，求证：（1）四边形CEDF 的外接圆圆心在直线AB 上。（2）AB 、CD 、EF 三线共点。
第七十题：证明三线共点
如图，ABC ?中，D 为BC 上一点，E 、F 分别为ABD ?和ACD ?内心，以E 为圆心，ED 为半径作⊙E ，以F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，⊙E 与⊙F 交于点G ，⊙E 分别交AB 、BC 于J 、K ，⊙F 分别交AC 、BC 于M 、N ，求证：JK 、MN 、GD 三线共点。
第七十一题：证明垂直
如图，ABC ?中，AD 、BE 、CF 是ABC ?的三条高线， H 为ABC ?的垂心，
O 为ABC ?的外心，ED 交AB 于M ，FD 交AC 于N ，求证：MN OH ⊥。
第七十二题：证明垂直
如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点G ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，H 、I 分别为AGD ?和BGC ?的垂心，求证：HI EF ⊥。
第七十三题：证明中点
如图，ABC ?中，O 为外心，H 为垂心，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，OH AG ⊥，交DE 于F ，交BC 于G ，求证：F 为AG 中点。
第七十四题：证明垂直
如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，BD CE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，FE 交BA 延长线于G ，求证：AD GO ⊥。
第七十五题：证明垂直
如图，ABC Rt ?中，?=∠90BAC ，E 、D 分别AB 、AC 上一点，BD 、CE 交于点F ，ABC ?的外接圆⊙O 交AED ?的外接圆⊙P 于G ，求证：GF AG ⊥。
第七十六题：证明三线共点
如图，ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上一点，且AD 、BE 、CF 交于一点P ，G 、H 、I 分别为BC 、CA 、AB 中点，J 、K 、L 分别为DE 、EF 、FD 中点，求证：GK 、HL 、IJ 三线共点。
第七十七题：证明平行
如图，五边形ABCDE 中，DE AB //，BC AE //，BD 、CE 交于点P ，M 、N 分别为BE 、CD 中点，连接MN ，求证：AP MN //。
第七十八题：证明平行
如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 中点，G 为平面上一点，使得CD BG //，
AB CG //，AC 、BD 交于点H ，求证：GH EF //。
第七十九题：证明三线共点、证明垂直
如图，
ABC ?中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE 平分ADB ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ，EF 交AD 于G ，CG 交DE 于H ，BG 交DF 延长线于I ，（1）求证：H 、A 、I 三点共线；（2）求证：HI AD ⊥。
第八十题：证明三点共线（牛顿定理）
如图，完全四边形ABCDEF 中，L 、M 、N 分别为AC 、BD 、EF 中点，则L 、M 、N 三点共线。
第八十一题：证明角平分
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，I 为内心，⊙J 分别切AB 、AC 于D 、E ，与⊙O 内切于F ，求证：IF 平分BFC ∠。
第八十二题：证明角相等
如图，O 为ABC ?外心，过O 的直线分别交AB 、AC 于D 、E ，F 、G 分别为BE 、CD 中点，求证：A FOG ∠=∠。
第八十三题：证明三点共线
如图，
ABC ?内接于⊙O ，L 为⊙O 上一点，CL EL ⊥交AB 于E ，BL FL ⊥交AC 于F ，求证：E 、O 、F 三点共线。
第八十四题：证明四圆共点
已知四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且FC BF ED AE =，射线FE 与BA 、
CD 分别交于点S 、T 。SAE ? 、SBF ?、TDE ?、TCF ?的外接圆分别为⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 、⊙4O 。求证：（1）⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 、⊙4O 四圆共点。
（2）四边形4321O O O O 相似于四边形ABCD 。
第八十五题：证明角平分
如图，ABC ?中，AC AB >，AC BD ⊥于D ，AB CE ⊥于E ，F 为BC 中点，AF AG ⊥交DE 延长线于G ，连接GF ，求证：AF 平分GFC ∠。
第八十六题：证明线段相等
如图，ABC ?内接于⊙O ，H 为ABC ?垂心，D 为BC 中点，连接DH ，过H 作DH EF ⊥，分别交AB 、AC 于E 、F ，连接DE 、DF ，求证：DF DE =。
第八十七题：证明角相等
如图，O 为ABC ?外心，H 为ABC ?垂心，CH 交AB 于D ，OD DE ⊥交AC 于E ，求
证：A EHD ∠=∠。
第八十八题：证明线段相等
如图，AD 为ABC ?的高，M 为BC 中点，过M 的一条直线分别交AB 、AC 于E 、F ，使得AF AE =，O 为AEF ?外心，求证：OD OM =。
第八十九题：证明线段相等
如图，ABC ?内接于⊙O ，BC 的中垂线分别交⊙O 于D 、E ，交BC 于F ，过F 作AD 的平行线，在该平行线上任取一点G ，连接EG ，过G 作EG MN ⊥，分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：GN GM =。
第九十题：证明线段相等
如图，ABC ?内接于⊙O ，AD 平分BAC ∠交⊙O 于D ，E 为BC 中点，F 为平面上一点，使得AD EF ⊥，连接DF ，过F 作DF MN ⊥，分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：FN FM =。
第九十一题：证明中点
如图，⊙O 为ABC ?外接圆，BC 为⊙O 直径，D 为弧BC 上一点（与A 在BC 异侧），BC DE ⊥于E ，BA DF ⊥于F ，EF 交AD 于G ，求证：G 为AD 中点。
第九十二题：证明四点共圆
如图，O 为ABC ?外心，D 为BC 上一点，BD 中垂线交AB 于F ，CD 中垂线交AC 于E ，求证：A 、F 、O 、E 四点共圆。
第九十三题：证明西姆松定理及逆定理
如图，ABC ?内接于⊙O ，P 为⊙O 上一点，BC PD ⊥于D ，CA PE ⊥于E ，AB PF ⊥于F ，求证：D 、E 、F 三点共线。
(2)ABC ?内接于⊙O ，P 为平面上一点，BC PD ⊥于D ，CA PE ⊥于E ，AB PF ⊥于
F ，若D 、E 、F 三点共线，则P 、A 、B 、C 四点共圆。
第九十四题：证明线段的和差关系等式
如图，⊙O 的三条弦AB 、CD 、EF 交于点P ，且两两夹角为?60，求证：FP BP CP DP EP AP ++=++。
第九十五题：证明角相等
如图，已知PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，PCD 为⊙O 的一条割线，E 有AB 中点，求证：BCE ACD ∠=∠。
第九十六题：证明托勒密定理及逆定理
（1）如图，ABCD 为⊙O 内接四边形，求证：BD AC BC AD CD AB ?=?+?。
（2）四边形ABCD 满足BD AC BC AD CD AB ?=?+?，求证A 、B 、C 、D 四点共圆。 第九十七题：证明线段的和差关系等式
如图，ABC ?中，O 为外心，I 为内心，AI OI ⊥，求证：BC AC AB 2=+。 第九十八题：证明角相等
如图，四边形ABFD 中，C 、E 分别为BF 、DF 上一点，且DAE BAC ∠=∠，BE 、CD 交于点G ，连接AG ，求证：GAE FAC ∠=∠。
第九十九题：证明四点共圆
如图，ABC ?内切圆⊙I 分别切BC 、CA 、AB 于D 、E 、F ，K 为ABC ?内一点，使得KBC ?内切圆⊙J 切BC 于D ，分别切KB 、KC 于M 、N ，求证：E 、F 、M 、N 共圆。
第一百题：证明两三角形共内心
如图， ADE ?中，过AD 的圆O 与AE 、DE 分别交于B 、C ，BD 交AC 于G ，直线OG 与ADE ?外接圆交于P 。求证：PBD ?、PAC ?共内心。
经典题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴ FG EO =HG GO ∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴ CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15° ∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN= 2 1AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM= 2 1BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM= 2 1 ∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO
初中教师转正必做100题 第一题： 已知：ABC AE⊥，AB BAC，BC CF⊥，AE、CF相交?外接于⊙O，? = ∠60 于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD. ?为等腰三角形 求证：AHD 第二题： 如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE,且AC=AE. CE= 求证：CF
E 第三题： 已知：ABC ?中，AC AB =，?=∠20BAC ，?=∠30BDC . 求证：BC AD =
第四题： 已知：ABC ?中，D 为AC 边的中点，C A ∠=∠3，?=∠45ADB . 求证：BC AB ⊥ A C 第五题： 如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点E ，?=∠50BAC ，?=∠60ABD ，?=∠20CBD ，?=∠30CAD ，?=∠40ADB ，求ACD ∠. B D 第六题： 已知，?=∠30ABC ，?=∠60ADC ，DC AD =，求证：2 2 2 BD BC AB =+.
B D 第七题： 如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D. 求证：四边形ABCD为平行四边形 第八题： 已知：在ABC = OBC，? ∠10 OCA. ∠20 AB=，? ?中，AC = = ∠80 A，? 求证：OB AB=
C B 第九题： 已知：正方形ABCD 中，?=∠=∠15ODA OAD ，求证：OBC ?为正三角形. 第十题： 已知：正方形ABCD 中，E 、F 为AD 、DC 的中点，连接BE 、AF ，相交于点P ，连接PC . 求证：BC PC =
第四题：证明线与圆相切.............................................................................................................................................第五题：证明垂直.........................................................................................................................................................第六题：证明线段相等.................................................................................................................................................第七题：证明线段为比例中项.....................................................................................................................................第八题：证明垂直.........................................................................................................................................................第九题：证明线段相等.................................................................................................................................................第十题：证明角平分.....................................................................................................................................................第十一题：证明垂直.....................................................................................................................................................第十二题：证明线段相等.............................................................................................................................................第十三题：证明角相等.................................................................................................................................................第十四题：证明中点.....................................................................................................................................................第十五题：证明线段的二次等式.................................................................................................................................第十六题：证明角平分.................................................................................................................................................第十七题：证明中点.....................................................................................................................................................第十八题：证明角相等.................................................................................................................................................第十九题：证明中点.....................................................................................................................................................第二十题：证明线段相等.............................................................................................................................................第二十一题：证明垂直.................................................................................................................................................第二十二题：证明角相等.............................................................................................................................................第二十三题：证明四点共圆.........................................................................................................................................第二十四题：证明两圆相切.........................................................................................................................................第二十五题：证明线段相等.........................................................................................................................................第二十六题：证明四条线段相等.................................................................................................................................第二十七题：证明线段比例等式.................................................................................................................................第二十八题：证明角的倍数关系.................................................................................................................................第二十九题：证明三线共点.........................................................................................................................................第三十题：证明平行.....................................................................................................................................................第三十一题：证明线段相等.........................................................................................................................................第三十二题：证明四点共圆.........................................................................................................................................第三十三题：证明三角形相似.....................................................................................................................................第三十四题：证明角相等.............................................................................................................................................第三十五题：证明内心.................................................................................................................................................第三十六题：证明角平分.............................................................................................................................................第三十七题：证明垂直.................................................................................................................................................第三十八题：证明面积等式.........................................................................................................................................第三十九题：证明角平分.............................................................................................................................................第四十题：证明角相等.................................................................................................................................................第四十一题：证明中点.................................................................................................................................................第四十二题：证明中点.................................................................................................................................................第四十三题：证明角相等.............................................................................................................................................
初中教师转正必做100题 第一题： (4) 第二题： (5) 第三题： (6) 第四题： (7) 第五题： (8) 第六题： (9) 第七题： (10) 第八题： (11) 第九题： (12) 第十题： (13) 第十一题： (14) 第十二题： (15) 第十三题： (16) 第十四题： (17) 第十五题： (18) 第十六题： (19) 第十七题： (20) 第十八题： (21) 第十九题： (22) 第二十题： (23) 第二十一题： (24) 第二十二题： (25) 第二十三题： (26) 第二十四题： (27) 第二十五题： (28) 第二十六题： (29) 第二十七题： (30) 第二十八题： (31) 第二十九题： (32) 第三十题： (33) 第三十一题： (34) 第三十二题： (35) 第三十三题： (36) 第三十四题： (37) 第三十五题： (38) 第三十六题： (39) 第三十七题： (40) 第三十八题： (41) 第三十九题： (42) 第四十题： (43) 第四十一题： (44) 第四十二题： (45)
第四十四题： (47) 第四十五题： (48) 第四十六题： (49) 第四十七题： (50) 第四十八题： (51) 第四十九题： (52) 第五十题： (53) 第五十一题： (54) 第五十二题： (55) 第五十三题： (56) 第五十四题： (57) 第五十五题： (58) 第五十六题： (59) 第五十七题： (60) 第五十八题： (61) 第五十九题： (62) 第六十题： (63) 第六十一题： (64) 第六十二题： (65) 第六十三题： (66) 第六十四题： (67) 第六十五题： (68) 第六十六题： (69) 第六十七题： (70) 第六十八题： (71) 第六十九题： (72) 第七十题： (73) 第七十一题： (74) 第七十二题： (75) 第七十三题： (76) 第七十四题： (77) 第七十五题： (78) 第七十六题： (79) 第七十七题： (80) 第七十八题： (81) 第七十九题： (82) 第八十题： (83) 第八十一题： (84) 第八十二题： (85) 第八十三题： (86) 第八十四题： (87) 第八十五题： (88) 第八十六题： (89)
A B C D P A B C D E F P A B C D E O A B C E A B C E D 1、△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， 则∠BAD= ， BD= ． 2、等腰三角形有一个角110°，则底角为____________． 3、△ABC 中，∠C=90°CD ⊥AB, ∠ DCB=30°,BD=2cm, AB= ． 4、直角三角形最长边是17, 最短边是8，则第三边长是____________． 5、如图：四边形ABCD 中，∠A=90°∠B=80°∠D= 70°则 ∠DCE=____． 6、矩形两条对角线相交成60°，它所对的边是20cm ，则它的对角线长为____． 7、对角线长为a 的正方形边长为 _________． 8、菱形两条对角线长是6和10，则菱形面积是 ． 9、已知：平行四边形ABCD ，AB=8，BC=10，∠B=30, 则平行四边形ABCD 的面积是 __________． 10、四边形ABCD 的边依次是a,b,c,d ，且a 2+b 2+c 2+d 2 =2ac+2bd,则此四边形是 形 11、等腰三角形的腰长为10cm,面积为25cm,则顶角的度数为_______。 12等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是______。 13、ΔABC 中，若∠A+∠C=2∠B ，最小角为 30，则最大角为______。 14、如图：CD 是△ABC 角平分线，∠B=72°，∠ADC=108°，则该图形中，有__ 个等腰三角形。5、如图：在△ABC 中，OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB，DE 过O 点，且DE∥BC， AB=15,AC=13,BC=9,则△A DE 的周长等于（ ） 。 6、15如图：已知△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，E 为AC 上一点，且AD=AE ， 若∠BAD=25°，则∠EDC = 。 7、如图：△ABC 为等边三角形，D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，且CD=AE ， BD 和CE 相于P 点。若∠ACE =23°则∠DBC = ； 若过E 作EF⊥BD 于F PC=5，PF=3，则CE= 。 8、如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则B Ｃ= ｃｍ。 16、在△ＡＢＣ中，∠ACB=90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ,交AB 于E, ∠ACD: ∠DAB=5:2.则∠BAC= 。10、如图，D 是等边△ＡＢＣ内一点，BD=AD ,P 是三角形外一点，BP=AB,BD 平分∠PBC,则∠BPD= 。 17.如果一个多边形外角和的5倍等于它的内角和，那么这个多边形是_______ 边形． 18.平行四边形一个角的角平分线分一边为3cm 、5cm 两部分，那么这个 平行四边形的周长为_______． 19.在平行四边形ABCD 中，∠A+∠C=140，则∠A=_______， ∠B=_______． 20.在矩形ABCD 中，AC=8cm ，则BD=_______cm ． 21.对角线互相垂直平分的四边形一定是_______形． 22.菱形的周长为20cm ，两个相邻的角的度数的比为1∶2，则较短的对角线的长 为_______． 23.等腰梯形一个底角等于60°，且腰长等于6cm ，则它的高线等于_______cm ． 24.已知a=4，b=5，c=7，则c 、b 、a 的第四比例项等于_______． 25.如图（AC>AB ）DE 不平行于BC ，若△ABC ∽△AED ，AD=5cm ， DB=2cm ，AC=12cm ，则△AED 与△ABC 的相似比是_______，AE=_______cm ． 26.四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'，若它们的面积比是4∶3，则它们的对 应对角线的比为_______．27．若一个角为35°，则它的余角为______；补 角为______．28．从直线外一点到这条直线的______，叫做点到直线的距 离．29．如图1所示，在△ABC 中，∠B=40°，AD 平分∠BAC ，∠ADC=80°，则∠BAC=______， ∠C=______．30．在△ABC 中，∠B=∠A+∠C ，AC 边的垂直平分线交BC 于E ，交AC 于D ， AE 分∠BAC 为两部分，且∠EAB ∶∠BAC=2∶3，则∠C=_____．31．十二边形的内角和是______， 外角和是______，它共有______条对角线．32．两条对角线______的平行四边形是矩 形．33．梯形的上底长为20，下底长为30，则中位线的长为______；两条对角线中点连线 的长等于______．34．在△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则AC=______，AB 边上的高 =______．
几何经典难题 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初三） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点， ∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． 5、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三） A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 A N F E C D M B · A D H E M C B O
P C G F B Q A D E 6、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ， 直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三） 7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初三 ） 8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二） · G A O D B E C Q P N M · O Q P B D E C N M · A
初中几何证明题 一． 1.如图，点E 是BC 中点，BAE CDE ，求证：AB CD 2.如图，在ABC 中，90BAC ，AB AC ，//CD BA ，点P 是BC 上一点，连结AP ，过点P 做PE AP 交 CD 于E . 探究PE 与PA 的数量关系.
3.如图，在ABC中，AB AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD CE，DE交BC于点P. 探究PE与PD的数量关系. 4.如图，在ABC中， 1 2 DBC ECB A，BD、CE交于点P. 探究BE与CD的数量关系.
5．如图，在EBC中，BD平分EBC，延长DE至点A，使得EA ED，且ABE C. 探究AB与CD的数量关系. C，AC BC，P为AB的中点，PE PF分别交AC、BC于E、F. 6.如图，在ABC中，90 探究PE、PF的数量关系.
7.如图，CB CD ，180ABC CDE ，AB DE . 探究：AF 与EF 之间的数量关系 8．如图，直线1l 、2l 相交于点A ，点B 、点C 分别在直线1l 、2l 上，AB k AC ，连结BC ，点D 是线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），作BDE BAC ，与ECF 的一边交于点E ，且ECF ABC . ⑴如图1，若1k ，且 90时，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并加以证明； ⑵如图2，若 1k ，时，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并加以证明.
二．倍长中线法： 11.如图，点E是BC中点，BAE CDE，求证：AB CD AC AE 13如图，在ABC中，CD AB，BAD BDA，AE是BD边的中线.求证：2 EG AD交CA延长线于E. 15.如图，在ABC中，AD平分BAC，G为BC的中点，// 求证：BF EC
初中教师转正必做100题 第一题：4第二题：5第三题：6第四题：7第五题：8第六题：9第七题：10第八题：11第九题：12第十题：13第十一题：14第十二题：15第十三题：16第十四题：17第十五题：18第十六题：19第十七题：20第十八题：21第十九题：22第二十题：23第二十一题：24第二十二题：25第二十三题：26第二十四题：27第二十五题：28第二十六题：29第二十七题：30第二十八题：31第二十九题：32第三十题：33第三十一题：34第三十二题：35第三十三题：36第三十四题：37第三十五题：38第三十六题：39第三十七题：40第三十八题：41第三十九题：42第四十题：43第四十一题：44第四十二题：45
第四十四题：47第四十五题：48第四十六题：49第四十七题：50第四十八题：51第四十九题：52第五十题：53第五十一题：54第五十二题：55第五十三题：56第五十四题：57第五十五题：58第五十六题：59第五十七题：60第五十八题：61第五十九题：62第六十题：63第六十一题：64第六十二题：65第六十三题：66第六十四题：67第六十五题：68第六十六题：69第六十七题：70第六十八题：71第六十九题：72第七十题：73第七十一题：74第七十二题：75第七十三题：76第七十四题：77第七十五题：78第七十六题：79第七十七题：80第七十八题：81第七十九题：82第八十题：83第八十一题：84第八十二题：85第八十三题：86第八十四题：87第八十五题：88第八十六题：89
第八十八题：91第八十九题：92第九十题：93第九十一题：94第九十二题：95第九十三题：96第九十四题：97第九十五题：98第九十六题：99第九十七题：100第九十八题：101第九十九题：102第一百题：103
初中数学几何题的答题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有(1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。)结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。 五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。 以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明的思路。对于证明题，有三种思考方式： (1)正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简
追及问题 姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。在妹妹出发20分钟后，姐姐出发去追妹妹。问：多少分钟后能追上？ 2.小张和小王，分别从甲乙两地出发步行，1小时30分后，小张走了甲乙两地距离的一半多1.5千米，此时与小王相遇。小王的速度是 3.7千米/小时，那么小张的速度是多少？ 3.甲乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲乙两车分别用10分钟、6分钟追上骑车人。已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是30千米/小时，问两车出发时相距多少千米？ 4.一支部队排成1.2千米队行军，在队尾的张明要与在最前面的营长联系，他用6分钟时间追上了营长。为了回到队尾，在追上营长的地方等待了18分钟。如果他从最前头跑步回到队尾，那么用多少时间？ 5.甲乙两车分别从两地同时相向开出。快车经过8小时到达乙地，慢车经过10小时到达甲地。 （1）相遇时，乙车行了360千米。求两地距离。 （2）相遇时，乙离目的地还有360千米。求两地距离。 （3）相遇时，乙比甲多行360千米。求两地距离。 （4）两车在离中点处360千米相遇，求两地距离。 （5）5分钟后两车又相距360千米。求两地距离。 6.家离图书馆4.8千米，弟弟从家出发以60米/分速度步行去图书馆。15分钟后，哥哥骑自行车从家出发去追赶弟弟，自行车的速度是240米/分。问： （1）哥哥在离家多远处追上弟弟？ （2）哥哥追上弟弟后不久到达图书馆，又马上折回，过不久与弟弟相遇，那么相遇处离图书馆多少千米？ 环行跑道问题
1.小张和小王各自以一定的速度在周长为500米的跑道上跑步。小王每分跑180米。 ①小张和小王同时从一个地点出发，反向而行，75秒钟后两人相遇，求小张的速度？ ②小张和小王同时从一个地点出发，沿同一方向跑步，经过多少分钟两人第一次相遇？ 2.在600米环行跑道上，兄妹两同时从同一起点都按逆时针跑，每隔12分两人相遇一次；若两人反向跑，则每隔4分两人相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 3.在300米长的环行跑道上，甲乙两人同时同向并排起跑，甲平均5米/秒，乙 4.4米/秒。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前多少米？ 4.甲乙两人环湖跑步，环湖一周长是400米，乙每分跑80米，甲速是甲速的1.25倍 ①现两人同时向前跑，乙在甲前方100米处，多少分钟后两人第一次相遇？ ②现两人同时向前跑，甲在乙前方100米处，多少分钟后两人第一次相遇？ 相遇问1、甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，甲车先开出2小时后，乙车才开出。乙车行几小时后与甲车相遇？ 2、一列火车于下午4时30分从甲站开出，每小时行120千米，经过1小时后，另一列火车以同样的速度从乙站开出，晚上9时30分两车相遇。甲乙两站铁路长多少千米？
第二题：证明四点共圆 (5) 第三题：证明角的倍数关系 (6) 第四题：证明线与圆相切 (7) 第五题：证明垂直 (8) 第六题：证明线段相等 (9) 第七题：证明线段为比例中项 (10) 第八题：证明垂直 (11) 第九题：证明线段相等 (12) 第十题：证明角平分 (13) 第十一题：证明垂直 (14) 第十二题：证明线段相等 (15) 第十三题：证明角相等 (16) 第十四题：证明中点 (17) 第十五题：证明线段的二次等式 (18) 第十六题：证明角平分 (19) 第十七题：证明中点 (20) 第十八题：证明角相等 (21) 第十九题：证明中点 (22) 第二十题：证明线段相等 (23) 第二十一题：证明垂直 (24) 第二十二题：证明角相等 (25) 第二十三题：证明四点共圆 (26) 第二十四题：证明两圆相切 (27) 第二十五题：证明线段相等 (28) 第二十六题：证明四条线段相等 (29) 第二十七题：证明线段比例等式 (30) 第二十八题：证明角的倍数关系 (31) 第二十九题：证明三线共点 (32) 第三十题：证明平行 (33) 第三十一题：证明线段相等 (34) 第三十二题：证明四点共圆 (35) 第三十三题：证明三角形相似 (36) 第三十四题：证明角相等 (37) 第三十五题：证明内心 (38) 第三十六题：证明角平分 (39) 第三十七题：证明垂直 (40) 第三十八题：证明面积等式 (41) 第三十九题：证明角平分 (42) 第四十题：证明角相等 (43) 第四十一题：证明中点 (44) 第四十二题：证明中点 (45) 第四十三题：证明角相等 (46) 第四十四题：证明垂直 (47)
平几综合问题 【例1】 在ABC ?中，AB AC =，其内切圆I 分别切三边于点,,D E F ，P 为弧EF （不含点D 的弧）上一点.设线段BP 交圆I 于另一点Q.直线EP,EQ 分别交直线BC 于点M,N.证明： （1）,,,P F B M 四点共圆； （2） EM BD EN BP = . N 【例2】 如图，在锐角△ABC 中，AB AC >，cos cos 1B C +=．E F 、分别是AB 、AC 延长线上的点，且90ABF ACE ∠=∠=?． ⑴求证：BE CF EF +=； ⑵设EBC ∠的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分BCF ∠．
【例3】 在三角形ABC 中，AB AC =，CAB ∠和ABC ∠的内角平分线分别与边BC 和CA 相交于点D 和E ．设K 是三角形ACD 的内心．若45BEK ∠=?，求CAB ∠所有可能的值． P F E C B A
【例4】（*）过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F．求证：CE EF ．
【例5】 在ABC △中，B C ∠≠∠，ABC △的内切圆I ⊙与BC CA AB ，，的切点分别为D E F ，，．记AD 与I ⊙的不同于点D 的交点为P ．过点P 作AD 的垂线交EF 于点Q ，X Y ，分别是AQ 与直线DE DF ，的交点．
求证：A 是线段XY 的中点． 【例6】 如图，C 为扇形AOB 的弧AB 上一点，在射线OC 上任取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ AP ∥交OC 于点Q ．证明：五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关． X Q D
第一题：证明角平分 已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。 求证：PCE PCD ∠=∠。 第二题：证明四点共圆 如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。 第三题：证明角的倍数关系 如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。 求证：ACD DPE ∠=∠2。 第四题：证明线与圆相切 已知：ABC ?中，?=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ?外接圆 第五题：证明垂直 已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。求证：AC PQ ⊥。 第六题：证明线段相等 已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。 第七题：证明线段为比例中项 已知ABC ?中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ?与ABC ?有相