3-2网孔电流法和回路电流法 一 网孔电流法
1网孔电流：是假想沿着电路中网孔边界流动的电流，如图3-2所示电路中闭合虚线所示的电流I m1、I m2、I m3。对于一个节点数为n 、支路数为b 的平面电路，其网孔数为(b ?n +1)个，网孔电流数也为(b ?n +1)个。网孔电流有两个特点： 独立性：网孔电流自动满足KCL ，而且相互独立。 完备性：电路中所有支路电流都可以用网孔电流表示。
图3-2 网孔电流
2网孔电流法：以网孔电流作为独立变量，根据KVL 列出关于网孔电流的电路方程，进行
求解的过程。 3建立方程步骤：
第一步，指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写KVL 方程的回路绕行方向。 第二步，根据KVL 列写关于网孔电流的电路方程。 ????
???=+--+--=----+-=---+-+0)()(0)()(0)()(33323641342152362221134421511m s m m s m m m m m m s m s m m s m m m I R U I I R U I I R I I R I I R U I R U I I R U I I R I R ????
???+=+++---=-+++--=--++43364326142362652154134251451)()()(s s m m m s m m m s s m m m U U I R R R I R I R U I R I R R R I R U U I R I R I R R R
??
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?
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413216436
466
525
4
5
541s s s s s m m m U U U U U I I I R R R R R R R R R R R R R R R
第三步，网孔电流方程的一般形式 ?????
?????=????????????????????3322
113213332
31
232221131211
s s s m m m U U U I I I R R R R R R R R R
+ _
U
U s3
3
3
式中，R ij （i =j ）称为自电阻，为第i 个网孔中各支路的电阻之和，值恒为正。
R ij （i ≠j ）称为互电阻，为第i 个与第j 个网孔之间公共支路的电阻之和，值可正可负；当相邻网孔电流在公共支路上流向一致时为正，不一致时为负。不含受控源的电路系数矩阵为对称阵。
sii
U
——为第i 个网孔中的等效电压源。其值为该网孔中各支路电压源电压值的代数和。当
电压源方向与绕行方向一致时取负，不一致时取正。 4电路中仅含电压源的网孔法
第一步, 选取各网孔电流绕行方向； 第二步, 利用直接观察法形成方程；
第三步, 求解。
5电路中含电流源时的网孔法
第一类情况：含实际电流源：作一次等效变换。
第二类情况：含理想电流源支路。 ①理想电流源位于边沿支路，如图3-3
图3-3
ａ：选取网孔电流绕行方向，其中含理想电流源支路的网孔电流为已知量 I m2＝－I S
ｂ：对不含有电流源支路的网孔根据直接观察法列方程 (R 1＋R 3)I m1－R 3I m2＝U S ｃ：求解。
②位于公共支路，如图3-4
ａ：选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压U 。 ｂ：利用直接观察法列方程
图3-4
0)()(2321222121=-++-=+-+U I R R I R U U I R I R R m m s m m
ｃ：添加约束方程：s m m I I I =-12
U s
U s
R 3
ｄ：求解。
6电路中含受控源时的网孔法（如图3-5）
图3-5
第一步，选取网孔电流方向；
第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；
I R R I R U I R I R R m m s m m -
=++-=-+2321222121)()(
第三步，再将控制量用未知量表示21m m I I I -= 第四步，整理求解。
0)()()(2321222121=-++-=-+m m s
m m I r R R I R r U I R I R R （注意：R 12≠R 21
）
可见，当电路中含受控源时，
ji
ij R R ≠
二 回路电流法
适用于含多个理想电流源支路的电路。
回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流。一个具有b 条支路和n 个节点的电路，其独立回路数为(b ?n +1)。以回路电流作为电路独立变量进行电路分析的方法称为回路电流法。
U s
例：电路如图3-6，求I ＝？ 图3-6
解 适当选取回路，使独立电流源支路只有一个回路电流流过
A I l 21=，A I l 32=，A I l 13=
于是只需对回路4列写回路电流方程
31553224321++=++--l l l l I I I I
∴A I l 2.34= 则 =I A I l 2.34=
+
3V
_
Ω
1
5V
i4 R1 u S5 R2R 3 R4R5 R6u S3 u S2 IⅠ i1 i2i3 i5 i6 IⅡI Ⅲ a 第二章网孔分析与节点分析 2.1 网孔分析法 采用KCL、KVL需要列写的方程往往太多，手工解算麻烦。能否使方程数减少呢？网孔法就是基于这种想法而提出的改进。 一、网孔分析法定义： 选平面电路的网孔的电流为未知变量列出并求解方程的方法称为网孔法(mesh analysis)。 二、网孔电流的概念 在每个网孔中假想有一个电流沿网孔边界环流一周，而各支路电流看作是由网孔电流合成的结果。网孔的巡行方向也是网孔电流的方向。 注意：网孔电流是一种假想的电流，实际电路中并不存在。引入网孔电流纯粹是为了分析电路方便。 三、网孔分析法方程的列写规律 如图电路，选网孔作独立回路，设定网孔电流IⅠ、IⅡ、IⅢ如图所示。各支路电路看成是由网孔电流合成得到的，可表示为 i1 = IⅠ， i2 = IⅡ， i3 = IⅢ， R4支路上有两个网孔电流IⅠ、IⅡ流经,且两 回路电流方向均与i4相反，故 i4 = - IⅠ- IⅡ R5支路上有两个网孔电流IⅠ、IⅢ流经，故 i5 = - IⅠ+ IⅢ R6支路上有两个网孔电流IⅡ、IⅢ流经，故 i6 = - IⅡ - IⅢ 对节点a列出KCL方程，有 i1 + i4 + i2 = IⅠ+ (- IⅠ- IⅡ) + IⅡ≡ 0 可见，网孔电流自动满足KCL方程。 利用KVL和OL 列出三个独立回路的KVL 回路Ⅰ R1i1–R5i5–u S5–R4i4 = 0 回路Ⅱ u S2+ R2i2–R6i6–R4i4 = 0 回路Ⅲ u S5 + R5i5 + u S3 + R3i3–R6i6 = 0 将支路电流用网孔电流表示，并代入上式得 (Ⅰ) R1 IⅠ–R5 (- IⅠ+ IⅢ)–u S5–R4 (- IⅠ- IⅡ) = 0 (Ⅱ) u S2 + R2 IⅡ - R6 (- IⅡ - IⅢ)–R4 (- IⅠ- IⅡ) = 0 (Ⅲ) u S5 + R5 (- IⅠ+ IⅢ) +u S3 + R3 IⅢ–R6 (- IⅡ - IⅢ) = 0 将上述方程整理得： 网孔(Ⅰ) (R1+R4+R5)IⅠ+ R4IⅡ–R5IⅢ = u S5 R11R12R13(∑U S)1
课题8：支路电流法、网孔电流法和节点电压法 课型：讲授 教学目的： （1）利用支路电流法求解复杂直流电路 （2）利用网孔电流法求解支路数目较多的电路。 （3）利用节点电压法求解节点较少而网孔较多的电路 重点、难点： 重点：支路电流法、网孔电流法、节点电压法求解复杂直流电路 难点：列方程过程中电压、电流参考方向及符号的确定。 教学分析： 本节主要还是在巩固基尔霍夫定律的基础上，利用实例分析支路电流法、网孔电流法、 节点电压法并将其用于实践案例中。 复习、提问： （1）节点的概念和判别？ （2）网孔的概念和判别？ 教学过程： 导入：求解复杂电路的方法有多种，我们可以根据不同电路特点，选用不同的方法去求解。其中最基本、最直观、手工求解最常用的就是支路电流法。 一、支路电流法 利用支路电流法解题的步骤： （1）任意标定各支路电流的参考方向和网孔绕行方向。 （2）用基尔霍夫电流定律列出节点电流方程。有n个节点，就可以列出n-1个独立电流方程。 （3）用基尔霍夫电压定律列出L=b-（n-1）个网孔方程。 说明：L指的是网孔数，b指是支路数，n指的是节点数。 （4）代入已知数据求解方程组，确定各支路电流及方向。 例1试用支路电流法求图1中的两台直流发电机并联电路中的负载电流I及每台发电机的输出电流I1、和I2。已知：R1=1Ω，R2=0.6Ω，R=24Ω，E1=130V，E2=117V。 解：（1）假设各支路电流的参考方向和网孔绕行方向如图示。
图1 （2）根据KCL，列节点电流方程 该电路有A、B两个节点，故只能列一个节点电流方程。对于节点A有： I1+I2=I ① （3）列网孔电压方程 该电路中共有二个网孔，分别对左、右两个网孔列电压方程： I1R1-I2R2+E2-E1=0 ②（沿回路循行方向的电压降之和为零，如果在 I R+I2R2-E2=0 ③该循行方向上电压升高则取负号） （4）联立方程①②③，代入已知条件，可得： -I1-I2+I=0 I1-0.6I2=130-117 0.6I2+24I=117 解得各支路电流为： I1=10A I2=-5A I=5A 从计算结果，可以看出发电机E1输出10A的电流，发电机E2输出-5A的电流，负载电流为5A。由此可以知道： 结论：两个电源并联时，并不都是向负载供给电流和功率的，当两电源的电动势相差较大时，就会发生某电源不但不输出功率，反而吸收功率成为负载。因此，在实际供电系统中，直流电源并联时，应使两电源的电动势相等，内阻应相近。 所以当具有并联电池的设备换电池的时候，要全部同时换新的，而不要一新一旧。 思考：若将例1中的电动势E2、I2极性互换，列出用支路电流法求解I、I1、和I2所需的方程。 从前面的例子可以看出：支路电流法就是通过联立n-1个节点电流方程，L个网孔电压方程（n为节点数，L为网孔数）。但所需方程的数量取决于需要解决的未知量的多少。原则上，要求B条支路电流就设B个未知数。那么有没有特例呢？
网孔电流法 网孔电流法是以网孔电流为未知量，利用基尔霍夫定律列写网孔的电压方程，求解网孔电流，在根据电路要求求出其他待求量。一般选取网孔的绕行方向为网孔电流的方向。根据图2.14所示电路及网孔绕行方向，列出网孔的电压方程为： 网孔1： 11313210m m m S R I R I R I U +--= 网孔2: 22323120m m m S R I R I R I U +-+= 整理可得： 131321()0m m S R R I R I U +--= 312322()0m m S R I R R I U -+++= 可进一步写成 11112211 21122222m m S m m S R I R I U R I R I U +=+= （2-6） 式（2-6）是具有两个网孔电路的网孔电流方程的一般形式。其中11R ,22R 分别代表两个网孔的自由电阻。自由电阻为网孔中所有电阻之和，这里1113R R R =+,2223R R R =+,由于网孔绕行方向与网孔电流参考方向一致，所以自由基总是为正的。12R 和21R 表示两个网孔的公共电阻，称为互电阻，当流过互电阻的两个网孔电流参考方向一致时，互电阻为正，相反时为负。这里的12213R R R ==-.11S U 和22S U 为网孔中理想电压源代数和。当网孔电流从理想电压源“+”端流出时，该理想电压源取正号，从“-”端流出时取负号。 2.5.2 网孔电流法的解题步骤 综上分析，采用网孔电流法解题步骤如下： (1) 标出各网孔电流的参考方向和网孔序号。 (2) 列写b-（n-1）个独立的网孔电流方程。 (3) 联立求解方程，求得各网孔电流。 (4) 根据支路电流的参考方向及支路电流与相关网孔电流的关系求各支路电流。
网孔（回路）电流法分析方法总结 摘要 网孔电流法在现代电路分析中是一种极为基础且重要的分析方法，所以学习网孔电流法对学习电路有着极其重要的意义。本文介绍了网孔电流法的一般分析方法和基本原理，给出了含有受控源和无伴电流源源的处理方法，并结合一部分实例，指出了网孔电流法的具体解法。 关键词 网孔电流法、回路电流法、应用实例。 正文 一、网孔电流法的原理 1、适用条件：在网孔电流法中，以网孔电流作为电流的独 立变量，仅适用于平面电路。 2、推理过程：以图1的电路图说明。图如下： 在R1与R2、R3之间的结点（设为结点①）处用结点电流法，有：-i1+i2+i3=0。可见i2不是独立的，它由另外两个量决定。我
们将图中所有电流归结为由两个网孔连续流动的假象电流，将它们分别称之为i m1和i m2.根据网孔电流和支路电流的参考方向的给定，可以得出其间的关系i1= i m1，i3= i m2，i2= i m1- i m2。 由于网孔电流已经体现了KCL制约方程。所以用网孔电流作为电路变量求解时只需列出KVL方程。由于每一个网孔是一个独立的回路，因而可以列出两个KVL方程，对应的有两个未知量i m1和i m2均可求出。这是网孔电流法。 对上图所示电路，先确定网孔电流的绕行方向，再逐段写出电阻及电源上的电压。列出KVL。 对于网孔1：R2（i m1-i m2）+V2-V1+R1i m1=0 对于网孔2：R3i m2+V3-V2+R2（i m1-i m2）=0 对上述2式整理可得： （R1+ R2）i m1- R2i m2= V1-V2 -R2i m1+ （R2+R3）i m2= V2-V3 可认为上式是对网孔电流为求解对象的网孔电流方程。现用R11和R22分别代表网孔1和网孔2的自阻，即分别为网孔1和网孔2所有电阻之和；用R12和R21表示网孔1和网孔2的互阻，即两个网孔共用的电阻，此例中有R12=R21= -R2。上式可写为：R11i m1+R12i m2= V1-V2 R21i m1+R22i m2= V2-V3 此形式即为网孔电流法的方程。 3、网孔电流的一般形式方程：设一个有m个网孔的平面电
实验二网孔电流和节点电压分析法仿真 一、实验目的 1．加深对网孔和节点分析法的理解； 2．熟练利用网孔和节点分析电路； 3．验证网孔电流法和节点电压法。 二、实验仪器及元器件 Windows7、Multisim10 三、实验内容 1. 实验原理 网孔电流分析法简称网孔电流法，是根据KVL定律，用网孔电流为未知量，列出各网孔回路电压（KVL）方程，并联立求解出网孔电流，再进一步求解出各支路电流以求解电路的方法。 节点电压（节点电位）是节点相对于参考点的电压降。对于具有n个节点的电路一定有n-1个独立节点的KCL方程。节点电压分析法是以节点电压为变量，列节点电流（KCL）方程求解电路的方法。 2. 实验步骤 （1）网孔电流分析法仿真实验 A．搭建仿真实验电路如图2-1所示，并设网孔电流I1、I2、I3在网孔中按顺时针方向流动。 图2-1 网孔电流法仿真实验电路 B.用网孔电流法列KVL方程，求解网孔电流。 C.在Multisim中，打开仿真开关，读出3个电流表的数据，记录并将测量值填入表2-1中，比较测量值和计算值，验证网孔电流分析法。
（2）节点电压分析法仿真实验 A．搭建仿真实验电路如图2-2所示。 图2-2 节点电压分析电路 B.用节点电压法求解流经电阻R3的电流。 C.在Multisim中，打开仿真开关，读出电压表和电流表的数据，记录并将测量值填入表2-2中，比较测量值和计算值，验证节点电压分析法。 表2-2 节点电压法实验数据与理论计算结果对比 （3）能力提升 对图2-3所示电路，分别用网孔电流法分析和实验测量各网孔电流（选顺时针方向），填入表2-3中，验证正确性。 表2-3 网孔电流法实验数据与理论计算结果对比 将以上所有实验结果整理、分析，写入实验报告。
3-1 如题3-1图所示电路，试用网孔法求电压u 1。 题3-1图 解 在各网孔中设网孔电流i 1，i 2，i 3，可列各网孔方程如下： 2i 1 – i 3 = 10 – 5 2i 2 – i 3 = 5 2i 3 – i 1 – i 2 = –2u 1 控制量u 1可表示为 u 1 = 1 ×i 2 代入以上方程组，可解得网孔电流i 2为 i 2 = 2.5A 故 u 1 = 2.5V 3-2 如题3-2图所示电路，用网孔分析法求电压u 。 题3-2图 解 由于该电路电流源和受控电流源均在非公共支路，故只要列一个网孔方程并辅之以补充方程即可求解。即 7i 3i S + 2 × (2u ) = 2 i Su
辅助关系（表示控制量）为 u = 2i 代入上式，可解得 i = 31A 故电压 u = 2i = 32V 3-3 对于题3-3图所示电路，试用网孔分析法求电流i 1和i 2。 题3-3图 解 由题3-3图，可列网孔方程： 5i 1 + u 1 = 30 （1） 2i 3 + u 2 - u 1 = -11 （2） 4i 2 - u 2 = 25 （3） 式（1）+式（2），消去u 1，得 5i 1 + 2i 3 + u 2 = 19 （4） 式（3）+式（4），消去u 2，得 5i 1 + 4i 2 + 2i 3 = 44 （5） 又由于 i 3 = i 1 - 4 i 2 = 1.5i 1 + i 3 = 1.5i 1 + i 1 - 4 代入式（5），得 i 1 = 4A i 2 = 6A
3-10 如题3-10图所示电路，试用网孔法求u1和u x。 题3-10图 解按题3-11图中所设，列网孔方程： + i3 + u x = 0 2i 2i2 + 2u1–u x = 0 3i3 + i1 + 2u1 = 0 又因 i2-i1 = 1 u1 = –2i3 解之 i1 = -2A i2 = -1A i3 = -2A 故 u1 = –2i3 = 4V u x = 2i2 + 2u1 = 6V
1．试列出求解网孔电流I 1、I 2、I 3所需的网孔方程式（只列方程，无需求解）。 Ω 100 解： ??? ??--=-+=-+=--+++60 120100)10010060200)400200120100200)200300100100(1312321I I I I I I I （ （ 2. 图示电路，试用网孔法求U 3。 解： 2 3434323211144046202631m m m m m m m m m m i u i i i i i i i i A i =-=+-=-+-=-+-= 3.用网孔法求图中的电压U 。 解：网孔电流如图所示。 1I 2 I + _ 1 U
2 12121121242I U I I U I U I ==-=-= 4.试用网孔法求如图所示电路中的电压U 。（只列方程，不求解） 解： 123 2010840I I I --=- 1231024420I I I -+-=- 123842020I I I --== 38I = 5．列出求解图示电路结点1、2、3的电压所需的结点电压方程式（只列方程，无需求解）。 解： U + —
??????? ? ?--=-+=-+=S S S S I R U U R U R R I U R U R R U U 4111341 12 23 22 11)11 1)11 （（ 6．试用结点电压法求如图所示电路中的电流I 。（只列方程，无需求解） U 3 解：结点电压方程如下： 8 2408121)8 1812142081101)8 1 411012 4021101)211011013 2 133123 21U I U U U U U U U U U =?????????- =--++= --++=--++又有（（（ 7．试列出为求解图示电路中U 1、U 2、U 3所需的结点电压方程式（只列方程，无需求解）。 3 解：
第三章网孔分析法和节点分析 科学家研究世界 工程师创造崭新世界 西奥多?冯?卡曼 (Theodore von Karman) 美籍匈牙利力学家,近代力学奠基人之一。
第三章网孔分析法和结点分析法 3－1 网孔分析法(重点） 3－2 结点分析法（重点） 3－3 含受控源的电路分析（重点）3－4 回路分析法和割集分析法 3－5 计算机分析电路实例 3－6 树支电压与连支电流法
§3－1 网孔分析法(重点) 本章介绍利用独立电流或 独立电压作变量来建立电路方 程的分析方法，可以减少联立 求解方程的数目，适合于求解 稍微复杂一点的线性电阻电 路，是求解线性电阻电路最常 用的分析方法。
网孔方程：用网孔电流作变量建立的电路方程。 求解网孔方程得到网孔电流后，用 KCL 方程可求出全部支路电流，再用VCR 方程可求出全部支路电压。 一、网孔电流 设想电流i 1、i 2和i 3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。
为何提出网孔电流作为求解变量？是因为网孔电流具有如下令人感兴趣的特点： （1）完备性——网孔电流一旦求 出，各支路电流就被唯一确定。 （2）独立性——网孔电流自动满足KCL 。 这一特点的意义在于：求解i 1、i 2、i 3时，不必再列写KCL 方程，只需列出三个网孔的KVL 方程。 因而可用较少的方程求出网孔电流。
二 ﹑网孔方程 ?? ? ? ? =++?=?++=?++0003S 4466332S 6655221S 445511u i R i R i R u i R i R i R u i R i R i R 将以下各式代入上式，消去i 4、 i 5和i 6后可以得到： 3 26215314 i i i i i i i i i ?=+=+=网孔方程?? ? ? ? ++??+++=+++3S 314326332S 326215221S 31421511)()()()()()(i i R i i i i R i i R u i i i i R i R 1S 34251541)(u i R i R i R R R =++++S236265215)(u i R i R R R i R =?+++3S 36432614)(u i R R R i R i R ?=+++?以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL 方程分别为： ﹑
网孔电流法 一、网孔电流方程 出发点 进一步减少方程数，用未知的网孔电流代替未知的支路电流来建立方程。 图3.3-1所示电路，共有n=4个节点，b=6条支路（把电压源和电阻串联的电路看成一条支路）。显然，独立的网孔数为b－n＋1=3个。 1、网孔电流 设想每个网孔中有一个假想的电流沿着构成该网孔的各条支路循环流动，把这一假想的电流称为网孔电流（mesh current），如图3.3-1中的分别表示网孔a、b、c的网孔电流。电路中各支路电流就可以用网孔电流表示 结论：用3个网孔电流表示了6个支路电流。进一步减少了方程数。 2、网孔电流方程 根据KVL，可得图3.3-1电路的网孔电流方程
网孔电流方程的一般形式 自电阻×本网孔电流±Σ（互电阻×相邻网孔电流）= 本网孔中沿网孔电流方向的所有电压源的电位升之和 自电阻（self resistance）是各网孔中所有支路电阻之和，互电阻（mutual resistance）是两个相邻网孔之间的共有电阻。第二项前的正负号由相邻网孔电流与本网孔电流在互电阻上流过的方向是否一致来决定，若一致取正号；反之取负号。 网孔电流法分析电路的一般步骤 确定电路中的网孔数，并设定各网孔电流的符号及方向。按常规，网孔电流都取顺时针或逆时针方向。列写网孔电流方程，并求解方程，求得各网孔电流。由求得的网孔电流，再求其他的电路变量，如支路电流、电压等。 例3.3-1 图3.3-1所示电路中，已知 us1=21V，us2=14V，us3=6V，us4=us5=2V，R1=3Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，R5=6Ω，R6 =2Ω，求各支路电流。 解：1. 电路的网孔为3个。设定3个网孔电流的符号及方向如图3.3-1所示。 2．列写网孔方程 网孔a： 网孔b： 网孔c： 代入参数，并整理，得 解得网孔电流为： 3．由网孔电流求各支路电流 2、全欧姆定律 只有一个网孔的电路，称为单回路电路（single loop circuit）。对于单回路电路，有全欧姆定律。 全欧姆定律：对于单回路电路，回路电流i等于沿回路电流方向的所有电压源的电压升的代
3-2网孔电流法和回路电流法 一 网孔电流法 1网孔电流：是假想沿着电路中网孔边界流动的电流，如图3-2所示电路中闭合虚线所示的电流I m1、I m2、I m3。对于一个节点数为n 、支路数为b 的平面电路，其网孔数为(b ?n +1)个，网孔电流数也为(b ?n +1)个。网孔电流有两个特点： 独立性：网孔电流自动满足KCL ，而且相互独立。 完备性：电路中所有支路电流都可以用网孔电流表示。 图3-2 网孔电流 2网孔电流法：以网孔电流作为独立变量，根据KVL 列出关于网孔电流的电路方程，进行 求解的过程。 3建立方程步骤： 第一步，指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写KVL 方程的回路绕行方向。 第二步，根据KVL 列写关于网孔电流的电路方程。 ???? ???=+--+--=----+-=---+-+0)()(0)()(0)()(33323641342152362221134421511m s m m s m m m m m m s m s m m s m m m I R U I I R U I I R I I R I I R U I R U I I R U I I R I R ???? ???+=+++---=-+++--=--++43364326142362652154134251451)()()(s s m m m s m m m s s m m m U U I R R R I R I R U I R I R R R I R U U I R I R I R R R ?? ? ???????+--=?????????????????? ? ?++---++---++432 413216436 466 525 4 5 541s s s s s m m m U U U U U I I I R R R R R R R R R R R R R R R 第三步，网孔电流方程的一般形式 ????? ?????=????????????????????3322 113213332 31 232221131211 s s s m m m U U U I I I R R R R R R R R R + _ U U s3 3 3
运用节点法和网孔法进行电路分析 众所周知，运用基尔霍夫定律和欧姆定律，我们可以对任何一个电路进行分析，以确定其运行条件（电流和电压值）。一般电路分析的难点在于用最少的联立方程描述电路的运行特性。 在这一讲里，我们将介绍两种非常有效的可用于对任意电路进行分析的方法：节点法和网孔法。这些方法是建立在对基尔霍夫定律的系统应用基础上的，我们将通过图1的例子电路来说明求解的步骤。 图1 一个典型的电阻电路 节点法 电压被定义为两点之间的电势差。当我们讨论一个电路中某个确定节点的电压时，这就意味着我们已经设定了一个参考点。通常这个参考点被定义为地。 节点法或节点电压法，是一种建立在KCL、KVL和欧姆定律基础之上的一种非常有效的电路分析法。运用节点电压法分析一个电路的步骤如下： 1.清楚地标注所有电路参数，并确定未知参数和已知参数。 2.确定电路中的所有节点。 3.选择一个节点作为参考节点，也可以叫做地，并把这个点的电势赋值为0。电路中其他 所有节点的电压都以参考节点作为参考。 4.标出其他所有节点的电压值。 5.赋值并标出极性。 6.在每个节点运用KCL定律，并用节点电压表示支路电流。 7.列出节点电压方程，并算出结果。
8. 得到各节点电压值后，可由欧姆定律确定各支路电流值。 我们利用图1的电路来示范节点法的求解过程。 图2 所显示的是第一步和第二步的执行。图中已经标注了电路中的所有的元件并确定了电路中所有的相关节点。 图二 标记了节点的电路 第三步要在这些确定了的节点当中选择一个作为参考节点。我们可以有四种不同选择。原则上，这些节点中的任意一个都可以被选为参考节点。然而，有些节点比其他一些节点更有用。所谓有用的节点就是那些能够使问题更容易地被理解和解决的节点。我们需要记住一些通用的指导方针，以用于参考节点的选择。 1. 一个有用的参考节点应与最多数量的元件相连。 2. 一个有用的参考节点应与最多数量的电压源相连。 如我们的电路中，以节点作为参考节点的选择是最佳选择。（同样地，我们也可以选择节点作为参考节点。）下一步要标记所选节点的电压。如图3所示的标记了节点电压的电路。参考节点的电压赋值为0，用接地符号显示。剩余节点电压标记为，，。 4n 1n 1v 2v 3v
第二章电阻电路§2-3 网孔电流法
本章前面几节是利用等效变换,将电路简化成单回路电路,然后求出未知的电压和电流。这些方法对简单电路很适合，但对于复杂电路，则用到下面两节要介绍的线性电路的一般分析方法。主要讲述网孔电流法以及节点电压法，在讲述这两种方法之前，先了解网络分析法的概念。
一、网络分析法的概念 网络分析法就是采用直接列写电路方程来分析线性电路的方法。所以应用网络分析法首先必须选定电路的待求量（变量），这些变量可以是支路电流、支路电压、网孔电流、节点电压等。然后根据KCL、KVL以及各元件的伏安特性建立网络方程，方程数应与变量数相同。最后求解联立方程组，从而得出所求变量的值。 列写网络方程最基本的方法是支路电流法，这种方法就是以支路电流为变量来列写方程，电路中有b条支路，就设b 个支路电流变量，同时列写b个独立方程，求解该方程组，得到b个支路电流值。以下例来简单说明支路法的特点。
【例2-10】用支路法分析图2-23电路的支路电流I 1、I 2、I 3。 ?????=+=-+-=-+321 32310 82040882I I I I I I I 解A I 7 81-=A I 7 172=A I 7 93=
二、网孔电流法（一）网孔电流的概念
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用超网孔分析法列、解含无伴电流源电路方程 机电学院 刘祖云 张汉飞 摘要：从探讨电路网孔的画法出发，对电路的网孔进行了扩展定义，提出了超网孔的概念。运用超网孔分析无伴电流源电路简单易行，可以用观察法直接列出电路方程，而无需列约束方程或重新绘制电路图等，并使电路方程数量减少，求解方便。 关键词：网孔、超网孔、无伴电流源、电路分析、电路方程 在电路分析中，网孔电流法因其列方程简单、列出的行列式具有对称性深受学生的喜爱。但是当两网孔中间出现一个或多个无伴恒流源时，其网孔方程变得不太明了，不能用观察的方法直接列出；回路电流法对回路的选择具有灵活性，可以任意列出任何电路的KVL 方程，但由于列出的电路方程组一般不具备对称性，出错后不方便查找错误，因此一般不太受学生欢迎。 1、 网孔分析法中无伴电流源的处理办法 采用“电流源支路单相关”法。我们知道，一条支路最多可以和两个网孔相关联，也可以只和一个网孔相关联。这种一条支路只作为一个网孔边界的情况称为“单相关”。和网孔单相关的支路显然都是电路最外沿的支路，每一单相关支路中流过的是与它关联的网孔电流。这就意味着，如果一个理想电流源支路是单相关支路，则它所在网孔的电流便是已知的，于是该网孔的方程就不需列写，这样便减少了方程的数目。这种方法称为“电流源支路单相关”法。如果理想电流源支路在电路中是两个网孔的公共支路，则往往能通过用改画电路图的方法将双相关的恒流源改画成单相关恒流源。 (a) (b) (c) 图1 例如，图1(a)所示电路，由于无伴电流源Is 在网孔im1和im2的中间，是两个网孔的公共支路，我 们可以将电路图进行重新绘制。画成图1(b)的形式，本来是双相关的恒流源Is 在图1(b)中变成了单相关恒流源，根据图1(b)所设定的网孔电流用观察法可列出网孔方程如下： (R2+R3+R5)Im1 －R5Im2 －R2Im3=0 －R5Im1+(R1+R5+R4) Im2－ R1Im3=E1 Im3=Is 解以上二元一次方程即可解出Im1和Im2。 将图1(b)中的网孔电流重新画到图1(a)上就可以得到图1(c)，通过图1(c)我们可以看到： (1)、图1(a)的外沿原本是一个网孔，要使用该网孔列方程时其绕行方向必须与内部网孔绕行方向相反；同理包含多个已知无伴恒流源的网孔原本也是一个网孔；与这相反单网孔也可以变成超级网孔。 (2)、将已知的无伴恒流源仅使用一次而将与之相关的网孔空出即可认为该无伴恒流源为单相关恒流源； (3)、各支路电流是该支路的两相邻网孔电流的代数和。与没设置网孔电流相邻的网孔为单相关网孔，其支路电流为相关的网孔电流。 R 4 c c R3R4 d
网孔电流法 班级：电自1001 学号：05号 主讲人：争哥
课程回顾 对于有n 个结点、b 条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b 个。只要列出b 个独立的电路方程，便可以求解这b 个变量。 1. 支路电流法 2. 独立方程的列写 以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。 ①从电路的n 个结点中任意选择n -1个结点列写KCL 方程 ②选择基本回路列写b-(n-1)个KVL 方程。
（1）支路电流法的一般步骤： ①标定各支路电流（电压）的参考方向；②选定(n –1)个结点，列写其KCL 方程；③选定b –(n –1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合KVL 和支路方程列写； ④求解上述方程，得到b 个支路电流；⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。 ∑∑=k k k S u i R
（2）支路电流法的特点： 支路法列写的是KCL 和KVL 方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。 例1求各支路电流及各电压源发出的功率。 12解①n –1=1个KCL 方程： 结点a ：–I 1–I 2+I 3=0 ②b –( n –1)=2个KVL 方程： 11I 2+7I 3=67I 1–11I 2=70-6=64∑U =∑U S 70V 6V 7Ωb a +–+– I 1I 3I 27Ω11Ω
●线性电路的一般分析方法 ?普遍性：对任何线性电路都适用。 ?系统性：计算方法有规律可循。 ●方法的基础 ?电路的连接关系—KCL，KVL定律。 ?元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。
4. 计算题 4.1 节点和网孔分析 4.1.1 图示电路中, 欲使支路电压之比 U U 12 2 =，试确定电流源I S 之值。 解：用节点电压法： ) 32) 22 1)4 12 1() 12 162 1)2 13121(2 2 3 2 33 2U U U I U U U U S =-=- + = -++ 解以上方程组得：A I S 84-= （- 84 / 11） 4.1.2 用网孔分析法分析下图所示电路。 1）用观察法直接列出网孔方程，并求解得到网孔电流i 1和i 2。 2）计算6Ω电阻吸收的功率。 解：1）用网孔法列方程： ) 220 10i 6)64() 15212+-=-+=i A i 解方程组得： A A i 5i 421== 2）6欧电阻上的电流为： A i 1i 21-=- 6欧电阻上的功率为：6W P =
4.1.3 列出图示电路的结点方程，计算出三个结点电压（图中r = 1Ω）。 解：用结点电压法： ) 45 i )34 )2i ) 14 53)53(132 32 32 1- =-=-==--+U U U U U U U U 解方程组得：1V 5V 2V 32 1-=-=-=U U U 4.1.4 用网孔分析法计算图示电路中的网孔电流1i 和2i 。 4A 4Ω 1 解：用网孔法列方程： ) 210 34i )231(2) 11042)22(2121=?+++++-=++i i i 解方程组得： A A i 5i 121=-= 4.1.5 电路如图所示，其中r ＝12Ω。1）计算R L 为何值时，电压u 等于5V 。 2）计算R L 为何值时，电压u 等于10V 。