解析几何大题专项训练
由于解析几何大题重点考察直线与圆锥曲线的几何性质和交叉知识的综合应用，涉及的内容丰富，易于纵横联系，对于考察学生的数学素质，综合解答问题的能力和继续学习能力有着重要的作用。同时，解析几何大题又是学生的一大难点，经常是入题容易，出来难。因此加大解析几何大题的专题训练很有必要。
例1、山东07年(21)（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;
(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.
例2、湖北（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线2
2x py =（0p >）相交于
A B ，两点．
（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；
（II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
例3、（本小题满分13分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12
e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P . （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于12A A 、，如果
以线段12A A 为直径作圆，试
判断点P 与圆的位置关系，并说明理
由；
（Ⅲ）是否存在实数m ，使得
△12PF F 的边长是连续的自然
数，若存在，求出这样的实
x
数m ；若不存在，请说明理由．
例4、（小题满分14分）
如图，与抛物线x 2
=－4y 相切于点A （－4，－4）的直线l 分别交x 轴、y 轴于点F 、
E ，过点E 作y 轴的垂线l 0.
（I ）若以l 0为一条准线，中心在坐标原点的椭圆恰与直线l 也相切，切点为T ，求椭圆
的方程及点T 的坐标；
（II ）若直线l 与双曲线6x 2－λy 2
=8的两个交点为M 、N ，且点A 为线段MN 的中点，又
过点E 的直线与该双曲线的两支分别交于P 、Q 两点，记
|
|FE 在x 轴正方向上的
投影为p ，且（]3
8,34[,)2
∈=?m m p OQ OP ，求（I ）中切点T 到直线PQ 的距离的最小值.
例5、（本小题满分14分） 已知椭圆C 过点)0,2(),2
6
,
1(-F M 是椭圆的左焦点，P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；
（3）设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB|的最小值及相应点P 的坐标。
例1【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 22
1.43
x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214
3y kx m
x y =+??
?+=??得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，
解析几何专项训练 班级 学号 成绩 （一）填空题 1、若直线m my x m y mx 21=++=+与平行，则m =_-1____． 2、若直线2+=kx y 与抛物线x y 42 =仅有一个公共点，则实数=k 1 ,02 3、若直线l 的一个法向量为()2,1n =，则直线l 的倾斜角为 arctan2π- （用反三角函数值表示） 4、已知抛物线2 0x my +=上的点到定点(0,4)和到定直线4y =-的距离相等，则 m = -16 5、已知圆C 过双曲线 116 92 2=-y x 的一个顶点和一个焦点，且圆心C 在此双曲线上，则圆心C 到双曲线中心的距离是 16 3 6、已知直线1l ：210x y +-=，另一条直线的一个方向向量为(1,3)d =，则直线1l 与2l 的夹角是 4 π 7、已知直线:0l ax by c ++=与圆1:2 2 =+y x O 相交于A 、B 两点，3||=AB ， 则OA ·OB = 12 - 8、若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得线段的长为22，则 直线m 的倾斜角是 0015,75 . 9、若经过点(0,2)P 且以()1,d a =为方向向量的直线l 与双曲线132 2 =-y x 相交于 不同两点A 、B ，则实数a 的取值围是 2215,3a a <≠ . 10、（理科）设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线
C 绕坐标原点逆时针旋转 45，则此时曲线C 的方程为__22 142 y x +=___________． 11、等腰ABC ?中，顶点为,A 且一腰上的中线长为3,则 三角形ABC 的面积的最大值 2 12、如图，已知OAP ?的面积为S ，1OA AP ?=． 设||(2)OA c c =≥，3 4 S c =，并且以O 为中心、A 为焦点的椭 圆经过点P ．当||OP 取得最小值时，则此椭圆的方程为 22 1106 x y += . （二）选择题 13、“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的（ B ）条件 （A ）充要；（B ）充分不必要；（C ）必要不充分；（D ）既不充分也不必要 14、如果i +2是关于x 的实系数方程02 =++n mx x 的一个根，则圆锥曲线 12 2=+n y m x 的焦点坐标是（ D ）(A))0,1(±； (B))1,0(±； (C))0,3(± ；(D))3, 0(± 15、已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上， 方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( B ) (A) 方程'C 表示的曲线不存在； (B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆； (D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。 16、若双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线22 2222222 :1(0,0)x y C a b a b -=>>的 焦点相同，且12a a >给出下列四个结论：①2222 1221a a b b -=-； ②1221 a b a b >； ③双曲线1C 与双曲线2C 一定没有公共点； ④2121b b a a +>+；其中所有正确的结论 序号是（ B ）A. ①② B, ①③ C. ②③ D. ①④ y P x o A
21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何 1.〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕 设椭圆2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.PF F F = 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e ； 〔Ⅱ〕设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，假设直线PF 2 与圆 22(1)(16x y ++-=相 交于M ，N 两点，且 5 |||| 8 MN AB =，求椭圆的方程。 【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。 〔Ⅰ〕解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得 2 210,1 c c c a a a ?? +-==- ???得〔舍〕 或11,.22 c e a ==所以 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知 2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方 程为).y x c =- A ，B 两点的坐标满足方程组 222 3412,). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2580x cx -=。解 得 1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ?=?=??? ??=??? =?? 不妨设 85A c ?? ? ??? ， (0,)B ， 所以 16||.5AB c ==
圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。
例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k
例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。
2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P 是圆2 2 (3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3 x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0 时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧 长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与 直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．1 2 - B ．1 C ．2 D ． 12 【答案】C
4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆2 2 1x y +=相切于第一象限的 直线方程是（ ） A ．0x y += B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．0x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<< ).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是_________. 【答案】2 2325 (2) ()24 x y -++= 9 ．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点(,)P x y 的坐标x ,y 均为整数, 则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形,对应的1S =,0N =,4L =. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,其中a ,b ,c 为常数. 若某格点多边 形对应的71N =,18L =, 则S =__________(用数值作答).
解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的
浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->
2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．
解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥， 且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d
和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 【2017，5】已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ） A ． 13 B ．12 C ．23 D ．32 【解法】选D ．由2 2 2 4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2 2 13 y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13 3(21)22 ??-=，选D ． 【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22 13x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120° ，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U 【解法】选A ． 图 1 图 2 解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，03 tan tan 6032AEB a b m ∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan tan 60323 AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只
需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 3 4 解析：选B ． 由等面积法可得 1112224bc a b ?=???，故1 2 c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为 22 11612 x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |= 05 4 x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015 44 x x + =，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ． 26 C ．2 5 D ．1 解：2c e a ====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11PA 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线2:C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?= ，求BDK ?的面积。． 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值．
高考文科数学真题分类汇编:解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＝2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 20．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 21．[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22 . (1)求该椭圆的标准方程． (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 图1-5 H2 两直线的位置关系与点到直线的距离 18．[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43 . (1)求新桥BC 的长． (2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 图1-6
解析几何大题专项训练 1 由于解析几何大题重点考察直线与圆锥曲线的几何性质和交叉知识的综合 2 应用，涉及的内容丰富，易于纵横联系，对于考察学生的数学素质，综合解答 3 问题的能力和继续学习能力有着重要的作用。同时，解析几何大题又是学生的 4 一大难点，经常是入题容易，出来难。因此加大解析几何大题的专题训练很有 5 必要。 6 例1、山东07年(21)（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点, 7 焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. 8 (I)求椭圆C 的标准方程; 9 (II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以10 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 11 12 13 例2、湖北（本小题满分12分） 14 在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）15 相交于A B ，两点． 16 （I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值； 17 （II ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长18 恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由． 19
20 21 22 例3、（本小题满分13分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴 23 交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12 e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴 24 上方的一个交点为P . 25 （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程； 26 （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ，与抛物线1C 交于 27 12A A 、，如果 28 以线段12A A 为直径作圆，试判断点P 与圆的位置关系，并说明理由； 29 （Ⅲ）是否存在实数m ，使得△12PF F 的边长是连续的自然数，若存在，30 求出这样的实数m ；若不存在，31 请说明理由． 32 33 34 例4、（小题满分14分） 35