第一讲数学解题思维策略
——高考数学代数推理题
一、数学解题的思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动．
在高考试卷中，有一类问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法接轨，这就是代数推理题．这类问题立意新颖，抽象程度高，是数学问题的典型代表．具体说来，其思维过程一般分为三步：首先要领会题意（审题）——弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，则把它翻译成数学语言；其次要明确方向——在审题的基础上，运用所学知识和数学思想方法，明确解题目标与方向；最后要规范表述——采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确地表述．
在这里，第一步是关键，这就是我们通常说的审题．
二、如何审题？
1、理清题意
审题，就是明确题目的已知和未知，是解题的第一步，这一步不要怕慢．从近年高考命题的特点来看，试卷容量有减少的趋向，目的也就是要突出对考生的能力检查，增加思考量，倡导多给考生一点思考和探索的时间．
其实，题目本身就是“怎样解这道题”的信息源，所以审题一定要逐字逐句看清楚，可以从语法结构、逻辑关系和数学含义三方面来理清题意．
2、条件启发解题手段，结论诱导解题方向
解题实践表明，条件往往预示可知并启发解题手段，结论则预告需知并诱导解题方向．可以按照条件列出所有的解题手段表解，根据结论写出可能的解题方向，并寻找出它们之间的联系，这样做的另一个好处是，可以将题目进行分解，避免失分．
3、挖掘隐蔽条件
对于条件，一定要用足用够．解题过程中的关键之处，往往是题目未明显写
出的，即隐蔽给予的．一方面，解题时如果遇到“盲点”，可以回过头来分析是否用足用够条件；另一方面，也只有细致的审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这也说明，审题一定不要怕慢．
〖例1〗（2005年成都一诊22题）对于函数f (x )，若存在0x ∈R ，使00
()f x x =成立，则称0x 为函数f (x )的不动点．已知2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．
⑴若对b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；
⑵在⑴的条件下，若y =f (x )的图像上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 两点关于直线2(44)y kx a a =+-+对称，求b 的最小值．
〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出．
前提条件→解题手段：信息迁移（数学含义）→三个“二次”结合（数形结合）；
子条件→解题手段：①隐蔽条件；②对称性（数形结合）→垂直、中点（点差法）．
〔结论分析〕两个结论． 结论一→解题方向：不等关系；
结论二→解题方向：利用单调性求最值． 练习：
1、设b x a x x f ++=1log 2)(log 2)(222，已知2
1
=x 时，f (x )的最小值是8-． ⑴求b a -；
⑵求在⑴的条件下，f (x )>0的解集A ；
⑶设集合},2
1
|||{R x t x x B ∈≤-=，且?=?B A ，求实数t 的取值范围．
答案：⑴4a b -=；⑵x x A <=0|{ }281> 8521≤≤-≤t t 或． 2、定义在R 上的函数f (x )满足：如果对于任意12,x x ∈R ，都有 12121 ( )[()()]22 x x f f x f x +≤+，则称函数f (x )是R 上的凹函数．已知二次函数2()(,0)f x ax x a a =+∈≠R ． ⑴求证：当0a >时，函数f (x )是凹函数； ⑵如果[0,1],|()|1x f x ∈≤，试求实数a 的取值范围． 答案：⑴略；⑵实数a 的取值范围为[2,0)-． 三、若干具体的解题策略 为了使解题的目标和方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些具体的解题策略．一切解题的策略的基本出发点在于变换，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的．基于这样的认识，常用的解题策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化和间接化等策略． 1、熟悉化策略 熟悉化策略，就是将陌生的题目变为曾经解过的比较熟悉的题目，进而利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题．可以在分清题目条件和结论的基础上，通过变换题目的条件、结论及其联系上下功夫． ⑴联想回忆基本知识和题型 通过联想回忆，找出现有问题和熟悉问题之间的相似之处和相同的知识点，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有问题． ⑵全方位、多角度分析题意 全方位分析题意，即把题目的所有条件都要分析透，并找到各条件间以及条件和结论间的联系，从中找出熟悉的解题手段；多角度分析题意，就是要善于从不同的侧面、不同的角度去认识，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，找到自己熟悉的解题方向． ⑶恰当构造辅助元素 通过构造辅助元素，如构造数列、构造图形或几何量、构造等价性命题等，改变题目的形式，变陌生题为熟悉题． 〖例2〗（2003年成都一诊20题）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，p 为非零常数，满足条件： ①a 1=1；②S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )；③2 3 lim = ∞ →n n S ． ⑴求证：数列{a n }是等比数列； ⑵求数列{a n }的通项公式； ⑶若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和n n b b b T +++= 21． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件分项列出． 子条件①、②→联想回忆：a n =S n – S n – 1(2≥n )； 子条件③→联想回忆：等比数列前n 项和的极限值存在，则公比q 的绝对值小于1． 〔结论分析〕三个结论． 结论一→根据定义证明； 结论二→求出公比； 结论三→联想回忆：数列{b n }的通项是等差、等比数列的通项积，可用错位相减法求前n 项和． 〔解题评析〕⑴证明：∵ S n =4a n +S n – 1– pa n – 1(2≥n )， ∴ a n =S n – S n – 1=4a n – pa n – 1， （点评：应用a n =S n – S n – 1(2≥n )．） 3a n =pa n – 1． ∵ 0≠p 且a 1=1， ∴ )2(01≥≠-n a n ， ∴ )(31常数p a a n n =-，故数列{a n }是首项a 1=1，公比3 p q =的等比数列． （点评：应说明)2(01≥≠-n a n ．） ⑵解：∵ 2 3 lim =∞→n n S ， ∴ 23 3 11|3|01=-< （点评：应用无穷递缩等比数列前n 项和的极限．） ∴ p =1，3 1 =q ． ∴ 数列{a n }的通项为1)3 1 (-=n n a ． ⑶解：13 -==n n n n na b ， ∴ 12213 33321-++++=+++=n n n n b b b T ……① n n n n n T 33133323131132+-++++=- ……② ① – ②，得 n n n n T 3 31313113212-++++=- n n n 33 11)31(1---= n n n )31(2) 31( 31?--=- n n n )3 1 ()31(21231?-?-=-． （点评：使用错位相减法求数列前n 项和．） ∴ n n n n T )31 (23)31(43491--=-． 练习： 1、数列{a n }的前n 项和记作为S n ，已知n n n S a )2 1 (1+=-． ⑴写出{a n }的通项公式，并证明； ⑵对于给出的正整数k ，当n >k 时，A S a k n k n n =--+∞→1 lim ，且)001.0,1.0(--∈A ， 求k 值． 答案：⑴)1(21 ≥= +n n a n n ；⑵k =2, 3, 4． 2、一计算装置有一数据入口A 和一个运算结果的出口B ．将自然数列 {}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到数列{}n a ．结果表明：①从A 口 输入n =1时，从B 口得到11 3 a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结 果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}(1)n n ≥中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}(1)n n ≥中的第n +1个奇数． ⑴从A 口分别输入2和3时，从B 口分别得到什么数？ ⑵猜测并证明当入口A 输入自然数列{}(1)n n ≥时，从B 口得到的数列{}n a 的通项公式； ⑶为满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B 口出来的数据n a 依次进入C 口进行调整，结果为一列数据{}n b ．若1 ()n n b pn q a = +，则非零常数p 、q 满足什么关系式，才能使C 口所得数列{}n b 为等差数列？ 答案：⑴ 115和1 35 ；⑵1(21)(21)n a n n =-+；⑶2p q =±． 3、一个正三棱锥，其侧棱长为1，且三条侧棱两两垂直，求该三棱锥的外 接球的表面积． 答案：π3． 2、简单化策略 简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法将其转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题． 简单化是熟悉化的补充和发挥．一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉．因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已．解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有：寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等． ⑴寻求中间环节，挖掘隐含条件 就多数结构复杂的题目的生成背景而论，大多是由一些简单题目经适当组合并抽去中间环节而构成的．因此，应尽可能从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，以实现复杂问题简单化． ⑵分类考察讨论 某些题目，其解题的复杂性在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形．对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化． ⑶简化已知条件，恰当分解结论 如果解题的复杂性来自于条件或结论的抽象概括，可以考虑将条件进行简单化处理，或尝试把结论分解为几个简单的部分，以便各个击破，解出原题． 〖例3〗已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足 )10(2log ≠>=?a a a y n x n 且，设183=y ，126=y ． ⑴求数列}{n y 的前多少项和最大，最大值为多少？ ⑵试判断是否存在自然数M ，使当n >M 时，1>n x 恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由； ⑶令),13(log 1N n n x a n x n n ∈>=+，试判断数列}{n a 的增减性． 〔条件分析〕三个条件． 第一个条件→解题手段：等比数列； 第二个条件→解题手段：两个数列间的关系→等比数列的对数； 第三个条件→解题手段：第二个数列具体化． 〔结论分析〕三个结论，皆属探索性命题． 结论一→最值探索； 结论二→有界性探索； 结论三→单调性探索． 〔解题关键〕数列是定义在正整数集上的函数． 〔解题评析〕（I ）设等比数列}{n x 的公比为)1(≠q q ，则 n a x n x a y n log 2log 2 == ． ∵ q x x x x y y a n n a n a n a n n log 2log 2)log (log 21 11==-=-+++， ∴ 数列}{n y 为等差数列，设公差为d ． （点评：挖掘隐含条件——数列}{n y 为等差数列．） ∵ 183=y ，126=y ， ∴ 23 3 6-=-=y y d ， n n y y n 224)2()3(3-=-?-+=． 设数列}{n y 前k 项和最大，则???≤≤?≤≥+121100 1k y y k k ， ∴ 前11项和及前12项和为最大，其和为132． （II ）N n a x n n ∈=-,12． 若1>n x ，即112>-n a ， 当a >1时，n <12，不等式不成立； 当012，不等式成立． （点评：分类考察讨论．） ∴ 存在 ,14,13,12=M ，当n >M 时，1>n x 恒成立． （III ）12 11 log log log log 12)1(12) 1(12112--= ===-+-+-+-n n a a a x a n a n a n a n x n n n ． ∵ )13(0) 12)(11(1 121111101><---=-----= -+n n n n n n n a a n n ， ∴ n >13时，数列}{n a 为递减数列． 练习： 1、若函数)2 0(2385cos sin 2π ≤≤-++=x a x a x y 的最大值为1，求a 的值． 答案：2 3 =a ． 2、已知0c >．设P ：函数x y c =在R 上单调递减；Q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，试求c 的取值范围． 答案：1 (0,][1,)2 c ∈?+∞． 3、设函数2()f x ax bx c =++，对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤，求证：对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤． 3、直观化策略 直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象、不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所涉及的各对象之间的联系，从而找到原题的解题思路． ⑴图表直观 有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了因难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底. 对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，将有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索． ⑵图形直观 对某些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，计算量偏大．这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，以拓宽解题思路，找到简捷、合理的解题途径． ⑶图象直观 不少涉及数量关系的题目，都与函数的图象密切相关．如果灵活运用函数图象的直观性，常常可以以简驭繁，获得简便、巧妙的解法． 〖例4〗某摩托车生产企业，上半年生产摩托车的投入成本1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0 年销售量投入成本出厂价?-=)(． ⑴写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加比例x 的关系式； ⑵为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 〔试题分析〕列表如下： 〔解题评析〕⑴依题意和上表数据有 )10()6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+?+?-+?=x x x x y ， 整理得 )10(200 20602<<++-=x x x y ． （点评：布列关系式时，不仅要紧扣题意，还要注意自变量x 的取值范围，特别是应用题的定义域必须同时满足解析式有意义和实际问题有意义，只有准确写出定义域方可避免解答过程的失误或答案的失误．） ⑵要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 ???<<>?--.10,01000)12.1(x y 将y 的关系式代入，解不等式组得3 10< 〖例5〗设|z |=1，且)23,2(arg ππ∈z ，求i z i z +-arg 的值． 〔试题分析〕利用复平面，将复数与点及向量对应，以便展开几何上的定形分析． 〔解题评析〕设z 、i 、– i 在复平面上对应的点分别为P 、A 、B ． ∵ )23,2(arg π π∈z ， ∴ P 点在左半单位圆上，如图，→ --AP 、→ --BP 分别表示对应复数z – i 、z +i ． 由复数除法的几何意义知，i z i z +-arg 表示→--BP 逆时针方 向旋转到→ --AP 方向的最小正角， 又∵ AB 是圆的直径，故2 arg π =+-i z i z ． （点评：本题可利用复数z 的三角形式或共轭复数的性质求解，但如果调整思维视角，由“数”的方向转到“形”的角度去观察，就可简捷地解答此题．） 〖例6〗方程x +lg x =3和x +10x =3的两实根分别为x 1、x 2，则x 1+x 2=________． 〔解题评析〕 3 ． 由 x +lg x =3，得lg x =3 – x ．由x +10x =3，得10x =3 – x ． 分别作出y =lg x ，y =10x 及y =3 – x 的图象，并注意y =lg x 与y =10x 互为反函数，直线y =x 与y =3 – x 互相垂直，可知x 1+x 2=2x M ，如图． 由???-==,3,x y x y 得)23 ,23(M ， ∴ x 1+x 2=2x M =3． （点评：看似无法求解的问题通过图象分析找到了巧妙的解法．） 4、特殊化策略 特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，可以考虑是否满足一些特殊的条件，或考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以从特殊问题的研究中，发现解答原题的方向或途径． 〖例7〗设二次函数),()(2R c b c bx x x f ∈++=，对任意实数α、β，恒有 0)(sin ≥αf ，且0)cos 2(≤+βf ． ⑴求证1-=+c b ； ⑵求证3≥c ； ⑶若)(sin αf 的最大值为8，求b 、c 的值． 〔试题分析〕注意到1sin 1≤≤-α及3cos 21≤+≤β，实施特殊化策略（赋值法）可解． 〔解题评析〕⑴∵ 1sin 1≤≤-α，且0)(sin ≥αf ， ∴ 0)1(≥f ． 又∵ 3cos 21≤+≤β，且0)cos 2(≤+βf ， ∴ 0)1(≤f ． （点评：特殊化策略．） ∴ 0)1(=f ，即 1+b +c =0． （点评：赋值法．） ∴ 1-=+c b ． ⑵∵ 0)3(≤f ，即 039≤++c b ， 由（I ），1-=+c b ， ∴ 3≥c ． （点评：注意利用⑴的结论．） ⑶c c f +--+=αααsin )1(sin )(sin 2 2 2)2 1()21(sin c c c +-++-=α． ∵ 3≥c ，221≥+c ，)(sin αf 的最大值为8， ∴ 当1sin -=α时，8)(sin =αf ，即81=+-c b ． （点评：配方定轴看单调．） 解方程组???-=+=+-.1,81c b c b 得4-=b ，c =3． 练习： 1、设函数f (x )是定义在R 上的增函数，f (1)=a (a >0)，且R m mx f x f m ∈=),()]([，求f (x )并证明a >1． 答案：x a x f =)(． 2、已知函数定义域为R ，对于任意实数12,x x 都满足1212()()()f x x f x f x +=+，当0x >时，()0f x >． ⑴判断f (x )的奇偶性和单调性； ⑵当[0,]2 π θ∈时，(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->对所有的θ均成立，求 实数m 的取值范围． 答案：⑴略；⑵(4)θ∈-+∞． 3、在ABC ?中，若222c a b =+，则ABC ?为直角三角形，且C 为直角． 现在请你研究：若(2,)n n n c a b n n =+>∈N ，则ABC ?为何种形状的三角形？ 答案：锐角三角形． 5、一般化策略 一般化策略，就是当我们面临的是一道计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，应设法把特殊问题一般化，从而找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，以顺利解出原题． 〖例8〗（2002理）已知函数2 21)(x x x f +=，那么1 (1)(2)()(3)2 f f f f ++++ 11 ()(4)()34 f f f ++=________． 练习： 1、已知函数23123(),n n f x a x a x a x a x n +=++++∈N ，且12,, ,n a a a 构成一 个数列{}n a ，满足2(1)f n =． ⑴求数列{}n a 的通项公式，并求1 lim n n n a a →∞+之值； ⑵证明1 0()13 f <<． 答案：⑴21n a n =-，1 lim 1n n n a a →∞+=；⑵略． 2、已知椭圆2 2 2(0)2 y x a a +=>和点(1,1)A -，(2,4)B ．若线段AB 与椭圆没有公共点，求实数a 的取值范围． 答案：(0, )2 a ∈?+∞． 6、简接化策略 间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，就需要改变思维视角，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题. 所谓正难则反，说的也就是这个意思． 〖例9〗函数bx a x f 2 11 )(?+=的定义域为R ，且)(0)(lim N n n f n ∈=-∞→． ⑴求证：a >0，b <0； ⑵若54)1(=f 且21)0(=f ,求证：)(21 21)()2()1(1N n n n f f f n ∈-+>++++ ． 〔解题评析〕⑴∵ f (x )的定义域为R ， ∴ 021≠?+bx a ，即bx a --≠2， 由R x ∈，有0≥a ． （点评：定义域优先．） 若a =0，则f (x )=1，与0)(lim =-∞ →n f n 矛盾． （点评：正难则反．） ∴ a >0， ∴ ?????>=+<<=?+=-----∞→∞ →)12(0 )12(11 )120(1211 lim )(lim b b b bn n n a a n f （点评：分类讨论．） ∴ 12>-b ，即b <0． 故a >0，b <0． ⑵∵ 2 1 11)0(=+=a f ， ∴ a =1． 又54 211)1(=+= b f ， ∴ 4 1 2=b ，2-=b ． （点评：待定系数法．） ∴ x x x x x f 411 1414211)(2+-=+=+=-． 当N k ∈时，k k k f 2 21 14111)(?->+- =， （点评：一般化策略．） ∴ )221 221221( )()2()1(2n n n f f f ?++?+?->+++ 21212 11) 211(411-+=---=+n n n n ． 练习： 1、若二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一点m ，使()0f m >，求实数p 的取值范围． 答案：3 (3,)2 p ∈-． 2 ，求总体落入区间( 1.2,0.2)-之间的概率（参考数据：(0.2)0.5793φ=， (1.2)0.8849φ=）． 答案：0.4642． 3、盒子里装有若干个球，每个球都记有从1开始的一个号码，设号码为n 的球重 2 515 3 n n -+（克）．假设盒子的容量最多可装35个球，而且符合条件的球 无一例外的都被装入盒中，这些球以等可能性（不受重量、号码的影响）从盒子里取出． ⑴如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率； ⑵如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率． 答案：⑴28 35 ；⑵ 4 595 ． 四、寻根查祖，提高数学解题能力 可以通过以下探索途径来提高解题能力： 1、研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考．因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解． 2、清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的． 3、深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要在图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现． 4、尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目． 5、仔细考虑题意是否有其他不同理解．题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？ 6、认真研究题目提出的目标．通过目标找出哪些定理、法则、公式同题目或其他元素有联系． 7、如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开． 以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点．在制定计划寻求解法阶段，可以利用下面这套探索方法： 1、设法将题目与你会解的某一类题联系起来．或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法． 2、记住：题的目标是寻求解答的主要方向．在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题． 3、解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较．用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整． 4、尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解．再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代． 5、分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大对条件的理解． 6、尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解． 7、研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响． 8、改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”． 9、万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或参考书中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示． 〖例1〗（2005年成都一诊19题）已知函数f (x )的图像与函数321 ()23 h x x x =++的图像关于点(0,1)A 对称． ⑴求f (x )的解析式； ⑵若()()g x f x ax =+，且()g x 在(,)-∞+∞上为增函数，求实数a 的取值范围． 〔条件分析〕条件呈包含关系，子条件在结论二中列出． 前提条件→解题手段：对称性（数形结合）→中点坐标； 子条件→解题手段：①三次函数；②单调性→导数（二次函数）→手段一：分离系数（大于最大的，小于最小的）；手段二：三个“二次”结合（数形结合）． 〔结论分析〕两个结论． 结论一→解题方向：求轨迹方程的一般方法； 结论二→解题方向：不等关系． 〔解题评析〕⑴设(,)P x y 为()f x 图像上任一点，则点P 关于点A 的对称点为(,2)Q x y --，由已知条件知点Q 在h (x )的图像上． ∴ 3212()()23y x x -=-+-+，即321 3y x x =-． ∴ 321 ()3 f x x x =-． （点评：函数与方程的关系．） ⑵∵ 321 ()()3g x f x ax x x ax =+=-+， ∴ 2()2g x x x a '=-+． ∵ ()g x 在R 上为增函数， ∴ 220x x a -+≥在R 上恒成立． 只需22a x x ≥-+恒成立，即只需2max (2)1a x x ≥-+=即可． ∴ a 的取值范围是[1,)+∞．精品文档，欢迎下载使用！ 浅谈小学生数学思维能力的培养 摘要：思维是人脑对客观事物的一般特殊性和规律性的一种间接的、概括的反映过程。学生的良好思维能力是他们获取新知识、进行创造性学习和发展智力的核心。数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。学习数学的本质，是数学思维活动的过程。国内外一系列研究表明：在学生学习数学的一切能力之中，思维能力居于核心地位。所以，培养学生思维能力，是数学教学中一项非常重要的任务。 关键词：思维数学思维培养 在小学数学教学中,提高学生学习数学的兴趣,培养良好的学习习惯,培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和解决简单实际问题的能力是实施素质教育重要前提条件。真正做到授人以渔而不是授人以鱼,为学生将来的学习奠定基础。 新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三纬一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中，通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现学习方式的转变，发展学生搜集信息、处理信息、获取新知、分析解决问题、合作交流的能力。那么，教师怎样通过明理启发、诱导，培养学生的思维能力，就此谈谈一些教学体会。 一、激发小学生的学习兴趣，引发数学思维。 大教育家赞科夫说:“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维,培养学生的思维灵活性和创造性。”大家都说:“兴趣是最好的老师。”这些都是站在自身的立场上来阐明思维与兴趣的重要性,这是把思维与兴趣分开来看。如果把思维和兴趣这两者结合起来,将会达到更加完美的效果。 随着教育教学改革的深入发展,在数学教学中如何有目的、有计划、有步骤地培养学生的思维能力,是每一个数学教师十分关心的问题。教师应吃透教材,把握教材中的智力因素,积极地进行教学。数学教学中激发学生的学习兴趣是非常重要的环节之一。从心理学角度看,如何抓住学生的某些心理特征,对教学将起到一个巨大的推动作用。兴趣的培养就是一个重要的方面,兴趣能激发大脑组织,有利于发现新事物和事物的新要素,并进行积极探索创造。兴趣是学生学习的最佳营养和催化剂。学生对学习有兴趣,对学习材料的反映也就最清晰。思维活动是最积极有效的,它能使学习达到事半功倍的效果。那么，怎样激发学生的数学思维兴趣，调动数学思维的积极性呢？ １、利用演示、操作。演示可把图由静变动，能更好吸引学生的注意，起到直观的效果；操作是一种辅助的教学手段，恰当运用直观操作，师生互动，让学生运用多种感官参与学习。这样，既提高了学生学习数学兴趣，又增强了思维能力。 ２、保护好小学生的学习好奇心。好奇心是对所发生的新异事物感到惊奇，引发疑问，进行探究的心理倾问，它也能激发学生强烈的求知欲和浓厚的学习兴趣，有助于点燃思维的火花。 3、克服以教师思维代替学生思维、教师讲、问牵着学生听、答的教学现象。要为学生留出足够的思维活动的空间，让学生利用自己的学习方式，在已有的生活经验和认知结构的基础上，自己动手、动脑、动口，在活动探究中发挥创造性，进行自主的建构。 4、考虑到学生现有心理水平，按照维果茨基的最近发展区原理，为学生创造一定问题情境，是引发学生思维活动的外部环境因素。古人云：“学起于思，思源于疑”。有疑才能引发学生的求知欲，才能使他们处于积极主动的状态。在教学时通过谈话、设问、提问、实 二、《解密数学思维的内核》 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）、充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）、全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己 初中数学解题的几种思路 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： 1.从理解题意中提取有用的信息，如数式特点，图形结构特征等; 2.从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式，定理，基本模式等; 3.将上述两组信息进行有效重组，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。 数学的表达，有3种方式： 1.文字语言，即用汉字表达的内容; 2.图形语言，如几何的图形，函数的图象; 3.符号语言，即用数学符号表达的内容，比如AB∥CD。 在初中学段中，不仅要学好数学知识，同时也要注意数学思想方法的学习，掌握好思想和方法，对数学的学习将会起到事半功倍的良好效果。其中整体与分类、类比与联想、转化与化归和数形结合等不仅仅是学好数学的重要思想，同时对您今后的生活也必将起重要的作用。 先来看转化思想： 我们知道任何事物都在不断的运动，也就是转化和变化。 在生活中，为了解决一个具体问题，不论它有多复杂，我们都会把它简单化，熟悉化以后再去解决。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为 熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 如方程的学习中，一元一次方程是学习方程的基础，那么在学习二元一次方程组时，可以通过加减消元和代入消元这样的手段把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决，转化(加减和代入)是手段，消元是目的;在学习一元二次方程时，可以通过因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，在这里，转化(分解因式)是手段，降次是目的。把未知转化为已知，把复杂转化为简 单。同样，三元一次方程组可以通过加减和代入转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。在几何学习中，三角形是基础，可能通过连对角线等作辅助线的方法把多边形转化为多个三角形进行问题的解决。 所以，在数学学习和生活中都要注意转化思想的运用，解决问题，转化是关键。 例说数学解题的思维过程 陕西师范大学数学系 罗增儒 在数学教学中暴露思维过程早就引起了人们的关注。暴露概念的形成过程，暴露命题的 发现过程，暴露证明的探究过程等，包括暴露这些过程中犯错误的真实活动，但是，这种暴 露大多停留在可见事实的陈述上，而内在思维性质的细致揭示不多，也常常进行到思路初步 打通、结论初步得出时就停了下来。本文想从解题分析的角度提供一个简单例子，展示内在 的思维过程，并在证明得出之后仍继续进行下去。先给出题目： 两直线被第三条直线所截，外错角相等，则两直线平行。 1.浮现数学表象 通过认真阅读，我们接收到题目所提供的信息，首先在脑子里出现了一个图形(几何型 表象)，与这个图形相伴随的是一个问题(代数型表象)：由数量关系去确定位置关系。 在问题的牵引下，思维的齿轮开始启动，有3 个展开的起点。 (1)由图形表象，我们回想起“三线八角”基本图形，回想起与此图形有关的命题，如 两直线被第三条直线所截，有： 1）同位角相等?两直线平行； 2）内错角相等?两直线平行。 …… 这些命题的附图，在我们脑海里逐幅浮现出来。 (2)由条件∠1= ∠2(数量关系)所唤起的问题有： 1）由角的相等关系能得出什么? 2）图1 中有与∠1 相等的角吗? 3) 图1 中有与∠2 相等的角吗? …… 一开始，“由条件能推出什么”是一道开放性问题，我们不知道该往哪些地方推进，但 随着对结论思考的深化，会慢慢明朗起来。 (3) 由结论AB∥CD(位置关系)所唤起的问题有：得出直线平行需要什么条件?题目提供 了这样的条件没有？如果不是直接提供，那么间接提供没有？ …… 由此激活了记忆储存中的相关知识，并又激活更多的记忆储存(扩散)： 1) 同位角(内错角)相等，则两直线平行；进而问 2) 什么是同位角(内错角)？图1 中有同位角(内错角)吗?有相等的同位角(内错角)吗? 3) 己知条件的相等角能导出“同位角(内错角)相等”吗？ …… 这是表象的一个有序深化的过程。 2.产生数学直感 上述三方面的思考，促使我们更专注于图形，图中有3 条直线，8 个角，8 条射线，1 条 线段，其中哪些信息对于我们解题是有用的，哪些是多余的呢？(这相当于一道条件过剩、 结论发散的开放题)当然，一开始我们并不清楚，但是目标意识驱使我们去考虑角的关系, 因为课本中两条直线平行的判定均与角有关，而已知条件又给出了等角。所以，我们的思考 逐渐集中到：从图形中找同位角(或内错角)，找相等的角，找相等的同位角(或内错角)。 这时，伴随着问题的需要，图1 被分解出一系列的部分图形(图2 中实线图)，并凸现在 我们的眼前： 图2 浅谈高中数学思维能力的培养 ——从一道高考试题谈起 福州市第十五中学代勇内容摘要：数学在培养和提高人的思维能力方面有着其它学科不可替代的独特作用，数学高考坚持的能力立意很好的体现了这一点。因此在数学教学中一定要下大气力来抓思维能力的培养，让学生在学习数学的过程中能迸发出更多的数学灵感。 关键词：数学思维能力、抽象概括能力、逻辑推理能力、选择判断能力、数学探索能力。 数学在培养和提高人的思维能力方面有着其它学科不可替代的独特作用，数学高考坚持的能力立意很好的体现了这一点。在整个高中数学，加上学生已有对数学的一些认识，牵涉到的概念、定理是不计其数的，不在理解的基础上，加以灵活应用，学生学的只是一些“死”的知识。有些学生只是记住一些题目，想想老师以前似曾这么讲过，这些都不能很好的学好数学，只要注重数学思维能力的培养，才能建立良好的学习态度，培养对数学的浓厚的兴趣，这才是学好数学的有效途径，那么，数学的思维能力，包括什么内容呢？在数学学习中可以直接培养的几种能力有：抽象概括能力、逻辑推理能力、选择判断能力和数学探索能力。现在的许多高考试题，一方面是老师认为出得好，出得妙，试题容易入手，运算量相应减小，另一方面却是老师教出来的学生认为出得难，出得怪，不知如何切题，有力使不上。如2005年高考数学试题（福建卷）选择题第12题:f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2) = 0，则方程f(x) = 0在区间(0 , 6)内解的 个数的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2.高考中经常会出现一些平时学习、训练不曾出现的新面孔试题，学生不能采用“把问题放到严密的数学体系中，将思维重点放到如何剖去具体问题的外部伪装，将其中的数学本质挖掘出来，找到解决问题的关键”的作法。而想的更多是如何套上以往见过的哪一类题型，想来想去想不出，以致想到没有时间为止。因此在数学教学中一定要下大气力来抓思维能力的培养，让学生在学习数学的过程中能迸发出更多的数学灵感。（一）抽象概括能力 数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，由特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力，把本质的与非本质的东西区分开来的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。在数学抽象概括能力方面，不同数学能力的学生有不同的差异。具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时，明显表现出使数学材料形式化，能迅速地完成抽象概括的任务，同时具有概括的欲望，乐意地、积极主动地进行概括工作。抽象概括能力是学习数学的基础，我们必须把握概念的本质，从而能够应用概念去解决问题，例如，求两个集合的交集，同学应该知道，交集是两个集合元素共同部分组成的一个集合，那么有针对性地应用这个概念去寻找两个集会的公共部分，问题就解决了，有些同学之所以不能区分，交集、并集的概念，就在于不注重对概念的理解，以致做很多的题目，也只能是事倍而功半了。 数学教学中如何培养学生的抽象概括能力呢？我认为从以下几方面入手： 1.教学中将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来，概括 高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 高考数学解题思维能力是怎样练成的 纵观近几年高考数学试题，可以看出高考数学试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高考数学解题思维能力怎样练成的 第一，从求解(证)入手——寻找解题途径的基本方法遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔路众多，顺推下去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所求，必须要做什么，找到"需知"后，将"需知"作为新的问题，直到与"已知"所能获得的"可知"相沟通，将问题解决。事实上，在不等式证明中采用的"分析法"就是这种思维的充分体现，我们将这种思维称为"逆向思维"——必要性思维。 第二，数学式子变形——完成解题过程的关键解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一道数学综合题，要想完成从已知到结论的过程，必须经过大量的数学式子变形，而这些变形仅靠大量的做题过程是无法真正完全掌握的，很多考生都有这样的经历，在解一道复杂的考题时，做不下去了，而回过头来再看一看答案，才恍然大悟，解法这么简单，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢? 其实数学解题的每一步推理和运算，实质都是转换(变形).但是，转换(变形)的目的是更好更快的解题，所以变形的方向必定是化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，也就是创造条件向有利于解题的方向转化.还 必须注意的是，一切转换必须是等价的，否则解答将出现错误。 解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的 桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。寻找差异是变形依赖的原则，变形中一些规律性的东西需要总结。在后面的几章中我们列举的一些思维定势，就是在数学思想指导下总结出来的。在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单，这也就是转化，数学式子变形的思维方式：时刻关注所求与已知的差异。 第三、回归课本---夯实基础。 1)揭示规律----掌握解题方法高考试题再难也逃不了课本揭示的思维 方法及规律。我们说回归课本，不是简单的梳理知识点。课本中定理，公式推证的过程就蕴含着重要的方法，而很多考生没有充分暴露思维过程，没有发觉其内在思维的规律就去解题，而希望通过题海战术去"悟"出某些道理，结果是题海没少泡，却总也不见成效，最终只能留在理解的肤浅，仅会机械的模仿，思维水平低的地方。因此我们要侧重基本概念，基本理论的剖析，达到以不变应万变。 2)构建网络----融会贯通在课本函数这章里，有很多重要结论，许多学生由于理解不深入，只靠死记硬背,最后造成记忆不牢，考试时失分。 例如： 若f(x+a)=f(b-x)则f(x)关于对称。如何理解?我们令x1=a+x,x2=b-x,则f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常数，即两自变量之和是定值，它们对应的函数值相等，这样就理解了对称的本质。结合解析几何中的中点坐标的横坐标为定值，或用特殊函数，二次函数的图像，记忆这个结论就很简单了， 浅谈幼儿数学思维能力的培养 数学是一门创造性和应用性都很强的学科，21世纪需要开拓型、创造型的人才，创造性人才培养的一个重要方面就是对幼儿创造性思维的培养。创造性思维是创造力的核心，是人们完成创造性活动的基础。教育能促进幼儿创造力的发展，数学教育不仅能发展幼儿的逻辑思维，还可以培养其创造思维。通过数学领域中开展各种创造性的活动，发展幼儿思维的灵活性、变通性、独特性、培养幼儿探索发现的积极性，从而开发幼儿的创造潜能力。 为此，我在各种数学教育途径中渗透创造教育的精神与做法，在实践中探索促进创造力发展的教法。在幼儿数学活动中培养幼儿的创造性思维能力。 一、培养孩子的独立学习能力 （一）营造家庭和谐氛围，让孩子在宽松环境中成长 家庭是孩子接受第一教育的基础，构建和谐家庭是一个系统工程，包括家庭的方方面面。家长的生活态度、生活方式以及所受的教育程度等因素控制和主导着家庭成员的情感行为，他们的喜怒哀乐，会在家 庭中表现和宣泄，如果家长没有足够的宽容接纳态度，这种消极情绪就会转嫁给孩子。因此，家长的一种从容不迫的气度，谦抑的态度，便能从内心传导出一种饱和的力量，并将这种力量传递到孩子的心里，也就是人在自然状态中的一种和谐，在这样的状态下，才能触及到孩子学习能力的根部，并加以培养。 （二）潜移默化培养孩子的学习兴趣，让兴趣成为习惯 一个人的兴趣可以是自然发生的，但更多的时候是靠培养获得的，在孩子的日常生活中家长潜移默化给予孩子的积极的影响。培养孩子读书的兴趣并最终养成读书的习惯，让读书成为孩子终生受益，永远都喜欢并乐于做的事。 （三）充分利用社会资源，孩子无意中获取知识 有条件的家庭可以常带孩子去书店或图书馆，并且把它安排在日常生活的例事日程中，只要能坚持下去，孩子就会好学、会学、能学，自主学习的能力就会自然形成。有效利用网络资源可培养孩子自主学习能力。 二、幼儿数学兴趣的培养是创造性思维能力的关键 兴趣是学习的重要动力，兴趣也是创造性思维能 初中数学解题方法与思路_答题技巧 初中数学解题方法与思路 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： 1.从理解题意中提取有用的信息，如数式特点，图形结构特征等； 2.从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式，定理，基本模式等； 3.将上述两组信息进行有效重组，使之成为一个合乎逻辑的和谐结构。 数学的表达，有3种方式： 1.文字语言，即用汉字表达的内容； 2.图形语言，如几何的图形，函数的图象； 3.符号语言，即用数学符号表达的内容，比如AB∥CD。 在初中学段中，不仅要学好数学知识，同时也要注意数学思想方法的学习，掌握好思想和方法，对数学的学习将会起到事半功倍的良好效果。其中整体与分类、类比与联想、转化与化归和数形结合等不仅仅是学好数学的重要思想，同时对您今后的生活也必将起重要的作用。 先来看转化思想： 我们知道任何事物都在不断的运动，也就是转化和变化。在生活中，为了解决一个具体问题，不论它有多复杂，我们都会把它简单化，熟悉化以后再去解决。体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。 如方程的学习中，一元一次方程是学习方程的基础，那么在学习二元一次方程组时，可以通过加减消元和代入消元这样的手段把二元一次方程组转化为一元一次方程来解决，转化(加减和代入)是手段，消元是目的；在学习一元二次方程时，可以通过因式分解把一元二次方程转化为两个一元一次方程，在这里，转化(分解因式)是手段，降次是目的。把未知转化为已知，把复杂转化为简单。同样，三元一次方程组可以通过加减和代入转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程。在几何学习中，三角形是基础，可能通过连对角线等作辅助线的方法把多边形转化为多个三角形进行问题的解决。 高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段 理解问题是解题思维活动的开始 第二阶段 转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段 计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段 反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。（三）恰当构造辅助元素： 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命 浅谈学生数学思维能力的培养 教育家赞可夫指出：“在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维，培养学生的思维的灵活性和创造性”。在数学教学过程中，教师要特别重视和发展学生的好奇心，让每一个学生养成想问题、问问题、挖问题和延伸问题的习惯。让所有的学生都知道自己有权力和能力提出新见解、发现新问题。这一点对学生的发展很重要，它有利于学生克服迷信和盲从，树立起科学的思想和方法，有利于学生形成良好的学习品质。 一、善于运用启发法和发现法，启发学生思维的积极性 如教学义务教育十一册教材中“圆的认识”一课时，教师首先要学生拿出一张圆形纸片，让他们将圆纸片对折打开，再对折再打开，如此多次，让学生观察在圆纸片上看到了什么？学生精力陡然集中，都想看看圆纸片上有什么？一生发现：圆纸片上有折痕。另一生又发现：圆纸片上有无数条折痕。老师表扬两生观察仔细。其它学生倍受鼓舞，纷纷发言：圆面上所有折痕相交于一点；折痕两旁的图形完全重合。这时，老师让学生打开课本，看一看交点叫什么？折痕叫什么？学生很快找到了答案并熟记。要学习在同一圆中直径和半径的关系了，老师让学生拿出尺子量一量，自己手中的圆纸片和同学手中的圆纸片的直径和半径，启发学生又发现了什么？学生很快得出结论。要画圆了，老师还是不讲画法，让学生先去画，满足他们操作圆规的好奇心，让学生自己去发现画圆的方法和步骤。整节课，学生的思维都处于兴奋状态之中，人人有动手操作、用眼观察、动口说理、动脑思维的机会，学生自己观察发现问题，积极探索得出结论，教学效果好。 二、精心设计教学内容，培养学生的求异思维 对于小学生来说，既要注意培养他们不盲从，喜欢质疑，打破框框，大胆发表自己意见的品质，又要培养他们敢于求“异”，发展他们的求异思维，进而养成独立思考独立解决问题的习惯。 如，一位教师教学“乘法意义”的运用一课时，她出示了这样一道加法题：9＋9＋9＋5＋9＝？让学生用简便方法计算。于是一个学生提出了9×4＋5的方法，而另一个学生则提出了“新方案”，建议用9×5－4的方法解。这个学生的思维有创见，这个方案是他自己发现的。在他的思维活动中，他“看见了”一个实际并不存在的9，他假设在5的位置上是一个9，那么就可以把题目先假设为9×5。接着他的思维又参与了论证：9－4才是原题中的实际存在的5。对于这种在别人看不到的问题中发现问题和提出问题，这种创造性思维的闪现，教师要加倍珍惜和爱护。 三、利用一题多解，培养学生的“立体思维”模式 如，义务教育十二册教材中的这样一道应用题：“一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时。驶出时顺风，每小时行30千米。驶回时逆风，每小时行驶的路程是顺风时的 5 4。这艘轮船最多驶出多远就应往回驶了？”老师要求学生用几种方法解答，并说出解题思路。 初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时也考查考生对题目中所涉及到数学公式的掌握的熟练程度，后者考查考生对重要的数学概念、定理和性质等数学基础知识的理解和熟练程度。当然这两类填空题也是互相渗透的，对于具体知识的理解和熟练程度 思想方法一、函数与方程思想 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 数学问题解决的思维过程 摘要: 数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。这里所指的“问题”不是指那些与课本例题同类型的常规习题,而是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。这些问题不能直接套用现成公式获得解决,而要调动所学知识系统,运用一定的思维策略,通过一定的思维过程逐步指向问题目标,使问题在探究中获解。 关键词:缕析问题;求解方案;问题解答;解题过程 数学问题的解决是一个复杂而连续的心理活动过程,其一般思维过程是:缕析问题信息→确定求解方案→实施问题解答→反思解题过程,下面以实例加以分析。 一、缕析问题信息 1.理清数学问题信息。数学问题作为一种有待加工的信息系统,它主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提供的条件信息和目标信息。 对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整,特别是对那些综合性强、关系复杂的问题,要注意发现问题中的隐性信息,充分挖掘有用的信息,这对问题解决的顺利实施具有重要的意义。例如,在问题“大数和小数的差是80.1,小数的小数点向右移一位,刚好与大数相等。大数和小数各是多少”中,大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息没给出,而隐藏在“小数点向右移”一句话中,需要学生自己去发现。 二、确定求解方案 在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下,在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态,及要解决的问题的目标状态。这时,解决者的思维就要进一步深入,提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息,链接各信息间的运算信息,选择解题方法,制定合理的求解计划,这是实现问题解决的最关键一步。这一过程由一组复杂的心理活动组成,一般要连续完成以下几方面的任务。 1.类化问题信息。一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程,这是解决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来,并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础,重新组合演化成解决新问题所需的新策略。 2.寻找解题起点。解决问题的切入点往往有所不同,具有因人而异的相对灵活性。如在解决例1时,学生一般都会想到从求科技书入手,求出前后科技书本数之差即可;另外,学生想到浅谈小学生数学思维能力的培养
数学思维
初中数学解题的几种思路
例说数学解题的思维过程
浅谈高中数学思维能力的培养
高中数学解题八个思维模式和十个思维策略
高中数学知识点以及解题方法大全
高考数学解题思维能力是怎样练成的.doc
(完整版)浅谈幼儿数学思维能力的培养
初中数学解题方法与思路_答题技巧
高中数学解题的思想方法
数学解题的思维过程
浅谈学生数学思维能力的培养
初中数学解题技巧(史上最全)
高中数学解题四大思想方法(数学)
数学问题解决的思维过程
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