七年级期末点对点攻关训练：
一元一次方程应用之相遇与追击问题（二）
1．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？（用一元一次方程解）
2．列一元一次方程，解应用题：
一辆货车以每小时60千米的速度从甲地出发驶向乙地，经过25分钟，一辆客车以每小时比货车快10千米的速度从乙地出发驶向甲地，若两车刚好在甲、乙两地的中点相遇，求相遇时，客车行驶了多长时间？
3．如图，公共汽车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C，D四个站点，每相邻两站之间的距离为5千米，从A站开往D站的车称为上行车，从D
站开往A站的车称为下行车．第一班上行车、下行车分别从A站、D站同时发车，相向而行，且以后上行车、下行车每隔10分钟分别在A，D站同时发一班车，乘客只能到站点上、下车（上、下车的时间忽略不计），上行车、下行车的速度均为30千米/小时．
（1）第一班上行车到B站、第一班下行车到C站分别用时多少？
（2）第一班上行车与第一班下行车发车后多少小时相距9千米？
（3）一乘客在B，C两站之间的P处，刚好遇到上行车，BP＝x千米，他从P处以5千米/小时的速度步行到B站乘下行车前往A站办事．
①若x＝0.5千米，乘客从P处到达A站的时间最少要几分钟？
②若x＝1千米，乘客从P处到达A站的时间最少要几分钟？
4．甲、乙两站相距360千米，一列快车从甲站开出，每小时行160千米，一列慢车从乙站开出，每小时行80千米．
（1）两车同时开出，相向而行多少小时后两车相遇？
（2）两车同向而行，快车在慢车的后面，且慢车提前半小时出发，经过多少小时后快车追上慢车？
5．甲车和乙车从A、B两地同时出发，沿同一线路相向匀速行驶，出发后1.5h 两车在C地相遇，相遇时甲车比乙车少走30km．相遇后1.2h乙车到达A 地．
（1）两车的行驶速度分别是多少？
（2）相遇后，若甲车想在乙车到达A地的同时到达B地，那么甲车的行驶速度要比原来增加多少km/h？
（3）探索：若从C地到B地的路段中，有一部分限速120km/h，其余部分限速140km/h，甲车从C地到B地时，在相应路段均以限速行驶（不超速也不低于限速），则恰好能在乙车到达A地的同时到达B地，求C地到B 地间限速120km/h和限速140km/h的路程各是多少？
6．甲列车从A地出发开往B地，速度是每小时60千米，乙列出同时从B地出发开往A地，速度是每小时90千米．已知A、B两地相距200千米，两车经过多长时间相遇？相遇时距离A地多远？
7．小李和小刘在甲、乙两处之间的直道上练习跑步，小李每秒跑6米，小刘每秒跑8米．
（1）两人在甲处同时跑，小刘比小李提前4秒到达乙处，求甲、乙之间的距离；
（2）若小李在甲处，小刘在乙处同时相向跑，两人相遇的位置距甲处有多远？（3）两人都在甲处向乙处跑，小李跑了3秒钟后，小刘才开始跑，几秒后，小刘能追上小李？
8．目前，“自驾游”已成为人们出游的重要方式，“十一”国庆节期间甲、乙两家准备驾轿车去舟山度假，已知甲乙两家相距10千米，甲去舟山会途经乙家．
（1）若甲要先到乙家汇合后一起出发，已知甲的车速是每小时60千米，则甲到乙家所花时间为多少小时？
（2）若甲乙同时出发，已知甲的车速为每小时60千米，乙的车速为每小时50千米，则甲需要多少小时才能追上乙？
9．两列火车同向而行，出发时慢车在快车前方60km，其中慢车的速度是快车的，行驶半小时后快车追上慢车，问：两车速度分别为多少？
10．A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，半小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
参考答案
1．解：设甲每分跑x圈，
根据题意得：6（2x﹣）＝1，
解得：x＝．
则﹣＝
甲每分跑圈，乙每分跑圈．
2．解：设相遇时，客车行驶了x小时，
根据题意，得
解这个方程，得x＝2.5．
因此，相遇时，客车行驶了2.5小时．
3．解：（1）第一班上行车到B站用时＝（小时），
第一班下行车到C站分别用时＝（小时）．
故第一班上行车到B站用时小时，第一班下行车到C站分别用时小时；（2）设第一班上行车与第一班下行车发车后x小时相距9千米，依题意有
①第一班上行车与第一班下行车相遇前相距9千米，
（30+30）x＝5×3﹣9，
解得x＝0.1；
②第一班上行车与第一班下行车相遇后相距9千米，
（30+30）x＝5×3+9，
解得x＝0.4．
故第一班上行车与第一班下行车发车后0.1或0.4小时相距9千米；（3）①（5﹣0.5+5）÷30×60＝19（分钟）．
故乘客从P处到达A站的时间最少要19分钟；
②5×3÷30×60﹣[（5+1）÷30×60﹣10]
＝30﹣2
＝28（分钟）．
故乘客从P处到达A站的时间最少要28分钟．
4．解：（1）设两车相向而行x小时后两车相遇，
根据题意得：160x+80x＝360，
解得：x＝1.5．
答：两车相向而行1.5小时后两车相遇；
（2）设经过x小时后快车追上慢车，
根据题意得：360+80×0.5+80×x＝160x，
解得：x＝5．
答：经过5小时后快车追上慢车．
5．解：（1）设甲、乙两车行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，由题意得，
解得．
答：甲、乙两车行驶的速度分别是每小时80千米、100千米；
（2）100×1.5÷1.2﹣80
＝125﹣80
＝45（千米/小时）．
答：甲车的行驶速度要比原来增加45km/h．
（3）设C地到B地间限速120km/h的路程为a千米，由题意得+＝1.2，
解得：a＝108，
则150﹣a＝42千米．
答：C地到B地间限速120km/h的路程为108千米，则限速140km/h 的路程为42千米．
6．解：设两车经过x小时相遇，根据题意可得：
60x+90x＝200，
解得：x＝，
60×＝80（km）．
答：两车经过小时相遇，相遇时距离A地80km．
7．解诶：（1）设小刘到达乙处所用的时间为t秒，则
8t＝6（t+4），
解得t＝12，
则8×12＝96（米）．
答：求甲、乙之间的距离是96米；
（2）设小李、小刘经过x秒后相遇，则
（6+8）x＝96，
解得x＝
则6x＝6×＝．
答：两人相遇的位置距甲处有米．
（3）设y秒后，小刘能追上小李．则
6（3+y）＝8y，
解得y＝9．
答：9秒后，小刘能追上小李．
8．解：（1）10÷60＝（小时）．
答：甲到乙家所花时间为小时；
（2）设甲需要x小时才能追上乙，由题意得
60x﹣50x＝10，
解得：x＝1．
答：设甲需要1小时才能追上乙．
9．解：设快车的速度为xkm/h，慢车的速度为xkm/h，由题意得x﹣x×＝60，
解方程，得：x＝200，x＝80
答：快车的速度为200km/h，慢车的速度为80km/h．
10．解：设甲的速度是x千米/分钟，乙的速度是千米/分钟，由题意得：
3﹣30x＝（3﹣30×）×2，
解得x＝，
＝＝．
答：甲的速度是千米/分钟，乙的速度是千米/分钟．
1、 列 方程解 行程问 题 例1:甲乙两地相距1500千米，两辆汽车同时从两地相向而行，其中吉普车每小时60千米，是另一辆客车的1.5倍。①几小时后两车相遇？②若吉普车先开40分钟，那客车开出多长时间两车相遇？ 分析：若两车同时出发 ，则等量关系为：吉普车的路程+客车的路程=1500 ① 解：设两车x 小时后相遇，根据题意得 解得： 15x = 答：15小时后两车相遇。 ② 分析：吉普车先出发40分钟，则等量关系式为：吉普车先行路程+吉普车后行路程+客车行驶路程=1500，即 吉普车行驶路程+客车行驶路程=1500。 解：设客车开出x 小时后两车相遇，根据题意得 解得14.6x = 答：客车开车14.6小时后两车相遇。 例2、甲乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？ 分析：甲让乙先跑1秒，则等量关系为：乙先跑的路程+乙后跑的路程=甲跑到路程，也就是乙跑的路程=甲跑的路程。 解：设甲经过x 秒追上乙，根据题意得 解：得13x = 答：甲经过13秒后追上乙。 例3、小明、小亮两人相距40km ，小明先出发1.5h ，小亮再出发，小明在后小亮在前，两人同向而行，小明的速度是8km/h ，小亮的速度是6km/h ，小明出发后几小时追上小亮？ 分析：小明快，小亮慢，两人同向而行，等量关系式为：小明走的路程—小亮走的路程=相距路程 解：设小明出发后x 小时追上小亮，根据题意得 解得15.5x = 答：小明出发后15.5小时追上小亮 例4、一艘船从甲码头到乙码头顺水行驶，用了2小时，从乙码头返回甲码头，逆水行驶，用了2.5小时，已知水流速度是3千米/时，求船在静水中的速度。 分析：水流存在如下相等关系：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。由顺水行程=逆水行程可列方程. 解：设船在静水中的速度为x 千米/时，则船在顺水中的速度为（3x + ）千米/时，船在逆水中的速度为（3x - ）千米/时, 根据题意得 解得27x = 答：船在静水中的速度为27千米/时。 例5、一轮船在A 、B 两地之间航行，顺水航行用3h ，逆水航行比顺水航行多用30min ，轮船在静水中的速度是
一元一次方程中考真题 一、选择题 1. （2011山东菏泽，7，3分）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由 于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打 A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折 【答案】B 2. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） （A ）54盏 （B ）55盏 （C ）56盏 （D ）57盏 【答案】B 3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 20702 x x -= 【答案】A 4. （ 2011重庆江津， 3，4分）已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( ) A.－5 B.5 C.7 D.2 【答案】B · 5. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a b b a 1 1-= ?，若1)1(1=+?x ，则x 的值为
A ． 23 B ．31 C ． 21 D ． 2 1 - 【答案】D 二、填空题 1. （2011四川重庆，16，4分）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲 种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵． 【答案】4380 2. （2011福建泉州，10，4分）已知方程||x 2=，那么方程的解是 . 【答案】1222x x ==-，； 3. （2011湖南邵阳，13，3分）请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。 【答案】2x-2=2.（答案不唯一） 4. （2011重庆市潼南,15,4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本 用电量为a 度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交 电费56元,则a = 度. 【答案】40 5. （2011广东湛江15,4分）若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为 ． 【答案】1- 6. （2011湖南湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________.
浅谈小学数学中相遇问题的教学 新课标指出：义务教育阶段的教学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。我结合教学实践经验，以小学数学中的相遇问题，谈谈数学教学理论在实践中如何应用的。 相遇问题是冀教版第五单元四则混合运算（二）的第一课时，这是在学生四年级第一次接触行程问题的后，再次对行程类问题数量关系进行分析的第二次教学。相遇问题是一个经典的行程问题，而行程问题一直是小学数学解决问题中教学的难点，行程问题变化多端、数量关系复杂。从这个意义上说，研究相遇问题的教学对于研究解决问题教学有典型意义。小学生的思维正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，这就形成二者之间的差异。因此，在面对实际问题时，总会把简单问题复杂化，把形象问题过于抽象，正处于过渡时期的他们思想很不成熟，所以思考问题就会产生各样的不足，常常不能把相遇时间、地点及方向正确直观的表述出来。 本节课设计重点如何培养学生的分析数量关系的能力，并能根据实际情况选择合理的解决方法。如何辨析清楚行程问题中的各种数量关系，将以前所学分裂状态的知识进行整合？我认为探讨这类课型的教学时，不妨放慢脚步，采用整体规划，分层推进，单元建模的方式，让学生细细品味行程问题，让学生初步形成对行程问题的整体建构，以及对类似行程问题的解题方法进行建模。 一、整体规划问题教学，初步建构学生头脑的知识结构。 在小学阶段，行程问题是相当复杂的，有相向、同向、背向、有相遇、相离问题的形式，学生很容易混淆，错误频发，即使反复讲解，效果甚微。因此我们进行教学设计时，先以一类问题为突破点，重点研讨，进而发散到其他类型的问题，引导学生找出共性，区别差异，让学生真正的学会分析问题和解决问题。学会学习方法，真正做到培养学生的学习能力。奥苏贝尔认为有意义学习的核心是：学生是否习得新信息，主要取决于他们认知结构中已有的有关概念；有意义学习是通过新信息与学生认知结构中已有的有关概念的相互作用才可以发生的，由于这种相互作用的结果导致了新旧知识的意义的“同化”。
1. 配套问题 例1.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 例2.某车间有28个工人，生产某种螺栓和螺母，已知一个螺栓的两头各配一个螺母组成一套零件。如果每人每天生产12个螺栓或18个螺母。安排多少个工人生产螺栓，多少个工人生产螺母，才能使这一天生产的螺栓和螺母正好配套？ 例3.某厂生产一批西装，每2米布可以裁上衣3件，或裁裤子4条，现有花呢280米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？ 例4.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或制盒底42个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 12.分配问题 例1.将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子放4只，则有1只鸡无笼可放；若每个笼子放5只鸡，则有1笼无鸡可放，试问有多少只鸡，多少个笼子？ 例2.用一根绳子测水泥柱一周的尺寸，若绳子绕水泥柱4周，则绳子还多3尺；若绳子绕水泥柱5周，则绳子还少2尺，求绳子及水泥柱一周的长度。例3.在一条马路旁种树，每隔3米种一棵，到头还剩3棵树；每隔2.5米种一棵，到头还缺77棵树。问马路有多长？树有多少棵？ 例4.有人在林中散步，听到几个强盗在商量怎样分抢来布匹，一名强盗说：“没人分6匹，但剩下5匹。”另一名强盗说：“每人分7匹，可又少8匹。”问有几个强盗几匹布？ 13.调配问题
例1.甲、乙两盒中各放着一些球，一共有9个，如果从甲盒中拿出5个放入乙盒，乙盒的球数是甲盒的2倍。问甲、乙两盒中原来各放着多少个球？ 例2.甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调入粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？ 例3.甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙队汽车数比甲队汽车数的2倍还多1辆，应从甲队调多少辆到乙车队？ 例4.甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数？ 例5.甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙俩的完成零件的个数比是3:4，乙、丙完成零件的个数之比是5:4，现在甲乙丙三人共做了1581个零件，问甲乙丙三人各做了多少个零件？ 14.方案选择 例1.已知:我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过2公里的一律收费2元；乘车里程超过2公里的，除了收费2元外超过部分按每公里1.4元计费. （1）如果有人乘出租车行驶了x公里（x>2）,那么他应付多少车费？（列代数式，不化简）（2）某游客乘出租车从客运中心到三星堆，付了车费10.4元，试估算从客运中心到三星堆大约有多少公里？ 例2.我省某地生产的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨获利7500元。 当地一家农工商企业收购这种蔬菜140吨，该企业加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨，如果进行细加工，每天可以加工6吨，但两种加工方式不能同时进行。受季节条件限制，企业必须在15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，企业研制了三种可行方案。 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
甲、乙两车站相距400千米慢车每小时行驶100千米，快车每小时行驶140千米先让慢车行驶100千米，然后快车再出发问多长时间快车能追上慢车？？？ 如果不是快车慢车的那再给你找一些追及应用题吧 1、甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，多少小时候，乙车追上甲车？ 2、甲乙两人相距6千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，3小时甲追上乙。乙每小时行4千米，甲每小时行多少千米？ 3、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，10分钟后两人相距多远？ 4、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，这时，乙离终点还有多远 5、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，甲到达终点后原路返回起跑点，起跑后多少分两人相遇？ 6、一辆货车以每小时60千米的速度前进，一辆客车在它后面30千米，以每小时75千米的速度前进，问客车多长时间能追上货车？ 7、甲车1小时行驶60千米，1小时后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时80千米，几小时后可以追上甲车？ 8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度为每分钟行200米，5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后就又返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米？ 9、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米，客车到达乙站后又以原速度返回甲站，两车在开出几小时后相遇？ 10、甲乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲追上乙，求甲乙各自的速度是多少？ 11.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少 小张从甲地到乙地步行需要36分，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分。他们同时出发，几分后两人相遇？ 12. 一列火车长152米，它的速度是每小时63.36千米。一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要8秒，这个人的步行速度是每秒多少米？ 兄妹2人在周长30米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 甲、乙两人训练跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙。若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？ 一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。兔子跳出550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？ 上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？ 1.一列客车从甲站开往乙站，每小时行65千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行 60千米，已知货车比客车早开出
人教版七年级上册一元一次方程的应用-追及相遇问题（含答案） 一、单选题 1．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米．若甲让乙先跑10米，设甲跑x秒后可以追上乙，则下列四个方程中不正确的是() A．7x＝6.5x＋10 B．7x－10＝6.5x C．(7－6.5)x＝10 D．7x＝6.5x－10 2．甲、乙两列火车在平行轨道上相向而行，已知两车自车头相遇到车尾相离共需8 s．若甲、乙两车的速度之比为3∶2，甲车长200 m，乙车长280 m，则甲、乙两车的速度分别为( ) A．30 m/s，20 m/s B．36 m/s，24 m/s C．38 m/s，22 m/s D．60 m/s，40 m/s 3．明月从家里骑车去游乐场，若速度为每小时10km，则可早到8分钟，若速度为每小时8km，则就会迟到5分钟，设她家到游乐场的路程为xkm，根据题意可列出方程为() A． 85 1060860 x x -=-B． 85 1060860 x x -=+ C． 85 1060860 x x +=-D．85 108 x x +=+ 4．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为() A.7：35 B.7：34 C.7：33 D.7：32 5．甲乙两人练习跑步，甲先让乙跑10米，则甲５秒钟追上乙，若甲让乙先跑２秒，甲跑４秒就追上乙，甲乙两人每秒分别跑（） A.4米、6米 B.2米、4米 C.6米、4米 D.4米、2米
6．甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走 4km ，乙每小时走 5km ，甲先出发 0.1h ，结果乙还比甲早到 0.1h ．设学校到博物馆的距离为 xkm ，则以下方程正确的是（ ） A. +0.1=0.145 x x - B. -0.1=0.145 x x + C. =0.145 x x - D.4x ﹣0.1=5x+0.1 7．甲、已两地相距50千米，小明、小刚分别以6?千米/时、4千米/时从甲乙两地同时出发，小明领一只小狗以10千米/时奔向小刚，碰到小刚后奔向小明，碰到小明后奔向小刚…一直到两人相遇，小狗共跑了多少路程？（ ） A.25千米 B.30千米 C.35千米 D.50千米 8．A 、B 两地相距900千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（ ） A ．4小时 B ．4.5小时 C ．5小时 D ．4小时或5小时 二、填空题 9．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2个小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的速度是_____千米/时． 10．一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15公里早到24分钟，如果每小时走12公里，就要迟到15分钟，原定时间是________分． 11．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A ，C 两地距离为2千米，则A ，B 两地之间的距离是_____． 12．甲、乙两人练习赛跑，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒种就能追上乙．若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒种就能追上乙，则甲每秒跑____米，乙每秒跑____米． 13．在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A 列车车速为20米/秒，B 列车车速为25米/秒，若A 列车全长200米，B 列车全长160米，两列车错车的时间为____秒。 14．甲、乙两站相距36千米，一列慢车从甲站出发，每小时行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时开出，同向而行，快车在后，________小时追上慢车。
一次方程（组） 【基础知识回顾】 一、等式的概念及性质： 1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式 2、等式的性质： ①、性质1：等式两边都加（减）所得结果仍是等式， 即：若a=b,那么a±c= ②、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即： 若a=b,那么a c= ，若a=b（c≠o）那么a c = 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项 ②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】 二、方程的有关概念： 1、含有未知数的叫做方程 2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组 3、叫做解方程 4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程 三、一元一次方程： 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。 2、解一元一次方程的一般步骤：
1。 2。 3。 4。 5。 【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】 四、二元一次方程组及解法： 1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0是常数，a≠0,b≠0)； 2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组； 3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解； 4、 解二元一次方程组的基本思路是： ； 5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法 【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题： 一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量 2、设：直接或间接设未知数 3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组） 4、解：解这个方程（组），求出未知数的值 5、验：检验方程（组）的解是否符合题意 6：答：写出答案（包括单位名称） 【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2 、几个常用的等量关系：①x=a y=b 的形式
《四则混合运算相遇问题》教学设计 教学目标： 1、结合具体情境,自主解决相遇问题和一般三步混合运算的过程。 2、理解相遇问题的数量关系,会解决简单的相遇问题,会进行整数一般三步混合运算。 3、能对问题中的数学信息作出合理的解释,体验解决问题策略的多样化。 教学难点:理解“相遇时间×速度和=总路程”数量关系 教学重点:理解相遇问题的数量关系,会解决简单的相遇问题。运用解决相遇问题的经验,解决类似的问题 教具准备:课件、教具、图片 教学方法:演示法、讲解法、 教学过程: 一、创设情境: 1、复习旧知,引发联想 (1)出示图片一辆卡车每小时行驶60千米,四小时行驶多少千米? 相信这道题大家都很熟悉,看到它你们想到了什么?怎么解决? (2)学生独立思考 (3)展示(学生口述)这是路程的问题 (4)归纳总结题中的数量关系路程=速度×时间 很好，看来大家的知识掌握的不错,今天我们要在时间、速度、路程的基础上在研究些复杂些的路程问题。在开始前请看黑板(板书)“相对而行、同时、相遇、相距”请大家理解并用动作或语言解释出上面四个词语。 下面学生表演教师适时引导 请两个同学按教师的叙述表演:两个人从甲乙两地相对而行,3分钟后相遇。分别问这两个同学到相遇时走了几分钟,到相遇时他们同时走了几分钟? 像这种有两个物体同时从两地相向而行,直到相遇,有关这样的应用题叫做“相遇问题”板书:相遇问题。
二、新课教学 1、教学例题一 (1)出示例题 (2)同学们,下面我们就来研究和相遇有关的问题。(课件出示) 一辆客车和一辆货车同时从北京和郑州相对开出,经过4小时相遇。 师:请同学们仔细观察,从情景中,你知道了哪些信息?“经过四小时相遇”是什么意思?(课件演示) ①客车的速度:每小时行92千米 ②货车的速度:每小时行80千米 ③相对开出4小时后相遇 ④问题:北京与郑州相距多少千米? (3)、交流、讨论 客车与货车同时出发,相对而行,到相遇,一共行了4小时。 (4)、北京与郑州的距离是多少千米?你想怎么算? 我们现在就自己试着来解决这道题,同桌之间可以互相商量。 学生做题,老师巡视,选择不同解法的学生到黑板上去做。 学生板演: ①先算两车4小时各行多少千米。 客车:92×4=368 货车:80×4=320 北京与郑州的距离(车和货车所行走的路程和):368+320=688(千米) 综合算式: 92×4+80×4 = 368+320 =688(千米) 答:北京和郑州相距688千米。 ②先算两车1小时共行多少千米(速度和): 两车1小时共行多少千米(速度和):92+80=172(千米) 北京与郑州的距离:172×4=688(千米) 综合算式: (92+80 )×4 =172×4 =688(千米)
一元一次方程应用题——调配和分配问题 一、学习重点： 调配和分配问题：1、找准调配前后的数量关系；2、找数量关系时可借助列表等形式。 需要注意人或者物品的流向，流动之后形成了一种什么样的关系，例如：从甲队调一些人去乙队，其中甲队要减去这些人，而乙队要加上这些人。再根据题意中给的关系设未知数表示出来。 二、基础练习： 1、有甲乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，从甲调走5人到乙队，则甲队_____人，乙队____人。 2、有甲乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，从甲调走x人到乙队，（1）使甲乙两队人数恰好相等，则x=______;（2）若乙队人数恰好是甲队人数的2倍，则x=_____；（3）若乙队人数比甲队人数的4倍还多5人，则x=_____。 例1、某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，需求第一车间人数是笫二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 练习：甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队后，甲队剩下來的人数是原乙队人数的一半还多15人。求甲、乙两队原有人数各多少人？ 做题：3、4 例2、甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽年，现调来10辆汽分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲乙两车队各多少辆车？ 练习：甲仓库储粮35吨，乙仓库储粮19吨，现调粮食15吨，应分配给两仓库各多少吨，才能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？ 做题：5、6 例3、某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组7人还余1人，若每组8人还缺6
人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？ 练习：学校新进若干箱教学设备，某班同学去运，若每人运8箱，还余16箱；若每人运9箱，还缺少32箱，这批设备共有多少箱？这个班有多少名同学? 做题：7、8 三、应用题：A卷 3、甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队数比甲车队车数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙车队？ 4、一车间与二车间总人数为150人，将一车间的15名工人调动到二车间，两车间人数相等，求二车间人数。 5、某厂甲车间有工人32人，乙车间有62人，现在从厂外招聘新工人98名分配到两个车间，问应该如何分配才能使乙车间的人数是甲车间人数的3倍。 6、甲仓库存粮132吨，乙仓库存粮74吨，现要将34吨粮食调往两仓库，使甲仓库存粮是乙仓库的2倍，问应调往甲、乙两仓库各多少吨粮食？ 7、学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数？ 8、把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本。则这个班有多少学生？
3.4实际问题与一元一次方程——相遇问题 班别：______________ 姓名：_____________ 【问题探究1:相向 ．．相遇问题】 例1、电动机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电机车速度的5倍还快20千米/小时，半小时后相遇。两车的速度各是多少？（课本P.102第6题） 【配套练习】 1：甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米．两人几小时后相遇？ 2.一架飞机在A、B两地间航行。从A地到B地需5．5小时，从B地到A地需6小时，风速为24千米/时，A、B两地的距离是多少? 2.运动场跑道一圈长400米，甲、乙两人同时从同一处反向出发，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，那么经过多长时间首次相遇？又经过多长时间再次相遇？ 【问题探究2:同．向．相遇问题】 例2：解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络，多长时间后，通讯员能赶上队伍？
【配套练习】 1.小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。 （1）爸爸追上小明用了多长时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？ .2.甲乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，且甲先出发30分，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶，甲用多长时间登山？这座山有多高？（课本P.102第5题） 3.跑得快的马每天走240里，跑得快的马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追 上慢马？（课本P.113第5题） 4.东西两地相距400千米。甲车从东向西出发，每小时行60千米，2小时后乙车从西向东 出发，每小时行40千米，几小时后两车相遇？
一元一次方程练习题 基本题型： 一、选择题： 1、下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. y x -=-5 4121 B. 835-=-- C. 3+x D. 1465 34+=-+x x x 2、方程x x 23 1=+-的解是（ ） A. 31- B. 3 1 C. 1 D. -1 3、若关于x 的方程m x 342=-的解满足方程m x =+2，则m 的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 10- D. 8- 4、下列根据等式的性质正确的是（ ） A. 由y x 3 231=- ，得y x 2= B. 由2223+=-x x ，得4=x C. 由x x 332=-，得3=x D. 由753=-x ，得573-=x 5、解方程16 110312=+-+x x 时，去分母后，正确结果是（ ） A. 111014=+-+x x B. 111024=--+x x C. 611024=--+x x C. 611024=+-+x x 6、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ） A. 0.81a 元 B. 1.21a 元 C. 21 .1a 元 D. 81.0a 元 8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 ( ) A .不赚不亏 B .赚8元 C .亏8元 D . 赚8元 9、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A ）;342=-x x （B ）;0=x （C ）;12=+y x （D ）.11x x =- 10、方程212= -x 的解是（ ） （A ）;41-=x （B ）;4-=x （C ）;4 1=x （D ）.4-=x 11、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．． 成立的是（ ） （A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3 532+=b a 12、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ） （A ）;8- （B ）;0 （C ）;2 （D ）.8
一元一次方程组知识要点Last revision on 21 December 2020
一元一次方程知识要点 一、知识框架 二、知识梳理 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：在方程中，只含有一个未知数x （元），并且未知数的次数是1（次），这样的方程叫一元一次方程。 一元一次方程的标准形式：0=+b ax （其中x 是未知数，b a ,是已知数，且0≠a ） 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程。 3、解方程与方程的解：求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等。 知识点二：一元一次方程的解法 1、等式的基本性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果b a =，那么c b c a ±=±。（c 为一个数或一个式子） 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果b a =，那么bc ac =；如果b a =（0≠c ），那么 c b c a =。 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：）其中0(≠÷÷==m m b m a bm am b a 特别注意：分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化
为整数，如方程：6.12 .045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+=-x x 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。 ⑴去分母时：①不含有分母的项也要乘以最小公分母；②区别于利用分数的性质将方程简化，此时不含分母的项不用扩大和缩小；③分数线相当于括号，去掉分母要将分子用括号括起来。 ⑵去括号时：与整式中去括号法则相同，注意括号外面的符号。 ⑶移项时：①区别于去括号，不论正负移项都要变号；②没有移项时不要误以为有移项，如x =-5得到5=x ，是错误的。 ⑷合并同类项时：把方程化成()0≠=a b ax 的形式。 ⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解a b x =。 要点诠释： 理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况，并进行简单应用： ①0≠a 时，方程有唯一解a b x =； ②0,0==b a 时，方程有无数个解； ③0,0≠=b a 时，方程无解。 知识点三：列一元一次方程解应用题 1、列方程解应用题的步骤： （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系。 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系。
1.配套问题 例 1.机械厂加工车间有85 名工人，平均每人每天加工大齿轮16 个或小齿轮10 个，已知2 个大齿轮与3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 例 2. 某车间有28 个工人，生产某种螺栓和螺母，已知一个螺栓的两头各配一个螺母组成一套零件。如果每人每天生产12 个螺栓或18 个螺母。安排多少个工人生产螺栓，多少个工人生产螺母，才能使这一天生产的螺栓和螺母正好配套？ 例 3. 某厂生产一批西装，每 2 米布可以裁上衣 3 件，或裁裤子 4 条，现有花呢280 米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？ 例 4. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15 个，或制盒底42 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有108 张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？ 2. 分配问题 例 1. 将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子放 4 只，则有 1 只鸡无笼可放；若每个笼子放5只鸡，则有 1 笼无鸡可放，试问有多少只鸡，多少个笼子？ 例 2. 用一根绳子测水泥柱一周的尺寸，若绳子绕水泥柱 4 周，则绳子还多 3 尺；若绳子绕水泥柱 5 周，则绳子还少 2 尺，求绳子及水泥柱一周的长度。例 3. 在一条马路旁种树，每隔3 米种一棵，到头还剩3 棵树；每隔2.5 米种一棵，到头还缺77 棵树。问马路有多长？树有多少棵？ 例 4. 有人在林中散步，听到几个强盗在商量怎样分抢来布匹，一名强盗说：“没人分6匹，但剩下5匹。”另一名强盗说：“每人分7 匹，可又少8匹。” 问有几个强盗几匹布？ 3.调配问题 例 1. 甲、乙两盒中各放着一些球，一共有9 个，如果从甲盒中拿出 5 个放入乙盒，乙盒的球数是甲盒的 2 倍。问甲、乙两盒中原来各放着多少个球？ 例 2.甲仓库储粮35 吨，乙仓库储粮19 吨，现调入粮食15 吨，应分配给两仓
一元一次方程的应用题-----------相遇问题 例3. 甲、乙两人相距50km，甲速3km/时，乙速2千米/时，相向而行. （1）若同时出发，几小时后相遇？ （2）若甲先行30分钟，乙经过多长时间与甲相遇？ （3）若同时出发，几小时后相距5km？ [练习] 1. 甲、乙两人从相距3000米的两地同时出发相向而行，甲速是乙速的2倍少5米/秒， 4分钟后两人相遇，甲、乙两人的速度各为多少？ 2. 甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，半小时后相遇，甲车的速度是乙车速度的两倍，相遇时，甲车经过了A、B中点10千米，问甲、乙两车的速度分别为多少？ 3．一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s. （1）设火车的长度为x m，用含x的式子表示：从车头经过灯下到车尾经过火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度； （2）设火车的长度为x m，用含x的式子表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道火车所走的路程和这段时间内火车的平均速度； （3）上述问题中火车的平均速度发生了变化吗？ （4）求这列火车的长度.
4．两辆汽车从相距84km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km/h，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？ 5．王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，两人又相距36km. 求A，B两地间的路程. 6. 一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s，求火车的长度和速度. 7．小刚和小强从A，B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行. 出发后2h两人相遇. 相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地. 两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？ 8. 当x为何值时，下列各组中两个式子的值相等？ （1） 1 3 x x - -和 3 7 5 x+ -（2） 21 52 x x - +和 3(1)8 25 x x - -
七年级（上）中考试题---一元一次方程应用题 1. (02河南)某种收音机,原来每台售价48元，降价后每台售价42元,则降价的百分数为 . 2.(02杭州)在时刻 8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ） （A ）85° （B ）75° （C ）70° （D ）60° 3.（01荆州）某商品的进价是1000元.售价为1500元.由于销售情况不好，商店决定降价出售.但又要保证利润率不低于5％.那么,商店最多降_________元出售此商品. 4.(08广东)已知某种商品的售价为204元，即使促销降价20％仍有20％的利润，则该商品的成本价是（ ） A ．133 B ．134 C ．135 D ．136 5.（06仙桃）小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的 3 1 给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是 . 6.（06陕西）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为 240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A 、x ·40%×80%=240 B 、x （1+40%）×80%=240 C 、240×40%×80%=x D 、x ·40%=240×80% 7．（06黑龙江）A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ） A 、2或2.5 B 、2或10 C 、10或12.5 D 、2或12.5 8．（06绵阳）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米。 9．（06荆门）在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践生活中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，春华同学在这次活动中获得纯收入__________元。 10. (06枣庄)某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠：（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元给九折优惠；（3）一次购买超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠.某厂因库容原因，第一次在供应商购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（ ）元. A.1460 B.1540 C.1560 D.2000
一元一次方程——行程问题（追及问题） 【基本关系式】 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间 （2）基本类型 ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题：快行距－慢行距＝原距 速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。 追及时间：快车追上慢车所用的时间。 路程差：快车开始和慢车相差的路程。 熟悉追及问题的三个基本公式： 路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差 追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 ②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程 ③环形跑道上的相遇和追及问题： 同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程； 同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。 【经典例题】
例题1. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。 行程（追击）问题 例1.甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？ 例2.骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步
一元一次方程知识点和常考题型 一知识点复习巩固 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、一元一次方程： 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。 要点诠释： 一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1次； （3）整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2、方程的解： 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等． 知识点二：一元一次方程的解法 1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质） 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果，那么
；(c为一个数或一个式子)。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果，那么 ；如果
，那么 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：（其中m≠0）
2、解一元一次方程的一般步骤： 常用步骤 具体做法依据注意事项 去分母在方程两边都乘以 各分母的最小公倍 数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项）， 注意添括号； 去括号一般先去小括号，再 去中括号，最后去大 括号去括号法则、分配 律 注意变号，防止漏乘； 移项把含有未知数的项 都移到方程的一边， 其他项都移到方程 的另一边(记住移项 要变号) 等式基本性质1 移项要变号，不移不变 号； 合并同类项把方程化成ax＝b(a ≠0)的形式 合并同类项法则计算要仔细，不要出差 错； 系数化成1 在方程两边都除以 未知数的系数a，得 到方程 的解x＝等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿 颠倒 要点诠释： 理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: