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【考点22］空间几何体
2009年考题 1. （2009宁夏海南高考）如图，正方体ABCD-AB l C l D I 的棱线长为1,线段B 1D 1 ±
有两个动点E? F,且EF='二，则下列结论中错误的是（
）
2 （A ） AC 丄 BE （B ） EF //平面ABCD
（C ） 三棱锥A-BEF 的体积为定值 （D ） 异面直线AE, BF 所成的角为定值
【解析】选D.易证AC 丄平面D 1DBB 1.从而AC 丄BE ； B 显然正确.??? EF /∕BD..?. EF //半面ABCD 易证J C 正确，可用等积法求得；D 错误?选D.
2. （2009宁夏海南高考）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积 （单位：cm 2）为（）
（C ） 36+12 √2 【解析】选丄
积为( ). A. 2 兀 + 2
r 2√3 C. 2/T + --------
3
(D) 36+24√2
B. 4∕Γ+2JJ X 2√3
D. 4兀+—^―
3
【解析】选C 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,
高为2,体积为2兀,四棱锥的底面
俯视图
(A) 48+12
(B) 48+24 √2 3?（2009山东高考）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何
体的体
D. 6
7 （2009浙江高考）若某几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则 此几何体的体积是 Cin 3.
边长为"，高为药，所以体积为i×（√∑）2×√3=^ 7 JT 所以该几何体的体积为2兀+ 斗?
3
4. （2009辽宁高考）正六棱锥P-ABCDEF 中■ G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（） (A) 1： 1
(B)l: 2
(C) 2： 1
(D) 3： 2
【解析】选C ?由于G 是PB 的中点,故P-GAC 的体积等于B-GAC 的体积 在底面正六边形ABCDER 中 BH=ABtan30°= -AB 3
而 BD = y/3 AB 故 DH=2BH
于是 ?'D -GAC = 2VB-GAC = 2VP-GAC
5. (2009 湖北高考)如图，在三棱柱 ABC-A I B l C 】中，ZACB=90°,ZACC I =60°,ZBCC I =45°,侧棱 CCl 的 长为1,则该三棱柱的高等于（）
【解析】选丄过顶点A 作底面ABC 的垂线，由已知条件和立体几何线面关系 易求得高的长?
6. （2009湖南高考）平面六面体ABCD-AB 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CCl 共面的棱的条数为（ ）
正视图 侧视图
備视图
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1×3×3 = 9,上面的长方体体积为3×3×1 = 9,因 此其几何体的体积为18 答案：18
& （2009浙江高考）如图，在长方形ABCD 中，AB = 2, BC = I, E 为DC 的中点，F 为线段EC （端 点除外）上一动点.现将ΔAFD 沿AF 折起，使平面ABD 丄平面ABC ?在平面ABD 内过点D,作 DK 丄AB, K 为垂足.设AK = t,则t 的取值范围是 _________________ ?
【解析】此題的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，t = l,随着F 点到C 点时， 因 CE 丄 AB,CB 丄 DK,.?.CE 丄平面 ADB,即有 CB 丄 BD,对于 CD = 2.BC = 1,/. BD = √3 ,又 1
（1 A
AD = LAB = 2,因此有AD 丄BD,则有t = -,因此t 的取值范围是：一,1
9. （2009辽宁高考）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度 单位为m ）。 则该几何体的体积为 ___________________ m 5
【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边 上的高为3,体积等于1×2×4×3=4 答案：4
10. （2009江苏高考）在平面上，若两个正三角形的边长的
比为2,则它们的面积比为1： 4,类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1： 2,则它们的 体积比为 _________ .
【解析】考査类比的方法?体积比为1： 8 答案：1：
8
（第18
题）
11- （2009全国卷I ）宜三棱柱ABC - ABC1的各顶点都在同一球面上，
若AB= AC = AA t = 2,ZBAC = I20°,则此球的表面积等于_______________ ?【解析】在ΔABC中AB=AC = 2, ZBAC = 120°,可得BC = 2√J,由正弦定理，
可得AABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O',球心为O,在RTAOBO'中， 易得球半径R=>Λ?故此球的表面积为4∕ΓR'=20∕T. 答案：20π
12. （2009江西高考）正三棱柱ABC - AB I C l 内接于半径为2的球，若AB 两点的球面距离为;T ,则正 三棱柱的体积为 ______
故填写90° ?
方法二：取BC 中点N,连结B I N t 则AN 丄面B I C t ：. N 是,4禺在面BIC 上的射影，由几何知识 知B I N 丄BM ,由三垂线定理得ABl 丄BM ,故填写90° . 答案：90\
【解析】由条件可得ZAoB=彳 2
所以 AB=2√2,
O 到平面ABC 的距离为
所以所求体积等于8. 答案：8
13. （2009天津高考）如图是一个几何体的三视图，若它的体积 是 3 ,则 α = _________
【解析】知此几何体是三棱柱，其高为3,底面是底边长为2, 底边上的高为d 的等腰三角形，所以有
× 3 = 3^3 a = ?[3 . 答案：√3
14. （2009四川高考）如图，已知正三棱柱ABC-ABiC]的各条棱长都相等，M 是侧棱CCl 的中点，则 异面直线AB I 和BM 所成的角的大小是
?
【解析】方法一：不妨设棱长为2,选择基向S L {BA,BB[9BC}.
则 AB I = BB I - BA 9 BM = BC-三 BB I
COS < AB 1, BM >=
(BB 、— BA^ ? (BC + —
BB )
2√2?√5
0-2+2+0 2√2?√5
3
【解析】⑴侧视图同正视图,如下图所示.
15. （2009福建髙考）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为丄?则该集
2
合体的俯视图可以是
【解析】解法1：由題意可知当俯视图是A 时.即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方 体，显然体积是1,注意到题目体积是丄，知其是立方体的一半，可知选C.
2
解法2:当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积是 -S = ^Xf-^ =-,高为1,则体积是壬；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体积是 4 ?2 J 4 4
V =丄×1×1×1=-,当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是V = l^×f×l = -.?j?C. 2 2 4 4 16-（2009年广东高考）某高速公路收费站入口处的安全标识城如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P- EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH .图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图. （1）请i≡出该安全标识壤的侧（左）视图; （2） 求该安全标识墩的体积 （3） 证明:直线BD 丄平面PEG
A
2008年考题
K （2008山东高考）右图是一个几何体的三视图? 根据图中数
据,可得该几何体的表面积是（） (A)9π (B) 10π （C ）llπ
（D ）12π
【解析】选D.考査三视图与几何体的表面积。从三视
图可以看出 及
为
S = 4;FXF + /r X F X 2 + 2;r X1X 3 = 12兀
2、（2008广东高考）将正三棱柱截去三个角（如图1所示AB C 分别是AGHI 三边的中点）得到几 何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
(2 )该安全标识墩的体积为：' J W-EFGH ='L CD -EFGH = l×402×60+ 402 ×20 = 32000 + 32000 = 64000 (cm 3) 3 (3)如图,连结EG )HF 及BD, EG 与HF 相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,PO 丄平面EFGH, .?. PO 丄HF
又EGl Hl .?.HF 丄平面PEG 又BDP HI ABD 丄平面PEG ；
立体几何高考真题大题 1．（2016 高考新课标 1 卷）如图 , 在以 A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中, 面 ABEF为正方形 ,AF=2FD,AFD 90 ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 60 ． D C F （Ⅰ）证明：平面ABEF平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 2 19 19 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先证明 F平面FDC ,结合F平面 F ,可得平面F 平面 FDC ．（Ⅱ）建立空间坐标系, 分别求出平面C的法向量 m 及平面 C 的法 向量 n ,再利用 cos n, m n m 求二面角．n m 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF, F F, 所以F平面 FDC ． 又F平面F,故平面 F 平面FDC ． （Ⅱ）过 D 作DG F ,垂足为 G ,由（Ⅰ）知 DG平面 F ． 以 G 为坐标原点,GF 的方向为 x 轴正方向, GF 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 G xyz ． 由（Ⅰ）知DF为二面角D F的平面角,故DF60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0,3,0,0, D0,0, 3 ． 由已知 ,// F,所以//平面FDC ． 又平面CD平面FDC DC,故//CD , CD// F ． 由//F,可得平面FDC ,所以 C F为二面角 C F 的平面角, C F60 ．从而可得C2,0,3．
设 n x, y, z 是平面C的法向量,则 n C 0, 即x 3z 0, n0 4 y0 所以可取 n3,0, 3 ． 设 m 是平面 m C0 CD 的法向量,则, m0 同理可取 m0, 3, 4 ．则 cos n, m n m 2 19． n m19 故二面角C 219的余弦值为． 19 考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明, 空间中线面位置关 系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系, 其中推理论证的关键是结 合空间想象能力进行推理, 要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面, 该类题目难度不 大 , 以中档题为主．第二问一般考查角度问题, 多用空间向量解决． 2 ．（ 2016 高考新课标 2 理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD交于点 O ， AB 5,AC 6，点 E, F 分别在 AD,CD 上， AE CF 5 ，EF交BD于点H．将4 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置，OD10． （Ⅰ）证明： D H平面 ABCD ； （Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）295 ．25
1.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，6）已知一个四面体的一条棱长为，其余棱长均为2，则这个四面体的体积为（） （A）1 （B）（C）（D）3 [解析] 1. 取边长为的边的中点, 并与其对棱的两个端点连接, 2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，5）某几何体的三视图如下图所示，则它的表面积为（） （A） （B） （C） （D） [解析] 2. 该三视图对应的几何体为组合体，其中上半部为半径为3母线长为5的圆锥，下半部为底面半径为3高为5的圆柱，所以其表面积为.
3.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，5) 某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据．可得 这个几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 12 [解析] 3. 从三视图中可以看出该几何体是正四棱锥，且其斜高为底面是边长为2的正方形，故其表面积为. 4. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，11) 三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC， PA＝2AB＝6，则该球的体积为( ) [解析] 4. 三棱锥P－ABC的外接球与高为6底面边长为3的正三棱柱的外接球相同，即
可把三棱锥P－ABC补成高为6底面边长为3的正三棱柱，由此可得球心O到底面ABC的距离为3，设底面ABC的外接圆圆心为O1, 连接OA, O1A、OO1, 则O1A =, OO1=3，所以OA2=O1A2+=，所以该求的体积为. 5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，3) 下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [解析] 5. 根据三视图可知，该几何体由两部分组成，上半部为底面边长分别为3和2的长方形高为x的四棱锥，下半部为高为1底面边长分别为3和2的长方形的长方体，所以 其体积为，解得x=2.
2017 年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（） A． C D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．π B．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为棱CD的中点，则（） A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A． +1 B． +3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R 分别为AB、BC、CA 上的点，AP=PB，= =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R， D﹣QR﹣P 的平面角为α、β、γ，则（） A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） 2．已知直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线 AB 1与 BC 1所成角的余弦值为（ ） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 5 小题） 8．已知三棱锥 S ﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平 面 SCA ⊥平面 SCB ， SA=AC ， SB=BC ，三棱锥 S ﹣ ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面 积为 ． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球O 的 表面积为 ． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ． 11．由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的 体积为 ． D ．16
1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
2017年高考数学空间几何高考真题
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
2015-2017高考立体几何题汇编 2017(三)16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°； 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号） 2017(三)19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值． 2017(二)4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 2017(二)10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=?，2AB =， 11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A ． 32 B ． 155 C ． 105 D ． 33 2017(二)19．（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且 垂直于底 面ABCD ，o 1 ,90,2 AB BC AD BAD ABC == ∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值． 2017(一)7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
2017年高考立体几何大题（文科） 1、（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 83 ，求该四棱锥的侧面积.
如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2 AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积.
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD． （1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （Ⅰ）求证：PA⊥BD； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）当PA∥平面BD E时，求三棱锥E–BCD的体积．
由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD. A O∥平面B1CD1; （Ⅰ）证明： 1 （Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求证：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC．
空间几何体立体几何经典高考大题汇编（含答案)16 未命名 一、解答题 1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.已知3AB =， 2AD =，2PA =， PD = 60PAB ∠=. (Ⅰ) 证明: AD ⊥平面PAB ； (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成角的正切值. 2．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π ∠=，点,D E 在 线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且EF BC ∥. （1）证明：AB ⊥平面PFE ； （2）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长. 3．如图， 是正方形 的 边的中点，将 与 分别沿 、 折起，使得点 与点 重合，记为点 ，得到三棱锥 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 4．如图，底面 是边长为3的正方形， 平面 ， ， ，
与平面 所成角为 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 5．如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥, EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====. （1）求证：BD ⊥平面ADE ； （2）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （3）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由. 6．如图，在多面体 中，四边形是正方形，是等边三角 形，． （I ）求证：； （II ）求多面体111ABC A B C -的体积.
1.（2009北京卷）（本小题共14分） 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 解:如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==u u u r u u u r u u u r ， ∴ 0,0AC DP AC DB ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当2PD AB = 且E 为PB 的中点时，() 1120,0,2,,,22P a E a a a ?? ? ?? ?， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ???? =--=- ? ? ? ???? ?u u u r u u u r ， ∴2 cos 2EA EO AEO EA EO ?∠== ?u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45? . 2.(2009山东卷)（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。 E C E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D
2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.
空间几何体和三视图、表面积及体积1棱柱的体积公式：V=Sh，其中S是棱柱的底面积，h为 2棱锥的体积公式：V= 1 3Sh，其中S是棱锥的底面积，h为高. 1．（2016全国一卷（7））如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 2.（2016全国三卷10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A ）18+（B ） 54+（C）90 （D）81 3.（2016全国二卷(7)）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 4.（2016浙江9）.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3. 5.（2016天津（3））将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 6.（2016四川）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积是。 侧视图 俯视图 7.（2016山东5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π 33（B ） 1 +π 33（C ） 1 +π 36（D ） 1+π 6 8．（2016北京11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ___________. 1．[2015·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图10-1所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________． 图10-1 2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是________．
2017年高考数学空间几何高考真题 ?选择题（共9小题） 1 ?如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M , N, Q为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） 2. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为（） A. n B. C. D. 3. 在正方体ABCD- A i B i CD i中，E为棱CD的中点，贝U( ) A. A i E± DC i B. A i E丄BD C A i E丄BG D. A i E丄AC 4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A. 60 B. 30 C. 20 D . i0 侧〔左）视圄 C
5?某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）, 则该几何体的体积（单位：cm 2） 是（ ） 6?如图，已知正四面体 D -ABC （所有棱长均相等的三棱锥）,P 、Q 、R 分别为 AB 、BC CA 上的点，AP=PB ==2,分别记二面角 D- PR- Q , D- PQ- R, D - A .产 aV B B. aV 产 B C ? a< Y D. p< 产 a 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A . 90 n B. 63 n C. 42 n D . 36 n 1 .某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 D . +3 +1
4 角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中 有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A . 10 B. 12 C. 14 D . 16 2. 已知直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1中，/ ABC=120, AB=2, BC=CC=1，则异面直线 AB 1与BG 所成角的余弦值为（ ） A . B. C. D. 二.填空题（共5小题） 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0的球面上，SC 是球0的直径.若平 面SCAL 平面SCB SA=AC SB=BC 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面 积为 _______ . 9. 长方体的长、宽、高分别为3, 2，1，其顶点都在球0的球面上，则球0的 表面积为 _______ . 10. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18， 则这个球的体积为 ________ . 11. 由一个长方体和两个亍圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的
2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB． C．D． 3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（） A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10
5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π
1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（） A．B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．
高考真题第四篇空间几何体 空间几何体的三视图、表面积和体积 2019年 1.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________. 2.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 3.（2019天津理1125若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 4.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．6π C ．6π D 6π 5.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”
称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A．158 B．162 C．182 D．32 6.（2019北京11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 俯视图 侧(左)视图 正(主)视图 12 2 1 A．1 B．2 C．3 D．4
（2018 文 I ）在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ； ⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP - 的体积．（2018 文 I I ）如图，在三棱锥P ABC - 中，AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． ABCD A CD M A CD C D ⑴证明：平面平面； AMD⊥BMC ⑵在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． AM P MC∥PBD
（2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90 BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD 的体积为，求该四棱锥的侧面积. 90APD ∠= 8 3（2017 文 II ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面, P ABCD -PAD ABCD 1 ,2AB BC AD BAD == ∠90. ABC =∠=?
（1）证明：直线平面; BC ∥PAD （2）若△的面积为，求四棱锥的体积. PCD P ABCD （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ．（1）证明：AC⊥BD； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
空间几何体和三视图、表面积及体积１棱柱的体积公式: V=Sｈ，其中S是棱柱的底面积,ｈ为 2棱锥的体积公式:V＝ 1 3Ｓh, 其中S是棱锥的底面积，h为高． 1．（20１6全国一卷（７)）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是＼F（２8π,3),则它的表面积是 (A）17π (B)１8π （Ｃ)20π （D）28π 2.(2016全国三卷１0）如图,网格纸上小正方形的边长为１，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （A） 18365 +（B）54185 +(C)90（D）８1 3.（２０1６全国二卷(7)) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 (A）2０π(Ｂ）２4π(C）2８π(D)32π
4.（20１6浙江9).某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是___＿__cm２，体积是＿_____ｃm3. ５.（2０16天津（3)）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧（左)视图为 6．(2０16四川)已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三菱锥的体积是。 侧视图 俯视图 7.（2０16山东5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A）12 +π33 (B） 12 +π 33(C） 12 +π 36(D） 2 1+π 6 8．（2016北京11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为＿___＿__＿＿__. 1．[２０１5·全国卷Ⅰ改编] 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r）组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1０-１所示.若该几何体的表面积为16+２0π,则r＝___＿＿___． 图１0-1 2．[2015·安徽卷改编] 一个四面体的三视图如图10-2所示，则该四面体的表面积是_____＿＿_.
2020年高考数学空间几何体解答题专练 1.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为 棱AB、PD的中点． （1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求三棱锥C－BEP的体积． 2.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AB=AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点。 1 （1）求证：PQ//平面A1BC1； （2）求证：BC⊥PQ。
3.如图，在直三棱柱ABC－A B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证： 1 （1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1． 4.如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB=PD，PA⊥PC， CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM． （1）求证：OM∥平面PAD； （2）求证：OM⊥平面PCD．
5.如图，在直四棱柱ABCD–A B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点． 1 （1）求证：AC1∥平面PBD； （2）求证：BD⊥A1P． 6.如图，直四棱柱ABCD–A B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC， 1 BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2AB，E，F是线段BC，AB的中 点． （1）证明：ED⊥PE； （2）在线段PA上确定点G，使得FG∥平面PED，请说明理由． 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，∠ADC=60°，， M是PB的中点． （1）求证：PD∥平面ACM； （2）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值．
空间立体几何高考知识点汇总及经典题目
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空间立体几何 知识点归纳： 1. 空间几何体的类型 （1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。 （2） 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。如圆柱、圆锥、圆台。 2.一些特殊的空间几何体 直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。 正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。 正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。 正四面体：所有棱都相等的四棱锥。 3.空间几何体的表面积公式 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2S rl r ππ=+ 圆台的表面积： 22S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积：24S R π= 4．空间几何体的体积公式 柱体的体积 ：V S h =?底 锥体的体积 ：13 V S h =?底 台体的体积 ： 1 )3 V S S S S h =+ +?下下上上（ 球体的体积： 343 V R π= 5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 画三视图的原则： 长对正、宽相等、高平齐。即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。 6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系 （1） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。
高中数学立体几何专题训练 1、（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线 为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP 的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小． 2、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 3、（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
4、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 5、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°． (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
6.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=1 2 AC ==BC.求二面角F BC A --的余弦值 . 7（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5 AB=，6 AC=，点E，F 分别在AD，CD上， 5 4 AE CF ==，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D EF ' 的位置OD'=（I）证明：D H'⊥平面ABCD； （II）求二面角B D A C ' --的正弦值 . 8.（15年山东理科）如图，在三棱台DEF ABC -中，2, AB DE = （Ⅰ）求证：// BD平面FGH； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC,,,45, AB BC CF DE BAC ⊥=∠= 求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小.
第八篇立体几何 第1讲空间几何体及其表面积与体积 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数是________． 解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题 ②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行 于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 1 2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)． ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个 面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体． 解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．
答案 ①③④⑤ 3．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×1 2×a 2＝3，底面积为 34 ×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 3 4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则??? πrl ＝2π， πr 2＝π，∴ ??? r ＝1，l ＝2. ∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝3 3π. 答案 3 3π 5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝4 3π(3)3＝43π.