【高中数学】数学复习题《矩阵与变换》知识点练习
一、15
1．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0q q ≠.
（1）求二价行列式
1
3
24
a a a a 的值； （2）试就q 的不同取值情况，求解二元一次方程组132
43
2a x a y a x a y +=??
+=?.
【答案】（1）0；（2）当23q =时，方程组无数解，且439x t y t
?
=-?
??=?，t R ∈；当23q ≠且
0q ≠时，方程组无解.
【解析】 【分析】
（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】
（1）∵{}n a 是等比数列，∴1423a a a a =， ∴
1
3
24
a a a a 14230a a a a =-=． （2）由（1）知方程组无解或有无数解． 当
241323a a q a a ===时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为439
x y +=， 解为439x t y t
?=-???=?，
当2
3q ≠
且0q ≠时，方程组无解． 【点睛】
本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．
2．关于?的矩阵()cos sin sin cos A ?????-?
?=
???
，列向量
12x X x ??
= ???. （1）已知11x =，23x =，45?=?，计算()A X ?，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy
=的图象绕坐标原点逆时针旋转45?，求得到曲线的方程；
（3）已知数列1
2
n n a =
，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ??????. 【答案】（1
）?
?，表示把向量X 逆时针旋转45?得到的向量；（2）22
122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-??
???.
【解析】 【分析】
（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；
（2
）由题意，得旋转变换矩阵cos sin
4
422sin cos 4
4A ππππ???--
??
==
?
? ? ?????
，设xy =1上的任意点(
)
,P x y '
''
在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；
（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】
（1）(
)cos sin 114
433sin cos 4
42
2A X ππ?ππ??
- ?????? ?===
? ? ? ? ?????? ?
????
?
， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45?得到的向量；
（2
）由题意，得旋转变换矩阵cos sin
4
422sin cos 4
4A ππππ???--
??
==
?? ? ?????
， 设xy =1上的任意点(
)
,P x y '
''
在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，
则222
2x x y y ?- ???? ?= ? ? ????? ?''?
?
，2
2
22
x x y y x y ?=-?
?∴??=+'''?
'?，
则2
2
22
22y x x y x y x y ??''''''-=--==?????
???，
将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45?，所得曲线的方程为22
122
y x -=；
（3）当n =1时，()111
cos sin
2211sin cos 22n
n n n
A a ?
?- ?=
? ? ???
； 当n =2时，()()2
2122
21111cos sin cos sin 2
2221111sin cos sin cos 2
222A a A a ????-- ???=
??? ??? ??
?
????
2222222211111111cos cos sin sin cos sin cos sin 22222222
11111111sin cos sin cos cos cos sin sin 2222
2222?
?
--- ?
=
? ?+- ?
??
22221111cos()sin()22221111sin()cos()2222?
?+-+ ?= ? ?++ ???
，
当n =3时，
()()()2
23
31232
23
3111
11
1cos sin cos sin
cos sin
222222111111sin cos sin cos sin cos 222
22
2A a A a A a ?
?????
--- ?????=
????? ????? ?????
??????
23232323111111cos()sin()222222111111sin()cos()222222??++-++ ?= ? ?++++ ???
，
由此猜想：当n =k 时，
()()()2
2122
2111
111
cos sin cos sin
cos sin
222222111111sin cos sin cos sin cos 222222k k k k
k
A a A a A a ?
???
??--- ??? ?=
???
? ??? ? ??
?
???????
L L 222211111111cos()sin()cos(1)sin(1)2222222211111111sin()cos()sin(1)cos(1)22222222k k k k k k k k ????+++-+++--- ? ?== ? ? ? ?++++++-- ? ?????
L L L L ，
当k →+∞时，1
112
k -
→，
所以()()()12cos1sin1sin1cos1n A a A a A a -??
??????= ???
.
【点睛】
本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.
3．求证：sin cos 1
sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31
x
x x
x x x x
x =-. 【答案】证明见解析
【解析】 【分析】
先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】
sin cos 1
sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x
x =
-+=sin （-x ）-sin
（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】
本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．
4．用行列式解关于的二元一次方程组：1
2(1)x y x k y k
+=??
++=?.
【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11
k x y k k -==-- 【解析】 【分析】
由题方程组中x ,
y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】
由题意可得:11
D 21
k =+= 1k -,11
D 11
X k
k ==+,11 D 22y k k
=
=-,
∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1
D 1X x k ==-,D 2 D 1
y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.
综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解11
21x k k y k ?=??-?-?=?-?
; 1k =时,方程组无解. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.
5．设点(,)x y 在矩阵M 对应变换作用下得到点(2,)x x y +． （1）求矩阵M ；
（2）若直线:25l x y -=在矩阵M 对应变换作用下得到直线l '，求直线l '的方程．
【答案】（1）2011??
????；（2）3x -4y -10=0. 【解析】 【分析】
（1）设出矩阵M ，利用矩阵变换得到关于x 、y 的方程组，利用等式恒成立求出矩阵
M ；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，利用矩阵变换得到点(,)x y ''，代入直线l 中，求得直线l '的方程． 【详解】
解：（1）设a b M c d ??
=????
， 由题意，2a b x x M c d y x y ??????==??????+??????
g ，
所以2ax by x +=，且cx dy x y +=+恒成立； 所以2a =，0b =，1c =，1d =；
所以矩阵2011M ??=????
；
（2）设点(,)x y 在直线l 上，
在矩阵M 对应变换作用下得到点(,)x y ''在直线l '上， 则2x x '=，y x y '=+，所以12x x =
'，1
2
y y x ='-'； 代入直线:25l x y -=中，可得34100x y '-'-=； 所以直线l '的方程为34100x y --=． 【点睛】
本题考查了矩阵变换的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
6．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且sin
cos
sin 222sin
cos 022sec
1
2
A A c
B
B B -=-求角
C 的大小.
【答案】
2
π 【解析】 【分析】
先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】
由sin
cos
sin 222sin
cos 0sin cos sin sin cos 2222222sec
1
2
A A c
B
B A B
C B A B -=?++=-
sin sin 22A B C +??
?+= ?
??
又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-??
==
?
??
，
sin sin sin cos 2222A B C C C +??
+=?+= ?
??
，
sin 12424C C ππ????
+=?+= ? ?????
，又Q 3,
2444C πππ??+∈ ???
，242C ππ
+=∴， 解得2
C π
=
【点睛】
本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题
7．设函数()()271f x x ax a R =-++∈. (1)若1a =-，解不等式()0f x ≥； (2)若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (3)设()1
21
x g a x x +-=
-，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）[)8,6,3
??-∞+∞ ??
?
U ；（2）5a ≥-；（3）4a ≥-.
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论可求不等式的解.
（2）
01x
x
>-的解为()0,1，在该条件下()1f x ≥恒成立即为()720a x +->恒成立，参变分离后可求实数a 的取值范围.
（3）()()f x g x ≤有解即为12722a x x -≥---有解，利用绝对值不等式可求
()2722h x x x =---的最小值，从而可得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1a =-时，()0f x ≥即为2710x x --+≥.
当72x ≥时，不等式可化为72
2710x x x ?≥?
??--+≥?，故6x ≥； 当7
2x <时，不等式可化为72
7210
x x x ?
??-∞+∞ ??
?
U .
（2）
01x
x
>-的解为()0,1， 当()0,1x ∈时，有()()72182f x x ax a x =-++=+-，
因为不等式()1f x ≥恒成立，故()821a x +->即()27a x ->-在()0,1上恒成立， 所以72a x ->-
在()0,1上恒成立，而7
7x
-<-在()0,1上总成立， 所以27a -≥-即5a ≥-. 故实数a 的取值范围为5a ≥-.
（3）()1
211
2
x g x x ax a x a +=
=-++--， ()()f x g x ≤等价于27121x ax x ax a -++≤-++，
即27211x x a ---≤-在R 上有解. 令()27212722h x x x x x =---=---，
由绝对值不等式有272227225x x x x ---≤--+=，
所以527225x x -≤---≤，当且仅当7
2
x ≥时，27225x x ---=-成立， 所以()min 5h x =-，故15a -≥-即4a ≥-. 故实数a 的取值范围为4a ≥-. 【点睛】
解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择.绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及
a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.
8．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵11a A b ??
=??-??的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α??=????． 若x a A y b ????
=????????
，求x ，y 的值．
【答案】x ，y 的值分别为0，1．
【解析】
试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1． 试题解析：
由条件知，2A αα=，即][1222111a b ????=????-????，即][2422a b +??=??-+??
， 所以24,{
22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ??
=??-??
． 则][][][12221444x
x x y A y y x y +????===?
???
--+????
，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y == 所以x ，y 的值分别为0，1．
9．a ，b 满足什么条件时，关于x ，y ，z 的方程组4424ax y z x by z x by z ++=??
++=??++=?
有唯一解.
【答案】当0b ≠且1a ≠时 【解析】 【分析】
计算对应行列式为()11
1
110121
a
D b
b a b ==-≠，计算得到答案.
【详解】
4
424ax y z x by z x by z ++=??
++=??++=?
有唯一解，则()1111212110121a D b ab b b ab b a b ==++---=-≠ 所以当0b ≠且1a ≠时有唯一解 【点睛】
本题考查了方程组的唯一解问题，意在考查学生的计算能力.
10．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=??+-=+?
，当实数m 为何值时，并
在有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ?=??-?-?=?-?
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】 一元二次方程组：22
3(1)21
mx y x m y m +=??+-=+?对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ?
==??-?-?==?-?，即
23233x m
m y m ?
=??-?
-?=?-?
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
11．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ??
=????
对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】 【分析】
根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】
设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点?()
,P x y '
'
'
，
则0112x x y y '??????
=??????'??????，化简，得2x x y y x =-+??='''?
， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】
本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.
12．已知矩阵2101M ??
=????
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量； （2）若21α??=?
?-??
r
，求3M αv . 【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α??
=????
u u r
（2）91????-??
【解析】 【分析】
(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出
方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r
可得333
12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即
可. 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为2
1
()0
1
f λλλ--=
-(2)(1)λλ=--，
令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，
当1λ=，时由二元一次方程0
000x y x y --=??
+=?
. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α?-?
=????
； 当2λ=时，由二元一次方程0000x y x y -=??+=?
.
得0y =，令1x =，
所以特征值2λ=对应的特征向量为210α??
=????
u u r
；
（2）1221ααα??==+??-??u u
r u u r r
Q ，
333
12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210????=+????-????91??=??-??
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
13．已知矩阵13m P m m ??= ?-??，x Q y ??
= ???
，2M m -??= ???，13N m ??= ?+??，若PQ =M +N .
(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.
【答案】(1) 1
323mx y mx my m +=-??-=+?
；(2) 见解析
【解析】 【分析】
(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；
(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】
解：(1) 由题意可得PQ=13m
m m ?? ?
-??x y ?? ???=3mx y mx my +?? ?-??
，M+N=213m m -????+ ? ?+????=123m -?? ?+??，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +?? ?-??=123m -??
?+??，即得1
323mx y mx my m +=-??
-=+?
；
(2) 由题意可得行列式1
(3)3m D m m m m
=
=-+-，1
(3)231x D m m m
=
=--++- ,1
2(3)323
y m
D m m m m -=
=++
①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12
x m y ?=?
??=-?；
②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解； ③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31
x t
y t =??=-?(t ∈R ).
【点睛】
本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.
14．已知圆C 经矩阵332a M ??=??-??
变换后得到圆22
:13C x y '+=，求实数a 的值.
【答案】2a = 【解析】 【分析】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y
y x y =+??=-''?，代入计算得到答案.
【详解】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则33
2x a x y y '??????
=???
???'-??
?
???
， 则332x ax y y x y
=+??=-''?，由(),x y ''在22
:13C x y '+=上， 可得22
(3)(32)13ax y x y ++-=，即(
)
2
22
92(36)1313a x a xy y ++-+=，
由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】
本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.
15．给定矩阵，
；求A 4B ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1，
λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A4B进行计算即可．
解：设A的一个特征值为λ，由题知=0
（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3
当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=
当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=
由于B==2+=2α1+α2
故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2
=+=
点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．
16．
已知矩阵
23
12
A
??=??
??
．
（1）求A的逆矩阵1
A-；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)
P'，求点P的坐标．
【答案】（1）1
A-
23
12
-??=??
-??
（2）点P的坐标为(3，–1)
【解析】
分析：（1）根据逆矩阵公式可得结果；（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标.
详解：（1）因为
23
12
A
??
=??
??
，()
det221310
A=?-?=≠，所以A可逆，
从而1
A-
23
12
-
??=??
-??
．
（2）设P(x，y)，则
233
121
x
y
??????
=
??????
??????
，所以1
33
11
x
A
y
-
??????
==
??????
-
??????
，
因此，点P的坐标为(3，–1)．
点睛：本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.
17．已知曲线C ：x 2
＋2xy ＋2y 2
＝1，矩阵A ＝1210??
????
所对应的变换T 把曲线C 变成曲线
C 1，求曲线C 1的方程． 【答案】x 2＋y 2＝2 【解析】
试题分析：由矩阵变换得相关点坐标关系x ＝y′，y ＝2
x y '-'
，再代入已知曲线C 方程，得
x 2＋y 2＝2．
试题解析：解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝1210??
????
对应的变换下得到点Q(x′，y′)．
则1210x x y y ??????=??????????'??
'， 即x ＋2y ＝x′，x ＝y′， 所以x ＝y′，y ＝2
x y '-'
．
代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′2x y '-'＋2(
2
x y '-')2
＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2．
考点：矩阵变换，相关点法求轨迹方程
18．已知向量11α-??
=????
v 是矩阵103a A ??=????的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A .
【答案】（1）4,3.a λ=??=?（2）2
16709A ??=???? 【解析】 【分析】
（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r
，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。
（2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。 【详解】
解：（1）因为矩阵103a A ??
=??
??属于特征值λ的一个特征向量为11α-??=????u r ， 所以1110311a λ--??????=????????????，即1,3,a λλ-+=-??=?所以4,3.a λ=??=? （2）由（1）知4103A ??=????，所以24141167030309A ??????==????????????
【点睛】
本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。
19．已知矩阵2132A ??=????，列向量x X y ??=????，47B ??=????
，且AX B =.
（1）求矩阵A 的逆矩阵1A -； （2）求x ，y 的值. 【答案】（1）1
2132A --??=??-??（2）1
2x y =??=?
【解析】 【分析】
（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵； （2）由AX B =可得1
214327X A B --????
==????
-????
，计算矩阵的乘法，即可得答案. 【详解】 （1）由2132A ??=?
???，()det 223110A =?-?=≠，所以A 可逆，从而1
2132A --??=??-??
. （2）由AX B =得到1
21413272X A B --??????
===?
?????-??????
， ∴1
2x y =??
=?
. 【点睛】
本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.
20．已知,,x y z 是关于的方程组0
00ax by cz cx ay bz bx cy az ++=??
++=??++=?
的解.
（1）求证：()111
a b
c a b c
a b a b c c a b
c
a
b c =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ?三边长，试判断ABC ?的形状，并说明理由；
（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222
000o x y z ++>”的 条
件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】
（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；
（2）由方程组有非零解得出a b c
c a b
b c a
=0，即
1
1
1
a b
c a
b c
=0，将行列式展开化简即可得出
a＝b＝c；
（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【详解】
（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，
得：a b c a b a b c
c a b c a a b c
b c a b c a b c
++
=++=
++
（a+b+c）?
1
1
1
a b
c a
b c
．
（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，
∴a b c
c a b
b c a
=0，由（1）可知（a+b+c）?
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，
∴
1
1
1
a b
c a
b c
=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；
若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，
∴a b c
c a b
b c a
=（a+b+c）?
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
∴a+b+c＝0或
1
1
1
a b
c a
b c
=0．
由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．
∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．
故答案为④．
【点睛】
本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1
C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C
高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C
4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5
Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3
11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68
一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1
题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五
222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称
全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A
解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为
A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科：
高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--??
高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页
近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为
2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?高考数学选择经典试题集锦
高考数学选择经典试题集锦（二） 1、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是 A. m a b n <<< B. a m n b <<< C. a m b n <<< D. m a n b <<< 2、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n n S n T n +=+，则109a b 的值为 A. 116 B. 2 C. 22 13 D. 无法确定 3、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ??=,I 为PC 上一点，且()(0) AC AP BI BA AC AP λλ=++>，则 BI BA BA ?的值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 4、 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， ()0,()()()(),()()x g x f x g x f x g x f x a g x ''≠? B. W N < C. W N = D.无法确定
历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.
设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．
2019年高考数学真题分类汇编 专题01：集合 一、单选题 1.（2019?浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（） A. {-1} B. {0，1} C. {-1，2，3} D. {-1，0，1，3} 【答案】 A 2.（2019?天津）设集合 ，则（） A.{2} B.{2，3} C.{-1，2，3} D.{1，2，3，4} 【答案】 D 3.（2019?全国Ⅲ）已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则 A∩B=（） A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，1} D.{0，1，2} 【答案】 A 4.（2019?卷Ⅱ）已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（ ） A.（-1，+∞） B.（-∞，2）
C.（ -1，2） D. 【答案】 C 5.（2019?卷Ⅱ）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则 A∩B=（） A.(-∞，1) B.(-2，1) C.(-3，-1) D.(3，+∞) 【答案】 A 6.（2019?北京）已知集合A={x|-1
9.（2019?全国Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了 了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中 阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【答案】 C 二、填空题 10.（2019?江苏）已知集合，，则 ________. 【答案】
1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）
A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =
于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．