第21卷第4期 系
统 仿 真 学 报? V ol. 21 No. 4
2009年2月 Journal of System Simulation Feb., 2009
? 936 ?
月球软着陆制导律设计及其误差分析
刘浩敏，冯军华，崔祜涛，张泽旭
（中国空空导弹研究院，洛阳 471009）
摘 要：随着任务需求的复杂化，实现高精度定点软着陆是未来月球探测的必然要求。首先，基于简化的软着陆动力学模型，通过求解特殊两点边值问题，给出了一种实时显式制导方法。其次，建立了月球软着陆主制动段的误差模型，并运用误差敏感系数矩阵对所提出制导律的制导误差进行分析。结果表明，与初始位置偏差相比，初始速度偏差对终端各状态的影响要大；位置、速度测量误差分别只对本轴终端位置、速度影响较大；制导律对刻度因素误差最敏感。 关键词：月球软着陆；两点边值问题；显式制导；敏感系数矩阵
中图分类号：V448.233 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2009) 04-0936-03
Guidance Law Designing and Its Errors Analyzing for Lunar Soft Landing
LIU Hao-min, FENG Jun-hua, CUI Hu-tao, ZHANG Ze-xu
(China Airborne Missile Academy, Luoyang 471009, China)
Abstract: With the lunar exploring task becoming more and more complex, it is inevitable to realize fixed position soft landing with high precision. Firstly, based on simplified dynamics of lunar soft landing, an explicit guidance law was induced by solving the special two-point boundary value problem. Secondly, error modules of main braking were established and errors of the guidance law designed above were analyzed by error sensitivity coefficient matrixes . The result suggests that compared with initial position deviations, initial velocity deviations have greater influence on the terminal states; initial deviations have large influence on comparative states; additionally, bias scale factor errors have the greatest influence on the guidance law.
Key words: lunar soft landing; two-point boundary value problem; explicit guidance; sensitivity coefficient matrix
引 言
在月球探测过程中，为实现定点软着陆，主制动段制导
律设计是最重要的技术之一。在主制动段，着陆器初始速度很大，一般为几千米每秒，制导律的设计，要求高效率地抵消此速度。考虑到所带燃料的限制和定点软着陆的要求，制导律的设计还要满足燃耗最优和终端位置约束。目前，国内外许多学者对月球软着陆主制动段的制导律设计问题进行了大量的研究工作。印度的RV . Ramanan 等人，运用全局变量搜索的方法求解两点边值问题设计出了一种基于燃耗最优的月球软着陆制导律[1]。该方法虽然对燃料消耗和终端位置均作了约束，但该方法是一种完全开环制导法，各种误差源的存在导致了探测器并不能对目标点实现定点软着陆。Feng T.Y 为提高着陆精度和实现定点软着陆，将比例导航加对数减速(Proportional Navigation plus Logarithmic deceleration)应用于重力转弯制导过程[2]。
该方法虽然制导性能较好，但只能应用于较低高度的最终软着陆段，不适合较高轨道的动力下降段。在国内，相关学者也作了大量工作。
收稿日期：2007-07-10 修回日期：2007-11-20 基金项目：民用航天预研课题 作者简介：刘浩敏(1982-), 男, 湖北人, 硕士, 研究方向为飞行器动力学与控制; 冯军华(1982-), 四川人, 硕士, 研究方向为月球软着陆障碍检测与规避; 崔祜涛(1970-), 男, 吉林人, 博士, 教授, 研究方向为深空探测器导航、制导与控制, 轨道设计与优化, 自主导航与控制; 张泽旭(1971-), 吉林人, 男, 博士后,副教授,研究方向为图像处理。
王大轶等提出了一种燃耗次优显示制导方法[3]；王鹏基等通
过在剩余时间间隔内对着陆轨迹进行局部优化设计了一种燃耗次优解析制导律[4]。这些方法虽然能满足月球软着陆要求，但均没有对水平方向位置做出约束。此外，在实际过程中，初始位置、速度误差和系统参数偏差均会对制导精度产生较大影响，有必要对主制动段的误差源对制导律的影响做出分析。
月球软着陆动力学模型具有很强的非线性，本文将根据简化的月球软着陆模型，对燃耗最优的显式闭环制导方法进行设计，并对影响主制动段制导性能的误差进行建模，最后用误差敏感系数矩阵分析了这些误差源对制导律的影响。
1 基于燃耗最优的制导律设计
1.1 月球软着陆动力学模型
首先定义着陆场坐标系。原点O 选在着陆点，设
I
O 为月球球心，
Z 轴沿I O O 方向背离月心为正；X 轴垂直于Z 轴指向着陆器运动方向为正；Y 轴服从右手法则。
在整个主制动段制导过程中，忽略月球自转及非球形摄动等的影响，视月球重力加速度为常值，在着陆场坐标系下有如下简化动力学模型，见式(1)，其中，X Y Z A A A 、、分别为着陆器在着陆场坐标系三个轴上的加速度分量(除重力加速度以外)，L G 为月球重力加速度，视为常数。
2009年2月 刘浩敏，
等：月球软着陆制导方法设计及其误差分析 Feb., 2009
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X
Y Z L X U Y V
Z W U A V A
W A G ?=??=??=???=??=??
=??i
i
i
i
i
i (1)
1.2 制导律设计
为了实现定点软着陆，主制动段的制导必须对着陆器的终端速度和位置进行约束。本文针对上述简化动力学模型，运用极大值原理，通过求解两点边值问题对制导律进行设计。
引进状态变量为着陆器在着陆场坐标系下的位置和速度：[]T
X X Y Z U V W = ，为讨论状态变量反馈控制，
以着陆过程任一瞬时点状态为初值0X
，着陆目标点状态为
终值f X
。定义剩余时间go T 为着陆器从当前时刻运动到目标点所用时间，则在时间间隔[0,]go T 内，以三个轴向加速度的平方和最小为性能指标，对(1)式构建最优控制模型。求解这个最优控制问题本质上就是规划一组容许最小控制加速
度[]T X Y Z A A A ???，使着陆器在时间间隔[0,]go T 内转移至期望
状态，与之相应的状态方程的解X ?
就是最优规划轨迹。求
解最优控制方程可得
002002
0026()2(2)6()2(2)6()2(2)f f go
X go
f f go Y go f f go
Z L go X X U U T A T Y Y V V T A T Z Z W W T A G T ??????+=??
???+=?????+=+?? (2) 由于着陆器总的运行时间不确定，由极大值原理可知哈密顿函数在go T 处的值为零，由此可得如下一元四次方程：
42
0go go go
T aT bT c +++= (3)
其中， 2
220004()
L U V W a G ++=? (4) 0000002
24()L U X V Y Z W b G ?++=?
(5) 222
00036()L X Y Z c G ++=? (6) 求解上述方程即可确定剩余时间的表达式[5]
。
上述各式中，f X
表示到达终点时着陆器的状态，0X
表示着陆过程中任一瞬时点状态，将其用各时刻瞬时量代替即可得到一种实时能量最优显式闭环制导律。该制导律是剩余时间的函数，只与着陆器当前状态有关。由(2)式可以看出，该制导律对着陆器终端位置和速度均作了约束，能满足现代月球定点软着陆要求。
2 基于敏感系数矩阵的制导误差分析 在月球软着陆主制动段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。初始条件误差由主制动段以前的任务决定，传感器误差则由导航系统和传感器本身决定。此外，影响制导精度的因
素还包括月球自转、月球不规则摄动等误差，对它们的研究可单独进行，这里暂不做介绍。
2.1 误差模型建立
2.1.1 初始状态误差模型
记着陆器的实际初始状态为i X
，标准初始状态为n X ，
则定义初始状态偏差i x
为
i n i x X X =?
(7)
对于主制动段这一特定的飞行过程，这些偏差都是确定的；而针对整个月球探测任务，这些偏差就变得具有随机性。
在本文中，假定i x
的所有元素均服从零均值高斯分布，相互不独立，其相关性取决于前一阶段任务的特性。 2.1.2 传感器误差模型
由于只研究误差对制导律的影响，所以这里假设需要测量的量均可由导航系统直接测得，误差大小均考虑为典型误差值。由上一目设计的制导律可以看出，需要由导航与控制传感器测量的量主要为着陆器相对于着陆场坐标系的位置、
速度和加速度。定义待测量量Q
为
[]T Q X Y Z U V W A =
其估计值记为 Q ，则传感器误差定义为 q Q Q =? (8) 那么，单个测量量的估计误差模型可用误差向量 q 的第j (j =1，2…7)个元素 j
q 来表示。由参考文献[5]可知，第j 个观测量的总估计误差 j
q 由以下四部分组成
()()()()()100100jbs jns j j
j jbc jnc q q t q t q +Q t +q t +Q t ≡ (9) 针对主制动这一特定操作阶段，上述四部分误差具有如
下特性： jbc
q
—第j 个观测量的测量误差，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布； jbs
q —第j 个观测量的刻度因素误差系数，恒为常值，其分布服从零均值高斯分布； jnc
q —第j 个观测量的随机误差，其为一高斯白噪声；
jns
q —第j 个观测量的刻度因素随机误差系数，其为一高斯白噪声。
2.2 制导误差分析
由于采用闭环制导，制导控制系统对随机误差具有一定鲁
棒性，所以本文将着重对初始偏差和类似于 jbc
q
和 jbs
q 这样的传感器常值误差进行仿真研究，分析它们对制导精度的影响。 2.2.1 误差分析系统建立
误差分析系统框图如图1所示，下面将对其结构进行
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分析。
图1 误差分析系统结构图
图中所示初始状态偏差实际上是加在相应积分器中。
由前面的分析可知，观测量的实际输出值受到初始状态偏差、传感器测量误差以及传感器刻度因素误差的影响，故误差分析系统模拟程序的实际输入应包含以下几部分(以X 通道为例)：
100
bs bc i
x X X x x X =+++ (10) 其中，
X 为观测量的实际输出值，X 为标准值，i
x 为初始状态偏差(只在初始时刻存在)， bc x
为传感器测量偏差， bs
x 为传感器刻度因素误差系数。由图1可以看出，为了更准确地表示传感器误差模型，这里考虑了传感器的动态性能，其传递函数设为一阶惯性环节1/(1)Ts +，其中，T 为传感器时间常数，因传感器的不同而取不同值。
由误差分析系统结构框图可以看出，其输入量主要包括：标准初始状态向量、初始状态偏差、传感器测量误差、传感器刻度因素误差系数、传感器时间常数、期望终端状态；输出量为加入误差前后的仿真终端状态向量。 2.2.2 误差敏感系数矩阵求取
在有形如(7)式误差输入的情况下，首先根据图1生成一个模拟整个闭环制导控制系统的数字仿真程序，然后运行该程序，对比程序输出即可得到误差敏感系数矩阵。具体运行过程如下：
第一步：将传感器误差设置为零，初始状态设置为标准值，运行模拟程序。这一步称为标准运行。
第二步：将其中一个传感器误差设置为非零输入或者设置一个非标准初始状态，然后进行一系列运行。
第三步：将第二步运行的系统输出和标准运行的系统输出进行比较即可确定各误差源的影响。
如X 通道标准初始偏差为i x ，输入该误差前后，X 通道终端状态分别为0X 和1X ，则X 通道对标准初始偏差i x 的敏感性可用10()/i X X x ?来反映。
通过这种方法，可得到一组反映月球软着陆主制动段终
端总误差向量f p 和两个传感器误差向量 bc q 、 bs q 以及初始状态偏差向量i p
之间关系的误差敏感系数矩阵。由参考文
献[6]可知，其相互关系可表示为
123f i bc bs p S p S q S q =++ (11) 其中，1S 、2S 和3S 分别表示相对于i p 、 bc
q 和 bs q
的误差敏感系数矩阵。
终端误差向量能用这种形式表示的假设条件是动力学的线性化必须在标准轨迹区域内。验证该假设条件的方法有两种：扩大输入误差仿真法和复合仿真法，这里略去其验证过程。 2.2.3 误差分析
假设导航系统采用常规惯性测量单元，表1列出了其典
型误差值，其中，位置误差能保持在102数量级，速度在101数量级，加速度为10-5g 数量级。
表1 常规惯性测量单元典型误差值
初始位置偏差(m)
初始速度偏差(m/s)
位置测量偏差(m)
速度测量偏差(m/s)
加速 度测 量偏 差 位置 刻度 因素 误差
速度刻度因素误差
加速度刻度因素误差100 10 100 10
3e
-5
g ?
0.2% 0.1%
0.1%
*g 为地表重力加速度。 运用上述方法得到的敏感系数矩阵给出如下：
34345
53
54
13
5.50210 2.08010 1.050103.85010 1.401107.301101.69210
6.41110 3.240108.36210S ??????????×?×?×?××××××=×4
3
45
5
354
2.57010 1.862105.86010 1.41010 1.312102.57510
7.90210 5.71010??????????????×?×???×××??×××??
12223322
21.41810 4.024108.939101.00110 3.21010 4.030104.40710 1.23910 1.83310?????????×?×?×?×××?×××1212232
225.580108.74210 1.414103.93610 1.196109.901101.73210 2.69010 4.57710??????????
?
???
?×××??
×?×?×?
×?×?×??
1334053
4129.85910 1.15410 1.157103.13010 1.000108.100101.37910 3.560109.99910S ?????????×?×?×?×?××?×××=2
3433534
3
5.40210 1.540107.210101.04510 1.86410 5.000104.59810
4.77010
5.64310??????????××?×××××××?????????? 11221031012.74310
6.812108.69510 3.48910
7.74610 5.20310 6.17010 2.443103.40810 2.110103??????×?×?×?××?×××××?020********
.28110 4.401103.50410 4.235108.202109.833101.527109.36810 5.76010 6.864106.72110??????×××××?×?××?××?×1121.30610 5.63310 3.02010???
?
???
??
?
?×××??
1
12321
1
1
3 5.631410 5.49410 3.533108.47910 1.60010 2.473103.73010 1.69210 1.66410S ?????????×?×?××××?
×××=0
101120108.92410 6.75510 1.027104.619108.996107.165102.03310
2.09510
3.34410??????××?×××××?××???????????
000001121
1
2.81010 1.61810
3.65010 2.563101.11210 3.54010 2.55610
4.291108.61310 4.98210 3.4??????×?×?×?×?×××?×××0
1010
0001100110 1.888107.852107.67010 5.10310 3.230103.24610 1.12210 3.56610 2.256102.39710
2.380????×?×××?×?××?×××?×?10
110
7.00510
9.93010???
?
??
?
??
?
×?××??
（下转第943页）
2009年2月 冯明库，
等：连续混沌系统仿真步长选取范围的研究 Feb., 2009
? 943 ?
1A 、3A ：1 2.7595λ=?、2,30.1297 2.1329j λ=± 2A ：1 1.5522λ=、2,30.6761 1.8978j λ=?±
由于数值仿真的起始点选为(1，0，-1)，靠近平衡点(1.5，
0，-1.05)，仿真实验中混沌系统的基频0 2.1329ω=，基周期为T 0=2π?ω0 =2.9443S 。
由前面的数值仿真实验知要使Chua’s 混沌系统保持其类随机性，仿真步长选在(0.0001，0.7)较为合适，用基周期来表达即为(1?29940 0T ，1?5 0T )
综观三个连续混沌系统仿真步长的理论计算，我们可以统一选取(1?5000 0T ，1?100 0T )内，这样即可以提高仿真运算速度，又可以使混沌吸引子的形状和类随机性不发生变化，这个选择范围也与通常连续混沌系统数值仿真步长的经验取值相吻合[13-15]。
5 结论
本文通过计算混沌序列穷尽熵的方法，采用数值仿真深入探讨了连续混沌系统仿真步长选取的最佳范围，并从理论计算上给出一界限公式。当然，为兼顾仿真速度和精度，保证混沌类随机性不缺失，通常还要采用变步长的方法，但步长的取值应在本文给出的选取界限中。
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(上接第938页)
由1S 矩阵可以看出，初始位置偏差的敏感系数为4
10
?数量级，初始速度误差的为2
10?数量级。由此可以看出，本文提出的制导方法对初始速度偏差较敏感。此外，由1S 矩阵还可以看出，初始位置偏差对终端速度的影响较小，初始速度偏差对终端位置的影响较大。同样，由2S 矩阵可以得出如下结论：位置测量误差只对本轴终端位置影响较大，而对其它轴的位置和速度影响较小，轴向速度测量误差的影响亦有此规律；加速度测量误差对终端各状态变量的影响均较大。3S 矩阵表示刻度因素误差对终端状态的影响。从该矩阵的各元素可以看出，相对于初始状态偏差和测量误差，制导律对刻度因素误差的敏感性明显要高。
3 结论
本文针对月球软着陆主制动段的任务操作，建立了简化的月球软着陆动力学模型，基于极大值原理，求解两点边值问题，给出了一种能量最优显式制导法。该方法对着陆器终端速度和位置均做了约束，能满足精确定点软着陆要求，并且求解简单，无需迭代，是一种实时闭环制导方法。其次，建立了影响月球软着陆主制动段制导精度的误差模型，并运用误差敏感系数矩阵对所设计制导律的制导误差做出了分
析。结果表明，与初始位置偏差相比，初始速度偏差对终端各状态的影响要大；位置、速度测量误差分别只对本轴终端位置、速度影响较大；制导律对刻度因素误差最敏感。
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