一元二次方程应用
---- 销售利润问题
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一、复习旧知：
已知某商品每件进价a元，提价50%H定价为______________ 元，打八折后售价为______________ 元
此时利润为 __________________ 元，利润率为_____________ 。
二、引入新知：
1某种服装进价每件16元，当定价60元时，平均每天可销售20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下。若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元？
(1)完成表格。设每件降价x元，则有
(2)_________________________________________ 题中主要等量关系是______ X =总利润1600元
(3)_______________________________________________________________ 如果设每件衣服降价x 元，那么每件衣服的定价就是________________________________________________ 元，每件衣服的利
润为 _____________________ 元，销售量变为__________________________ ，这样就可以列出一个方
程_______________________________ 。
(4)解：设________________________
由题意可得方程 ____________________________________
解得：X1=4, X2=36
答： ___________________________________
(5)销售利润类问题的数量关系有哪些？( 6)思考：列方程解应用题的一般步骤是什么？
2. 拓展练习：某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50
元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。商店想在
成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
(1 )题中等量关系是__________________________ X = _______ 总利润8000元
(2)思考：如果设每千克水产品定价为____________________ x元，每千克产品的利润为元，
销售量为 _______________ kg ____________ ，根据等量关系可以列出方程：___________________
(3)解：设________________________
由题意可得方程： _______________________________________________
解得：X1=60, X2=80
答： __________________________________________________
3、变式练习：
(1) 一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80t，目前可以以1200元/t的价格售出。如果储藏起来，每星期会损失2t，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元。
设储藏x个星期出售这批农产品获利122000元，可列方程_____________ 。
(2)某果园原计划种10棵桃树，一棵桃树平均结100个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2 个，但多种的桃树不能超过10 棵。如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？( 362=1296)
【随堂小测】
4. 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900 元时，平均每天能售出8 台；而当销售价每降低50 元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，每台冰箱应降价多少元？此时售价多少？
5. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1 元，其销售量就将减少10 个。为了实现平均每月10000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
选做题：一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，这次会
有人统计一共握了66 次手。
议到会的人数是多少？
一元二次方程 一、选择题 1．下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程 2452x x ++= 有实数根B ．一元二次方程2452x x ++= 有实数根 C ．一元二次方程2453x x ++= 有实数根；D ．一元二次方程x2+4x+5=a(a ≥1)有实数 根． 2．关于x 的方程(a －5)x2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 3． 若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为（ ） A 5 B 6 C 83 D 10-17 。 4．已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的 值等于 （ ）A ．－5 B.5 C.-9 D.9 5．已知方程2 0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．a b C ．a b + D ．a b - 6． 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( ) A.3 B.-1 C.-3 D.-2 7．关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 （ ）．A ．k ≤9 2 B ．k ＜9 2 C ．k ≥92 D ．k ＞9 2 8．方程x(x －1)＝2的解是 A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x1＝1，x2＝－2 D ．x1＝－1，x2＝2 9．方程x2－3|x|－2＝0的最小一根的负倒数是（ ）
一元二次方程的应用——利润问题教学设计 （江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100） 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500
一元二次方程知识点复习 考点一：一元二次方程的定义 考查概念问题通常是考查一元二次方程的定义，此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的 一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱。 基础知识填空： (1)只含有_________未知数,,并且未知数的最高次数是____的______方程,叫一元二次方程, 一元二次方程的解也叫一元二次方程的_______. (2) 一元二次方程的一般形式为__________________________. 例1．（1）方程(m+1)x +7x-m=0是一元二次方程，则m= （2）若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0的常数项为0，则m等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 例2.（1）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，则方程必有一根为_______. （2）若b（b≠0）是关于x的方程2x2+cx+b=0的根，则2b＋c的值为 . (3).（2014?襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0 的一个根，则a的值是． 考点二:一元二次方程的解法 一元二次方程的解法要根据方程的特点，灵活选用具体方法。对于特殊的方程要通过适当的变换，使之转化为常规的一元二次方程，如用换元法。 基础知识填空： (1)解一元二次方程的基本思路是将____________化为___________(即__________)。 (2)解一元二次方程的基本方法有________,_________,_____________,__________等. (3)解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式为__________________________. 例3．用适当的方法解一元二次方程 （1） x=3x (2).(x-1)=3 (3)x-2x-99=0 (4)2x+5x-3=0 （5）3x(x-1)=2-2x (6)2x+6=(x+3)2 例4．若（a+b）-2(a+b)-3=0,则a+b=________.若(x+y)-4(x+y) -5=0,则x+y=_________。例5、用配方法解方程时，此方程可变为（） (A) (B) (C) (D) 考点三:一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的根的判别式可以用来：(1)不解方程，判断根的情况；(2)利用方程有无实数根，确定取值
初中数学 第一课时 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题 一、回顾思考： 一元一次方程是只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程。 它的一般形式是 。 二元一次方程是含有 未知数，并且含未知数的项的最高次数是 的 方程。 它的一般形式是 。 二、观察归纳： 观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、 。2 。3 。 猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫 。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； 思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意： （1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。 （3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般
个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄） 海豚教育个性化教案编号：
教案正文： 一元二次方程的应用 第一课时 一、解应用题步骤： 1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程； 5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解． 二、常见类型 (一)平均率问题a(1±x)n=b 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________； 2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下： 月份一二三四五六 产量(台) 50 51 48 50 52 49 (1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数； (2)由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生 产量平均每月的增长率是多少？ 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重 要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修 建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地 面积为公顷，比2000年底增加了公 顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增 加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地 总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增 长率．
4、王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入银行,到期后将本金和利息取出,并用掉了50元,剩下的有全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下降到第一次存款年利率的的一半,这样到期后可得本金和利息共63元,求第一次存款时的年利率是多少? 第二课时 (二)面积问题 1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽? 2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？ 3、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是2 5400cm，求金色纸边的宽为多少？
第二十二章一元二次方程 1、一元二次方程（1） 学习目标： 1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 难点：由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。 导学流程： 自学课本导图，走进一元二次方程 分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程 去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？ 探究新知 自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题： 问题1可列方程整理得②问题2可列方程整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 展示反馈 【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。 其中为一元二次方程的是： 【我学会了】 1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。 自主探究： 自主学习P26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1）81 x（2）)2 42= -x x x = 3+ (5 )1 ( 【巩固练习】教材第27页练习
一元二次方程测试题 一、选择题：（30分） 1．下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. y 2＋2y ＋1＝0 B. x 2＝1－ x C. p 2－ p D. x 3－x ＋1＝x 2 2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A 、09922=--x x 化为100)1(2=-x B 、0982=++x x 化为 25)4(2=+x C 、04722=--t t 化为1681)47(2=-t D 、02432=--y y 化为910)32(2=-y 3．一元二次方程x 2－4＝0的实数根为（ ） A. x ＝3 B. x ＝－2 C. x 1＝2，x 2＝－2 D. x 1＝0，x 2＝2 4．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面 积是( ) A 、8cm 2 B 、9cm 2 C 、64cm 2 D 、68cm 2 5．下列方程中：① x 2－3x －4＝0；② y 2＋9＝6y ；③ 2x 2－5x ＋9＝0； ④ x 2＋2＝2 x 有两个不相等的实数根的方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 6．已知关于x 的方程032=+-a x x 的一个解为2，那么另一个解是( ) A 、-2 B 、-1 C 、1 D 、2 7. 满足两实数根的和等于4的方程为（ ） A. x 2＋4x ＋6＝0 B. x 2＋4x －6＝0 C. x 2－4x －6＝0 D. x 2－4x ＋6＝0 8．根据下列表格的对应值，判断02=++c bx ax (0≠a ，a 、b 、c 为常数) 的一个解x 的取值范围是：( ) x 3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A 、3﹤x ﹤3.23 B 、3.23﹤x ﹤3.24 C 、3.24﹤x ﹤3.25 D 、3.25﹤x ﹤3.26 9．若分式14 52+++x x x 的值为0，则x 的值为( ) A 、-1或-4 B 、-1 C 、 -4 D 、无法确定
2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：
一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。
2．3一元二次方程的应用（1）教案 一、教材分析 1、教材地位和作用 本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联 系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方 程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识 的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生 分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。 2、教学目标 数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下： 知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题； 能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力; 情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦. 3、教学重点和难点 由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是 找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分 析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生 活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。二、教学方法与手段： 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材 内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发 式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生 的积极性和主动性。 三、学法指导：
一元二次方程的应用学案 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一.自主学习 例1.如图，有一块长40c、宽30c的矩形铁片，在它的四角各截去一个全等的小正方形，然后拼成一个无盖的长方体盒子.如果这个盒子的底面积等于原来矩形铁片面积的一半，那么盒子的高是多少？ 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.如图，N是一面长10的墙，要用长24的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABcD.已知花圃的设计面积为45平方米，花圃的宽度应当是多少？ 解：设矩形花圃ABcD的宽为x，那么长____. 根据问题中给出的等量关系，得到方程_________________________________.
解这个方程，得＝ ＝ 根据题意，舍去_________________. 所以，花圃的宽是________. 二.对应练习 从一块正方形木板上锯掉2c宽的矩形木条，剩余矩形木板的面积是48.求原正方形木板的面积. 有一块矩形的草坪，长比宽多4.草坪四周有一条宽2的小路环绕，已知小路的面积与草坪的面积相等地，求草坪的长和宽. 三.当堂检测 两个数的和是20，积是51，求这两个数. 如图，道路AB与Bc分别是东西方向和南北方向，AB＝1000.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是1000？
专题 一元二次方程的解法 类型1 直接开平方法 形如x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程，用直接开平方法求解． 1．用直接开平方法解下列方程： (1)3x 2－27＝0； (2)(x ＋3)2＝(1－2x)2. 类型2 配方法 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解． 2．用配方法解下列方程： (1)9y 2－18y －4＝0； (2)14 x 2－6x ＋3＝0. 类型3 因式分解法 能化成形如(x ＋a)(x ＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x(x －2)＋x －2＝0； (2)5x(x －3)＝6－2x (3)5(x －3)2＝x 2－9. 类型4 公式法
当方程没有明显特征时，运用公式法求解． 4．用公式法解下列方程： (1)2x 2－3x ＋1＝0； (2)4x 2－36x ＋3＝0； (3)3x(x －3)＝2(x －1)(x ＋1)． . 类型5 选择合适的方法解一元二次方程 5．用适当的方法解下列方程： (1)x 2－4x －6＝0； (2)4x 2－4x －3＝0； (3)(x ＋8)(x ＋1)＝－12； (4)－3x ＋12 x 2＝－2； (5)4(x ＋1)2＝9(x －2)2； (6)(2x －1)(x ＋1)＝(3x ＋1)(x ＋1)． 类型6 换元法 6．【注重阅读理解】(教材P57复习题T12变式)阅读材料： 为了解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，设x 2－1＝y ，那么
二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数
c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求
《一元二次方程的应用》教案 教学内容 本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决问题． 教学目标 知识技能 1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 数学思考 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述． 解决问题 通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识． 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：列一元二次方程解有关问题的应用题． 难点：发现问题中的等量关系． 关键：建立一元二次方程的数学模型解问题． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题． 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容． 教学过程 一、复习引入 我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决. 【思考】 列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 【活动方略】
教师演示课件，给出题目． 学生口答，老师点评． 二、探索新知 【问题情境】 例：某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2 ，上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ (2)如果计划每天挖土48m 3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：(1)设渠深为x m 则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m 依题意，得： 1 2 (x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2 +6x -8=0 解得：x 1= 4 5 =0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ． (2) 1.6750 48 =25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道． 例：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+ 0.1 x ×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元 则(0.3-x )(500+1000.1 x )=120 解得：x =0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元． 例：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表
2019版中考数学专题复习专题二（11-2）一元二次方程的应用学 案 【学习目标】 1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效地数学模型． 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 【重点难点】 重点：列出一元二次方程解决实际问题. 难点：将实际问题抽象为代数问题，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程解决实际问题． 【知识回顾】 一．回顾练习 1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，现有6个球队，共需安排_____场比赛. 2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是 3.一件工程，甲独做2小时完成，乙独做3小时天完成，甲乙合作_____小时可以完成. 4.一个两位数个位数字是a,十位数字是b，这个两位数是_______ 5.为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为米，宽为米. 【综合运用】 （一）面积问题 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，所截去的小正方形的边长是多少？（二）传播问题 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
(三）平均增长率问题 某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率. （四）商品销售问题 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【直击中考】 1..如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 2.（xx年）（本小题满分7分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学xx 年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，xx年投资18.59万元. （1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率； （2）从（xx年）到xx年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？ 一元二次方程的应用复习学案答案
风华中学八年级数学组集体备课资料 课题一元二次方程的应用 科目数学设计者丁亚校对人 课时 1课时使用者时间 一、教学目标（知识与能力，过程与方法情感态度价值观） 1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，可化为一元二次方程 的分式方程解应用题。 2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。 3.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解 决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。 二、教学重点 学会列一元二次方程解应用题。 三、教学难点 选择合适的方法解一元二次方程。 四、教学过程
第四课时 例1：要组织一次篮球赛，赛制为单循环（每两队赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队？ 变式：双循环（两队赛两场）主客场 练习1：一个旅行团互相握手祝福，共握手36次，求该团共有多少人？ 练习2：生物小组的学生，将自己收集的标本，向其他成员各赠送一件，全组共赠送182件。这个小组共有多少名同学？ 练习3：往返于甲，乙两地的客车，中途要停靠三个站，如果站与站之间的路程及端点与甲，乙两地的路程都不相等，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种车票？ 练习4：如果直线l上依次有3个点A,B,C，那么 （1）在直线l上共有多少条线段？ （2）在直线l上增加一个点，共增加了多少条线段？ （3）如果在直线l上增加到n个点，则共有多少条线段？ 例2：有一个人患了流感，经过两轮传染后，共121人患了流感，每轮传染平均一人传染几个人？继续第三轮传染，问第三轮有多少人被传染？ 练习5：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 小结：谈谈这节课你有哪些收获？
一元二次方程的实际应用学案 ——几何图形问题 一、知识回顾： 1、列方程解应用题的步骤： （1）、 （2）、 （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 2、常见的几何图形的面积公式： （1）、矩形的面积＝长× ； （2）、正方形的面积＝ （3）、三角形的面积＝ 21×底× ； （4）、梯形的面积＝2 1×（ ）×高； 二、课前练习： 1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为 2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为 3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为x cm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲： 例1、如图，从一块长8厘米、宽6厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半。求这个宽度 解：设这个宽度为x cm ，则小长方形的长为 ， 宽为 ，根据题意，得 答： 例2、（08广东改编）在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去 四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为
cm，求所截去小正方形的边长。 8002 解：设所截去小正方形的边长为x cm，则底面长方形 的长为，宽为，根据题意，得 答： 例3、振中的生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平 m，小道的宽应是行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402 多少？ 解：设小道的宽为x m，根据题意，得 答： 四、当堂训练： 1、校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边 m，小道的宽应是多少？的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402
北师大版一元二次方程单元测试(含答案)
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一元二次方程 一、选择题 1．下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程 22452x x ++= 有实数根B ．一元二次方程23 452x x ++= 有实数根 C ．一元二次方程 25 453x x ++= 有实数根；D ．一元二次方程x2+4x+5=a(a ≥1)有实数根． 2．关于x 的方程(a －5)x2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 3． 若a 为方程式(x -17)2=100的一根，b 为方程式(y -4)2=17的一根， 且a 、b 都是正数，则a -b 之值为（ ） A 5 B 6 C 83 D 10-17 。 4．已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a 的 值等于 （ ）A ．－5 B.5 C.-9 D.9 5．已知方程2 0x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．a b C ．a b + D ．a b - 6． 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( ) A.3 B.-1 C.-3 D.-2 7．关于x 的一元二次方程x2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 （ ）．A ．k ≤9 2 B ．k ＜9 2 C ．k ≥92 D ．k ＞9 2 8．方程x(x －1)＝2的解是 A ．x ＝－1 B ．x ＝－2 C ．x1＝1，x2＝－2 D ．x1＝－1，x2＝2 9．方程x2－3|x|－2＝0的最小一根的负倒数是（ ） （A ）－1 （B ）) 173(41 -- （C ）21（3－17） （D ）21 10．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且 22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1 B ．12 C ．13 D ．25
补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________
教案：一元二次方程应用 Teaching plan: application of quadratic equation with one varia ble 编订：JinTai College
教案：一元二次方程应用 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 第一课时 一、教学目标 1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。 2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。 3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。 二、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。 2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。 3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。
4．解决办法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象 为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。 三、教学过程 1．复习提问 （1）列方程解应用问题的步骤？ ①审题，②设未知数， ③列方程， ④解方程， ⑤答。 （2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数） 2．例题讲解 例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。 分析： （1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，
4.7一元二次方程的应用（1） 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一、自主学习 例1.如图，将一根为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160平方厘米，求两个正方形的边长。 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆的盈利增加10元，每盆应当种植该花卉多少棵？ 二.对应练习 1.天全村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。要求长宽的比为3:1,。在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1 m的通道。当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300平方米？
2.矩形ABCD的边AB=200cm,O为AB的中点，O E⊥AB交CD于点E.质点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动。经过多少秒时，⊿OPQ的面积为1800平方厘米？ 三、当堂检测 1.两个实数的和是10，积是-75，求这两个数. 2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是10002 m？ 教学反思： A