一元三次方程求根公式
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盛金公式
三次方程新解法——盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）
一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，
总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：
X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：
X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；
X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，
其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：
X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，
其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：
X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；
X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，
其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1 盛金判别法 盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means） ① 当A=B=0时，方程有一个三重实根； ② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 盛金定理 盛金定理（Shengjin's Theorems） 当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。 盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1 显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。 注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。 盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP·91—98 . 一元 三次ax^3 +bx^2+cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花木子米给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。（《数学九章》等） 一元三次方程求根公式 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 卡尔丹公式的推导 第一步： ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便，约去a得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ， 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ， 所以相加后y^2抵消， 得到y^3+py+q=0， 其中p=(-k^2/3)+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步： 方程x^3+px+q=0的三个根为： x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)； x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 其中w=(-1+i√3)/2。 ×推导过程： 1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ； 2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。 再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。 设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①， 如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立， 由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。 解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 则u^3=A；v^3=B ， u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ； v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ， 但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解： u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)； u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2； u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 最后： 方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 卡尔丹公式 方程x^3+px+q=0，（p，q∈R） 判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。 x1=A^(1/3)+B^(1/3)； x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 这就是著名的卡尔丹公式。 卡尔丹判别法 当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根； 当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等； 当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。 根与系数的关系 设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则 x1+x2+x3=-b/a； x1x2+x2x3+x1x3=c/a； x1x2x3=-d/a。 一个三次方求根计算方法 下面介绍一个三次方求根计算方法： X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3 n,n+1是下角标，A被开方数。 例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1；1.2； 1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9； 2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么： 第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1； 第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2； 第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3； 每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。一元三次方程置换群解法 一元三次方程系数和根的关系如下： 求出X,Y，后有 这是个线性方程，其中 为原方程的三个根！ 词条图片(共7张图片) 返回词条返回所有图册 一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。 因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴 三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- ===<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα 33 2332323233 232332313223 2132323 233333333333333333333333233233232321281121086 1128112108610)1281(81 1)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 10)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ???+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，若判别式的两根。为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。 即有， 故， 由于。 ，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导： 有三个实数根。 时，方程有两个实数根。 时，方程有唯一实数根。 时，方程，则有以下结论：。令一定有时，，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设 [编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法 卡尔丹公式法 特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。 判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。 卡尔丹公式 X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)； X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2； X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω， 其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。 标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 令X=Y—b/(3a)代入上式。 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。 卡尔丹判别法 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。解一元三次方程的其他方法 [编辑本段]解一元三次方程的其他方法 除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下： 1.因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。 例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。 2.另一种换元法 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 3.盛金公式法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式 Shengjin’s Formulas 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)， 其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2， 一元三次方程求根公式 一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。 南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。（《数学九章》等） 一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约 1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚 的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。 关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。 后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实，n次方程(n≥5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n≥5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢？ 不久，这一问题在19世纪止半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。 一元三次方程求根公式 解法 卡丹公式法的特殊情况 一元三次方程都可化为x³ px q=0。它的解是： 其中。 根与系数的关系为。 判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。 三个根的三角函数表达式（仅当时）为 其中。 卡丹公式法的一般情况 一般的一元三次方程可写成的形式。上式除以，并设，则可化为如下形式： ，其中，。 可用特殊情况的公式解出，则原方程的三个根为 。 三个根与系数的关系为 。 盛金公式法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。 1.盛金公式 一元三次方程aX bX cX d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0） 重根判别式 总判别式Δ=B－4AC。 当A=B=0时， 盛金公式1： 当Δ=B－4AC>0时， 盛金公式2： 盛金公式2的三角式： 其中，。 当Δ=B－4AC=0时， 盛金公式3： 其中。 当Δ=B－4AC<0时， 盛金公式4： 其中，（A>0，－1 一元三次方程求根公式卡尔丹定理 卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。在数学中，一元三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，x为未知数。解一元三次方程的问题在数学中具有重要的意义，它在实际生活中的应用也非常广泛。 卡尔丹定理是由法国数学家卡尔丹于16世纪提出的。该定理通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题。通过求解这两个方程，可以得到原方程的根。 我们将一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的系数进行变量替代，令x = y - b/3a。将此代入原方程，可得到一个新的方程ay^3 + Py + Q = 0，其中P和Q是与原方程的系数相关的新的常数。 接下来，我们对新方程应用求解二次方程的公式，将其转化为一个二次方程求解问题。通过求解这个二次方程，我们可以得到两个根y1和y2。 我们将得到的根y1和y2代入原方程中，得到两个新的一次方程，通过求解这两个一次方程，我们可以得到另外两个根x1和x2。 需要注意的是，卡尔丹定理对于一元三次方程可能存在的重根和虚 根也是适用的。重根是指方程有两个或三个相等的根，虚根是指方程的根不是实数。在使用卡尔丹定理求解一元三次方程时，我们需要对不同情况进行分类讨论，并得出相应的结论。 除了卡尔丹定理，还有其他方法可以求解一元三次方程，比如牛顿迭代法和龙贝格-维尔斯特拉斯算法等。这些方法在不同的情况下可能更加高效或精确，但卡尔丹定理作为一种经典的方法，仍然被广泛使用。 卡尔丹定理是一元三次方程求根的重要公式。通过对方程的系数进行变量替代，将一元三次方程转化为一个二次方程和一个一次方程的求解问题，卡尔丹定理为我们解决一元三次方程提供了一种简洁而有效的方法。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元三次方程，以解决各种问题。 一元三次方程求根公式 目录 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 盛金公式（Shengjin's Formulas） 一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd， 总判别式：Δ=B2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)； X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)， 其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。 当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④： X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)； X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1 一元三次方程求根公式推导 推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。下面是详细的推导步骤： 1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。 展开并对y进行整理，得到 a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。 2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。 3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。 4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。 5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。 令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。 6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。 7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 + b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。 一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。 有三个零点时，当有两个实数根。有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1 )()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''33332332 32323=?<+= ?=?=+=?=?>+=?--==- = ==<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα 3323323232 33 232332313 223213232 32 33333 33333 3333333333333233233232321281121086 1 128112108610)1281(81 1)27(412811210861 12811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 1 0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-= ≤+=--?? ?? ?+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以 ，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根， ，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有， 若判别式的两根。 为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。即有，故， 由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论： 。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设 一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 一元三次方程求根公式的解法 特殊型，标准型，其它方法 卡尔丹公式法 特殊型一元三次方程 X^3，pX，q=0 (p、q?R) 判别式Δ=(q/2)^2，(p/3)^3 卡尔丹公式 X1=(Y1)^(1/3)，(Y2)^(1/3) X2= (Y1)^(1/3)ω，(Y2)^(1/3)ω^2 X3=(Y1)^(1/3)ω^2，(Y2)^(1/3)ω 其中ω=(,1，i3^(1/2))/2 Y(1,2)=,(q/2)?((q/2)^2，(p/3)^3)^(1/2) 标准型一元三次方程 aX ^3，bX ^2，cX，d=0，(a，b，c，d?R，且a?0) 令X=Y—b/(3a)代入上式 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3，pY，q=0 卡尔丹判别法 当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根 当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根 当Δ=(q/2)^2，(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。 除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下: 1.因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用(对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根:x1=0;x2=1;x3=—1。 2.一种换元法 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。令x=z— p/3z，代入并化简，得:z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得:w^2+p/27w+q=0(这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 3.导数求解法 利用导数，求的函数的极大极小值，单调递增及递减区间，画出函数图像，有利于方程的大致解答，并且能快速得到方程解的个数，此法十分适用于高中数学题的解答。如f(x)=x^3+x+1,移项得x^3+x=-1,设y1=x^3+x,y2=-1, y1的导数 y1'=3x^2+1,得y1'恒大于0，y1在R上单调递增，所以方程仅一个解，且当y1=-1时x在-1与-2之间，可根据f(x1)f(x2)<0的公式，无限逼近，求得较精确的解。 4.盛金公式法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法(一元三次方程的求根公式及其推导
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