图1
例析平行板电容器的两类问题
重庆市(408300) 张 雄
平行板电容器的分析是高考物理的重要内容。主要有两大类：一类是由于平行板电容器自身因素（如正对面积、两板间距离、两板间的介质等）变化而引起的电容、电势差U 、电量Q 和场强E 等物理量的变化；另一类是由于平行板电容器外部因素（如电路中滑片的滑动、电键的通断、电路的故障等）变化而引起电量Q 、电压U 和场强E 等物理量的变化。
一、自身因素引起的变化——平行板电容器的动态分析
1、动态分析时的两种情况
㈠两板与直流电源始终相接，抓住两板间电压U 保持不变。在此基础上进行的分析判断。 ㈡电容器充电后再与电源断开，抓住电容器带电量Q 不变（忽略电容器对外放电）。在此基础上进行的分析判断。
2、动态分析时的思路
1、确定不变量：到底是电压不变还是电量不变
2、用决定式d S kd S C επε∝=
4分析平行板电容器的电容变化情况。 3、用定义式U
Q U Q C ??==及变形式CU Q =分析电容器带电量或两板间电压变化情况。 4、由于平行板电容器两板间为匀强电场，用匀强电场的d U E =或S
Q S kQ E εεπ∝=4分析电容器极板间场强变化情况。
例1：平行板电容器接入电路中，接通电源稳定后，两板间的微粒恰能静止。图1所示。则
A 、保持S 接通，只减小两板间的距离时，该微粒向上运动。
B 、保持S 接通，只插入一块电介质时，极板上电荷量增大。
C 、断开S ，只将A 板向右平移小段距离时，该微粒向上运动。
D 、断开S ，只将A 板向上平移小段距离时，该微粒向上运动。
答案：ABC
解析：微粒平衡时，其电场力等于重力。
保持S 接通时两板间电压不变，只减小两板间的距离，由d U E =
得：两板间场强变大，微粒受向上的电场力增大，微粒向上运动。
保持S 接通时两板间电压不变，只插入一块电介质，则电容增大，由CU Q =得：两极板上的电荷量增大。
图2 断开S 时电容器带电量不变，只将A 板右移小段距离，两板正对面积减小，电容减小，由CU Q =的变形式C Q U =可知：两板间电压变大，结合d
U E =得：两板间场强变大，粒子受电场力变大，粒子向上运动。 断开S 时电容器带电量不变，平行板电容器两板间为匀强电场，其场强S Q S kQ E εεπ∝=
4（两板间的场强与两板间的距离无关），两板间的场强不变，粒子受电场力不变，粒子仍静止。
点评：
1、关键要分清哪些是变量、哪些是不变量？变量中哪个是自变量、哪个又是因变量？
2、平行板电容器两板间为匀强电场d U E =
，结合d S kd S C επε∝=4、CU Q =可导出：两板间的场强S
Q S kQ E εεπ∝=4。 警示：1、U
Q U Q C ??==是电容的定义式，反映了电容器容纳电荷本领的特性，对任何电容器都适用。电容只由电容器本身决定，不随电量或电势差的改变而改变，即使电容器不带电，其容纳电荷的本领不变、电容不变。同一电容器，带电量与两板间的电势差成正比。
2、d
S kd S C επε∝=4是平行板电容器电容的决定式，它只对平行板电容器适用。 3、若两板间插入与极板等长、厚为a 的导体板，则相当于两板间的距离减小了a 。
二、外部因素引起的变化——含容电路的分析
分析含容电路时必须明确电容器的几个状态
暂态：电容器接入电路后，若滑片滑动、电键通断、电路故障等电路变化时，都会引起电容器的充、放电。该过程持续时间很短暂，称为暂态。
稳态：电路稳定时，其电容器上电压稳定，电容器带电荷量将保持不变。与电容器直接串联的电阻（无论阻值多大）都只相当于导线将电容器接通；电容器所在支路无电流，该支路相当于断路，电容器两板间电压等于其所在支路的电压；电容器与电阻并联接入电路时，电容器两板间电压就是与其并联的电阻两端电压。
连续变化：若电容器上加一个连续变化的电压，则电容器的带电量也会连续变化，这时电容器上有持续的充电电流或放电电流。
例2：图2电路中，不计内阻的电源电动势E=6.0V ，电阻
Ω=k R 4.21，Ω=k R 8.42，Ω=k R 8.343，电容器电容F C μ7.4=，
闭合S 待电路稳定后，用电压表测1R 两端电压，其稳定值V U V 50.1=。
求⑴该电压表的内阻，⑵电压表的接入使电容器的电量变化了多少。
解析：电路稳定后电容器相当于断路，与电容器相连接的电阻3R 相当于导线。电压表接入前后，电容器上电压C U 与R 2的电压相等。
⑴设电压表内阻为V R ，则1R 与V R 并联的总电阻 V
V R R R R R +=11并 串联电路的电压分配 V
V U E U R R -=并
代入数据求得电压表的内阻 Ω=k R V 8.4
⑵电压表接入前，由串联电路的电压分配 1
2R R U E U C C =- 求得：V U C 0.4= 接入电压表后电容器的电压 V U E U V C 50.4/=-=
电容器的电量变化 ()
C C U U C U C Q -=??=?/ 代入求得 C Q 61035.2-?=?
点评：电容器是一个储能元件，在充、放电时要形成的充、放电电流。电容器稳定后相当于阻值无穷大（理想不漏电情况）的元件，在电路中是断路；简化电路时可以去掉它，简化后若要求电容器所带电量时，再在相应位置补上电容器。
注意：电路变换后，电容器上的带电情况一般发生变化，电压变化时可能会使电容器被击穿，被击穿后的电容器可看成一根短路线。
2008年9月16日总第1336期专版第11期（第2版）
平行板电容器的动态分析问题 平行板电容器是最常见的一种电容器，其结构可以发生变化，因此电容也跟着随之变化。当我们改变电容器的某个结构时，电容器的电容也随之变化。从而导致电容器中间的电场强度也会发生变化。这就引出一种问题，电容器的动态分析问题。 电容器的动态分析问题总体上来说大概分为两类：电压不变的问题和电荷量不变的问题。一般情况下，题目中的说法是：电压不变（电容器始终接在电源上）电荷量不变（电容器充电完成后，断开电源） 如果根据问题的难度再细分： 层次1：仅仅分析电容和电荷量（电压）的变化 层次2：分析电容和电荷量（电压）的变化，再加上电场强度的变化，而电场强度的变化有两个方法进行比较（U不变的问题中：E=U/d，Q不变的问题中，Q与E成正比(前提是S 不变)） 层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化） 层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】 动态分析问题的处理方法： 1.先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型 2.找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比关系），Q的变化（U的变 化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向） 3.再分析E的变化 4.如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方程或者牛顿第二定律。 典型例题剖析 例1：★★【2016 新课标I】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器（） A.极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大
电容器平行板电容器的教案示例 一、教学目标 1．掌握平行板电容器的电容； 2．掌握影响平行板电容器电容的因素； 3．认识一些常用电容器； 4．结合匀强电场有关知识，研究平行板电容器极板间电场及电场源关系。 二、重点、难点分析 1．平行板电容器的电容和影响电容的因素是教学中的重点。 2．学生不常接触电容器，缺少实际知识，在接受本节课讲授内容时有一定困难，如何帮助学生在理解基础上分析解决问题是教学中的难点。 三、教具 静电计，带绝缘支架的导体圆板（两个），起电机，电介质板（泡沫塑料板），示教用各种电容器。验电器（一个），验电球。 四、主要教学过程 （一）引入新课 由上节课问题，靠近带电物体A的导体（B接地）上带有感应电荷。整个装置具有储存电荷的功能。我们称这种装置为电容器。 （二）教学过程设计 1．电容器 （1）构成：任何两个彼此绝缘、相互靠近的导体可组成一个电容器，贮藏电量和能量。两个导体称为电容的两极。 欲使电容器储存电荷，首先应对电容充电，充电后还能放电。 （2）充放电 ①充电：使电容器两极带异号电荷的过程。 实验1 利用起电机对相对放置的平行金属板构成的电容器充电。 把金属板与起电机断开，用验电球C与A板接触后再与验电器金属球D 接触，金属箔逐渐张开。可知A 板上带有电荷。然后，放掉C上多余电荷，
让C与B接触后再与D接触，可见原来张开的金属箔逐渐闭合，可知A、B带异号电荷。 分析：起电机两极带电荷后，电势在带正电荷一极较高，负电荷一极较低，与电容器两极接触时，由于起电机两极与电容器两极不等势，将发生电荷定向移动，引起电荷重新分布，直至起电机两极与电容器两极达到静电平衡状态为止。这时电容器两极与起电机两极分别等势，从而电容器两极间电势差等于起电机两极电势差。同样，也可用电源（电池）对电容器充电，与正极相连的电容器极板带正电荷，与负极相连带负电荷。 ②放电：使电容器两极失去所带电荷。 可用导线直接连接电容器两极，让两极板上正负电荷发生中和。 实验2 先用起电机对AB板充电，然后用导线连接A、B板，用验电球和验 电器检验A、B板上有无电荷。 电容器容纳电荷多少与什么有关？ 引导学生分析：两极板积累异号电荷越多，其中带正电荷一极电势越高，带负电荷一极电势越低，从而电势差越大。 可类比于水容器（柱形），Q电量类比于水体积，电势差U类比于水深，U越大，Q越大，水体积与水深度比值为横截面积不变。理论上可 称为电容。 （3）电容①定义：电容是描述电容器容纳电量特性的物理量。它的大小可用电容器一极的带电量与两极板电势差之比来量度。 说明：对于给定电容器，相当于给定柱形水容器，C（类比于横截面积）不变。这是量度式，不是关系式。在C一定情况下，Q=CU，Q正比于U。 ③单位：法拉（F）1F=1C／V
专题：电磁感应现象中有关电容器类问题 1、电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为E，电容器的电容为C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电。然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN 开始向右加速运动。当MN上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。 问： （1）磁场的方向； （2）MN刚开始运动时加速度a的大小； （3）MN离开导轨后的最大速度v m的大小。 试题分析：（1）根据通过MN电流的方向，结合左手定则得出磁场的方向．（2）根据欧姆定律得出MN刚开始运动时的电流，结合安培力公式，根据牛顿第二定律得出MN刚开始运动时加速度a的大小．（3）开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值时，根据电动势和电荷量的关系，以及动量定理求出MN 离开导轨后最大速度. 解：（1）电容器上端带正电，通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下． 2、一对无限长平行导轨位于竖直平面内，轨道上串联一电容器C （开始未充电）.另一根质量为m的金属棒ab可沿导轨下滑，导 轨宽度为L，在讨论的空间范围内有磁感应强度为B、方向垂直 整个导轨平面的匀强磁场，整个系统的电阻可以忽略，ab棒由静 止开始下滑，求它下滑h高度时的速度v.
实验要求： 综合训练项目一：平板电容器电场仿真计算2D仿真 目的和要求：加强对静电场场强、电容、电场能量的理解，应用静电场的边界条件建立模拟的静态电场，解决电容等计算问题；提升学生抽象思维能力、提高利用数学工具解决实际问题的能力。 成果形式：仿真过程分析及结果报告。用Ansoft Maxwell软件计算电场强度，并画出电压分布图，计算出单位长度电容，和电场能量，并对仿真结果进行分析、总结。将所做步骤详细写出，并配有相应图片说明。 一、平行板电容器描述 上下两极板尺寸：20*2（mm） 材料：pec（理想导体） 介质尺寸：20*6（mm） 材料：mica（云母） 激励：电压源 上极板电压：5V 下极板电压：0V 二、仿真步骤 1、建模 Project > Insert Maxwell 2D Design File>Save as>Planar Cap（工程命名为“Planar Cap”）选择求解器类型：Maxwell > Solution Type> Electric> Electrostatic（静电的） 创建下极板六面体Draw > Rectangle（创建下极板长方形） 将六面体重命名为DownPlate 大小：20*2（mm） Assign Material > pec（设置材料为理想导体perfect conductor） 创建上极板六面体Draw > Rectangle（创建上极板六面体） 大小：20*2（mm） 将六面体重命名为UpPlate Assign Material > pec（设置材料为理想导体perfect conductor） 创建中间的介质六面体Draw > Rectangle（创建中间介质六面体）
平行板电容器的动态分析问题 一、涉及概念： 1、充电、放电。 2、电容U Q C = （表示电容器容纳电荷本领的物理量） 单位：法拉；简称：法，符号F 。F F μ6101= , F F p 1019= 3、平行板电容器电容kd S C πξ4r = （决定式） 二、平行板电容器的两类动态分析 （一）电荷量Q 不变；（电容器充电后与电源断开，Q 不变） 分析步骤：1、确定Q 不变后，寻找变量； 2、利用决定式kd S C πξ4r = ，定义式U Q C =去确定其他物理量的变化； 3、需要分析电场时，利用d U E = 确定电场强度的变化； （二）电压U 不变；（电容器保持与电源连接，U 不变） 分析步骤：1、确定U 不变后，寻找变量； 2、利用决定式kd S C πξ4r = ，定义式U Q C =去确定其他物理量的变化； 3、需要分析电场时，利用d U E =确定电场强度的变化； 三、两类动态变化问题的比较：
四、例题讲解 例1、如图所示，水平放置的平行金属板（电容为C）与电源相连，板间距离为d，当开关K闭合时，板间有一质量为m、电量为q的微粒恰好处于静止状态，求： ①该微粒的电性。 ②此时平行板电容器内空间电场强度的大小。 ③此时平行板电容器两极板的电势差为多少。 ④此时平行板电容器两极板的电荷量为多少。 举一反三： 1、如图所示，水平放置的平行金属板（电容为C）与电源相连，板间距离为d，当开关K闭合时，板间有一质量为m的微粒恰好处于静止状态，求： ①判断该微粒的电性。 ②此时平行板电容器内空间电场强度的大小。 ③该微粒的电荷量为多少。 ④此时电容器金属板电荷量为多少。
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层次3：E的变化会导致容器中某点电势的变化（或者电荷在某点电势能的变化） 层次4：E的变化会导致容器中液滴所受电场力的变化，进而会产生加速度，根据牛顿第二定律计算加速度；或者容器中国液滴的平衡状态发生变化，从而分析细线角度的变化。 【此题问题本质上只重在分析电场强度的变化问题，因为所需要分析的是力的问题】 动态分析问题的处理方法： 1.先分析清楚题目给出的是U不变还是Q不变的类型 2.找出题目中发生变化的参量，然后分析C的变化（注意正反比 关系），Q的变化（U的变化）Q的变化会产生瞬间的充电和放电电流（会判断电流方向） 3.再分析E的变化 4.如果是平衡问题或者动力学问题需要进行受力分析，写平衡方 程或者牛顿第二定律。 典型例题剖析
例1：★★【2016 新课标I 】一平行板电容器两极板之间充满云母介质，接在恒压直流电源上。若将云母介质移出，则电容器（ ） A. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度变大 B. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度变大 C. 极板上的电荷量变大，极板间电场强度不变 D. 极板上的电荷量变小，极板间电场强度不变 答案：D 解析：由4πr S C kd ε=可知，当云母介质抽出时，r ε变小，电容器的电容C 变小； 因为电容器接在恒压直流电源上，故U 不变，根据Q CU =可知，当C 减小时，Q 减小。再由U E d =，由于U 与d 都不变，故电场强度 E 不变，答案为D 例2：★★【2011 天津】板间距为d 的平行板电容器所带电荷量为Q 时，两极板间电势差为U 1，板间场强为E 1.现将电容器所带 电荷量变为2Q ，板间距变为12 d ，其他条件不变，这时两极板间电势差为U 2，板间场强为E 2，下列说法正确的是( ) A ．U 2＝U 1，E 2＝E 1 B ．U 2＝2U 1，E 2＝4E 1 C ．U 2＝U 1，E 2＝2E 1 D ．U 2＝2U 1， E 2＝2E 1 答案：C 解析 由公式C ＝εS 4k πd 、C ＝Q U 和E ＝U d 得U ＝4k πdQ εS ，E ＝4k πQ εS ，
平行板电容器中介质的受力分析 引言: 对于平行板电容器的受力问题，前人大多研究理想情况下平行板电容器的受力，即通过改变电容的大小研究其受力情况。本文的设想是把电介质放入平行板电容器中电介质在电场的作用下一定会发生变化，必然产生电偶极子，电偶极子在电场中必定会受力，一旦电偶极子受力就会发生位移变化，那么必然存在做功问题，那么就可以从能量角度去分析它的受力，进而得出的两个结果一定是相等的，本文通过例题去检验其确性。 1 介质受力公式的推导（从宏观上理论推导） 介质在进入平行板电容器的过程中（假设电量Q 不变），纵向电场使介质极化所做之功转化为介质的极化能，这仍是电容器储能的一部分，根据能量守恒定律，插入介质后电容的静电能应不变，但是由电容器的能量公式W=Q*Q/2C ，当C 增大时，能量却是减少的，矛盾的出现说明我们一定忽略了某些相互作用的存在，为了避开繁琐的力分析，下面，我们将从能量的角度出发，通过数学方法导出平行板电容器中介质的受力的计算公式。 一个平行板电容器，其中部分地充入介质常数为E(p(m),r)(介质常数一般不仅是空间r 的函数，而且还是介质的质量密度p(m)的函数)并且无自由电荷的介质，假设介质沿X 方向作一个无限小位移X ，则电容器的储能变化为 22111 222W V V v V D EDdV dV EDdV E dV δδδδεε===-???? 式(1-1) 而 E 0D ρ=-?Φ?== 则 ()221 2V v V V Ddv E dV D D E dV δφδδεδδδε=-?- =-?Φ+Φ?-???????? =22 12S v V V Dd s dV E dV E dV δδρδεδε-Φ+Φ- -???? 式(1-2) 其中在无穷大界面的值为零，而介质中已设自由电荷密度为零。 对于介质给定的一个无限小位移0X ，相对于空间的一个固定体积来说，必有： 0()m m X v S v dV d s X dV δρρ ρ=-=-????? 式(1-3)
高中物理学习材料 桑水制作 四、影响平行板电容器电容的因素 影响平行板电容器电容的因素主要考查的内容 主标题：影响平行板电容器电容的因素 副标题：剖析考点规律，明确高考考查重点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。 关键词：平行板电容器、电容 难度：3 重要程度：5 内容： 考点剖析： 电容器在实际生产、生活中有广泛的应用，是出应用型题目的热点，复习时应注意。 电容器的电压、电荷量和电容的关系，是高考考查的知识点，应理解、弄懂。 电容器的电容C =Q /U =ΔQ /ΔU ，此式为定义式，适用于任何电容器。平行板电容器的电 容的决定式为C =4πS kd 。有关平行板电容器的Q 、E 、U 、C 的讨论要熟记两种情况： 1.若两极保持与电源相连，则两极板间电压U 不变； 2.若充电后断开电源，则带电量Q 不变。 典型例题 例1．（2014秋?乐陵市校级期中）如图所示为“探究影响平行板电容器电容的因素” 的实验装置，以下说法正确的是 （ ）
A ．A 板与静电计的指针带的是异种电荷 B ．甲图中将B 板上移，静电计的指针偏角增大 C ．乙图中将B 板左移，静电计的指针偏角不变 D ．丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小 【解析】BD .A 板与静电计的指针带的是同种电荷，A 错误；将B 板向上平移，正对面 积减小，根据电容的决定式C =4πS kd ε得知，电容C 减小，而电容器的电量Q 不变，由电容的定义式C =Q U 分析得到，板间电势差U 增大，则静电计指针张角增大,故B 正确；乙图中将B 板左移，板间距增大，根据电容的决定式C = 4πS kd ε得知，电容C 减小，而电容器的电量Q 不变，由电容的定义式C =Q U 分析得到，板间电势差U 增大，则静电计指针张角增大,故C 错误；将电介质插入两板之间，根据电容的决定式C = 4πS kd ε得知，电容C 增大，而电容器的电量Q 不变，由电容的定义式C =Q U 分析得到，板间电势差U 减小，则静电计指针张角减小，D 正确。 例2．（2011秋?德城区校级期中）下列因素能影响平行板电容器的电容大小的是（ ） A ．两个极板间的电压 B ． 一个极板带的电荷量 C ．两个极板间的距离 D ． 两个极板的正对面积 【解析】CD ．根据C =4πS kd ε知，电容的大小与两极板的距离、正对面积有关，与两极 板间的电压以及所带的电量无关。故C 、D 正确，A 、B 错误。 例2．（2015?嘉峪关校级三模）如图所示，A 和B 为竖直放置的平行金属板，在两极板 间用绝缘线悬挂一带电小球。开始时开关S 闭合且滑动变阻器的滑动头P 在a 处，此时绝缘线向右偏离竖直方向。（电源的内阻不能忽略）下列判断正确的是（ ） A ． 小球带负电 B ． 当滑动头从a 向b 滑动时，细线的偏角θ变大 C ． 当滑动头从a 向b 滑动时，电流表中有电流，方向从上向下 D ． 当滑动头从a 向b 滑动时，电源的输出功率一定变大 【解析】C ．由图，A 板带正电，B 带负电，电容器内电场方向水平向右。细线向右偏，电场力向右，则小球带正电,故A 错误；滑动头向右移动时，R 变小，外电路总电阻变小，总电流变大，路端电压U =E ﹣Ir 变小，电容器电压变小，细线偏角变小，故B 错误；滑动头向右移动时，电容器电压变小，电容器放电，因A 板带正电，则流过电流表的电流方向向下，故C 正确；根据电源的输出功率与外电阻的关系：当外电阻等于内阻时，输出功率最大。外
高中物理电容器的动态分析 对于电容器的动态分析问题，我们一定要注意两个关系式，即定义式U Q C =和决定式kd 4S C πε=（此式虽然不要求定量计算，但有助于我们理解一些物理量的变化对电容器电容大小的影响），在分析解决问题时可同时应用。在综合应用电容和电场的知识时，应注意电容器充电后切断电源（Q 不变）和不切断电源（U 不变）两种不同情况。 一、保持电容器两极板电压不变的情况 例1. 两块大小、形状完全相同的金属板平行放置，构成一平行板电容器，与它相连的电路如图1所示。接通开关S ，电源即给电容器充电：（ ） A. 保持S 接通，减小两极板间的距离，则两极板间的电场强度减小； B. 保持S 接通，在两极板间插入一块介质，则极板上的电量增大； C. 断开S ，减小两极板间的距离，则两极板间的电势差减小； D. 断开S ，在两极板间插入一块介质，则两极板间的电势差增大。 解析：S 接通保持U 不变，由场强d U E =得d 减小，E 增大，故A 错误；插入介质后，C 增大，根据CU Q =可知极板上的电量增大，故B 正确；当S 断开时，极板上的电量不变，减小板间距离，则C 增大，据U Q C = 可知U 减小，故C 正确；在两极板间插入介质，则C 增大，据U Q C =可知U 减小，故D 错误，故答案应为BC 。 点评：解答本题关键是S 接通时，两极板间电压不变；断开S 时，两极板间所带电量不变，同时我们能够看出利用kd 4S C πε= 这一电容的决定式定性的分析电容器的变化很方便。 二、保持电容器两极板电量不变的情况 例2. 如图2所示，一平行板电容器经开关S 与电池相连，闭合S 后又断开，电容器的负极板接地，在两极板间a 点有一电量非常小的正电荷，以E 表示两极板间的电场强度，U 表示电容器的电压，ε表示正电荷在a 点的电势能，现将电容器的A 板稍微下移，使两板间的距离减小，则：（ ） A. U 变小，E 不变； B. U 变大，ε变大； C. U 变小，ε不变； D. U 不变，ε不变。
平行板电容器动态分析问题 【知识归纳】 题型1：电容器的两类动态变化过程分析 一、主要的理论论据 (1)平行板电容器的电容C与板距d、正对面积S、介质介电常数ε间的关系C=εS/4kπd ， (2)平行板电容器内部是匀强电场,所以场强 E=U/d， (3)电容器所带电荷量Q=CU， (4)由以上三式得E=4kπQ/εS ,该式常用于Q保持不变的情况中。 二、电容器的动态分析的两种情况 (1)定电压问题：平行板电容器充电后,继续与电源的两极相连,因此两极板间的电压不变,当电容器的d、S、ε变化时,将引起电容器的C、Q、E的变化。(U不变) C= Q= E= (2)定电量问题：平行板电容器充电后,切断与电源的连接,因此电容器带电荷量Q不变,当电容器的d、S、ε变化时,将引起电容器的C、U、E变化。(Q不变) C= U= E= 【典例分析】 【例1】一平行板电容器，证明两极板间电场强度E只与极板所带的电荷量Q、极板间电介质的介电常数为ε及极板面积S有关，与两极板间的距离d无关。 【例2】平行板电容器充电后，继续保持电容器的两极板与电源相连，在这种情况下，如增大两板间距d，则板间电势差U、电容器所带电量Q，板间场强E各如何改变？（可以认为稳定时电源两极间电压不变，电容器两极板与电源两极相连接，电容器两极板电势差U也不变）。 【例3】平行板电容器充电后，断开电容器的两极板与电源连接，在这种情况下，如增大两板间距d，则板间电势差U、电容器所带电量Q，板间场强E各如何改变？ （开关断开，电容器下面极板电量不能移动到其他地方，下极板电量不会变化，电容器两极板带等量异种电荷，上面极板电量也不会变化，电容器电量Q不会变化）。 归纳总结： （1）在分析电容器动态平衡问题时，先弄清楚不变量，再讨论其他量的变化。 若电容器与电源相连，则不变；
微专题 电容器的动态分析问题 【核心考点提示】 1．电容器的充、放电 (1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能． (2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能． 2．对公式C ＝Q U 的理解 电容C ＝Q U ，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关． 3．两种类型的动态分析思路 (1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变． (2)用决定式C ＝εr S 4πkd 分析平行板电容器电容的变化． (3)用定义式C ＝Q U 分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化． (4)用E ＝U d 分析电容器两极板间电场强度的变化． 【经典例题选讲】 【例题1】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一固定在P 点的点电荷，以E 表示两板间的电场强度，E p 表示点电荷在P 点的电势能，θ表示静电计指针的偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则( ) A ．θ增大，E 增大 B ．θ增大，E p 不变 C ．θ减小，E p 增大 D ．θ减小， E 不变 【变式1-1】(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源连接，下极板接地，一带电油滴位于电容器中的P 点且处于静止状态，现将上极板竖直向上移动一小段距离，则( ) A ．带电油滴将沿竖直方向向上运动 B ．P 点电势将降低 C ．电容器的电容减小，极板带电荷量减小 D ．带电油滴的电势能保持不变 【变式1-2】(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源、理想二极管(正向电阻为零可以视为短路，反向电阻无穷大可以视为断路)连接，电源负极接地。初始电容器不带电，闭合开关稳定后，一带电油滴位于电容器中的P 点且处于静止状态。下列说法正确的是 ( ) A ．减小极板间的正对面积，带电油滴会向上移动，且P 点的电势会降低 B ．将上极板向下移动，则P 点的电势不变 C ．将下极板向下移动，则P 点的电势升高 D ．无论哪个极板向上移动还是向下移动，带电油滴都不可能向下运动
1 平行板电容器动态分析问题 【知识归纳】 题型1：电容器的两类动态变化过程分析 一、主要的理论论据 (1)平行板电容器的电容C 与板距d 、正对面积S 、介质介电常数ε间的关系C=εS/4k πd ， (2)平行板电容器内部是匀强电场,所以场强 E=U/d ， (3)电容器所带电荷量Q=CU ， (4)由以上三式得E=4k πQ/εS ,该式常用于Q 保持不变的情况中。 二、电容器的动态分析的两种情况 (1)定电压问题：平行板电容器充电后,继续与电源的两极相连,因此两极板间的电压不变,当电容器的d 、S 、ε变化时,将引起电容器的C 、Q 、E 的变化。(U 不变) C= Q= E= (2)定电量问题：平行板电容器充电后,切断与电源的连接,因此电容器带电荷量Q 不变,当电容器的d 、S 、ε变化时,将引起电容器的C 、U 、E 变化。(Q 不变) C= U= E= 【典例分析】 【例1】一平行板电容器，证明两极板间电场强度E 只与极板所带的电荷量Q 、极板间电介质的介电常数为ε及极板面积S 有关，与两极板间的距离d 无关。 【例2】平行板电容器充电后，继续保持电容器的两极板与电源相连，在这种情况下，如增大两板间距d ，则板间电势差U 、电容器所带电量Q ，板间场强E 各如何改变？（可以认为稳定时电源两极间电压不变，电容器两极板与电源两极相连接，电容器两极板电势差U 也不变）。 【例3】平行板电容器充电后，断开电容器的两极板与电源连接，在这种情况下，如增大两板间距d ，则板间电势差U 、电容器所带电量Q ，板间场强E 各如何改变？ （开关断开，电容器下面极板电量不能移动到其他地方，下极板电量不会变化，电容器两极板带等量异种电荷，上面极板电量也不会变化，电容器电量Q 不会变化）。 归纳总结： （1）在分析电容器动态平衡问题时，先弄清楚不变量，再讨论其他量的变化。 若电容器与电源相连，则 不变；
教你两条不变应万变得原理： 1.电容器的计算依据是高斯通量定理和电压环流定律； 2.电感的计算依据是诺伊曼公式。要一两个答案查书就够了，要成高手只能靠你自己！慢慢学，慢慢练。 容量是电容的大小与电压没有关系。电压是电容的耐压范围。可变电容一般用在低压电路中电容的计算公式： 平板C=Q/U=Q/Ed=εS/4πkd 1. 所以E=4πkQ/εS即场强E与两板间距离d无关。2.当电容器两端接电时，即电压U一定时，U=Ed，所以U和d成正比。 容抗用XC表示，电容用C（F）表示，频率用f（Hz)表示，那么Xc=1/2πfc 容抗的单位是欧。知道了交流电的频率f和电容C，就可以用上式把容抗计算出来。 感抗用XL表示，电感用L（H）表示，频率用f（Hz)表示，那么XL=2πfL感抗的单位是欧。知道了交流电的频率f和线圈的电感L，就可以用上式把感抗计算出来。 已知容抗与感抗，则对应的电压与电流可以用欧姆定律算出，如果电容与电阻和电感一起使用，就要考虑相位关系了。 2、电容器的计算公式： C=Q\U =S\4*3.1415KD Q为电荷量 U为电势差 S为相对面积 D为距离 3.1415实际是圆周率 K为静电力常数 并联：C=C1+C2 电路中各电容电压相等；总电荷量等于各电容电荷量之和。串联：1/C=1/C1+1/C2 电路中各电容电荷量相等；总电压等于各电容电压之和。 电容并联的等效电容等于各电容之和!电容的并联使总电容值增大。当电容的耐压值符合要求，但容量不够时，可将几个电容并联。 3、Q=UI=I2Xc=U2/Xc 这是单相电容的 Xc=1/2*3.14fc 为什么我看到一个三相电容上面标的额定容量是30Kvar，而额定容量是472微法。额定电压是450伏。额定电流是38.5安三角接法？ 答：C＝KVar/(U×U×2×π×f×0.000000001) ＝30/(450×450×2×3.14×50×0.000000001)≈472(μF) 4、我知道电容公式有C=εS/D和C=Q/U,那么他们与电容"C"的关系，我特别想知道：我知道"U"与电容成反比，但是我在听老师讲时，没听到为什么成反比，就像知道"Q"与电容的关系时，就明白，一个电容放得的电荷越多就越大？还有"ε"是什么，与电容有什么关系？再请问在计算中应注意什么？电容是如何阻直通交的呢？ 五一长假除了旅游还能做什么？辅导补习美容养颜家庭家务加班须知 第 2 页共 3 页 答：电容c是常数，只跟自身性质有关，即使没有电压，电荷它也是存在的，ε是介电，跟电介质的性质有关，交流能不停的对电容充电放电（因为交流的方向是变化的），二直流无此性质，所以通交流阻直流，更专业的话，大学物理里面会讲，如果你要求不高的话就不用深究了 5、电容降压 在常用的低压电源中，用电容器降压（实际是电容限流）与用变压器相比，电容降压的电源体积小、经济、可靠、效率高，缺点是不如变压器变压的电源安全。通过电容器把交流电引入负载中，对地有220V电压，人易触电，但若用在不需人体接触的电路内部电路电源中，
电容器动态分析练习题 一．选择题（共10小题） 1．（2016?天津）如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下级板都接地．在两极板间有一固定在P点的点电荷，以E表示两极板间的电场强度，E P表示点电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角．若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则（） A．θ增大，E增大B．θ增大，E P不变C．θ减小，E P增大D．θ减小，E不变2．（2016?新疆）如图所示的平行板电容器，B板固定，要减小电容器的电容，其中较合理的办法是（） A．A板右移 B．A板上移 C．插入电解质D．增加极板上的电荷量 3．（2016?校级模拟）如图所示，先接通S使电容器充电，然后断开S．当增大两极板间距离时，电容器所带电荷量Q、电容C、两板间电势差U，电容器两极板间场强E的变化情况是（） A．Q变小，C不变，U不变，E变小B．Q变小，C变小，U不变，E不变 C．Q不变，C变小，U变大，E不变D．Q不变，C变小，U变小，E变小4．（2016?模拟）传感器是把非电学量转换成电学量的一种元件．如图所示，乙、丙是两种常见的电容式传感器，现将乙、丙两种传感器分别接到图甲的电路中进行实验（电流从电流
表正接线柱流入时指针向右偏），下列实验现象中正确的是（） A．当乙传感器接入电路实验时，若F变小，则电流表指针向右偏转 B．当乙传感器接入电路实验时，若F变大，则电流表指针向右偏转 C．当丙传感器接入电路实验时，若导电溶液深度h变大，则电流表指针向左偏转 D．当丙传感器接入电路实验时，若导电溶液深度h变小，则电流表指针向左偏转5．（2016?一模）如图所示，一带电小球悬挂在竖直放置的平行板电容器，当开关S闭合，小球静止时，悬线与竖直方向的夹角为θ．则（） A．当开关S断开时，若减小平行板间的距离，则夹角θ增大 B．当开关S断开时，若增大平行板间的距离，则夹角θ增大 C．当开关S闭合时，若减小平行板间的距离，则夹角θ增大 D．当开关S闭合时，若减小平行板间的距离，则夹角θ减小 6．（2016?诏安县校级模拟）如图所示，平行板电容器已经充电，静电计的金属球与电容器的一个极板连接，外壳与另一个极板连接，静电计指针的偏转指示电容器两极板间的电势差．实验中保持极板上的电荷量Q不变．设电容器两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ．下列关于实验现象的描述正确的是（） A．保持S不变，增大d，则θ变大 B．保持S不变，减小d，则θ不变 C．保持d不变，减小S，则θ变小 D．保持S、d不变，在两板间插入电介质，则θ变大 7．（2016?模拟）如图所示为研究影响平行板电容器电容大小因素的实验装置．设两极板的正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ，平行板电容器的电容为C．实验中极板所带电荷量可视为不变，则下列关于实验的分析正确的是（） A．保持d不变，减小S，则C变小，θ变大
带电粒子在平行板电容器中的运动 满分: 班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________ 一、单选题（共1小题） 1．如图所示，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为 的两块平行极板间的偏转电场中，在满足电子能射出平行极板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（） A．变大，变大B．变小，变大 C．变大，变小D．变小，变小 二、多选题（共1小题） 2．如图所示，平行金属板A、B水平正对放置，分别带等量异号电荷，一带电微粒水平射 入板间，在重力和电场力共同作用下运动，轨迹如图中虚线所示，那么（） A．微粒从M点运动到N点动能一定增加 B．微粒从M点运动到N点电势能一定增加 C．微粒从M点运动到N点机械能可能增加 D．若微粒带正电荷，则A板一定带正电荷
三、计算题（共3小题） 3.如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端放着垂直于金属板的 靶MN，现在A．B板上加上如图乙所示的方波形电压，电压的正向值为，反向电压值为，且每隔变向1次。现将质量为m的带正电，且电荷量为q的粒子束从AB的中点 O以平行于金属板的方向射入，设粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A．B间的飞行 时间均为T。不计重力的影响，试问： （1）定性分析在时刻从O点进入的粒子，在垂直于金属板的方向上的运动情况。（2）在距靶MN的中心点多远的范围内有粒子击中？ （3）要使粒子能全部打在靶MN上，电压的数值应满足什么条件？（写出、、、、的关系即可） 4.如图所示，四分之一光滑绝缘圆弧轨道AP和水平绝缘传送带PC固定在同一竖直平面内，圆弧轨道的圆心为O，半径为R；P点离地高度也为R，传送带PC之间的距离为L，沿逆时 针方向的传动，传送带速度V=，在PO的左侧空间存在方向竖直向下的匀强电 场．一质量为m、电荷量为+q的小物体从圆弧顶点A由静止开始沿轨道下滑，恰好运动到 C端后返回．物体与传送带间的动摩擦因数为μ，不计物体经过轨道与传送带连接处P时的 机械能损失，重力加速度为g．求： （1）物体由P点运动到C点过程，克服摩擦力做功； （2）匀强电场的场强E为多大； （3）物体返回到圆弧轨道P点，物体对圆弧轨道的压力大小．
影响平行板电容器电容的因素问题易错点 主标题：影响平行板电容器电容的因素问题易错点 副标题：剖析考点规律，明确高考考查重点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。 [来源:学科网] 关键词：电容器、电容 难度：3 重要程度：5 内容：熟记易混易错点。 易错类型：不清楚电容器的电容与哪些因素有关 电容是表示电容器容纳电荷本领的物理量，它并不代表电容器能容纳多少电荷。电容的定义式Q C U =，由于电容器本身构造决定，则C 与Q 、U 无关。平行板电容器电容的决定式为r 4πS C kd ε=，电容C 的大小与S 、r ε、d 有关；该决定式只适用于平行板电容器电容的计算，而适用于其他的电容器，但是可以用来做定性的分析。在解有关平行板电容器电容的题目时，需要将定义式和决定式综合起来考虑。 例 一平行板电容器两极板间距为d 、极板面积为S ，电容为0S C d ε=，其中0ε是常量。对 此电容器充电后断开电源。当增加两板间距时，电容器极板间 （ ） A ．电场强度不变，电势差变大 B ．电场强度不变，电势差不变 C ．电场强度减小，电势差不变 D ．电场强度较小，电势差减小 【易错】断开电源后，对平行板电容器两极板所带电荷量判断错误，反而认为电容器极板间的电势差U 不变，根据公式U E d =可知，d 增大，电场强度E 减小，从而错选C ；或者认为电容器极板间的电势差不变，再根据电场强度与电势差无关，判断出电场强度不变，从而错选B 。 [来源:学科网ZXXK] 【解析】根据题意可知，对电容器充电后断开电源，平行板电容器两极板所带电荷量Q 不 变，根据电容的定义式Q C U = 可知，CU Q =为一定值；当增加两板间距d 时，根据公式0 S C d ε=可知，平行板电容器的电容C 变小，故电容器极板间的电势差变大。又U E d =，联立以上三式可得0Q E S ε= ，由于Q 、0ε、S 都是不变的，故电场强度不变。由以上分析可知，正确答案为A 。[来源:学科网] 【点评】在判断某一物理量的变化情况时，一定做到要有理有据，而不能根据自己的主观想象来判断。
四、影响平行板电容器电容的因素 影响平行板电容器电容的因素主要考查的内容 主标题：影响平行板电容器电容的因素副标题：剖析考点规律，明确高考考查重点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。关键词：平行板电容器、电容 难度：3 重要程度：5 内容： 考点剖析： 电容器在实际生产、生活中有广泛的应用，是出应用型题目的热点，复习时应注意。电容器的电压、电荷量和电容的关系，是高考考查的知识点，应理解、弄懂。 电容器的电容C =Q /U =ΔQ /ΔU ，此式为定义式，适用于任何电容器。平行板电容器的电容的决定式为C =4πS kd ε。有关平行板电容器的Q 、E 、U 、C 的讨论要熟记两种情况：1.若两极保持与电源相连，则两极板间电压U 不变； 2.若充电后断开电源，则带电量Q 不变。 典型例题 例1．（2014秋?乐陵市校级期中）如图所示为“探究影响平行板电容器电容的因素”的实验 装置，以下说法正确的是（） A．A 板与静电计的指针带的是异种电荷 B．甲图中将B 板上移，静电计的指针偏角增大 C．乙图中将B 板左移，静电计的指针偏角不变 D．丙图中将电介质插入两板之间，静电计的指针偏角减小 【解析】BD .A 板与静电计的指针带的是同种电荷，A 错误；将B 板向上平移，正对面积减小，根据电容的决定式C =4πS kd ε得知，电容C 减小，而电容器的电量Q 不变，由电容的定义式C =Q U 分析得到，板间电势差U 增大，则静电计指针张角增大,故B 正确；乙图中将B 板左移，板间距增大，根据电容的决定式C = 4πS kd ε得知，电容C 减小，而电容器的电量Q 不变，由电容的
平行板电容器的动态分析 对平行板电容器的有关物理量Q、E、U、C进行讨论时，关键在于弄清哪些是变量，哪些是不变量，在变量中哪些是自变量，哪些是因变量，只有过程清晰，结果才会明朗准确。我们可根据不变量，把这类问题分为两种情况来分析： 一. 电容器充电后断开电源 电容器充电后断开电源，则电容器所带电量Q保持不变，当极板距离d，正对面积S 变化时，有 对于电场强度变化，我们还可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，若电量不变，则电场线数目不变，当两板间距离变化时，场强不变；当两板正对面积变化时，引起电场线的疏密程度发生了变化，如图1所示，电容器的电量不变，正对面积减小时，场强增大。 图1 这样，越大，电场线就越密，E就越大，反之就越小；不变时，不管极板间距离 如何变化，电场线的疏密程度不变，则E不变。则此式可知，在电量保持不变的情况下，电场强度与板间的距离无关。 例1. 一平行板电容器充电后与电源断开，负极接地，在两极板间有一正电荷（电量很小）固定在P点，如图2所示，E表示两板间的场强，U表示电容器的电压，W表示正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到虚线所示的位置，则（）
图2 A. U变小，E不变； B. E变大，W变大； C. U变小，W不变； D. U不变，W不变； 解析：电容器充电后与电源断开，说明电容器带电量不变。正极板向负极板移近，由 可知电容增大，由可知，U变小，而，由此可看出，场强E 不变。因E不变，P点与负极板间的距离不变，可知P点的电势U P不变，那么正电荷的电势能就不变，综上所述，A、C选项正确。 例2. 平行板电容器两极板与静电计的连接如图3所示，对电容器充电，使静电计张开某一角度，撤去电源后以下说法正确的是（） 图3 A. 增大两板间距离，静电计指针张角变大； B. 减小两板间距离，静电计指针张角变大； C. 将两板错开一些，静电计指针张角变大； D. 将某电介质插入极板间，静电计指针张开角度变大。
一、电容器、电容 1. 电容器：两个彼此绝缘又互相靠近的导体可构成一个电容器。 2. 电容 （1）定义：电容器所带的电荷量Q （一个极板所带电荷量的绝对值）与两个极板间电势差U 的比值，叫做电容器的电容。 （2）定义式：C ＝ U Q U Q ??= 。 （3）单位：国际单位制中为法拉，简称法，国际符号为F 。 1F ＝106μF ＝1012 pF 。 3. 常见电容器有纸质电容器、电解电容器、可变电容器、平行板电容器等。 电解电容器接入电路时，应注意其极性。 4. 平行板电容器的决定公式：C ＝ kd S r πε4。 二、平行板电容器的动态分析 1. 对公式C ＝U Q 的理解 电容C ＝U Q ，不能理解为电容C 与Q 成正比、与U 成反比，一个电容器电容的大小是 由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关。 2. 运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路 （1）确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变。 （2）用决定式C ＝kd S r πε4分析平行板电容器电容的变化。 （3）用定义式C ＝U Q 分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化。 （4）用E ＝ d U 分析电容器两极板间电场强度的变化。
例题1 如图所示，两块较大的金属板A 、B 平行放置并与一电源相连，S 闭合后，两板间有一质量为m 、电荷量为q 的油滴恰好处于静止状态。以下说法中正确的是（ ） A. 若将A 板向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，表G 中有b→a 的电流 B. 若将A 板向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，表G 中有b→a 的电流 C. 若将S 断开，则油滴立即做自由落体运动，表G 中无电流 D. 若将S 断开，再将A 板向下平移一小段位移，则油滴向上加速运动，表G 中有b→a 的电流 【考点】电容器的动态分析 【思路分析】根据电路图可知，A 板带负电，B 板带正电，原来油滴恰好处于静止状态，说明油滴受到的竖直向上的电场力刚好与竖直向下的重力平衡；当S 闭合，若将A 板向上平移一小段位移，则板间间距d 变大，而两板间电压U 此时不变，故板间场强E ＝d U 变小，油滴所受合力方向向下，所以油滴向下加速运动，而根据C ＝ kd S r πε4可知，电容C 减小，故两板所带电荷量Q 也减小，因此电容器放电，所以G 中有b→a 的电流，选项A 正确；在S 闭合的情况下，若将A 板向左平移一小段位移，两板间电压U 和板间间距d 都不变，所以板间场强E 不变，油滴受力平衡，仍然静止，但是两板的正对面积S 减小了，根据C ＝ kd S r πε4可知，电容C 减小，两板所带电荷量Q 也减小，电容器放电，所以G 中有b→a 的电流，选项B 正确；若将S 断开，两板所带电荷量保持不变，板间场强E 也不变，油滴仍然静止，选项C 错误；若将S 断开，再将A 板向下平移一小段位移，两板所带电荷量Q 仍保持不变，两板间间距d 变小，根据C ＝ kd S r πε4，U ＝C Q 和E ＝d U ，可得E ＝S kQ r επ4，显然，两板间场 强E 不变，所以油滴仍然静止，G 中无电流，选项D 错误。 【答案】AB 【规律总结】平行板电容器的动态分析问题有两种情况： 一是电容器始终和电源连接，此时U 恒定，则Q ＝CU ∝C ，而C ＝ kd S r πε4∝d S r ε，两