B 1. 用数学归纳法证明“22111(1)1n n a a a a a a
++-+++
+=≠-”，在验证1n =成立时，等号左边的式子是_________. 2. 由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是
3.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ．
4. 设函数)1
2ln()(-++=x a x x f 是奇函数的充要条件a = ． 5. 如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于ABC △的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点上的数之和等于 ．
6．已知a b c >>，且0a b
c ++=
7. 等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.
（1）求r 的值；
（11）当b=2时，记 22(l o g 1)()n n b a n N +=+
∈ 证明：对任意的n N +
∈ ，不等式
1212111·······n n
b b b b b b +++>
16.证明：(分析法)因为a b c >>，且0a b c ++=，
所以0a >，0c <
，
即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，
即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，
所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．
17.解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+= 则1212n n b n b n ++=,所以121211135721·······2462n n b b b n b b b n
+
+++=?? 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)
2n n b b b n b b b
n ++++=??>
. ① 当1n =时,左边=32,右边
因为32
>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721·······2462k k b b b k b b b k ++++=??>.则当1n k =+时,左边=11212111113572123···
(24)
6222
k k
k k b b b b
k k b b b
b k k ++++++++=?????+ 2322k k +>===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.
由①、②可得不等式恒成立.
高中数学推理与证明练习题 一、选择题 1.观察下列数的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中,第100项是() A．10B．13C．14D．100 2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（）块. A.21 B.22 C.20 D.23 3.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是() A.2 B.4 C.6 D.8 4.观察图中的图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（） 5.下面使用类比推理正确的是() A.“若,则”类推出“若,则” B.“若”类推出“ ” C.“若”类推出“ （c0）” D.“ ”类推出“ ” 6.凡自然数都是整数，而4是自然数，所以，4是整数。以上三段论推理（） A．正确B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致D．两个“整数”概念不一致 7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC 互相垂直，则AB2+AC2=BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则可得” （） A．AB2+AC2+AD2=BC2+CD2+BD2 B． C．D．AB2AC2AD2=BC2CD2BD2 9.设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a,b和b,c的等差中项，则（） A.1 B.2 C.3 D.不确定 10.用反证法证明命题“如果”时，假设的内容应是（）A．B. C. D. 二、填空题: 11. 经计算得，，，，，推测，当时， 12.数列的前几项为2，5，10，17，26，……，数列的通项公式为。 13.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出= 14.从中，可得到一般规律为(用数学表达式表示)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3
推理与证明综合测试题 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =， ，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述
性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳 出式子为（ ） Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥
推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）
《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件
新数学《推理与证明》期末复习知识要点 一、选择题 1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ） A ．30010 B ．40010 C ．50010 D ．60010 【答案】A 【解析】 【分析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】 如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++???+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈. 故选：A 【点睛】 本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题 2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B ．猜想数列 111 122334 ?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *= ∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2 2 2 2 ()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C
【解析】 【分析】 根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】 根据合情推理与演绎推理的概念，可得: 对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列 111 122334 ?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理； 对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2 2 2 2 ()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】 本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”， 意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1 0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中 0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或 在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版 题型一：数学归纳法基础 【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111 12()234 124 2n n n n -+-+ +=+++ -++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+=k n 时等式成立 C ．22+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题 为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当 1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 【例4】利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 3 2++k k 【例5】用数学归纳法证明),1(1112 2 *+∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.2 1a a ++ D. 4 2 1a a a +++ 【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+????N n n ，从“k 到k+1”左端需乘的代数式是（ ） 典例分析
一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++
高中数学《推理与证明》知识点归纳 一、选择题 1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； ②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； ③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； ④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】 本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】 第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平
绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-
5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133
新单元《推理与证明》专题解析 一、选择题 1．已知()()2739n f n n =+?+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n , 则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6 【答案】C 【解析】 【分析】 依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】 由()(27)39n f n n =+?+，得(1)36f =， (2)336f =?，(3)1036f =?， (4)3436f =?，由此猜想36m =. 下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。 (2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即 ()(27)39k f k k =+?+能被36整除； 当1n k =+时, 1[2(1)7]39k k +++?+ 1 3(27)391823k k k +??=+?+-+??? () 13(27)391831k k k -??=+?++-?? 131k --Q 是2的倍数， () 11831k -∴-能被36整除， ∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有 ()(27)39n f n n =+?+能被36整除， m 的最大值为36. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题. 2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端
学习目标核 心素养 １．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．（重点、易混点） ２．会用综合法、分析法解决问题．（重点、难点）通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养. 一、综合法 １．直接证明 （１）直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．（２）常用的直接证明方法有综合法与分析法． ２．综合法 （１）定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． （２）符号表示：P0（已知）?P１?P２?…?P n（结论）． 二、分析法 １．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． ２．符号表示： B（结论）?B１?B２?…?B n?A（已知） １．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）综合法是执果索因的逆推证法．（） （２）分析法就是从结论推向已知．（） （３）综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．（）
[答案] （１）×（２）×（３）√ ２．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１， 求证：错误!错误!错误!≥8． 证明过程如下： ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝１， ∴错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，错误!—１＝错误!>0，∴错误!错误!错误!＝错误!·错误!·错误!≥错误!＝8， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________（填综合法、分析法）． [解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法 ３．错误!—２错误!与错误!—错误!的大小关系是________． [解析] 假设错误!—２错误!>错误!—错误!，由分析法可得， 要证错误!—２错误!>错误!—错误!，只需证错误!＋错误!>错误!＋２错误!， 即证１３＋２错误!>１３＋４错误!，即错误!>２错误!. 因为４２>４0，所以错误!—２错误!>错误!—错误!成立． [答案] 错误!—２错误!>错误!—错误! 综合法的应用 （２）已知方程（x２—mx＋２）（x２—nx＋２）＝0的四个根组成一个首项为错误!的等比数列，则|m—n|＝__________. （３）下面的四个不等式：１a２＋b２＋３≥ab＋错误!（a＋b）；２a（１—a）≤错误!；３错误!＋错误!≥２；４（a２＋b２）·（c２＋d２）≥（ac＋bd）２.其中恒成立的有__________． [解析] （１）∵cos A cos B>sin A sin B， ∴cos A cos B—sin A sin B>0，
合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23
《推理与证明测试题》 1、下面使用类比推理正确的是（ ） . A. “若 a 3 b 3 , 则 a b ”类推出“若 a 0 b 0 , 则 a b ” B. “若 (a b)c ac bc ”类推出“ (a b)c ac bc ” C. “若 (a b)c ac bc ” 类推出“ a b a b （ c ≠ 0）” n n n ” 类推出“ n c n c n c D. “ a （ a a b ” （ ab ） b b ） 2、有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面 , 则平行于平面内所有直线；已知 直线 b 平面 ，直线 a 平面 ，直线 b ∥平面 ，则直线 b ∥直线 a ”的结 论显然是错误的，这是因为（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 3、用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确 的是（ ） A. 假设三内角都不大于 60 度； B. 假设三内角都大于 60 度； C. 假设三内角至多有一个大于 60 度； D. 假设三内角至多有两个大于 60 度。 4、当 n 1，2， 3， 4， 5， 6 时，比较 2n 和 n 2 的大小并猜想（ ） A. n 1时， 2n n 2 B. n 3 时， 2n n 2 C. n 4时， 2n n 2 D. n 5 时， 2n n 2 5、用反证法证明命题： 若整系数方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有有理根，那么 a ,b ,c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） . A 、假设 a ,b , c C 、假设 a ,b , c 都是偶数 B 、假设 a , b, c 中至多有一个偶数 D 、假设 a , b, c 都不是偶数 中至多有两个偶数 6、类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB 、AC 互相垂直，则 三角形三边长之间满足关系： AB 2 AC 2 BC 2 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面
推理与证明 知识讲解 一、推理 推理：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断．这种思维方式就是推理． 从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 推理一般分为合情推理与演绎推理． 1．合情推理：前提为真，结论可能为真的推理． 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理． 归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程． 教师内容： 由归纳推理得到的结论是通过猜测得到的，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具． 归纳推理的一般步骤： 第1步通过观察个别情况发现某些相同的性质； 第2步从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）． 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）． 类比推理的一般步骤： 第1步找出两类事物之间的相似性或一致性； 第2步用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 教师内容： 在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越有关，类比得出的命题就越可靠．
2．演绎推理：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理． 演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真． 教师内容： 因而演绎推理是数学中严格的证明工具． 几种数学中常用的演绎推理规则： ⑴假言推理：通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．符号语言：若，真，q?pp则真；qa?c．⑵三段论推理：如果，则ba?c?b，“三段论”是演绎推理的一般模式；包括： ①大前提——已知的一般原理；（通常是已知的定义、定理、公式等） ②小前提——所研究的特殊情况；（通常是已知条件或前面推理的结论） ③结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． aRc，其中表示具有传递性的关系．，则⑶传递性关系推理：如果aRbbRc，R⑷完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则． 教师内容： 在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理不能用作证明，一道证明题，往往要综合应用这些演绎推理规则，如果违背了这些规则，那么证明就是错误的． ①归纳是由特殊到一般的推理； ②类比是由特殊到特殊的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理． 从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．不等式证明中的放缩法就属于传递性关系推理；数学归纳法属于完全归纳推理，文科现在不再学习数学归纳法，． 复式三段论 一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论．可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论． 二、证明 证明：分成直接证明与间接证明． 1．直接证明：从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性． 常用的直接证明方法有综合法与分析法． ①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．是从原因推导到结果的思维方法； ②分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．是一种从结果追溯到产生结果的原因的思维方法． 2．间接证明：常用的有反证法． 反证法：先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．常见矛盾：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；与原命题中的已知结论矛盾等．
第十二讲推理与证明 数学推理与证明知识点总结: 推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考 考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此 基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲推理与证明 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演 绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的 考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一 般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对 特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定 这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 ?实施的具体步骤是：? 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；?第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；?第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 ④数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 1 / 1