一、选择题
1. （2015四川省绵阳市，10，3分）如图，要在宽为22米的九洲大道AB 两边安装路灯，
路灯的灯臂CD 长为2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳。此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为 （ ）21·世纪*教育网 A ．()2211-米 B ．()22311-米 C ．()3211-米 D ．()
4311-米
D
C
O
B
A
（10题图）
【答案】D
【解析】本题主要考查利用勾股定理解决实际问题。
过D 做DE ⊥AB 交AB 于点E ，过C 做CF ⊥DE 交DE 于点F ． ∵∠DCB =120°，CB ⊥AB ，OD ⊥CD ，
∴∠DOB =360°-∠DCB -∠CBO -∠ODC =360°-120°-90°-90°=60°，即∠DCF =30° ∴3
cos30232
CF CD =??=?
= ，112DF CD ==
∴3CF BE ==，∴1
1132
OE OB BE AB BE =-=
-=- ∴()
tan 6031131133DE OE =??=-=- ， ∴113311134BC DE DF =-=--=- 故选 D
E
F
D C
O
B
A
（10题图）
2. （2015四川南充，5，3分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东方向55°，距离
灯塔为2 海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB 长是（ ）
（A ）2 海里 （B ） 55sin 2海里 （C ） 55cos 2海里 （D ） 55tan 2海
里
【答案】C
【解析】如下图示，根据正弦函数定义“sin AB
A PA
=”得2
55AB PA cosA cos =?=?。故选C 。
2海里
东
北
55°
A
P
B
3. （2015浙江省温州市，5，4分）如图在△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AB=5，BC=3，则cosA 的值是（ ）
A.
34 B. 43 C. 35 D. 45
【答案】D
4. (2015年山东省济宁市)如图，斜面AC 的坡度（CD 与AD 的比）为1 ：2，AC=35米，坡顶有一旗杆BC ，旗杆BC ，顶端B 点与A 点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC 的高度为（ ）
北
A
P B
A. 5米
B. 6米
C. 8米
D. (35)
+米
【答案】A
5. (2015年山东省济宁市)将一幅三角尺（在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt △EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P,DF 经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于点M, DF′
交BC于点N,则PM
CN
的值为（）
A. 3
B.
3
2
C.
3
3
D.
1
2
【答案】C
6.（2014江苏省苏州市，10，3分）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km，
从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4km B．()
22
+km C．22km D．()
42
-km
【答案】B
【解析】过点B 作BE ⊥AD 交AC 于点E .则BE =AB =2，AE =22；CE =BE =2，所以AC =22+2，
所以CD =()
22+km.
7. (2015年湖南衡阳，12，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测
角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为
A.503
B.51
C.503+1
D.101
【答案】C
【解析】解：由矩形CDFE ，得DF ＝CE ＝100米，由矩形EFBC ，得CD ＝GB ＝1米，因为
∠ACE ＝30°, ∠AEG ＝60°,所以∠CAE ＝30°,所以CE ＝AE ＝100米.在RT △AEG 中，AG
＝sin 60°·AE ＝
3
2
×100＝50米，所以AB ＝503+1.故选C .
二、填空题
1. （2015山东省德州市，16，4分）如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m
的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°.则旗杆的高度约为 m.（结果精确到0.1m,参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
（第10题）
l
北西
南
东
C
D
B
A 45°
22.5°
【答案】7.2
2.（2015浙江省台州市，14，5）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1cm．甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则淑江区B处的坐标是______．
北
路桥区
淑江区
B
A
【答案】(10，3
8)
【解答】解：过B点作正东方向的垂线，垂足为H，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一
般，求得AH=8，再根据勾股定理求得BH=3
8，所以B点的坐标为（10，3
8）
3.（2015江西省，第13题，3分）如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽
象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm, ∠CBD=40°,则点B到CD的距离为14.1cm（参考数据：sin20°≈ 0.342,cos20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, cos40°≈ 0.766.精确到0.1cm,可用科学计算器）
甲：路桥区A处的坐标是（2，0）．
乙：路桥区A处在淑江区B处南偏西30°
方向，相距16km．
（第14题）
答案】14.1
E
D
C A B
【解析】解析：如右图，作BE ⊥CD 于点E.
∵BC=BD, BE ⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°, 在Rt △BCD 中，BD BE DBE =
∠cos ∴15
200
BE COS =， ∴BE ≈15×0.940=14.1 故答案为14.1
14.4. （2015江西省，第14题，3分）j 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，AO ＝BO ，P 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ．
【答案】2，23或27
【解析】如图，分三种情况讨论：
图（1）中，∠APB=90°，
∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°, ∴△APO 是等边三角形，
∴AP=2；
图（2）中，∠APB=90°，
∵AO=BO, ∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2,
又∠AOC=60°, ∴∠BAP=30°,
在Rt △ABP 中，AP=cos30°×4=23 .
图（3）中，∠ABP=90°, ∵BO=AO=2 , ∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB=23, ∴AP=()2
2
42327+=
∴AP 的长为2，23或27故答案为2，23或27
5. （2015成都市，17，8分）如图，登山缆车从点 A 出发，途经点 B 后到达终点 C ，其中 AB 段与 BC 段的运行路程均为200m ，且 AB 段的运行路线与水平面的夹角为 30°，BC 段的 运行路线与水平面的夹角为 42°，求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离.
(1)
P
O
B
A
C (2)
P
O
B
A
C
（参考 数据： sin 42°≈0.67 ， cos 42°≈0.74 ， tan 42°≈0.90 ）
【答案】 234 m
【解析】:解：在Rt △ABD 中，1
200 1002
BD AB =?=?=sin30m
在Rt △BEC 中，sin 422000.67134CE BC =?=?=m
∴从A 到C 上升的垂直高度h =BD ＋CE ＝234 m
三、解答题
1. （2015四川省自贡市，24，14分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝3
5
，将△ABC
绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C ．【版权所有：21教育】 （1）如图①，当点B 1在线段BA 延长线上时，
①求证：BB 1∥CA 1； ②求△AB 1C 的面积；
（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针
旋转过程中，点F 的对应点是F 1，求线段EF 1长度的最大值与最小值的差．
【答案】解：（1）①证明：∵AB ＝AC ，B 1C ＝BC ， ∴∠1＝∠B ，∠B ＝∠ACB ． ∵∠2＝∠ACB （旋转角相等）， ∴∠l ＝∠2． ∴BB 1∥CA 1．
200m 42°
B
200m 30°
A
C
D
E
A
B
C
E
1
F 1
A 1
B 图②
图①
A
B
C
1
A 1
B A
1
A 1
B 2
1
②过A作AF⊥BC于F，过C作CE⊥AB于E．∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF．
∵cos∠ABC＝3
5
，AB＝5，
∴BF＝3．
∴BC＝6．
∴B1C＝BC＝6．∵CE⊥AB，
∴BE＝B1E＝3
5
×6＝
18
5
．
∴BB1＝36
5
，CE＝
4
5
×6＝
24
5
．
∴AB1＝36
5
5
-＝
11
5
．
∴△AB1C的面积为：11124
255
??＝
132
25
．
（2）如图过C作CF⊥AB于F，以C为圆心CF为半径画圆交BC于F1，EF1有最小值．
此时在Rt△BFC中，CE＝24
5
．
∴CF1＝24
5
．
∴EF1的最小值为24
3
5
-＝
9
5
．
如图，以C为圆心BC为半径画交BC的延长线于F1，EF1有最大值．此时EF1＝EC＋CF1＝3＋6＝9．
∴线段EF1的最大值与最小值的差为
9
9
5
-＝
36
5
．
2.（2015山东省青岛市，19，6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m.请求出热气球离地面的高度（结果保留整数）.21·cn·jy·com
（参考数据：sin35°≈
7
12
，cos35°≈
5
6
，tan35°≈
7
10
）A
F
【答案】解：如图所示，作AD ⊥BC 于点D .由题意得∠ABD=45°，∠ACD=35°，BC=100m
.
设AD=x ，则BD=AD=x ，0
107tan35710
x x x
CD =
==， ∴BC=CD-BD=10310077
x x
x -==， ∴700
3
x =
≈233. 答：热气球离地面的高度约为233m .
3.（2015四川省遂宁市，20，9分）一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)
【答案】8．
【解析】
解：由题意，∠B ＝90°，∠D ＝30°，∠ACB ＝45°，DC ＝10米， 设CB ＝x ，则AB ＝x ，DB ＝3x ， 注意到DC ＝10米，所以3x ＝x ＋10，
A
B
C
D
45°
30°
所以(3－1)x ＝10，x ＝10
53531
=+-5≈5×1.73＋5＝8.65＋5＝13.65≈13.7． 答：树高为13.7米．
4. 2015四川省巴中市，29，8分）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦
前的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D 处（C 、C 、B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端A 的仰角为45°．请你计
算该大厦的高度．（精确到0．1米，参考数据：2≈1．414，3≈1．732）
【答案】解：设大厦的高AB =x m ． 依题意，∵AB ⊥CB ，∠ADB =45°，∠ACB =30°，
∴BD =AB =x ，BC =tan AB
ACB ∠=3x ．
∴CD =AB －DB =3x －x =80． ∴x ≈109．3．
答：大厦的高度约为109．3米
5. （2015年四川省宜宾市，21，8分）如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A 、B 的
供水路线进行优化改造，供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏
东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A 、B 之间的距离为()
13300+米，求供水站M 分别到小区A 、B 的距离。（结果可保留根号）2·1·c·n·j·y
【答案】供水站M 分别到小区A 、B 的距离为600米和2300米
【解析】解：如图，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，设供水站M 到公路AC 的距离ME 的长度为x 米
在Rt △AEM 中，由题意得：∠EAM =30°，ME =x ，则AM =2x ，AE =x 3， 在Rt △BEM 中，由题意得：∠EBM =45°，ME =x ，则BE =x ，BM =x 2，
∵小区A 、B 之间的距离为()
13300+米，∴()
133003+=+x x ，解得：x =300（米） AM =2x =600（米），BM =23002=x （米）。
答：供水站M 分别到小区A 、B 的距离为600米和2300米。
6.（2015重庆B 卷，24，10分）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD ，其中AB ∥CD .瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=?，观测渔船N 在俯角45β=?，已知NM 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为点E ，PE 长为30米.21*cnjy*com
（1）求两渔船M ，N 之间的距离（结果精确到1米）；
（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度1:0.25i =.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH 的坡度为1:1.5i =，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？https://www.doczj.com/doc/9017416053.html,
（参考数据：tan 310.60,sin 310.52?≈?≈）
24题图
α
β
H
F
E
N
M
J
P
B
D C
A
【答案】（１）20m ；（２）6003m 【解析】
解：（1）在Rt △PEN 中，EN =PE =30m 在Rt △PEM 中，
50tan31PE
ME m
==? ∴20m MN EM EN =-=
答：两渔船M 、N 之间的距离为20米
（2）过点F 作FM ∥AD 交AH 于点M ，过点F 作FN ⊥AH 交直线AH 于点N 则四边形DFMA 为平行四边形，∠FMA ＝∠DAB ，DF =AM =3m 由题意：tan tan 4FMA DAB ∠=∠=，
2tan 3H ∠=
在RT △FNH 中， 24
362tan 3
FN NH m
H
===∠
在RT △FNM 中，
24
6
tan 4
FN MN FMA ===∠m 故HM =HN -MN =36-6=30m ∴AH =AM +HM =3+30=33m
2
11()24(333)43222DAHF S DN DF AH m
=??+=??+=梯形 故需要填筑的土石方共343210043200V S L m =?=?=
设原计划平均每天填筑x 3m ，则原计划43200x 天完成；增加机械设备后，现在平均每天填
筑32
x 3m
43200
12(1220) 1.543200
x x x
+--?= 解得：x =600
经检验：x =600是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑6003m 的土石方
7. （2015四川省自贡市，18，8分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学
知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A 处观测对岸C 点，测得∠CAD ＝45°，小英同学在距A 处50米远的B 处测得∠CBD ＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据2≈1.414，3≈1.732）21世纪教育网版权所有
【答案】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米．
Rt △AEC 中，∠CAE ＝45°，AE ＝CE ＝x ． 在Rt △ABC 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ． ∴3x ＝50x +．
解得x ＝25325+≈68.30． 答：河宽为68.30米．
8. (2015四川泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行。当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处。若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近?(计算结果用根号表示，不取近似值)。21·cn·jy·com
A
B
C
D
A
B
C
D E
【答案】 解：过A 作AD ⊥BC,交BC 于点D,则D 距观测点最近，∠BAD=45°，∠ACD=60°，BC=30×0.5=15（海里）,设AD=x, ∵tan ∠ACD=
3AD CD =, tan ∠BAD= 1BD
AD
= ∴CD=
3
3
x,BD=x ∴
3
3
x+x=30，解得x=45-15 3(海里)
∵（45-15
3）÷30=
33
2
-（小时） ∴渔船从B 点开始行驶
33
2
-小时离观测点距离最近.
9. (2015浙江台州，19，8分)如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A 到调节器点O 处的距离为80cm ，AO 与地面垂直．现调节靠背，把OA 绕点O 旋转35°到OA ′处．求调整后点A ′比调整前点A 的高度降低了多少厘米（结果取整数）？ （参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70）
【答案】解：过点'A 作',A B AO ⊥交AO 于B 点，在'Rt A BO ?中
A
A ’
O
第19题图
第22题图60°
北
B
C
A