当前位置：文档之家› (完整word版)分式不等式与一元高次不等式的解法训练.doc

(完整word版)分式不等式与一元高次不等式的解法训练.doc

【知识点梳理】

一、可解的一元高次不等式的标准形式

(x x1)( x x2 )L ( x x n ) 0(0)

（1）左边是关于 x 的一次因式的积；

（2）右边是 0；

（3）各因式最高次项系数为正。

二、一元高次不等式的解法

数轴标根法：

1、将高次不等式变形为标准形式；

2、求根x1, x2,L , x n，画数轴，标出根；使等号成立的根, 标为实点 , 等号不成立的根

要标虚点 .

3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回”

数轴上方曲线对应区域使“ >”成立 , 下方曲线对应区域使“ <”成立 .

二、分式不等式

方法 1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法 2：在分母不为0 的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例 1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：

（1）f x

0 f x g x 0

f x f x

g x 0

（ 2）

x 0

g x g g

解题方法：数轴标根法。

解题步骤：（ 1）首项系数化为“正” ；（ 2）移项通分，不等号右侧化为“ 0”；（ 3）因式分解，化为几个一次因式积的形式；（ 4）数轴标根。

x a1 x a2 x a m

0 或0 ，再用数轴标根法归纳：分式不等式主要是转化为

x b n

x b1 x b2

求解。

【典型例题】

例 1、解不等式

(1)2x 3-x 2-15x ＞0；

(2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0．

例 2、解下列不等式：

⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0 ；⑵ (x+2)(x 2+x+1)>0 ；

⑶ (x+2) 2(x+1)<0 ；（4） (x+2) 2(x+1) 0；

2 2

（5） (x -1)(x -5x-6)> 0

例 3、解不等式：

x2 3x 2

x 2 7x 0

例 4、解不等式：x

9x 11 7 x2 2x 1

例 5、解不等式：

x2 5x 6

x2 3x 0

例 6、解不等式：

2 3x

x2 3

x 1

【巩固练习】

1、解下列不等式：

⑴ (x+1) 2(x-1)(x-4)>0；⑵ (x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)>0；

⑶(x+2)(x+1)2(x-1)3(3-x))0⑷ (x2-1)(x-1)(x2-x-2)0；

⑸x+1 4 ⑹ 3x 2 14x 14 1；

x 1 x 2 6x 8

（7）

( x 1) 2

( x 2) 0； (x 3)( x

2：解不等式：

1、

x 3

、 2x 1

2 x

x 3

3、 x

3x 2 0

、 x

2x 1 0 x 2 2x 3

x 2

x 6

x 1

、 x x

3 0

5、

x 2

9 x 2

高考数学高次分式不等式解法

课题：分式不等式高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或? ??>+<-040 1x x ?x ∈φ或-40；解：①检查各因式中x 的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下： ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-23}. 小结：此法叫列表法，解题步骤是：

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的区间. 注意：奇过偶不过例3解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图： ④∴原不等式的解集为：{x|-1

一元二次不等式及其解法教学设计

一元二次不等式及其解法【设计思想】新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。【教材分析】本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。【学情分析】学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。【教学目标】知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法；过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力；情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。【教学重点】一元二次不等式的解法。【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。【教学策略】探究式教学方法（创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）【课前准备】教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.

分式不等式的解法

一不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值）利用绝对值的定义：（零点分段法）利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法根轴法（零点分段法） 1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2）分解因式； 3）标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取的根打实心点，不能去的打空心）； 4）穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)；一元二次不等式解法步骤： 1）化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2）首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3）画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

一元高次方程的求解

一元高次方程一元三次方程求解 320x ax bx c +++= 其中,,a b c 是任意复数 ② 若令3 a x y =- ，则三次方程简化为 3 0y py q ++= ③ 其中33a p b =-，3 2327 ab a q c =-+ ，设123,,y y y 表示简化方程③的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=。若令3242712u p q v ?=--? ?=-??，2 11232 2123 z y v y vy z y vy v y ?=++??=++??。对于适当确定的立方根，卡当公式是1z = 2z = 求解线性方程组123212312 12320y y y y v y vy z y vy v y z ++=??++=??++=?，得到11221 21212 3121() 31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----?=+?? ?=+???=+?? ，于是，原三次方程的三个根为1y = 2y ω= ，3y ω= 其中23 427 q p ?=+ ，12ω=- （i =。 C 、一元四次方程求解 3. x 4 ＋bx 3+cx 2+dx+e ＝0．设方程为x 4 ＋bx 3 +cx 2 +dx+e ＝0． (4)

移项，得x 4＋bx 3=-cx 2-dx -e ，右边为x 的二次三项式，若判别式为0，则可配成x 的完全平方．解这个三次方程，设它的一个根为y 0，代入(5)，由于两边都是x 的完全平方形式，取平方根，即得解这两个关于x 的二次方程，便可得到(4)的四个根．显然，若把(6)的其他根代入(5)，会得出不同的方程，但结果是一样的．高中阶段对于三次四次方程的求解很少涉及，我们遇到的一般是比较有规律的高次方程。当高次不等式数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题。有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 1 01100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1 011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠。当系数01,,a a

元高次不等式的解法

元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021

一元高次不等式的解法步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正” （2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。注意：奇穿偶不穿。 ④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间：注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。例1：求不等式223680x x x --+>的解集。解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +--> 由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或（1）()()()()00,f x f x g x g x >??> ()() ()()(2)00;f x f x g x g x