中考数学专题训练：全等三角形
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点．若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()
A．15°B．20°C．25°D．30°
3. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是()
A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D
4. 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD
上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()
A. 2对
B. 3对
C. 4对
D. 5对
5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()
图12-1-10
A.2
B.3
C.5
D.2.5
6. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()
A.△ABD和△CDB的面积相等
B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD
D.AD∥BC，AD=BC
7. 如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE ＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
8. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()
9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于()
A．90°B．120 C．135°D．150°
10. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 3个以上
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
12. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)
13. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).
14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.
15. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．
16. 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：________，使得△ABO≌△CDO.
17. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．
18. 如图，P A⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且P A＝PB.若∠MON＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA的大小为________．
19. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
20. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC.求证：Rt△ABC≌Rt△DEF.
22. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.
23. 观察与类比(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；
(2)如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．
24. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s(t>0).
(1)求CP的长(用含t的式子表示);
(2)若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值.
25. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：
△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，
①求证：△BPE∽△CEQ；
②当BP＝2，CQ＝9时，求BC的长．
26. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.
(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；
(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；
(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．
2021中考数学一轮专题训练：全等三角形-答案
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.
2. 【答案】D[解析] 由条件可知∠ADB＝∠EDB＝∠EDC＝60°，且∠DEB＝∠DEC＝90°，∴∠C＝30°.
3. 【答案】C
4. 【答案】C【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON ≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．
5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，
∴AC=AB=5.
∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.
6. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;
B.∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;
C.∵△ABD≌△CDB，
∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.
∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;
D.∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.
∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.
7. 【答案】D[解析] ∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF ＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.
8. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.
选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
又∵BD=CE=2，∠B=∠C，
∴△BDE≌△CEF.
故能判定两个小三角形全等.
9. 【答案】C[解析] 在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.
10. 【答案】D【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN 是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.
二、填空题（本大题共10道小题）
11. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.
12. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．
13. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.
14. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．
15. 【答案】∠B＝∠D
16. 【答案】∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD(答案不唯一)
[解析] 由题意可知∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD.
∵AB 是∠AOB 的对边，CD 是∠COD 的对边，∴只能添加角相等，故可添加∠A ＝∠C 或∠B ＝∠D 或AB ∥CD.
17. 【答案】2.5
[解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，∴S △ABC ＝1
2×8·h
＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.
18. 【答案】55°
[解析] ∵PA ⊥ON ，PB ⊥OM ，
∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°.
在Rt △AOP 和Rt △BOP 中，?????PA ＝PB ，
OP ＝OP ，
∴Rt △AOP ≌Rt △BOP(HL)． ∴∠AOP ＝∠BOP ＝1
2∠MON ＝25°.
∴∠PCA ＝∠AOP ＋∠OPC ＝25°＋30°＝55°.
19. 【答案】5
或10 [解析] ∵AX ⊥AC ，∴∠PAQ ＝90°.∴∠C ＝∠PAQ ＝90°.
分两种情况：①当AP ＝BC ＝5时， 在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，?????AB ＝QP ，BC ＝PA ，
∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL)； ②当AP ＝CA ＝10时，
在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，?????AB ＝PQ ，
AC ＝PA ，
∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL)．
综上所述，当AP ＝5或10时，△ABC 与△APQ 全等．
20. 【答案】32°
[解析] ∵PD ＝PE ＝PF ，PD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，PE ⊥
AC 于点E ，PF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ， ∴CP 平分∠ACF ，BP 平分∠ABC. ∴∠PCF ＝12∠ACF ，∠PBF ＝1
2∠ABC.
∴∠BPC ＝∠PCF －∠PBF ＝12(∠ACF －∠ABC)＝1
2∠BAC ＝32°.
三、解答题（本大题共6道小题）
21. 【答案】
证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝FC ＋EC ， 即BC ＝EF. ∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABC 和△DEF 都是直角三角形． 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，?????AB ＝DE ，BC ＝EF ，
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL)．
22. 【答案】
解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD. ∵AD=16，BC=10， ∴AB=CD=(AD-BC )=3.
23. 【答案】
解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，
∴∠AED ＝∠AEF ＝∠ACB ＝90°. 在Rt △ACF 和Rt △AEF 中，?????AC ＝AE ，AF ＝AF ，
∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL)．∴CF ＝EF. 在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，
?
???
?AD ＝AB ，AE ＝AC ，∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)． ∴DE ＝BC. ∵DF ＝DE ＋EF ， ∴DF ＝BC ＋CF. (2)BC ＝CF ＋DF. 证明：如图，连接AF.
在Rt △ABC 和Rt △ADE 中， ?
????AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL)． ∴BC ＝DE.
∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°＝∠AED. 在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中，
?????AC ＝AE ，AF ＝AF ，
∴Rt △ACF ≌△AEF(HL)．
∴CF＝EF.
∵DE＝EF＋DF，∴BC＝CF＋DF.
24. 【答案】
解:(1)依题意得BP=3t cm，BC=8 cm，
∴CP=(8-3t)cm.
(2)∵∠B和∠C是对应角，∴分两种情况讨论:①若△BDP≌△CPQ，则BD=CP，BP=CQ.
∵AB=10 cm，D为AB的中点，∴BD=5 cm.
∴5=8-3t，解得t=1.
∴CQ=BP=3 cm.
∴a==3.
②若△BDP≌△CQP，则BD=CQ，BP=CP.∵BP=3t cm，CP=(8-3t)cm，
∴3t=8-3t，解得t=.
∵BD=CQ，∴5=a，
解得a=.
综上所述，a的值为3或.
25. 【答案】
(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
又∵AP＝AQ，
∴BP＝CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC.
∴在△BPE与△CQE中，
∠∠BP CQ B C BE CE =??
=??=?
， ∴△BPE ≌△CQE (SAS)；
(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°， ∴∠CQE ＝∠BEP ， ∵∠B ＝∠C ， ∴△BPE ∽△CEQ ；
②解：由①知△BPE ∽△CEQ ， ∴
BE BP
CQ CE
=
， ∴BE ·CE ＝BP ·CQ ， 又∵BE ＝EC ， ∴BE 2＝BP ·CQ ， ∵BP ＝2，CQ ＝9，
∴BE 2＝2×9＝18， ∴BE ＝32， ∴BC ＝2BE ＝6 2.
26. 【答案】
(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， 在△ABE 和△BCD 中， ????
?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC
∠ABE ＝∠BCD
， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；
(2)解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ， ∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°. ∴在△ABE 和△BCD 中， ????
?∠BAE ＝∠CBD AB ＝BC
∠ABE ＝∠BCD
， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)， ∴BE ＝CD . ∵DH ⊥AB ， ∴∠DHA ＝90°， ∵∠CAB ＝60°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝2AH ，
∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；
(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，
解图
∵AC ＝6，BE ＝2， ∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,
与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，
∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CDS ＝30°，
∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7， ∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2， ∴BD ＝213， ∵EK ∥BD ， ∴△CBD ∽△CEK ，
∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，
∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝813
3. ∵HM ∥AC ，
∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，
∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4， 又∵HM ∥AC ， ∴△HMG ∽△KCG ，
∴HM KC ＝MG CG ，
即382
＝MG 4－MG ，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ， ∴△GBP ∽△GEK ， ∴BP EK ＝GB GE ，
∴BP ＝2613
15.
A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?
8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最
全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________． 【答案】936 【解析】 【分析】 把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+． 【详解】 将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，连接PD ∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60?， 又∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60?，AB ＝AC ， ∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ， ∴∠DAB ＝∠PAC ， 又AB=AC,AD=AP ∴△ADB ≌△APC ∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60?， ∴△ADP 为等边三角形， 在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5， ∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2， ∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90?， ∵△ADB ≌△APC ，
∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3 ×32＋ 1 2 ×3×4＝ 93 6+． 故答案为： 93 6+． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】 【分析】 先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】 解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠DAO=50°， 分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°，
八年级数学- 全等三角形专题训练题 1、如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ） （A ） ∠M=∠N （B ） AB=CD （C ） AM=CN （D ） AM ∥CN 2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍 无法判断 △ABE ≌△ACD 的是（ ） （A ） AD=AE （B ） ∠AEB=∠ADC （C ） BE=CD （D ） AB=AC 3、已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP 4、已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 F E A C D B M P C B N C N M A B D E B D A C
5、已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。求证：CE=DF 。 6、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 7、已知，如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点，求证：△BCF ≌△DCE F E O D C B A A E D C B G F E D C A B
8、如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF D C F E D C A B G
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
八年级提高班数学资料 (全等三角形专题训练题) 1、 如图，已知MB=ND ，∠MBA=∠NDC ，下列条件不能判定△ABM ≌△CDN 的是（ ） （A ） ∠M=∠N （B ） AB=CD （C ） AM=CN （D ） AM ∥CN 2、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判断 △ABE ≌△ACD 的是（ ） （A ） AD=AE （B ） ∠AEB=∠ADC （C ） BE=CD （D ） AB=AC 3、已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP 4、 已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。求证：AF=CE 。 5、 已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。求证：CE=DF 。 F E A C D B M P C B N F E O D C B A C N M A B D E B D A C
6、 已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 7、已知，如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点，求证：△BCF ≌△DCE 8、 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为 已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、 如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论， 推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF A E D C B G F E D C A B D C F E D C A B G
E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
初二数学全等三角形证明题专题训练 1.如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 2.如图，在ABC ?中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。 3.如图，在ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=。F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。求证：AE CF =。 4.如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。 5. 如图，,AP CP 分别是ABC ?外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：BP 为MBN ∠的平分线。
6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。 求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 是 ； （2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数 量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3
精编初二数学全等三角形压轴题专题训练1．（春?道外区期末）已知，如图1，BD、CE是锐角△ABC 的高，点F在 BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB． （1）求证：∠B AF=∠C GA； （2）在图1中，过点F、G分别作过点A的直线的垂线，垂足分别为点M、N （如图2），试判断线段MN与线段FM、GN之间的数量关系，并证明你的结论．
2．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A， B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC=∠CD B=90°，所以 ∠C AE+∠ACE=90°，又因为∠AC B=90°，所以∠BCD+∠ACE=90°，所以∠C AE= ∠BCD，又因为AC=BC，所以△AE C≌△CD B（）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S= ； ，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°（3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠AC B=90° 至AB′，连接B′C，求△AB′Ｃ的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC=BC=3cm，点O在BC上，且OC=2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s 速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t=秒时，OF∥ED； ②当t=秒时，OF⊥BC； ③当t=秒时，点F恰好落在射线EB上．
3．【问题探索】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E分别在AC、 BC边上，DC=EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．探索BE与MN的数量关系．聪明的小华推理发现PM与PN 的关系为，最后推理得到BE与MN 的数量关系为． 【深入探究】将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的BE与MN 的数量 关系是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【解决问题】若CB=8，CE=2，在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，求MN的长度．
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3
学习参考
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3
3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2
初中数学专项 训练：全等三角形 欧阳光明（2021.03.07） 一、选择题 1．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是 A ．AB=AD B ．A C 平分∠BC D C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC 2．如图，在△ABC 和△DEB 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是 A ．BC=EC ，∠B=∠E B ．BC=E C ，AC=DC C ．BC=DC ，∠A=∠ D D ．∠B=∠ E ，∠A=∠D 3．如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=?60，CP 2=，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是 A ．2 B ．2 C ．3 D ．32 4．如图，在四边形ABCD 中，对角线AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有【 】 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、
AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为 （） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件 后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为2 ,则AC的长是（） A．26B．5 2C．2 4D．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段． 9．如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是。 10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长
全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段（旋转角为），连接． 特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________． 类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时， ①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想； ②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明） 12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________． 13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________． 14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________． 15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形． 16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，； 请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：； ②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________． 18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________． 19.阅读下面材料： 小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长． 小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答： 是________三角形． 的长为________． 参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长． 20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________． 三、解答题（共 7 小题，每小题 10 分，共 70 分）
A F D C B E A F C G B E 全等三角形培优试题 三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ 条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法，有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形． 1、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90o，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ． 求证：∠ADC=∠BDF ． 说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形． 2、已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ． 3、已知：如图16，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ． 求证：∠B=∠E ． G A B F D E C A B F
4、在Rt △ABC 中，∠B AC ＝90°，AB=AC ，CE ⊥BD 的延长线于E ，∠1=∠2求证：BD ＝2CE ． 5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ． 6、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值为多少？ 7、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 上的点，BD ＝CF ，CD ＝BE ，G 为EF 中点，连结DG ，问DG 与EF 之间有何关系?证明你的结论。 C A B C D
人教版八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____． 【答案】AD的中点 【解析】 【分析】 【详解】 分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′， 根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.
【答案】15CP ≤≤ 【解析】 【分析】 根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小， 此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大， 此时CP=AC ， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5， 所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5， 故答案为1≤CP≤5. 【点睛】 本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键. 3．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC 为一边作等边三角形
八年级数学《全等三角形》专题训练 1.如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC， AB＝DF．则ΔABC≌_____，全等的根据是_____． 2.已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝DC：（2） AD∥BC． 3.已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于 F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长． 4.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加 条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______． 5.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则 下列结论中错误的是（） A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC
6.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到 斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法） 7.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的 若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______． 8.已知：如图，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC． 9.已知：如图，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线 BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____． 10.已知：如图，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（） A．DB B．BC C．CD D．AD
11.角的平分线的性质是___________________________．它的题设是 _________，结论是_____． 12.已知：如图，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、 CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____． 13.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中， 和△ABC全等的图形是（） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 14.完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系． （1）如果一个点在角的平分线上，那么_____； （2）如果一个点到角的两边的距离相等，那么_____； （3）综上所述，角的平分线是_____的集合． 15.已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：∠B＝∠C．
三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C C D B A B C D E F 2 1 A D B C A B A C D F 2 1 E
5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 F A E D C B P E D C B A D C B A M F E C B A 全等三角形专题 一、隐含条件 （一）公共边 1.如图，21∠=∠，D C ∠=∠，那么AD AC =吗说明你的理由. 2.如图，BAD ABC ∠=∠，AD BC =，求证：BD AC =. } 3.如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与BD 相交于点O ，DC AB =，BD AC =. 求证：△ABC ≌△DCB （二）公共角 4.如图，AC AB =，AE AD =，求证：C B ∠=∠. 【 （三）对顶角 5.如图，AC 与BD 相交于点O ，OD OA =. ⑴若增加一个条件___________________，可以用“AAS ”推得△AOB ≌△COD . ⑵若增加一个条件___________________，可以用“ASA ”推得△AOB ≌△COD . ⑶若增加一个条件___________________，可以用“SAS ”推得△AOB ≌△COD . 6.如图，BD AB ⊥于点B ，BD ED ⊥于点D ，AE 交BD 于点C ，且DC BC =. 求证：ED AB =. | 二、转化条件 （一）等量+公共部分 7.如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，DE AB =，EF BC =，DC AF =，试说明 AB DE 图，AC AB =，AE AD =，CAD BAE ∠=∠，试说 明C B ∠=∠. 9.如图， OD OA =，OC OB =，BOC AOD ∠=∠，试说明BD AC =. … （二）等量-减公共部分 10.如图，D A ∠=∠，DF AC =，DB AE =，那么△ABC 和△DEF 全等吗为什么 @ 11.如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，?=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点，求证：AE BD =. ； （三）平行 12.如图，点E ，A ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，CE AB =，CD AC =.求证：ED BC =. 13.如图，已知点E 、C 在同一条直线上，CF BE =，AB ∥DE ，F ACB ∠=∠. 求证: △ABC ≌△DEF . 《 初中数学专项训练：全等三角形 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC 2．如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是 A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 3．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=? 60，CP2 =，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是 A．2 B．2 C．3D．3 2 4．如图，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有【】 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三 条直线l 1，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为1 , l 2 ，l 3 之间的距离为2 , 则AC的长是（） A ．26 B ．52 C ．24 D ．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D ，∠ABC=∠BAD ，AC 与BD 相交于点O ，请写出图中一组相等的线段 ． 9．如图，在Rt△ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 。 10．如图，已知BC=EC ，∠BCE=∠ACD ，要使△ABC≌△DEC ，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个） 11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是 ． 12．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为 ． 13．如图，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 14．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A全等三角形专题训练
全等三角形专项训练及答案解析
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