1.4 一元一次不等式(1) 同步练习
(总分：100分 时间45分钟)
一、选择题（每题4分，共32分）
1、下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A 、4＞1 B 、3x －24
＜4 C 、12x
< D 、4x －3＜2y －7
2、与不等式
32113
2
x x -+<-有相同解集的是（ ）
A 、3x －3＜（4x ＋1）－1
B 、3(x-3)＜2（4x ＋1）－1
C 、2(x-3)＜3（2x ＋1）－6
D 、3x －9＜4x －4 3、不等式
13(19)76
2
x x -<--
的解集是（ ）
A 、x 可取任何数
B 、全体正数
C 、全体负数
D 、无解
4、关于x 的方程5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则a 的取值范围是( ) A 、a ＜－4
B 、a ＞5
C 、a ＞－5
D 、a ＜－5
5、若方程组31
33x y k x y +=+??+=?
的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，则k 的取值范围是（ ）
A 、k ＞4
B 、k ＞－4
C 、k ＜4
D 、k ＜－4 6、不等式2x －1≥3x 一5的正整数解的个数为 ( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、不等式
732
12
2
x x --+<
的负整数解有（ ）.
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
8、若不等式（3a －2）x ＋2＜3的解集是x ＜2，那么a 必须满足( ) A 、a ＝
56
B 、a ＞
56
C 、a ＜
56
D 、a ＝－
12
二、填空题（每题4分，共32分）
9、不等式10(x －4）＋x ≥－84的非正整数解是_____________ 10、若51)2(1
2>--+m x
m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为
11、已知2R －3y ＝6，要使y 是正数，则R 的取值范围是_______________. 12、若关于x 的不等式(2n －3)x ＜5的解集为x ＞－3
1，则n ＝
13、不等式
12
x x ->与65ax x ->的解集相同，则a =______.
14、若关于x 的不等式x －1≤a 有四个非负整数解，则整数a 的值为 15、不等式
3211(43)(76)15
2
6
x x x +-
-=
--的非正整数解 _____.
16、当k 时，代数式
23
(k-1)的值不小于代数式1-
516
k -的值.
三、解答题（每题9分，共36分）
17、下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正. 解不等式：
437513
5
x x ---<
解：去分母，得543153(75)x x --<-（） ①
去括号，得2015152115x x --<- ② 移项，合并，得 5＜21 ③ 因为x 不存在，所以原不等式无解. ④
18、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）3(1)4(2)3x x +<-- （2）21513
2
x x -+-≤1
（3）0.4150.5
2
x x ---≤
0.030.020.03
x
- （4）
1253
4
x x -+-
＞－2
19、求不等式
285-x ≤
4
18-x 的非负数解.
20、若关于x 的方程组???-=++=+1
34123p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围.
四、拓展探究（不记入总分）
21、若2（x ＋1）－5＜3（x －1）＋4的最小整数解是方程
13
x －mx ＝5的解，求代数式
2
211m m --的值.
参考答案
1、B
2、C
3、A
4、B
5、B
6、D
7、A
8、A
9、x ＝0，－1，－2，－3，－4 10、x ＜－3 11、R ＞3 12、－6 13、2 14、2≤a ＜3 15、0 16、x ≥
119
17、第④步错误，应该改成无论x 取何值，该不等式总是成立的，所以x 取一切数. 18、（1）14x >（2）x ≥－1（3）x ≤16559
（4）x ＜
52
19、x ＝0，1，2，3
20、p ＞－6 21、－11.
八下2.6一元一次不等式组 一、选择题 1、下列不等式组中，解集是2＜x ＜3的不等式组是( ) A 、???>>23x x B 、???<>23x x C 、? ??><23x x D 、???<<23x x 2、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－12 3、不等式组10235x x +??+??，②4x >，③2x <，④21x ->-，从这四个不等式中取两个，构成正整数解是2的不等式组是（ ）A 、①与② B 、②与③ C 、③与④ D 、①与④ 7、如果不等式组x a x b >?? B. 109m > C. 1910m > D. 1019 m > 二、填空题 9、若y 同时满足y ＋1＞0与y －2＜0，则y 的取值范围是______________. 10、不等式组3010x x -+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 ． A B C D
八年级上册数学第6章《一元一次不等式》学案 § 6.1不等关系和不等式(1) 教师寄语：处处留心皆学问 学习目标： 1.通过具体情境，感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式的意义，使学生经历实际问题中数量关系的分析和抽象过程，感受不等式 和等式都是刻画现实世界中数量关系的工具，发展学生的符号感. 学习重点：不等式的概念 学习难点：不等关系的表示学习过程： 一、自主探究： 1.学生自主阅读课本第162页，你能利用不等号分别表示出上述3个问题中的不等关系 吗？与同学交流一下。 2.相关知识链接： 某中学八年级(1)班50名学生在上体育课，老师说了这样一句话：我拿来了一些篮球，如果每5名同学玩一个篮球，有些同学没有篮球玩，如果每6名同学玩一个 篮球，就会有一个篮球玩的人数少于6人，请同学们回答下面的问题： (1)你能把老师的这句话用三个式子表示出来吗？ (2)你列出的式子与我们以前学过的等式有什么不同？ 学习新知： 1.___________________________________________ 不等式的概念：叫做不等式。 并举例说明，阅读课本第162页的“加油站”。 2.例题讲解： 判断下列式子哪些是不等式？哪些不是？ ①3>—1;②3x< —1;③2x — 1; ?s=vt;⑤2mK 8 — m;⑥5x — 3=2x+1; ⑦a+b> c；⑧ 1+1M 2
规律总结： 一个式子是不是不等式， 关键是看它是否含有常用的五中不等号其中的一种或几种, 若有则是不等式；否则便不是。 强化练习： 1. 设a < b,用“V”或“〉”填空。 ⑴ a+1 b+1 ⑵ a-3 b-3 ⑶-a ⑷-4a-5 -4a-3 2. 用不等式 表示： ⑴.a ⑵.X ⑶.8 不明白的地方（或 ' 容易出错的地方）： ② .a 的平方的相反数不是正数 -b 四、 课堂小结: 我学会了: 与b 的和不是负数：_ 的2倍与3的差大于4: 与y 的2倍的和是负数： 达标测试: 基础把握： 1. 五、 ( A 2. A 3. 在数学表达式 ①-2 < 0②3x-k > 0③x=1④X 丰2⑤X+2 > x-1中是不等式的有 ） .2个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 若a > b,那么仍能成立的不等式是 .ac > bc B. ac < bc C.a+1 > b+2 用不等式表示下列数量关系： ①.X 的相反数大于X 的倒数. () D.a-c > b-c
一元一次不等式知识点一：不等式的概念 1.不等式：用“<” (或“≤” )，“>” (或“≥” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子 也是不等式. 要点诠释：(1) 不等号的类型: ① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“>”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大； ③“<”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小； ④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数； ⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数； (2)等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。 (3)要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语 的含义。 2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 要点诠释：由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。 3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 如：不等式x－4<1的解集是x<5. 不等式的解集与不等式的解的区别: 解集是能使不等式成立的未知数的取值范围, 是所有解的集合, 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值. 二者的关系是:解集包括解, 所有的解组成了解集。 要点诠释：不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。 知识点二：不等式的基本性质 基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，那么。 基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 符号语言表示为：如果，并且，那么(或)。 基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 符号语言表示为：如果，并且，那么(或) 要点诠释：(1) 不等式基本性质 1 的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握； (2) 要理解不等式的基本性质 1 中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式； (3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>”，那么变化后仍是“>”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”； (4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘( 除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数， 如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。 知识点三：一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0. 这样的不等式，叫做一元
一元一次不等式与一元一次不等式组 考点一、不等式的概念 考点二、不等式基本性质 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 考点三、一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且 不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5） 将x项的系数化为1 考点四、一元一次不等式组 (2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况： 题型一：求不等式的特殊解 1）求x+3＜6的所有正整数解 题型二：不等式与方程的综合题 例1) 关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
2)不等式组{ 1 5 9 1 + + + x x m x 的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？ 3)若关于下x，y的二元一次方程组{ 31 3 5 = + = - + y x p y x的解是正整数，求整数p的值。 题型三确定方程或不等式中的字母取值范围 1) 已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围 2) 如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。 8)若{ 1 4 8- +x x a x 的解集为＞３，求ａ的取值范围。
二、填空题 1、已知3x+4≤6+2(x-2),则 的最小值等于________. 2、不等式组的解集为． 3、不等式组的整数解的个数为． 6、 已知不等式组的解集为－1＜x ＜2，则(m ＋n)2008＝__________ 7、对于整数a ，b ，c ，d ，定义bd ac c d b a -=，已知3411< 一元一次不等式教学设计（第1课时） 安徽省淮南市平圩中学李芬 教学目标： （1）了解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集 （2）在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法的过程中，加深对类比和化归思想的体会． 教学重点： 一元一次不等式的解法． 解一元一次不等式与解一元一次方程在本质上是相同的，即依据不等式的性质，逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，从而确定未知数的取值范围，这一化繁为简的过程，充分体现了化归的思想。 教学难点： 解一元一次不等式步骤的确定 通过前面的学习，学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程的化归思想有所体会但还不够深刻．因此，运用化归思想把形式复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定的难度．所以，教师需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式． 教学过程设计 （一）引课 课件展示鲁班发明锯子的过程，提出类比思想 温故知新 给“一元一次方程”一个完美的定义 1.什么叫一元一次方程？ 答：只含一个未知数、并且未知数的指数是1的方程. 2.一元一次方程是一个等式，请问一元一次方程的(等号)两边都是怎样的式子？答：一元一次方程的(等号)两边都是整式、只含一个未知数，并且未知数的指数是1. 3.一元一次方程的(完美) 定义： 【一元一次方程】“只含一个未知数、并且未知数的指数是1”的整式方程. 知识讲解 观察下列不等式： （1）2x-2.5≥15；（2）x≤8.75； （3）x<4；（4）5+3x>240. 这些不等式有哪些共同特点？ 共同特点：这些不等式的两边都是整式，只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 . 学生回答，教师可以引导学生从不等式中未知数的个数和次数两个方面去观察不等式的特点，并与一元一次方程的定义类比． 师生共同归纳获得：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一 一元一次不等式应用题(1)附答案 1.修筑高速公路经过某村，需搬迁一批农户，为了节约土地资源和保持环境，政府统一规划搬迁建房区域，规划要求区域内绿色环境占地面积不得低于区域总面积的20%若搬迁农民 建房每户占地150mf,则绿色环境面积还占总面积的40%政府又鼓励其他有积蓄的农户到 规划区域建房，这样又有20户加入建房，若仍以每户占地150m2计算，则这时绿色环境面积只占总面积的15%为了符合规划要求，又需要退出部分农户。 (1)最初需搬迁的农户有多少户？政府规划的建房区域总面积是多少？ (2)为了保证绿色环境占地面积不少于区域总面积的20%至少需要退出农户几户？ 2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。 (1) (2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪 种方案？ 3.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若使总收入不低于15.6万，则最多只能安排多少人种 甲种蔬菜？ 4.小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多(设为a人，a>8),就站到A窗口队伍的后面.过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人. (1)此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少(用含a的代数式表不)? (2)此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x ≥5 ② 2x-y ＜0 ③ ④ -3＜0 ⑤ x=3 ⑥ ⑦ x ≠5 ⑧02x 3-x 2＞+ ⑨ 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a 是非负数可表示为 . ②.m 的5倍不大于3可表示为 . ③.x 与17的和比它的2倍小可表示为 . ④.x 和y 的差是正数可表示为 . ⑤.x 的 与12的差最少是6可表示为__________________. 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若a ＞b ，ac ＞bc ，则c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若a ＞b ，ac ＜bc ，则c 0. 4、如果不等式两边同乘以0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由3a>2得a> 理由： . ②. 由a+7>0得a>-7 理由： . ③.由-5a<1得a> 理由： . ④.由4a>3a+1得a>1 理由： . 2、若x ＞y ，则下列式子错误的是（ ） 352 ≥+x 5 3 32 5 1 -2 2y xy x ++0 y x ≥+ A.x-3＞y-3 B. ＞ C. x+3＞y+3 D.-3x ＞-3y 3、判断正误 ①. 若a ＞b ，b ＜c 则a ＞c. （ ） ②.若a ＞b ，则ac ＞bc. （ ） ③.若 ，则a ＞b. （ ） ④. 若a ＞b ，则 . （ ） ⑤.若a ＞b ，则 （ ） ⑥. 若a ＞b ，若c 是个自然数，则ac ＞bc. （ ） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（ ） A.x=2是不等式x+3＜2的解 B.x =3是不等式3x ＜7的解。 C.不等式3x ＜7的解是x ＜2 D.x=3是不等式3x ≥9的解 2.下列说法错误的是（ ） A.不等式x ＜2的正整数解只有一个 B.-2是不等式2x-1＜0的一个解 C.不等式-3x ＞9的解集是x ＞-3 D.不等式x ＜10的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一 会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5的解集是 . 2、不等式x ≤4的非负整数解是 . 3、不等式2x-3≤0的解集为 . 题型二 知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x ＜（a-1）的解集是x ＜1，那么a 的取值范围是 . 3、若(a-1)x ＞1，，则a 的取值范围是 . 考点四、解不等式 1、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 2、用数轴表示不等式解的方法 22bc ac ＞）（）＞（1c b 1c a 22++3 x 3y 22bc ac ＞1 -a 1x ＜ 新人教版七年级上册数学 第三章一元一次方程教案 （2015年秋季学期） 授课者：蒋宏亮 学校：东兴市京族学校 第三章一元一次方程 单元要点分析 教案内容 方程就是将众多实际问题“教案化”的一个重要模型?因此，课本从学生熟悉的实际问题开始，从算式到方程，展开方程的学习，以使学生认识到方程的出现源于解决问题的需要，体会学习方程的意义和作用. 本章内容主要分为以下三个部分： 1 ?通过丰富实例，从算式到建立一元一次方程，？展开方程是刻画现实生活的 有效数学模型. 2 .运用等式的基本性质解方程，归纳移项法则，运用分配律，？归纳“合并”、“去括号”等法则，逐步展现求解方程的一般步骤，这些内容的学习不是孤立进行 的，始终从实际问题出发，使学生经历模型化的过程，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 3 .运用方程解决丰富多彩的、贴近学生生活的实际问题，？展现运用方程解决 实际问题的一般过程. 为了使学生经历“建立方程模型”这一数学化的过程，理解学习方程的意义，培养学生的抽象概括等能力，课本内容的呈现都以求解决一个实际问题为切入点，让学生经历抽象、符号变号、应用等活动，在活动中培养学生解决问题的兴趣和能力，提高学生的思维水平和应用数学知识去解决实际问题的意识. 三维目标 1 ．知识与技能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际 问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2 ．过程与方法 （1）了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程．（数学系数） （2）能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程，?求解 方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观培养学生求实的态度。培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 激发学生的好奇心和主动学习的欲望，体会数学的应用价值．重、难点与关键 1 ．重点：一元一次方程有很多直接应用，?解一元一次方程是解其他方程和方程组的基础．因此本章重点在于使学生能根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本方法，能运用一元一次方程解决实际问题． 2 ．难点：正确地列出一元一次方程的解决实际问题． 3 ．关键：（1）熟练地解一元一次方程的关键在于正确地了解方程、方程解的意义和运用等式的两个性质． （2）正确地列出方程的关键在于正确地分析问题中的已知数、未知数，?并找 出能够表示应用题全部含义的相等关系． 3.1 从算式到方程 §3.1.1 一元一次方程（一）教案目标： 知识与技能： 通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；过程与方法： 初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；情感、态度、价值观： 培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 教案重点：从实际问题中寻找相等关系 教案难点：从实际问题中寻找相等关系 教案过程： 一、情境引入 提出教科书第78 页的问题，并用多媒体直观演示： 问题1：从题中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、等方面去考虑。）可以在学生回答的基础上做回顾小结问题2:你会用算术方法求出A,B两地的距离吗？列算式试试。 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、对于客车，1km所用的时间为—h，而卡车所用的时间为—h；所以1km， 70 60 1 1 客车比卡车少用的( ---------- )h。路程多少千M时客车才比卡车少用1h呢？ 60 70 1 1 《一元一次方程》全章复习 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变． 3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (a ≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a =(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =?+?+?+. 【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念 1．已知方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值． 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程． 【答案与解析】 解：因为方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程， 所以3m -4＝0且5-3m ≠0． 由3m -4＝0解得43m =，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ??--?= ?? ?，解得83x =-． 所以43 m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m -4)x 2-(5-3m )x -4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m -4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件． 举一反三： 【变式】下面方程变形中，错在哪里： 一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 一元一次不等式 1 一、选择题 1、（2010江苏南通） 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m ＞2 D ．m ＜2 2．（2010浙江杭州） 已知a ，b 为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是（ ） A.???>>11bx ax B. ???<>11bx ax C. ???><11bx ax D. ??? <<11 bx ax 3．（2010 重庆）不等式组???>≤-62, 31x x 的解集为（ ） A ．3x > B ．4x ≤ C ．34x << D ．34x <≤ 4．（2010四川乐山）下列不等式变形正确的是（ ） (A)由a ＞b ，得a －2＜b －2 (B)由a ＞b ，得－2a ＜－2b (C)由a ＞b ，得a ＞b (D)由a ＞b ，得a 2＞b 2 5．（2010 四川自贡） 所表示的是下面哪一个不等式组的解集（ ）。 A ．???≤≥1x 2－x B ．???≥1x 2＜－x C ．???1x ＜2－x ＞ D ． ??? ≤1x 2 －x ＞ 6．（2010贵州遵义）不等式2χ-4≤0的解集在数轴上表示为（ ） 7．（2010广东肇庆）不等式???>>-12 1x x 的解集是（ ） A ．1 第八章一元一次不等式 8．1认识不等式 教学目标 1．知道不等式的定义。 2．理解不等式的解和方程的解的异同。 3．会根据问题列不等式。 4．会将实际问题抽象成数学问题，并用学到的知识解决问题，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点：不等式的定义、不等式的解及列不等式。 难点：总结归纳不等式及不等式的解。 教学过程 一、创设问题情境。 公园(或本地区的某个旅游景点)的票价是每人5元。团体参观旅游优惠，一次购票满30张，每张票可少收1元。某班有27名学生去公园进行参观活动，假如要你去买票，请问你打算买多少张?你向每位学生收多少钱? 这里可先由学生自己思考，是买27张还是买30张?然后让学生自己算一算。 买27张票，要付款：5×27=135元。 买30张票，要付款：4×30=120元。 引导学生：你说是买30张票花钱少还是买27张票花钱少? 通过计算发现，用120元就可以买到30张票，而用135元却只能买到27张票，是什么原因? 列出两个不等式： 27张<30张， 135元>120元。 二、探索学习。 1．我们继续探讨上面的问题。 问题1：我们只用120元买了30张票，我们是不是就买30张票?请大家讨论。 如果买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票，那剩下的票怎么办?是卖掉?扔掉?还是送给困难的学生和门外的一些穷人?从而培养学生怜贫悯苦的友爱之心。(对学生进行思想教育。) 问题2：买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说多买票反 而花钱少?如果你一个人去参观，是不是也买30张呢? 请你计算10人、20人、21人、22人、23人、24人、25人、26人…… 问题3：至少要有多少人去参观，多买票反而便宜?能否用数学知识来解决? 引导学生分析。 设有。人要去公园参观。 (1)如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只要付4元。 (2)如果x<30，那么：按实际人数买票。张，要付款5x元；买30张票要付款4×30=120元。 如果买30张票合算，则120<5x。 问题4：x取哪些数值时，上式成立? (1)你能否结合前面学的解方程的知识，尝试解这个不等式。 (2) 问题 要有25人进公园时，买30张合算。即当x>24时，5x，120。 2．概括总结。 (1)像上面出现的135>120，27<30，5x>20，x<30那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫做不等式。 不等号有：<、>、≠、≤、≥。 (2)不等式120<5x中含有未知x。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解可以有无数个。 如上例中，x=25，26，27，…等都是120<5x的解，x=24，23，22，21则都不是不等式的解。 三、应用举例。 例1 用不等式表示： 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 《9.2一元一次不等式（1）》 人教版七年级新授课 吉林白山市靖宇县景山学校高芝红【教材分析】 在初中阶段，不等式位于一次方程（组）之后，它是进一步探究现实世界数量关系的重要内容。不等式的研究从最简单的一元一次不等式开始，一元一次不等式及其相关概念是本章的基础知识，解任何一个代数不等式（组）最终都要化归为解一元一次不等式，因而解一元一次不等式是一项基本技能。不等式解集的数轴表示从形的角度描述了不等式的解集，并为解不等式组做了准备。是进一步学习其他不等式（组）的基础。 【教学分析】 1．教学内容分析：本节课在学习了不等式、不等式的性质等知识的基础上，重点讨论了两方面内容：什么是一元一次不等式；如何解一元一次不等式，归纳解一元一次不等式的一般步骤，并能在数轴上表示出解集；从而使学生体会到不等式是解决涉及求未知数取值范围的有力工具，是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型，既是对已学知识的运用和深化，又为下节一元一次不等式组的学习奠定基础； 2.教学对象分析：学生已掌握一元一次方程概念及解法，对解一元一次方程中的化归思想有所体会但还不够深刻。因此，运用化归思想把形式较复杂的不等式转化为x＞a或x＜a的形式，对学生有一定难度。所以，需引导学生类比解一元一次方程的步骤，分析形式较复杂的一元一次不等式的结构特征，并与化简目标进行比较，逐步将不等式变形为最简形式。 【教学目标】 1．知识目标知道什么是一元一次不等式，会解一元一次不等式，并归纳解一元一次不等式的一般步骤。 2．技能目标类比一元一次方程的定义、解一元一次方程的一般步骤去学习一元一次不等式的定义及解一元一次不等式的方法，归纳解一元一次不等式的一般步骤。 3．情感、态度与价值观目标让同学了解数学中的化归思想、类比方法， 一元一次不等式和一元一次不等式组 1.某同学说213a a -+一定比21a -大，你认为对吗？说明理由。 2.已知方程组231 21x y m x y m +=+??-=-? （1） 请列出x>y 成立的关于m 的不等式。 （2） 运用不等式的基本性质将此不等式化为m>a 或m+-的解集为x<-1，求a 的取值范围。 4.已知关于x 的一元一次方程4131x m x -+=-的解都是负数，求m 的取值范围. 5.如果关于x 的不等式(1)524.a x a x a -<+<和的解集相同，求的值 6.x 取哪些非负整数时，32 2x -的值不小于21 3x +与1的差。 7.m 取何值时，关于x 的方程6151 632x m m x ---=-的解大于1？ 8.如果方程组241 2 2x y m x y m -=+??-=-?的解满足3x-y>0，求m 的取值范围. 9.若关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3) 4 3(4)14(-=+x a x a 的解，求a 的取值范围． 10.不等式组???+> +<+1, 159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是 ． 11.对于整数a ，b ，c ，d ，定义bd ac c d b a -=，已知3411< 一元一次方程全章测试 姓名 学号 得分 一、 选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．243-=x x B ．312 -=x x C ．21+=x y D ．35-=xy 2．方程1 22-=x 的解是（ ） A ．14=-x B ．4=-x C ．1 4 =x D ．4=-x 3．已知等式325=+a b ，则下列等式中不一定成立的是（ ） A ．352-=a b B ．3126+=+a b C ．325=+ac bc D ．25 33 =+a b 4．若关于x 的方程240+-=x a 的解是2=-x ，则a 的值是（ ） A ．－8 B ．0 C ．2 D ．8 5．一个长方形的周长为26cm ，这个长方形的长减少1cm ，宽增加2cm ，就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程：（ ） A 、()1262-=-+x x B 、()2131+-=-x x C 、()2261--=+x x D 、()2131--=+x x 6．已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个盈利60％，另一个亏损20％，在这次买卖中，这家商店（ ） A ．不盈不亏 B ．盈利10元 C ．亏损10元 D ．盈利50元 二、 填空题 7．方程2 243 -=x 的解是 。 8．如图是2011年8月的月历，现用一长方形在月历中任意框出4个代表日期的数 ，请用一个等式表示 a ， b ， c ， d 之间的关系： 。 9．如果关于x 的方程51763x -=与811 4222 x x m -=++的解相同，那么m 的值是 。 10．轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3h ，若船速为26km/h ，水速为2km/h ，则A 港和B 港相距 km 。 三、 解答题 11．解方程 （1）253(1)x x +=- （2）34 1.60.50.2 x x -+-= 一元一次不等式应用题 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 一．分配问题： 1.把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 2 .把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。问这些书有多少本？学生有多少人？ 3.某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。 4．将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。问有笼多少个？有鸡多少只？ 5. 用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。请问：有多少辆汽车？ 6.一群女生住若干家间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。 （1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组： （2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？ 二速度、时间问题 1爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？ 2.王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？ 3.抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？ 4x+16>0 5x-15<5 3x-6≤02x-1>1 1. 5x-3>x-4 10x<5 1+2/3-x<=x-1/3 5x>10 2.x-2(x-1)<=3 (2x+5)/3>x 3.(3x-1)/4>3 (3x-1)/4<=7 4.2x-3>0 4-3x<0 5.2-5x<=3(1-x) (x+2)/3>2x-1 2、2X＜-1 X+2＞0 3、5X+6＜3X 8-7X＞4-5X 4、2（1+X）＞3（X-7）4（2X-3）＞5（X+2） 5、2X＜4 X+3＞0 6、1-X＞0 X+2＜0 7、5+2X＞3 X+2＜8 8、2X+4＜0 1/2（X+8）-2＞0 9、5X-2≥3（X+1）1/2X+1＞3/2X-3 10、1+1/2X＞2 2（X-3）≤4 1.0.25x>100 2.-x-29+10<5 3.13x-15,330 4.2x>6 5.2x+9<3x3-33335 6.x=3333,求4x-m+1<38x-1 7.2x+5<34x-2310.13x+5<25 1. 6x+8＞3x+8 2. 3x-7≥4x-4 3. 2x-19＜7x+31 4. 2x-3x+1＜6 5. 3x-2(9-x)＞3(7+2x)-(11-6x) 6. 2(3x-1)-3(4x+5)≤x-4(x-7) 7. 2(x-1)-x＞3(x-1)-3x-5 8. 3[y-2(y-7)]≤4y 9. 15-(7+5x)≤2x+(5-3x) 10. 20x-3≤5x+(x-5) 11. 7x-2(x-3)<16 12. 3(2x-1)<4(x-1) 13. 5-x(x+3)>2-x(x-1) 14. 3-4[1-3(2-x)] >59 15. 4x-10<15x-(8x-2) (1)2X+2>3 (2)3X+0.5<5 第8章一元一次不等式 第1课时认识不等式（总第课时） 教学目标： 1.认识不等式,能正确理解不等式的概念,弄清不等式的实质; 2.通过对具体问题的分析会列出简单的不等式,用不等式表示简单 的数字语言; 3.理解不等式的解的概念,会寻找不等式的解. 教学过程： 一. 研究问题： 世纪公园的票价是:每人5元,一次购票满30张可少收1元.某班有27名少先队员去世公园进行活动.当领队王小华准备好了零钱到售票处买了27张票时,爱动脑的李敏同纪学喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白.明明只有27个人,买30张票,岂不浪费吗? 那么,究竟李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费呢 二. 新课探究： 分析上面的问题 设有x人要进世纪公园,①若x≥30，应该如何买票? ②若x＜30, 则又该如何买票呢？ 结论：至少要有多少人进公园时，买30张票才合算? 概括：1、不等式的定义：表示不等关系的式子,叫做不等式.不等式用符号＞,＜,≥,≤. 2、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解. 3、不等式的分类： ⑴恒不等式：-7<-5,3+4>1+4,a+2>a+1. ⑵条件不等式：x+3>6,a+2>3,y-3>-5. 三、基础训练。 例1、用不等式表示： ⑴ a是正数；⑵ b不是负数；⑶ c是非负数；⑷ x 的平方是非负数；⑸ x的一半小于-1；⑹ y及4的和不小于３. 注：⑴不等式表示代数式之间的不相等关系，及方程表示相等关系相对应； ⑵研究不等关系列不等式的重点是抓关键词，弄清不等关系。 例2、用不等式表示： ⑴ a及1的和是正数；⑵ x的2倍及y的3倍的差是非负数；⑶ x的2倍及1的和大于—1；⑷a的一半及4的差的绝对值不小于a. 例3、当x=2时，不等式x-1＜2成立吗？当x=3呢？当x=4呢？ 注：⑴检验字母的值能否使不等式成立，只要代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则就不成立。 ⑵代入法是检验不等式的解的重要方法。(完整版)一元一次不等式的概念和解法
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