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高中数学新教材必修第二册专题6.2 平面向量的运算(第二课时)(解析版)

6.2 平面向量的运算（第二课时）

运用一向量的线性运算

【例1】（1）（2019·河北定州一中高一开学考试）化简

()()

112a 8b 4a 2b 32??

+--????

的结果是( ) A ．2a b - B ．2b a - C ．b a - D ．a b -

（2）．将1

[2(2a +8b )-4(4a -2b )]化简成最简形式为( ) A.2a -b B.2b -a

C.a -b

D.b -a

（3）

212

()(24)(213)5315

a b a b a b --+++等于（） A.2a B.2

b C.0

D.0

【答案】（1）B （2）B （3）C

【解析】（1）原式等于()1124a 42b a 2b 32????

?-++=-+ ???????

．故选：B ．（2）

()()()

111

22844241616812242121212

a b a b a b a b a b a b ????+--=+-+=-+=-+????.

故选B. （3）

2122224426

()(24)(213)0531555331515

a b a b a b a b a b a b --+++=---++= 故选C 【举一反三】

1．化简()()

323223a b b a ---=___________．【答案】1213a b -

【解析】由题意，可得()()

32322369461213a b b a a b b a a b ---=--+=-，故答案为1213a b -．

2．1(23)3()3

a b a b --+=________________。

【答案】7

a b --

【解析】

()()

127

233334333a b a b a b a b a b --+=---=-- 故答案为7

a b --

运用二共线定理

【例2-1】设,a b 是不共线的两个非零向量.

（1）若233OA a b OB a b OC a b =-=+=-，，，求证：A B C ，，三点共线；（2）若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值；

（3）若232AB a b BC a b CD a kb =+=-=-，，，且A C D ，，三点共线，求实数k 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4±.（3）4

k =

. 【解析】证明：（1）22AB OB OA a b AC OC OA a b =-=+=-=--，，所以AC AB =-. 又因为A 为公共点，所以A B C ，，三点共线.

（2）设()

82a kb ka b λλ+=+∈R ，，则82k k λλ=??

，

，解得42k λ=??=?，或42k λ=-??

=-?

，

，所以实数k 的值为4±.

（3）()()

2332AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，因为A C D ，，三点共线，所以AC 与CD 共线.

从而存在实数μ使AC CD μ=，即()

322a b a kb μ-=-，

得322.k μμ=??-=-?，解得32

3k μ?

=????=??

，所以43k =.

【例2-2】（2019·湖南高三期末（理））如图所示，已知点G 是ABC ?的重心，过点G 作直线分别交,AB AC 两边于,M N 两点，且AM xAB =，AN yAC =，则3x y +的最小值为__________．

【解析】根据条件：1AC AN y =

，1

AB AM x

=；又11

AG AB AC =

+；∴1133AG AM AN x y =+；又M ，G ，N 三点共线；∴

1133y x

+=1； ∵x ＞0，y ＞0；

∴3x +y ＝（3x +y ）（1133x y +）44333x y y x =++≥+=

3x +y 的最小值为43+．当且仅当3x y y x =时“=”成立．故答案为：43

+．

【举一反三】

1．（2017·天津市新华中学高一期末）已知a 与b 是两个不共线向量，且向量(

)a b λ+与()

3b a -共线，则

λ的值为____．

【答案】1

【解析】由向量共线可得：()

3a b k b a λ+=-，即3a b kb ka λ+=-

13k k

λ=-?∴?=?，解得：13λ=-本题正确结果：13-

2．已知向量,a b 为平面内所有向量的一组基底，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则

,,,A B C D 四点中一定共线的三点是_________.

【答案】,,A B D

【解析】()()()

5672222BD BC CD a b a b a b AB =+=-++-=+=，所以,,A B D 三点共线.故答案为

,,A B D

3．（2019·四川双流中学高二开学考试（文））已知A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O l ?，若正实数x 、y 满足42OP xOA yOB =+，则

x y

+的最小值为______.

【答案】

+ 【解析】

42OP xOA yOB =+，24

x y

OP OA OB ∴=

+，由于A 、B 、P 是直线l 上三个相异的点，所以124

x y

+=，

又0x >，0y >，由基本不等式得

1111324244x y x y x y x y y x ????+=++=++ ???????3344

+≥=，

当且仅当4y ==时，等号成立，

因此，11x y +的最小值为34+，故答案为：

+. 4．已知两个非零向量a b ，不共线，23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，

，. （1）证明：A B C ，

，三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b +与a kb +共线. 【答案】（1）详见解析（2）1k =±

【解析】（1）因为23OA a b OB a b OC a b =+=+=+，，，所以2()AB OB OA a b a b b =-=+-+=，

3()2AC OC OA a b a b b =-=+-+=，

所以2AC AB =，即AC 与AB 共线.

又因为AC 与AB 有公共点A ，所以A B C ，

，三点共线. （2）因为a b ，为非零向量且不共线，所以0a kb +≠.

若ka b +与a kb +共线，则必存在唯一实数λ，使()ka b a kb λ+=+，整理是()(1)k a k b λλ-=-. 因此010k k λλ-=??

-=?，解得11k λ=??=?，或1

k λ=-??=-?，

即存在实数1λ=，使ka b +与a kb +共线，此时1k =；或存在实数1λ=-，使ka b +与a kb +共线，此时1k =-，因此1k =±都满足题意.

运用三数量积

【例3】（2019·湖南高二期末（文））已知,a b 是单位向量，且满足(2)0b a b ?+=，则a 与b 的夹角为（） A.6

π B.

π C.

π D.

π 【答案】D

【解析】设单位向量a ，b 的夹角为θ，(2)0b a b ?+=，22?0a b b ∴+=

即2211cos 10θ???+=，解得1cos 2θ=-，23

πθ=∴a 与b 夹角为23π

．故选：D ．

【举一反三】

1.已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( )

A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 【答案】B 【解析】|a ＋2b |＝

a ＋2b

2＝

a 2＋4a ·

b ＋4b 2＝

|a |2＋4|a ||b |cos60°＋4|b |2＝

4＋4×2×1×1

＋4＝2 3.

2.向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝

，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.13 B.12 C.15 D.14 【答案】B

【解析】由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |cos60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝1

3.已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝1

①求|b |；

②当a ·b ＝1

2时，求向量a 与b 的夹角θ的值．

【答案】见解析

【解析】①因为(a －b )·(a ＋b )＝12，即a 2－b 2＝12，所以|b |2＝|a |2－12＝1－12＝12，故|b |＝2

②因为cos θ＝a ·b |a ||b |＝2

，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.

运用四投影

【例4】（1）（2019·江西高一期末）已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则a 在b 方向上的投影为( ) A.1-

B.1

C.1

（2）（2019·山西省静乐县第一中学）在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4

B ．3

C ．-4

D ．5

【答案】（1）C （2）C 【解析】（1）

()

a a

b ⊥+，()

0a a b ∴?+=，即20a a b +?=，1a b ?=-，

a ∴在

b 方向上的投影为1

2a b b

?=-，故选C.

（2）对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，

2222

22AB AC AB AC AB AC AB AC ++?=+-?，整理得，0AB AC ?=，则AB AC ⊥，

()

16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴?=-?=?-?=-=-，

设向量BC 与CA 的夹角为θ，

所以，BC 在CA 方向上的投影为16

cos 44

BC CA BC CA BC BC BC CA

θ??-?=?=

=-?，故选：C 。【举一反三】

1．（2019·江西）已知向量a ?，b ??满足a ??(a ?+b ??)=5且|a ?|=2,|b ??|=1，则向量a ?在向量b ??方向的投影为（） A.1

2 B.1

C.3

D.2

【答案】B

【解析】设向量a

?与向量b ??的夹角为θ，则向量a ?在向量b ??方向的投影为|a ?|cosθ，因为a ??(a ?+b

??)=5，|a ?|=2，|b ??|=1，所以a ??(a ?+b ??)=(a ?)2+a ??b ??=|a ?|2+|a ?||b ??|cosθ=5，即22+1?|a ?|cosθ=5，|a

?|cosθ=1，故选B 。

2．已知16a b ?=，若a 在b 方向上的投影为4，则b =___________. 【答案】4

【解析】设a 与b 的夹角为θ，∵16a b ?=，∴cos 16a b θ=. 又∵a 与b 方向上的投影为4，∴cos 4a θ=，∴4b =.故填：4. 3．已知9a b ?=-，a 在b 方向上的投影为3-，b 在a 方向上的投影为3

-，则a 与b 的夹角θ为________. 【答案】120?

【解析】∵cos 33

cos 2a b θθ?=-?

?=-??，，∴332a b b a b a ??=-?????=-??

，，即9

3932b a -?=-???-?=-??，，∴63.a b ?=??=??， ∴91

cos 632

a b a b

θ?-==

=-?.∵0180θ??，∴120θ?=.

运用五三角形相关问题

【例5】（1）（2018·四川高考模拟（文））已知G 为ABC ?的重心，过点G 的直线与边,AB AC 分别相交于点,P Q ，若3

AP AB =

,则ABC ?与APQ ?的面积之比为_____. （2）（2018·上饶中学高三期中）已知P 是三角形ABC 所在平面内的任意一点，且满足230,PA PB PC ++=则APC

S :ABC

=______

【答案】（1）

（2）1:3 【解析】（1）

设AQ x AC =，

,,P G Q 三点共线，

∴可设()1AG AP AQ λλ=+-，

()315

AG AB xAC λ

λ∴=

+-， G 为ABC ?的重心，

()

3AG AB AC ∴=

+， ()1131335AB AC AB xAC λλ∴+=+-， ()1335113

x λλ?=??∴??=-??，解得5934x λ?=????=

??，

4AQ AC ∴=

， 1

sin 20219sin 2

ABC

APQ

AB AC A

S S AP AQ A ??==，故答案为20

9. （2）取D ，E 分别为AC ，BC 的中点，则PA PC +=2PD ，PB PC +=2PE ． ∵230PA PB PC ++=，∴（()

)20PA PC PB PC +++=+2（PB PC +）0=， ∴20PD PE +=，

∴

P 是DE 上靠近E 的三等分点， ∴13

PAC

ABC

S ，

= 故答案为：1:3．

【举一反三】

1．（2019·浙江高二月考）点P 在ABC ?所在平面上，且满足2PA PB PC AB ++=，则

PAB

ABC

S S ??=（）

【答案】B

【解析】因为22()PA PB PC AB PB PA ++==-,所以3PA PB PC CB =-=,所以,PA CB 共线，且

3PA CB =，所以

PAB ABC S S ??=.故选B. 4．（2019·江西玉山一中高一期中（理））如图所示，设P 为ΔABC 所在平面内的一点，并且AP ????? =14AB ????? +12AC ????? ，则ΔBPC 与ΔABC 的面积之比等于（）

A.2

5 B.3

C.3

D.1

【答案】D

【解析】延长AP 交BC 于点D ，因为A 、P 、D 三点共线，所以CP

????? =mCA ????? +nCD ????? (m +n =1)，设CD ????? =kCB ????? 代入可得CP

????? =mCA ????? +nkCB ????? 即AP

????? ?AC ????? =?mAC ????? +nk(AB ????? ?AC ????? )?AP ????? =(1?m ?nk)AC ????? +nkAB ????? 又因为AP ????? =14AB ????? +12AC ????? ，即nk =14,1?m ?nk =12，且m +n =1 解得m =1

4,n =3

所以CP ????? =14CA ????? +34

CD ????? 可得AD ????? =4PD ????? 因为ΔBPC 与ΔABC 有相同的底边，所以面积之比就等于|DP ????? |与|AD ????? |之比所以ΔBPC 与ΔABC 的面积之比为1

4 故选D

运用六求参数

【例6】（2019·黑龙江哈师大附中）在ABC ?中，点D 满足3

BD BC =

，

当E 点在线段AD （不包含端点）

上移动时，若AE AB AC λμ=+，则3

λμ

的取值范围是（）

．[

+∞ B ．[2,)+∞ C ．17

(

,)4

+∞ D ．(2,)+∞

【答案】C

【解析】如图所示， △ABC 中，3

BD BC =

， ∴3344AD AB BD AB BC AB =+=+

=+（AC AB -）13

AB AC =+，又点E 在线段AD （不含端点）上移动，设AE =k AD ，0＜k ＜1， ∴344

k k

AE AB AC =

+，又AE AB AC λμ=+，

∴434k k λμ?=????=??

，

∴3

4k k

λμ

+． ∵

4k k

+在（0，1）上单调递减， ∴λ3

的取值范围为（

，+∞），故选：C ．

【举一反三】

1．（2018·河南）在ΔABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →

=2DC →

，点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合）若AO →

xAB →+(1?x )AC →

，则x 的取值范围是（） A.(0,1) B.(2

,1) C.(0,1

)

D.(13,2

) 【答案】C

【解析】

∵AO ??????=xAB →+(1?x )AC →=x(AB →?AC →)+AC →

，即CO ??????=x ?CB ??????. ∴|CO

??????||CB ??????|

=x ，

∵BD →

=2DC →

,即BC ??????=3DC →

, ∴0

|CD

??????||CB

??????|=1

，

∴x 的取值范围是(0,1

3)，故选：C.

2．（2019·吉林高二期末（理））在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若

OG OA xOB yOC =++，且G ，M ，N 三点共线，则x y +=

A ．13-

B ．13

C ．23

D ．2

【答案】B

【解析】若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得(1)OG ON OM λλ=+-1222

OA OB OC λλλ

-=++成立，所以

1123λ-=，可得1

3λ=，所以16x y ==，可得13

x y +=.故选：B

1．（2019·湖南师大附中高一期中）对3个非零平面向量,,a b c ，下列选项中正确的是（） A.若0a b λμ+=，则0λμ== B.若a b a c ?=?，则b c =

C.若()

()a b c a c b ?=?，则b c = D.,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D

【解析】(1) a 与b 在同一条直线上，故A 错（2）a 可能为0向量，故B 错

（3）向量运算不满足交换律，所以C 错

（4）,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角，如都为120故选：D

2．（2019·吉林长春外国语学校高一期中）有4个式子：①0?a ?=0??；②0?a ?=0；③0???AB ????? =BA ????? ；④|a ??b ??|=|a ?||b

??|；其中正确的个数为( ) A.4 B.3

C.2

D.1

【答案】C

【解析】由向量乘以实数仍然为向量，所以0?a ?=0??，故①正确，②错误；由AB ????? +BA ????? =AA ????? =0? ，所以0???AB

????? =BA ????? ，即③正确；由|a ??b ??|=|a ?||b ??||cos θ|，得|a ??b ??|=|a ?||b ??|不一定成立，故④错误.故选C 3．（2019·江西高一月考）如图，在ABC ?中，23

AD AC =，1

3BP PD =，若AP AB AC λμ=+，则λμ

+的值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】由题意得：()

1131

4444

AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+

=+-=+ 31231

44346

AB AC AB AC =

+?=+ 又AP AB AC λμ=+，可知：3111

4612

λμ+=

+=本题正确选项：A 4（2019·重庆市大学城第一中学校高一月考）下面给出的关系式中，正确的个数是（）

（1）0·a =0 （2） a ·b =b ·a （3）2

2a a = （4）()()a b c a b c ??=?? （5）a b a b ?≤?

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】（1）因为数与向量相乘为向量，所以0·a =0错误（2）向量的数量积运算满足交换律，所以a ·b =b ·a 正确（3）根据数量积的定义知2

2||||cos0||a a a a ==，所以2

2a a =，正确（4）根据数量积的定义知，数量积为一实数，所以 ()

a b c ?? 为mc ，而()a b c ??为na ，所以()()

a b c a b c ??=?? 错误（5）因为a b a b cos α?=，a b a b cos α?=，所以a b a b ?≤?错误.故选C. 5．（2019·广东高一期末）已知22a =，3b =，a ，b 的夹角为

，如图所示，若52AB a b =+，3AC a b =-，且D 为BC 中点，则AD 的长度为( )

152

C.7

D.8

【答案】A

【解析】根据条件：()()()

11115,23632222

AD AB AC a a b b a b a b =

+=+-=-=-； 2

221115AD 393721842a b a a b b ?

?∴=-=-?+=-= ??．

故选：A ．

6．（2019·黑龙江大庆实验中学高一期末）在三角形ABC ?中，若点P 满足

1231

,3344

AP AB AC AQ AB AC =

+=+，则APQ ?与ABC ?的面积之比为（） A ．1:3 B ．5:12

C ．3:4

D ．9:16

【答案】B

【解析】因为1233AP AB AC =

+，所以12

()()33

AP AB AC AP -=-，即2BP PC =，得点P 为线段BC 上靠近C 点的三等分点，又因为3144AQ AB AC =+，所以31

()()44

AQ AB AC AQ -=-，即3BQ QC =，

得点Q 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，所以5

PQ BC =

，所以APQ ?与ABC ?的面积之比为5

APQ ABC

S PQ S

BC =

=，选择B 7．（2019·山东高三期末（理））已知2a b ==，且0a b ?=，()

c a b =+，2

d c -=，则d 的取值范围是

( ) A ．0,??

B ．[]

0,2

C ．0,2????

D ．[]

0,1

【答案】A

【解析】如图所示：a OA b OB ==，，且OA OB ⊥，又()

c a b =

+，取AB 中点为C ，可得c OC =, ∵2d c -=

∴

d 的终点D 在以C 为半径的圆上运动，当D 点在O 点时，d 的最小值为0；

当D 点在OC

的延长线时，d 的最大值为

∴d 的取值范围是0,22???

故选：A

8．（2019·石嘴山市第三中学高考模拟（文））已知ABC ?中，10AB =，6AC =，8,BC M =为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ?+?= ( ) A.0 B.25

C.50

D.100

【答案】C

【解析】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM

为斜边上的中线，所以5CM =，

原式=()

·222550CM CA CB CM CM +==?=.故选C. 9．（2018·四川省眉山第一中学高一月考）下列命题正确的是（） A.()()a b c a b c ?=? B.若a b b c ?=?，则a c = C.()a c b c a b c ?-?=-? D.若0,=0a b a ?=或0b =

【答案】C

【解析】A.因为向量之积的计算涉及到向量的夹角，故错误，B.向量的运算不满足除法法则故错误，D.两向量之积为0，也可以为当两向量垂直时，故错误，所以选C.

10．（2019·吉林延边二中高一月考）已知,a b 为非零不共线向量，向量8a kb -与ka b -+共线，则k =（）

A ．

B ．-

C ．±

D ．8

【答案】C 【解析】

向量8a kb -与ka b -+共线，

∴存在实数λ，使得8()a kb ka b λ-=-+，即8a kb k a b λλ-=-+

又

,a b 为非零不共线向量，

∴8k

k λ

=-??-=? ，解得：k =±，故答案选C

11．向量a 的模为10，它与x 轴正方向的夹角为150?，则它在x 轴正方向上的投影为（）

A ．-

B ．5

C ．5-

D ．

【答案】A

【解析】a 在x 轴正方向上的投影为cos150a ?

?=-.故选A.

12．（2019·湖南高一期末）已知b 的模为1．且b 在a a 与b 的夹角为（） A ．30? B ．60?

C ．120?

D ．150?

【答案】A

【解析】由题意，1b =，则b 在a

方向上的投影为cos 1cos b θθ=

，解得cos 2

θ=，又因为[0,180]θ∈，所以a 与b 的夹角为30θ=，故选：A ．

13．设单位向量1e 、2e 的夹角为23

，122a e e =+，1223b e e =-，则b 在a 方向上的投影为（

） A.

－

【答案】A

【解析】依题意得1221

11cos 32

e e π?=??=-，(

)

12122443a e e e e e e =+=++?=，

()()

121212129

223262

a b e e e e e e e e ?=+?-=-+?=-，

因此b 在a 方向上的投影为

a b a

-?=

= A.

14．设点O 在ABC ?的内部，且2340OA OB OC ++=，若ABC ?的面积是27，则AOC ?的面积为（） A ．9 B ．8

C ．

D ．7

【答案】A 【解析】

延长OC 到D ，使得OD=2OC, 因为2340OA OB OC ++=，所以3

202

OA OB OC +

+=，

以OA ，OD 为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE 交AC 于H, 因为2OD OC =, 所以32

OE OB =-, 因为OC:AE=1:2, 所以OH:HE=1:2, 所以31

3,22

OH OB OH OB =-∴=-, 所以1

OH BH =

, 所以AOC ?的面积是ABC ?面积的13

，所以AOC ?的面积为9. 故选：A

15．给出下列结论：①0a ≠，0a b ?=，则0b =；②若a b b c ?=?，则a c =；③若()0a λλ=∈R ，则

0λ=或0a =；④22a b =，则a b =或a b =-；⑤()()

a a c

b b

c ?=?；⑥()()

0b b a a c c a ????-?=??

..其

中正确结论的序号是________________.（写出所有正确结论的序号）【答案】③⑥

【解析】因为两个非零向量a ，b 垂直时，0a b ?=，故①不正确；当0a b c =⊥，时，0b b a c ?=?=，但

不能得出a c =，故②不正确；③显然正确；若22

a b =，则a b =，故④不正确；向量()

a b c ?与c 共线，

()

a b c ?与a 共线，故⑤不正确；⑥正确，()()()()()()

0a b a c c a b a b a c a c a b ???-?=??-??=??

16．（2019·上海市七宝中学高二月考）已知正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，AC AM BD λμ=+，则

λμ+=________

【答案】

【解析】令,,AB a AD b ==则1

,,=2

AC a b AM a b BD b a =+=+-，

有∵AC AM BD λμ=+，∴11+=+22

a b a b b a a b λ

μλμλμ+=+--（）（）()+()，

∴=11

+=12λμλμ-????? 解得：4=3

1=3

λμ??????? ∴5

λμ 17．（2019·浙江高一期中）已知点M 是ABC ?所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，且

ABC ABM S S λ??=，则实数λ的值是______.

【答案】3

【解析】记2AM AN =

AN AB AN AC -+-=220

2BN NC ∴=，ABC ABN S S ??=3

又ABM ABN S S ??=1

ABC ABM S S ??∴=3，从而有3λ=.

18．（2019·上海复旦附中高考模拟）△ABC 所在平面上一点P 满足PA PC mAB +=（0m >，m 为常数），若△ABP 的面积为6，则△ABC 的面积为_____. 【答案】12

【解析】取AC 的中点O ，则

PA PC mAB +=（0m >，m 为常数）

， 2mAB PO ∴=，

C ∴到直线AB 的距离等于P 到直线AB 的距离的2倍，

故S △ABC =2S △ABP =12. 故答案为：12.

19．（2019·北京一零一中学双榆树校区高一期末）已知点O 为△ABC 内一点，OA ????? +2OB ????? +3OC ????? =0??

，则

S ΔABC S ΔAOC

=_________。

【答案】3

【解析】如图，取BC 中点D ，AC 中点E ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；

OA →+2OB →+3OC →=(OA →+OC →)+2(OB →+OC →

) =2OE →+4OD →

=0→

∴OE →=?2OD →

；

∴D ，O ，E 三点共线，即DE 为△ABC 的中位线； ∴DE =3

2OE ，AB ＝2DE ； ∴AB ＝3OE ； ∴S △ABC

△AOC

=3．

故答案为：3．

20．（2011·辽宁高二期末（理））如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若,AB mAM AC nAN ==,则m +n 的值为．

【答案】2

2021年高中数学-平面向量专题

第一部分：平面向量的概念及线性运算欧阳光明（2021.03.07）一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称) 平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b 的和的运算叫做a与b 的差法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线

段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测 1．化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果等于________． 2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量； ④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______． 3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b.若点D 满足BD →＝2DC →，则AD → ＝________(用b 、c 表示)． 4．如图，向量a －b 等于() A ．－4e1－2e2 B ．－2e1－4e2 C ．e1－3e2 D ．3e1－e2 5．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是 () A ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D 四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a|＝|b|且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中正确的序号是________．变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a|＝|b|，则a>b ； (2)若|a|＝|b|，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|＝|b|，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作?OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13 CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中，AD →＝23 AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →＝a ，AC → ＝b ，用a 、b 表示向量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三平面向量的共线问题例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB →＝2e1－8e2，CB →＝e1＋3e2，CD → ＝2e1－e2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若BF → ＝3e1－ke2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

高中数学平面向量公式(精选课件)

高中数学平面向量公式１、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a，b。作OＡ＝a,OB=b，则角AOB称作向量ａ和向量b的夹角,记作〈ａ，b〉并规定0≤

２、向量的数量积不满足消去律，即:由ａ?b=a? c （a≠0)，推不出 b=ｃ。 3、|a?b｜≠|ａ｜?|b｜ 4、由 |a｜=|ｂ| ，推不出a=ｂ或ａ=－ｂ。 2、向量的向量积定义：两个向量a和ｂ的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作ａ×b。若a、b不共线,则ａ×b的模是：∣a×b ∣＝｜ａ|?｜ｂ｜?ｓｉn〈a，b>；ａ×ｂ的方向是:垂直于ａ和ｂ,且ａ、ｂ和ａ×b按这个次序构成右手系.若ａ、ｂ共线，则a×b=0。...文档交流仅供参考... 向量的向量积性质: ∣a×ｂ∣是以a和b为边的平行四边形面积. a×a=０。 a‖b〈=〉ａ×b＝０。向量的向量积运算律 a×b=－b×a；（λa）×b=λ（ａ×b)=a×（λb)；（a+b)×c=a×ｃ+b×c。注:向量没有除法，“向量ＡB/向量CＤ”是没有意义的. 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a＋ｂ∣≤∣ａ∣+∣b∣；

高中数学平面向量doc

专题讲座高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容（一）平面向量知识结构图（二）重点难点分析

本专题内容包括：平面向量的概念、运算及应用．课标要求：平面向量（约12课时）（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。（4）平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。（5）向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面向量基本定理是坐标表示（几何代数化）的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面向量”教与学的策略（一）在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念知识体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的出现自然轻松，还能让学生迅速把握住本质，达成理解？不妨遵循概念教学的方法。比如说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。概念辨析：

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高三数学复习微专题之平面向量篇矩形大法教师

一、知识清单 1. 极化恒等式：如图，+=AD AB AC 2 ① -=CB A B A C ②,则： ①2 +②2 得：AC AD BC AB +=+242 2 22 ；①2-②2 得：AC AD BC AB ?=-4422 推广：AC AB AC BC AB AB AC cosA ?=?=?+-2 222 速记方法：?==-+-a b a b a b 4()()22，=++=+-a b a b a b 2 ()()2222 2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得 +=+PO BD 2PD PB 42 2 22①+=+PO AC 2 PA PC 422 22 ② 因为BD=AC ，所以PD PB PA PC +=+2222，速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。推广1：若ABCD 为平行四边形，则有PA PC PD PB =+-+-AC 2 )(BD 2 2 2 2 22 =-?= -AC AM BC 4 422 =4 1 0，且对于边AB 上任一点P ，恒有?≥?PB PC P B PC 00 。则( ) A.∠=ABC 90 B. ∠=BAC 90 C.=AB AC D. =AC BC 解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：?=-PC PD BC 4 PB 422 则当PD 最小时，PB ????? ?PC ????? 最小，所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。 3. 已知向量a b e ,,是平面向量，e 是单位向量． ?-++===b e a b a b a ()12,3,0,求-a b 的范围？解析：由?-++=b e a b a ()10,得-?-=e b e a ()()0 如图，===OA a OB b OE e ,, ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有 +=+OE OC OA OB 222 2，则=OC ==∈-+=-+-AB CE OC OE OC OE a b [,] [2 3 1,231] 高三数学复习微专题之平面向量篇第三讲：极化恒等式与矩形大法解析：由极化恒等式有：AB 16推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。二、典型例题1．（２０１９浙江模拟卷）在?ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则A B A ? C =_________． 2.（2019山东模拟）在?ABC 中,P 0是边AB 上一定点，满足P B AB

(完整版)高中数学平面向量专题训练

高中数学平面向量专题训练一、选择题： 1、若向量方程23(2)0x x a --=r r r r ，则向量x r 等于 A 、65 a r B 、6a -r C 、6a r D 、65 a -r 2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a r 和b r ，那么下列命题中错误的一个是 A 、a r 与b r 为平行向量 B 、a r 与b r 为模相等的向量 C 、a r 与b r 为共线向量 D 、a r 与b r 为相等的向量 3、AB BC AD +-=u u u r u u u r u u u r A 、AD u u u r B 、CD uuu r C 、DB u u u r D 、DC u u u r 4、下列各组的两个向量，平行的是 A 、(2,3)a =-r ，(4,6)b =r B 、(1,2)a =-r ，(7,14)b =r C 、(2,3)a =r ，(3,2)b =r D 、(3,2)a =-r ，(6,4)b =-r 5、若P 分AB u u u r 所成的比为4 3 ，则A 分BP u u u r 所成的比为 A 、7 3 - B 、3 7 - C 、73 D 、 3 7 6、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r 的夹角为 A 、045 B 、060 C 、0135 D 、0120 7、已知i r ，j r 都是单位向量，则下列结论正确的是 A 、1i j ?=r r B 、22 i j =r r C 、i r ∥j i j ?=r r r D 、0i j ?=r r 8、如图，在四边形ABCD 中，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ， BC c =u u u r r ，则DC =u u u r A 、a b c -+r r r B 、()b a c -+r r r C 、a b c ++r r r D 、b a c -+r r r 9、点),0(m A )0(≠m ，按向量a r 平移后的对应点的坐标是)0,(m ，则向量a r 是 C B A D

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出 a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1 ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =?? ?==?2 12 1y y x x 2 求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主．【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ．例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ，所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

(完整版)高中数学平面向量讲义

专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本概念与基本运算（1）向量的基本概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量（2）向量的加法：设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00；②向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”．（3）向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， ③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λ a 的方向与a 的方向相反；当0 时，0 a ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a （6）平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示

高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详细答案

高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详细答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高中数学平面向量组卷一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度 |×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣） =（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点G是△ABC的重心，若A=，=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（） A．﹣B．C．﹣D．

11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）（+﹣2）=0，则 △ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D． 16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（） A．B．C．D． 17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= （） A．2B．4C．5D．10 二．解答题（共6小题） 19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA．（1）求∠AOB的余弦值；（2）求点C的坐标．

高中数学平面向量公式

1、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'。向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）； (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的数量积的性质 a?a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a?b=0。 |a?b|≤|a|?|b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。 2、向量的数量积不满足消去律，即：由a?b=a?c (a≠0)，推不出b=c。 3、|a?b|≠|a|?|b| 4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。 2、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律 a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 3、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。 4、定比分点

高中数学平面向量知识点总结82641

平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一．向量的概念： 1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2．向量的表示方法：（1）几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）（2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a

1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：

高三数学平面向量的概念及运算

平面向量的概念及运算一．【课标要求】（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件二．【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。预测2010年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有

向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x y x a 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0。由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记

高中数学专题-平面向量历年真题整理

专题平面向量 1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是 A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M，N两点，则= A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+，则+的最大值为

A．3 B．2C．D．2 2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A．B．C． D． 4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 5．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______． 6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则.