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人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。
2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。
二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式及其应用。
3.排序不等式的定义和证明。
4.排序不等式及其应用。
三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。
2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。
3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。
四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。
2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。
3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。
五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。
教授柯西不等式的定义和证明。
2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。
3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。
4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。
六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。
2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。
七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。
小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。
最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。
高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。
科。
网Z。
X。
X。
K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。
3.1 二维形式的柯西不等式课堂探究1．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc ；柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一 柯西不等式等号成立的条件【例1】求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B 时，取等号，|PQ |取得最小值|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思 利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例2】设a ，b ＞0，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．证明：根据柯西不等式，有 [(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b2－b ＝2－b ·a2－a ， 即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．反思 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式做适当的变形．这种变形技巧往往要求很高，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 2＋a 23)·(b 21＋b 2＋b 23)≥.当且仅当或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝(i ＝1,2，…，n )时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知 (x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立，∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198. 题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围 例2已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围． 【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎡⎦⎤12＋12＋12⎝⎛⎭⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32.故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32. 因此λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理． [再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围. 【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]． 题型三、利用柯西不等式证明不等式例3 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9. 【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab，a 2＝bc，a 3＝ca，b 1＝ba，b 2＝c b，b 3＝ac，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证． 【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝⎛⎭⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2]≥⎝⎛⎭⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝⎛⎭⎫a b ＋b c ＋c a ⎝⎛⎭⎫b a ＋c b ＋a c ≥9. 规律总结：1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用（五）随堂检测 1．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为()A ．18B ．6C ．－18D.12 【解析】 |a·b |≤|a ||b |， ∴|a·b |≤18.∴－18≤a·b ≤18，当a ，b 反向时，a·b 最小，最小值为－18. 【答案】 C2．若a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 2＋…＋b 2n ＝4，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的取值范围是() A ．(－∞，2) B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D.[－1,1]【解析】 ∵(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2， ∴(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤4， ∴|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |≤2， 即－2≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤2，当且仅当a i ＝12b i (i ＝1,2，…，n )时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B.【答案】 B3．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m2＋n2的最小值为 5.【答案】5六、板书设计七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式 八、教学反思。
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
3.1 二维形式的柯西不等式课堂探究1．对柯西不等式的理解剖析：柯西不等式的几种形式，都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的，但怎样构造要仔细体会．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，(a 2＋b 2)(d 2＋c 2)≥(ad ＋bc )2，谁与谁组合、联系，要有一定的认识．2．柯西不等式取“＝”的条件剖析：柯西不等式取“＝”的条件，也不易记住，我们可以多方面联系来记忆，如(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是“ad ＝bc ”，有点像a ，b ，c ，d 成等比时，ad ＝bc ；柯西不等式的向量形式中|α·β|≤|α||β|，取“＝”的条件是β＝0或存在实数k ，使α＝k β.我们可以从向量的数量积的角度来理解和记忆．题型一 柯西不等式等号成立的条件【例1】求证：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 证明：设Q (x ，y )是直线上任意一点，则Ax ＋By ＋C ＝0.因为|PQ |2＝(x －x 0)2＋(y －y 0)2，A 2＋B 2≠0.由柯西不等式，得(A 2＋B 2)[(x －x 0)2＋(y －y 0)2]≥[A (x －x 0)＋B (y －y 0)]2＝[(Ax ＋By )－(Ax 0＋By 0)]2＝(Ax 0＋By 0＋C )2，所以|PQ |≥|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 当且仅当x －x 0A ＝y －y 0B 时，取等号，|PQ |取得最小值|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. 因此，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 反思 利用二维形式的柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，取“＝”的条件是ad＝bc .因此，在解题时，对照柯西不等式，必须弄清要求的问题中相当于柯西不等式中的“a ，b ，c ，d ”的数或代数式，否则容易出错．题型二 利用柯西不等式证明某些不等式【例2】设a ，b ＞0，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2. 分析：利用柯西不等式前，需要观察不等式的结构特点，本题可以看作求a 22－a ＋b 22－b 的最小值，因而需出现(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)结构．把a 22－a ＋b 22－b视为其中的一个括号内的部分，另一部分可以是(2－a )＋(2－b )．证明：根据柯西不等式，有 [(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2. 当且仅当2－a ·b2－b ＝2－b ·a2－a ， 即a ＝b ＝1时等号成立．∴原不等式成立．反思 利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式做适当的变形．这种变形技巧往往要求很高，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．。
第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。
学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。
学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。
二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。
目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。
目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。
三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。
师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。
现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。
你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。
§柯西不等式的一般形式及其参数配方法证明
一、教学内容分析
柯西不等式是选修4-5中的内容，本节课是在研究了《平面上的柯西不等式的代数和向量形式》的基础上，进一步研究柯西不等式的一般形式及其证明。
柯西不等式是研究不等式证明和求函数的最大或最小值的重要手段，研究柯西不等式对培养学生严密的逻辑思维有着很重要的作用。
二、学情与教材分析
柯西不等式相对于我们的学生难度比较大，特别是应用时对不等式形式的构造是一个难点。
学生在前面的向量数量积学习的基础上，利用向量数量积的性质，进一步研究和学习柯西不等式及其应用，有利于学生进一步完善不等式知识的系统性，加深对不等式的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验柯西不等式的几何意义，通过数形结合，让学生感受知识的力。
三、教学目标
（1）知识与能力：
1掌握一般形式的柯西不等式的内容
2灵活应用柯西不等式
（2）过程与方法：
1通过二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式
2通过例题熟悉柯西不等式的应用
（3）情感、态度与价值观：
培养学生的逻辑思维能力
四、教学重点和难点
重点：运用柯西不等式分析解决一些简单问题；
难点：一般形式的柯西不等式的证明思路。
五、教学过程设计
222
2
12)n n a a a a +≤++
+
不全相等的正数，证明
22)()d ab bc cd da +>+++
222
的最小值 达成一致，教师强调解题步骤。
3.1 课时8 柯西不等式(黄秀红)一、教学目标 （一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路. （二）学习目标1.认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.2.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；3.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法. （三）学习重点柯西不等式的证明思路以及柯西不等式的证明. （四）学习难点利用柯西不等式解决问题时如何变形，套用已知不等式的形式. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第31页至第41页，思考：什么是柯西不等式？它又怎样的几何意义？ （2）想一想：可以运用柯西不等式解决怎样的问题？ 2．预习自测（1）若实数,,,a b c d 满足22222()()()a b c d ac bd ++≤+，则应满足（ ） A ．,a c b d == B ．ac bd = C ．,,,a b c d R ∈ D ．ab cd = 【知识点】柯西不等式【解题过程】因为22222()()()a b c d ac bd ++≥+，又22222()()()a b c d ac bd ++≤+，所以22222()()=()a b c d ac bd +++，所以ad bc =【思路点拨】22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时等号成立 【答案】B（2）探讨二维形式的柯西不等式的几何意义时，θ为引入的两个向量的夹角，则柯西不等式的得到运用了（ ）A ．cos 1θ≤B ．sin 1θ≤C ．|cos |1θ≤D ．|sin |1θ≤ 【知识点】柯西不等式 【解题过程】见教材【思路点拨】||||||= a b a b |cos |θ≤||||a b 【答案】C（3）在证明二维形式的三角不等式时，运用了 . 【知识点】柯西不等式 【解题过程】柯西不等式 【思路点拨】向量也可证明 【答案】柯西不等式（4）判断：“在不等式222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++++≥+++ 中，0(1,2,,)i b i n ≠= ，则等号成立的充要条件是1212n na a ab b b == .”是否正确？ 【知识点】柯西不等式 【解题过程】正确【思路点拨】n 维柯西不等式取等条件 【答案】正确 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）二元均值不等式：2()4a b a b ab ++≥≤.（2）绝对值三角不等式几何意义为三角形两边之和大于第三边.. （3）一般得均值不等式：12n a a a +++≥ . 2．问题探究探究一 二维形式的柯西不等式 ●活动① 认识柯西不等式定理1（二维形式的柯西不等式） 若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立.证明：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥， 所以22222()()()a b c d ac bd ++≥+，且仅当ad bc =时，等号成立. 【设计意图】初步了解柯西不等式. ●活动② 柯西不等式的几何意义对一个代数结果进行最简单的诠释，往往要借助直观的几何背景.下面看一看柯西不等式的几何意义.设在平面直角坐标系xOy 中有向量=a (,)a b ，=b (,)c d ，a 与b 之间的夹角为θ，0θπ≤≤. 根据向量数量积，我们有||||= a b a b cos θ，所以||||||= a b a b |cos |θ.因为|cos |1θ≤，所以||||||≤ a b a b ，所以||ac bd +≤.故22222()()()ac bd a b c d +≤++.如果两向量中有零向量，则ad bc =时，等号成立.如果两向量都不是零向量，则当且仅当|cos |1θ=，即两向量共线时，等号成立，此时由坐标形式下两向量共线的充要条件可得，ad bc =.综上当且仅当ad bc =时，等号成立. 由上述过程可得定理2（柯西不等式的向量形式）设a ，b 是两个向量，则||||||≤ a b a b ，当且仅当b 是零向量，或存在实数k ，使=a k b 时，等号成立. 【设计意图】掌握柯西不等式的几何意义. ●活动③ 柯西不等式的变形由二维形式的柯西不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+，可得（1）当0,0a b >>时，22222()())a b c d ++=++≥，当且仅当=ad bc =时取等号；（2）222222222()()(||||)(||||)(||||)a b c d a b c d ac bd ++=++≥+，当且仅当||||ad bc =时取等号；（3||ac bd =≥=+，当且仅当ad bc =时取等号. （4）定理3（二维形式的三角不等式） 设1122,,,x y x y R ∈，那么+≥证明：22112222x y x y -=++ 11221122112211222||2()2()2()0x y x y x y x y x y x y x y x y ≥+++≥-+++=+≥. 【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用. 探究二 一般形式的柯西不等式 ●活动① 三维形式的柯西不等式类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立.证明：我们知道，平面上向量的坐标(,)x y 是二维形式，空间向量的坐标(,,)x y z 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到||||||≥ a b a b .将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式.类似的，从空间向量的几何背景也能得到||||||≥ a b a b ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式.【设计意图】了解三维的柯西不等式，注意理解取等条件． ●活动② 一般形式的柯西不等式对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式： 定理 设,,1,2,,i i a b i n = 时实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.证明：设22222212112212,,n n n n A a a a B a b a b a b C b b b =+++=+++=+++ ，则要证的不等式就是2AC B ≥，这正好与二次函数22(0)y Ax Bx C A =++≠的判别式244B AC -密切相关. 当00,1,2,,i i a b i n === 或，不等式显然成立；当(1,2,)i a i n = 中至少有一个不为零时，即222120n A a a a =+++> ，此时22222222121122122()2()()n n n n y Ax Bx C a a a x a b a b a b x b b b =++=+++++++++2221122()()()0n n a x b a x b a x b =+++++≥ 恒成立，所以2440B AC ∆=-≤，即2AC B ≥，即222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当原函数有唯一零点，此时11220n n a x b a x b a x b +=+==+= ，若0x =，则0(1,2,,)i b i n == 时取等号；若0x ≠，则1i i a b x=-，即当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 【设计意图】掌握一般的柯西不等式及其证明. 探究三 柯西不等式的应用●活动① 运用柯西不等式证明不等式例1 已知,a b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++. 【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式可得，2332222244)()())((b a b b a a b a b a +=⋅+⋅≥++【思路点拨】虽然可以作乘法展开上式的两边，然后在比较它们的大小，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可以避免繁杂的运算. 【答案】见解析同类训练 设12,,,n x x x 是正数，求证21212111(+++)()n nx x x n x x x +++≥ . 【知识点】柯西不等式【解题过程】因为12,,,n x x x 是正数，所以由柯西不等式得221212111(+++)()(111)n nx x x n x x x +++≥+++= . 【思路点拨】直接由柯西不等式可得 【答案】见解析例2 设,,1a b R a b +∈+=.求证411≥+ba . 【知识点】柯西不等式【解题过程】由于,,1a b R a b +∈+=，由柯西不等式，得4)11())(11(112=⋅+⋅≥++=+b ba ab a b a b a . 【思路点拨】问题中由1a b +=这个条件，由于常数1的特殊性，用1a b +=去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件.在本例中，注意到))(11(11b a ba b a ++=+，有了上式就可以使用柯西不等式了. 【答案】见解析同类训练 已知0a b c >，，,且1a b c ++=，求证：1119a b c++≥.【知识点】柯西不等式【解题过程】因为0a b c >，，，1a b c ++=，所以2111111()()(111)9a b c a b c a b c++=++++≥++=. 【思路点拨】a 和1a相乘才能得到常数【答案】见解析例3 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明：2222a b c d ab bc cd da +++>+++. 【知识点】柯西不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：根据柯西不等式，有222222222()()()a b c d b c d a ab bc cd da ++++++≥+++．因为,,,a b c d 是不全相等的正数，所以222222222()()()a b c d b c d a ab bc cd da ++++++>+++，即222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++，所以2222a b c d ab bc cd da +++>+++.【思路点拨】上式两边都是由,,,a b c d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明. 【答案】见解析同类训练 已知,,1,2,,i i a b i n = 都是实数，求证222212121()n n a a a a a a n++≤+++ .【知识点】柯西不等式 【解题过程】证明：2222222212121212()(111)(111)()n n n n a a a a a a a a a a a a +++=++++++≥⋅+⋅++⋅=+++ 所以22221212()()n n n a a a a a a +++≥+++ ，即222212121()n n a a a a a a n++≤+++ .【思路点拨】将n 乘到等式的那边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式. 【答案】见解析●活动② 运用柯西不等式求最值例4 求函数y =的最大值. 【知识点】柯西不等式【解题过程】函数的定义域为[1,5]，且0y >.225(2(1)(102))(1)2x x -+-+≥+,即22782⋅≥+，故≤1=12727x =时函数取最大值.【思路点拨】利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac bd +的形式，就能利用柯西不等式求其最大值. 【答案】见解析同类训练 求函数y =的最大值.【解题过程】函数的定义域为[,222[(7)(1)](11)x x -+++≥，即2222[(7)(1)]x x ⋅-++≥+，即228=16≤⨯，4+≤，当227=1,x x x -+=时函数最大为4【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数 【答案】见解析例5 已知231x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【知识点】柯西不等式【解题过程】证明：根据柯西不等式，有22222222()(123)(123)(23)x y z x y z x y z ++++≥⋅+⋅+⋅=++．所以222114x y z ++≥，当且仅当123x y z ==，即113,,4714x y z ===时，222x y z ++取最小值114. 【思路点拨】由231x y z ++=以及222x y z ++的形式，联系柯西不等式，可以通过构造222(123)++作为一个因式而解决问题. 【答案】见解析同类训练 已知23410x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【知识点】柯西不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：由柯西不等式可得2222222()(234)(234)x y z x y z ++++≥++，即222()29100x y z ++≥ ,所以22210029x y z ++≥，当234x y z==时等号成立 【思路点拨】将二次式转化成一次式，用柯西不等式. 【答案】见解析【设计意图】掌握用柯西不等式求最值. 3. 课堂总结 知识梳理（1）若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立.（2）定理2设a ，b 是两个向量，则||||||≤ a b a b ，当且仅当b 是零向量，或存在实数k ，使=a k b 时，等号成立.（3）定理3设1122,,,x y x y R ∈，那么+≥（4）2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或存在一个数k ，使得(1,2,3)i i a kb i ==时，等号成立. （5）设,,1,2,,i i a b i n = 时实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立.重难点归纳（1）柯西不等式的证明思路以及柯西不等式的证明.（2）利用柯西不等式解决问题时如何变形，套用已知不等式的形式. （三）课后作业 基础型 自主突破1．函数y =的最大值是( )B. C ．3 D ．5 【知识点】柯西不等式【解题过程】根据柯西不等式，y =+≤=. 【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数 【答案】B2．已知22,,4a b R a b ∈+=，则32a b +的最大值为( )A ．4B ．C ．8D ．9 【知识点】柯西不等式【解题过程】22222()(32)(32)a b a b ++≥+，即2(32)52a b +≤，所以32a b +≤，当且仅当23a b =时取等号.【思路点拨】用柯西不等式，将二次式转化成一次式 【答案】B3．已知,0,1a b a b >+=，则2+的最大值是( )A ． C ．6 D ．12 【知识点】柯西不等式 【解题过程】222222(11)(11)12=+≤++=，当且仅当12a b ==时，等号成立. 【思路点拨】用柯西不等式，将二次式转化成一次式 【答案】D4．设,,,1Ra b c a b c+∈++=的最大值是()A．1 B.C．3 D．9【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式，得2222)(111)++++≥+，所以23≤+≤13a b c===时取等号.【思路点拨】用柯西不等式，将高次式转化成低次式【答案】B5．已知222121na a a+++=，222121nx x x+++=，则1122n na x a x a x+++的最大值() A．1 B．2 C．－1 D．不确定【知识点】柯西不等式【解题过程】因为12122()n na x a x a x+++≤22212()na a a+++22212()nx x x+++，当且仅当(1,2,,)i ia kx i n== 时等号成立．所以1122n na x a x a x+++的最大值是1.【思路点拨】柯西不等式的典型结构【答案】A6．设,0,5a b a b>+=，则________．【知识点】柯西不等式【解题过程】因为,0,5a b a b>+=，22222)(11)++≥，即218+≤≤9132a b+=+=，即73,22a b==时取等号.【思路点拨】柯西不等式求最值模型【答案】能力型师生共研7.已知23410x y z++=，则222x y z++取到最小值时的,,x y z的值为()A.5105,,396B.203040,,292929C．111,,23D．111,,49【知识点】柯西不等式【解题过程】当且仅当234x y z ==时，取到最小值，所以联立23423410x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩，可得 203040,,292929x y z ===. 【思路点拨】柯西不等式求最值模型【答案】B8.已知222216x y z ω+++=，则8F x y z ω=----的最大值为________．【知识点】柯西不等式【解题过程】22222()(1111)()x y z x y z ωω++++++≥+++，即2164()x y z ω⨯≥+++，所以88x y z ω-≤+++≤，所以0816x y z ω≤----≤，即16F ≤，当且仅当2x y z ω====-时取等号.【思路点拨】柯西不等式求最值模型【答案】16探究型 多维突破9．已知1x y +=，求2223x y +的最小值．【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式，22222(23)()x y x y ++≥+，所以226235x y +≥. 当且仅当23x y =，即32,55x y ==时，等号成立，所以2223x y +的最小值为65. 【思路点拨】柯西不等式求最值模型 【答案】6510.已知函数()|2|,,(2)0f x m x m R f x =--∈+≥的解集为[1,1]-．(1)求m 的值；(2)若,,R a b c +∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥. 【知识点】绝对值不等式；柯西不等式【解题过程】(1)解：(2)||0f x m x +=-≥，等价于||x m ≤，因为解集为[1,1]-，所以1m =.(2)证明：由（1）知111123a b c++=，又,,a b c R +∈，由柯西不等式得2111(23)()(111)923a b c a b c++++≥++=，所以239a b c ++≥. 【思路点拨】柯西不等式结合绝对值不等式【答案】见解析自助餐11．设,,,0,1m n x y m n x y>+=，则u x y =+的最小值是( )A ．2+ + C ．m n + D ．2()m n +【知识点】柯西不等式【解题过程】2()()m n u x y x y x y=+=++≥ 【思路点拨】直接用柯西不等式【答案】A12．已知,,x y z 为正数，1x y z ++=，则222x y z ++的最小值为( ) A.14 B.13 C.15D ．不存在 【知识点】柯西不等式【解题过程】2222()(11+1)()x y z x y z +++≥++，所以22213x y z ++≥ 【思路点拨】柯西不等式求最值【答案】B13．若直线1x y a b+=通过点(cos ,sin )M αα，则( ) A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C.22111a b +≤ D.22111a b +≥ 【知识点】柯西不等式 【解题过程】cos sin 1a b αα+=2222211sin cos ()(sin cos )()1a b a b αααα++≥+=， 所以22111a b+≥ 【思路点拨】柯西不等式求最值，结合22sin cos 1αα+=【答案】D14.已知,,,236R a b c a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为______．【知识点】柯西不等式【解题过程】2222(49)(111)(23)a b c a b c ++++≥++，所以2224912a b c ++≥.当且仅当23a b c ==，即22,1,3a b c ===时取等号. 【思路点拨】柯西不等式求最值【答案】1215．设222,,,1,23R x y z x y z x y z ∈++=++=，则x y z ++=________．【知识点】柯西不等式【解题过程】由柯西不等式可得，2222()(149)(23)x y z x y z ++++≥++，所以23x y z ++≤因为23x y z ++=23y z x ==，解得x y z ===+x y z +=. 【思路点拨】利用柯西不等式取等条件求出变量的值16.设,,a b c 为正数，且不全相等，求证：2229a b b c c a a b c ++>+++++. 【知识点】柯西不等式【解题过程】2222()(()()())18a b b c c a a b b c c a +++++++≥+=+++， 即222()()9a b c a b b c c a++++≥+++.当且仅当a b b c c a +=+=+，即a b c ==时取等号，因为,,a b c 不全相等，所以222()()9a b c a b b c c a ++++>+++. 【思路点拨】通过去分母不难发现用柯西不等式证明【答案】见解析。
