绝对值的零点分段法
一、教学目标：
1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤；
2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。
二、零点分段法：
此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果的随着参数的情况而改变的，所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。
三、词义解释：
1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就对应有几个零点；如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点，分别是0和3，而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点，分别是-1、1和3.
2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段：如有两个零点时，在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。
四、用零点分段法解题的步骤：
通常分三步
（1）求出所有式子的零点；
（2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来；
（3）在分出的段中，每一段上讨论原各个式子的正负性，去掉绝对值。
五、例题和练习
题型一：化简
例1、化简∣x∣+∣x-1∣
练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣
例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣
题型二：求最值
例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值. 练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值.
练习
1.化简：∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣.
2.用零点分段法求∣2x-1∣-∣x-2∣的最小值.
3.用零点分段法求∣x+1∣+2∣x-2∣+3∣x-3∣的最小值.
绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤? ； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>?? ?≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或 ax b +<－c ；|ax b +| 绝对值的零点分段法 一、教学目标： 1.理解并掌握零点分段法的含义和解题步骤； 2.能够熟练地运用零点分段法解决化简和求最值两类问题。 二、零点分段法： 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果的随着参数的情况而改变的，所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。 三、词义解释： 1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解即x=1.5，且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就对应有几个零点；如∣x∣+∣x-3∣就有两个零点，分别是0和3，而∣x+1∣+∣x-1∣- ∣x-3∣就有3个零点，分别是-1、1和3. 2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段：如有两个零点时，在数轴上标出这两个零点后可以发现数轴被这两个点分成了3段。一般来说，有n各不相同的零点就会把数轴分成n+1段。 四、用零点分段法解题的步骤： 通常分三步 （1）求出所有式子的零点； （2）将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； （3）在分出的段中，每一段上讨论原各个式子的正负性，去掉绝对值。 五、例题和练习 题型一：化简 例1、化简∣x∣+∣x-1∣ 练1、化简∣x+1∣+∣x∣-∣x-3∣ 例2、化简∣x+2∣-2∣x-1∣+3∣x-4∣练2、化简3∣x+5∣+4∣x∣-5∣x-1∣ 题型二：求最值 例3、求∣x+1∣+∣x-2∣的最小值. 练3、求∣2x+1∣-∣x-2∣的最小值. 练习1.化简：∣x+2∣-∣2x-1∣+2∣x+1∣. 初一数学压轴题：绝对值化简求值 一、【考点】绝对值的代数意义、绝对值化简 【北大附中期中】 设a，b，c为实数，且化简|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 【解析】 |a|+a=0，即|a|=-a，a≤0； |ab|=ab，ab≥0，b≤0； |c|-c=0，即|c|=c，c≥0 原式=-b+a+b-c+b-a+c=b 【答案】b 二、【考点】有理数运算、绝对值化简 【人大附期中】 在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#” 法则：a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2 如：（-1）#2#3=[|（-1-2-3）|+（-1）+2+3]/2=5 （1）计算：3#（-2）#（-3）___________ （2）计算：1#（-2）#（10/3）=_____________ （3）在-6/7,-5/7……-1/7,0,1/9,2/9……8/9这15个数中，①任取三个数作为a、b、c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最大值__________， ②若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是___________ 【分析】将a#b#c=(|a-b-c|+a+b+c)/2进行取绝对值化简。 【解析&答案】 (1)原式=3 (2)原式=4/3 (3)当a＜b+c时，原式=b+c，当a≥b+c时，原式=a ①令b=7/9，c=8/9时 a#b#c的最大值为b+c=5/3 ②4（提示，将1/9,2/9……8/9分别赋予b、c同时赋予a 四个负数；最后一组，a=0，b、c赋予两个负数即可） 三、【考点】绝对值与平方的非负性、二元一次方程组 【北京四中期中】 已知：（a+b）2+|b+5|=b+5，|2a-b-1|=0，求ab的值． 【分析】考察平方和绝对值的非负性，若干个非负数的和为零，则每个数都为零。 【解析】 由题意知b+5>0，（a+b）2+b+5=b+5，即（a+b）2=0……① 2a-b-1=0……② 解得a=1/3，b=-1/3 所以ab=-1/9 【答案】-1/9 四、【考点】绝对值化简，零点分段法 .. 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x | 1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ，有|x | 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 零点分段法： 此方法在初中主要运用于多个绝对值式子的加减化简。因为含有参数的绝对值化简，化简的结果是随着参数的情况而改变的（绝对值的代数意义），所以需要用零点分段法将参数的情况分类化，然后将每一类化简得出即可。 首先要明确两个词义： 1、零点：是使式子等于0时，未知数的值；如2x-3的零点就是方程2x-3=0的解：x=1.5， 且一般来说，一个题目中有几个不相同的绝对值，就有几个式子，就对应有几个零点，如|x|+|x+1|应该有两个式子，对应有两个零点，而|x+3|就只有一个式子，只有一个零点。 2、分段：分段是指将题目中所求出的所有零点在数轴上标出，并且将数轴分割成小段；如 有两个零点时，在数轴上标出后可以发现数轴被这两个点分成了3段，一般来说，有n 个不相同的零点就应该把数轴分成n+1段。 一、步骤 通常分三步： ⑴求出所有式子的零点； ⑵将所有求得的零点在数轴上标出来，然后将数轴分段表示出来； ⑶在分出的段中，每一段上讨论原式子的正负形，并将绝对值求出。 例： (1)化简：|x+1|+|x-1| 分析：首先，在这个题中，应该明确知道有两个式子，对应应该有两个零点，分别将他们求出，得到x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出两个零点，并可以看出它们将数轴分割为3段： 将每一段表示出来： 第一段：x＜-1；第二段：-1≤x＜1；第三段：1≤x （注：也可以表示为：第一段：x≤-1；第二段：-1＜x≤1；第三段：1＜x；分段中必须在零点左右两段中必须而且只能有一段包含零点，比如上面例题中，在第一段表示出零点x≤-1后，第二段就不可以含有零点，所以第二段若表示成-1≤x＜1是错误的。）然后在每一段上去看绝对值内式子的正负性，然后求出来。 解：由题意，得： 零点为： ①x+1=0 得x=-1；②x-1=0 得x=1； 所以： ①当x＜-1时： 原式=[-(x+1)]+[-(x-1)]=-x-1+(-x)+1=-2x ②当-1≤x＜1时： 原式=(x+1) +[-(x-1)]=x+1+(-x)+1=2 ③当1≤x时： 原式=(x+1) + (x-1)=x+1+x-1=2x (2)化简：|x|+|x+1|+|x-1| 分析：首先，在这个题中，应该明确知道有三个式子，而不是两个，对应应该有三个零点，分别将他们求出，得到x的零点为x=0，x+1的零点为x=-1，x-1的零点为x=1；其次，在数轴上标出三个零点，并可以看出它们将数轴分割为四段。 利用零点分段法解含多绝对值不等式 对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题， 不少同学感到无从下手， 下面介绍 一种通法——零点分段讨论法． 一、步骤 通常分三步： ⑴找到使多个绝对值等于零的点． ⑵分区间讨论， 去掉绝对值而解不等式． 一般地 n 个零点把数轴分为 n ＋ 1 段进行讨论． ⑶将分段求得解集，再求它们的并集. 二、例题选讲 例1求不等式|x + 2| + I X — 1| > 3的解集. x 的取值把实数分成三个区间， 再分别讨论而去掉绝对值． 从而 2 (x 2) x 1 (x 1) ,I x — 1| = 2 (x 2) 1 x (x 1) 故可把全体实数x 分为三个部分：①x < — 2,②—2W X V 1，③x > 1. 所以原不等式等价于下面三个不等式组： x 2 x 1 2 x 1 (I) ，或(n ) ，或(川) . x 2 1 x 3 x 2 x 1 3 x 2 1 x 3 不等式组 (I ) 的解集是 {x I x <— 2}, 不等式组 ( n ) 的解集是 , 不等式组(川)的解集是{x | x > 1}. 综上可知原不等式的解集是 {x |x < — 2或x > 1}. 例 2 解不等式 I x — 1I ＋I2 — x I > 3— x ． 解：由于实数1, 2将数轴分成(—R, 1] , (1 , 2] , (2 ,+^ )三部分，故分三个区间 来讨论. ⑴ 当x < 1时，原不等式可化为一(x — 1) — (x — 2) >x + 3,即x < 0?故不等式的解集 是{x | x < 0}. ⑵ 当1 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值 符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等 式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因 此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关 键。 1 利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即 |x |= x(x x (x 0) 0) x(x 0) ，有 |x | 4 利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数x1，x2x n 分别使含有|x－x1|，|x－x2|，??，|x－x n|的代数式 中相应绝对值为零，称x1，x2，??，x n为相应绝对值的零点，零点x1，x2，??，x n将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符 号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝 对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于 |x a| |x b| m或|x a| |x b| m（m 为正常数）类型不等式。对|ax b| |cx d | m（或＜m），当|a| ≠c ||时一般不用。 零点分段法 零点分段法四步走：1、找零点2、画数轴分段3、分段化简4、综上所述 1、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝． 通过以上阅读，请你解决以下问题： 化简代数式|x+2|+|x﹣4|． 2、化简代数式2121x x x -++--． 零点分段法解析 1、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现 在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： ①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； ②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； ③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝． 通过以上阅读，请你解决以下问题： 化简代数式|x+2|+|x﹣4|． 解：当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣4|＝﹣x﹣2+4﹣x＝﹣2x+2； 当﹣2≤x＜4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+4﹣x＝6； 当x≥4时，|x+2|+|x﹣4|＝x+2+x﹣4＝2x﹣2； 综上讨论，原式 () () () 222 624 22 x x x x x -+<-? ? =-< ? ? - ? ≤ ≥4 【初高中衔接教材】-----------代数部分 第一节 绝对值与零点分段法 一、知识点 )0 (≥a a a a (-＜0） 2. =x 1的几何意义？ 3. 11=-x 的几何意义？（两个点） 4.2+x ＞1的几何意义？（两射线） 5.12≤+x 的几何意义？（一条线段） 一般地，21x x -表示数轴上两点的距离，即21x x -=AB 二、例题 例1：在下列条件下去掉绝对值 （1）()221>---x x x ；(2)()3131≤≤---x x x ；(3)31-+-x x 例2：解绝对值不等式 （1）11<-x ；（2）212<-x ；（3）3121 >+x ；（4）075≥+x ； （5）012<+x ；（6）012≤+x ； 练习：①5 例5：解不等式 （1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像 （1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ； （4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 思考：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的范围； 利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法． 一、步骤 通常分三步： ⑴找到使多个绝对值等于零的点． ⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ⑶将分段求得解集，再求它们的并集． 二、例题选讲 例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集． 分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式． 解：∵|x＋2|＝ 2 (2) 2 (2) x x x x +≥- ? ? --<- ? ，|x－1|＝ 1 (1) 1 (1) x x x x -≥ ? ? -< ? ． 故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．所以原不等式等价于下面三个不等式组： (Ⅰ) 2 213 x x x <- ? ? --+-> ? ，或(Ⅱ) 1 213 x x x > ? ? ++-> ? ，或(Ⅲ) 21 213 x x x -≤< ? ? ++-> ? ． 不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}， 不等式组(Ⅱ)的解集是?， 不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}． 综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}． 例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x． 解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论． ⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}． ⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是?． 第三讲 绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 （3） 下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 （4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D 。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a ＞b B.a=b C.a 绝对值与零点分段法 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ (1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜． 例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜99+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值． 例10 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值． 整数末尾数性质： 1、末位数的运算性质 定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即 )]()([)(b P a p P b a P +=+， )]()([)(b P a P P b a P ?=?， 二、例题精讲 例1：（1）求19951994 的末位数。 （2）求1003100210011373 ??的末位数。 例2：n 为怎样的自然数时，n n n n 4321+++能被10整除？ 表格法的应用与直观性分析。 例3：若N ＝782x 是一个能被17整除的四位数，求x 。 第一节绝对值与零点分段法一、知识点 )0 (≥ a a a a( -＜0） 2. = x1的几何意义？ 3. 1 1= - x的几何意义？（两个点） 4.2 + x＞1的几何意义？（两射线） 5.1 2≤ + x的几何意义？（一条线段） 一般地， 2 1 x x-表示数轴上两点的距离，即2 1 x x-=AB 二、例题 例1：在下列条件下去掉绝对值 （1）()2 2 1> - - -x x x；(2)()3 1 3 1≤ ≤ - - -x x x；(3)3 1- + -x x 例2：解绝对值不等式 （1）1 1< - x；（2）2 1 2< - x；（3）3 1 2 1 > + x；（4）0 7 5≥ + x； （5）0 1 2< + x；（6）0 1 2≤ + x； 练习：①5 < x；②10 > x；③8 2≤ x；④7 5≥ x；⑤12 3< x； ⑥0 2 5≥ - x；⑦0 1 5 32 3≥ + +x x；⑧0 1 5 3< + - x；⑨0 5 3≤ - x 例3：解下列关于x的不等式 （1）)0 (> < -b b a x；（2）)0 (> > -b b a x a= 例4：解方程 （1）12=-x ； (2)231=-+-x x ； （3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。 练习：解2312=---x x 例5：解不等式 （1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x （4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像 （1）x y =； （2）1-=x y ； （3） 21-+-=x x y ； （4）)2(1+-=x x y ； （5）322--=x x y ； （6）322--=x x y 例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=x x x x y 的最大值 例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围； （2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围 练习：不等式组 113x x a -≤-≤无解，求a 的范围 第二节 多项式乘法原理及因式分解 一、知识点 1．多项式乘法原理： 初中数学绝对值问题专题讲义（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0) x x x x ≥??-????≤?；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如 |ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数 x，2x，……，n x分别使含有|x－ 1 x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式中相应绝对值为零，称1x， 1 x，……，n x为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，n x将数轴分为2 n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于|||| -+-> x a x b m 或|||| x a x b m ax b cx d m +++>(或-+-<(m为正常数)类型不等式。对|||| 绝对值化简—不带条件（零点分段法） 1．使代数式的值为正整数的x值是（） A．正数 B．负数 C．零D．不存在的 2．方程|x﹣2|+|x﹣3|=1的实数解的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．多于3 3．方程|x﹣2008|=2008﹣x的解的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．无穷多个 4．能够使不等式（|x|﹣x）（1+x）＜0成立的x的取值范围是． 5．化简： （1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|． 6．化简： （1）|3x﹣2|+|2x+3|；（2）||x﹣1|﹣3|+|3x+1|． 7．（2007秋?海淀区校级期中）化简：|3x+1|+|2x﹣1|． 8．化简下列各式： （1） （2）|x+5|+|x﹣7|+|x+10|． 9．（1）|x﹣3|+|x+1|的最小值是 （2）|x﹣3|﹣|x+1|的最大值是． 绝对值—不带条件的化简求值（零点分段法） 1．（2015秋?禹城市校级月考）已知数轴上三点A、B、C分别表示有理数a、1、﹣1，那么|a+1|表示（） A．A与B两点的距离B．A与C两点的距离 C．A与B两点到原点的距离之和D．A与C两点到原点的距离之和 2．（2015秋?连云港校级月考）不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|=|a﹣c|，那么点B （） A．在A、C点的左边B．在A、C点的右边 C．在A、C点之间D．上述三种均可能 3．已知y=|2x+6|+|x﹣1|﹣4|x+1|，求y的最大值． 4．已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值． 初一数学绝对值典型例 题精讲 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第三讲绝对值 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a＞0） （2）|a|= 0 （a=0）（代数意义） -a (a＜0) （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a， 且|a|≥-a； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b| [例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2 （4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少 （5） 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些它们的和为多少 <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a 零点分段法 方法一 利用绝对值的几何性质来做 |x+1|+|x+2|>4可以看做是"X与-1的距离加上X与-2的距离大于4" 在数轴上标出这两个点 再从数轴上分析: -1与-2间间隔为1所以X不能在-1与-2之间(如果X在他们之间的话X与-1的距离加上X 与-2的距离就为1了) 从这两个点的左边看暂且先求使X与-1和-2间的距离和为4的 那就是(4-1)/2=1.5 所以当X小于(-2-1.5=-3.5)时X与-1的距离加上X与-2的距离大于再从右边来看也是一样的当X大于(-1+1.5=1/2)时 X与-1的距离加上X与-2的距离大于4 所以解集就为X大于1/2或X小于-3.5 我觉得首先要掌握零点分段法，由数轴来看开始会比较绕，但习惯了也会很方便。 方法二 另外一种就是在数轴上标出零点（使各个绝对值为零的X的取值），然后再分类讨论。例如|x+1|+|x+2|>4这个不等式； 解：在数轴上标出-1，-2这两个点。 (并分为三个区域：即X小于等于-2，x大于-2且小于-1，x大于等于-1 注意要做到不重不漏！) 所以 ①当x≤-2时，(x+1为负所以取相反数 x+2也一样) -(x+1)-(x+2)>4 解得x<-3.5 又因为x≤-2 （前提条件） 所以x<-3.5 ②当-2 ③当x>-1时（都为正俩绝对值均可直接去除） 得x+1+x+2>4 解得：x>0.5 又因为x>-1 所以x>0.5 综合①②③得解集为X大于1/2或X小于-3.5 个人认为，第一种做法不易理解，但过程较少。第二种做法更适合初学者，只是过程稍微多了点。但学生考试本人推荐第二种，这样比较不容易出错！ 绝对值大全(零点分段法、化简、最值) 绝对值大全（零点分段法、化简、最值） 一、去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值 符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关 键。 1利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?；|x |>c (0)0(0) (0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈ 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数 x，2x，……，n x 1 分别使含有|x－ x|，|x－2x|，……，|x－n x|的代数式 1 中相应绝对值为零，称 x，2x，……，n x为相应绝对 1 值的零点，零点 x，2x，……，n x将数轴分为m+1 1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、绝对值的零点分段法
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