对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.
③知道对数函数是一类重要的函数模型；
④了解指数函数与对数函数互为反函数（）
一对数
1 定义：若ab=N （），则b叫做以a为底N的对数。记做b=logaN
y= logax（x>0且x不等于1）
2 性质：几个恒等式（M,N,a,b都是正数，且a，b不等于1）
1 a logaN =N
2 logaaN=N logaa=N
3 logaN= logbN/ logba(换底公式)
4 logab=1/ logba
5 logambn= （n/m）logab
3 运算法则：（,M>0,N>0）；
1 loga（mn）= logaM +logaN;
2 logaM/N= logaM -logaN
3 logaMN=n logaM
4 log()=（n/m）logab
4 常用对数，自然对数：将以10为底的对数叫常用对数，记作lgN
以e=2.71828……为底的对数叫自然对数，记作ln N
5 零和负数没有对数，且loga1=0，logaa=1
6 图像（略）
7 过定点（1,0）。a>1时单调递增0 二反函数 1 概念：函数y=f（x）的定义域为A，值域为c，由y=f（x）得x=φ（y）函数y=φ（x）是y=f（x）的反函数。记作y=f-1（x） 2 求反函数的步骤：1 由y=f（x）解出x=f-1（y） 2 将x=f-1（y）中的x与y互换位置，得y=f-1（x） 3 由y=f（x）得值域，确定y=f-1（x）的定义域 4 互为反函数的图像关于直线y=x对称 5 同底的指数函数与对数函数互为反函数 三对数函数的性质在比较对数值大小中的应用 1 比较同底数的两个对数值的大小。 例如：比较logaf（x）与logag（x）的大小其中 1 若a>1，f（x）>0，g（x）>0，则logaf（x）> logag（x）等价于f（x）> g（x）>0 2 若0 例如：比较logaf（x）与logbf（x）的大小。其中a> b>0且a，b均不等于1 1 若a>b>1，当f（x）>1时，logbf（x）>logaf（x） 当f（x）属于（0，1）时，logaf（x）>logbf（x） 2 若1>a>b>0；当f（x）>1时logbf（x）>logaf（x） 当0 3 若a>1>b>0，当f（x）>1时logaf（x）>0>logbf（x） 当0 图像（）（） 四求与对数函数相关的复合函数的单调区间 求复合函数y=f[g（x）] 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数：y=f（u），u=g（x） 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增或同减，则y=f[g（x）]为增函数 若一增一减，则y=f[g（x）]为减函数。即同增异减 五对数方程的类型及解法 1 对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程 2 解对数方程的基本思路是化为代数方程，常见的可解类型有 1 形如logaf（x）=logaf（x）（）的方程，化成f（x）=g（x）求解 2 形如F(logax)=0的方程，用换元法 3 形如logf（x）g（x）=c的方程化成指数式[f（x）]c= g（x）求解 3 在将对数方程化成代数方程的过程中，未知数范围扩大或缩小就容易产生增，减根，因此，要注意验根 4含参数的指数，对数方程在求解时要注意将原方程等价转化为某个混合组，并在等价转化的原则下简化求解，对参数进行分类讨论 《对数函数》教学设计 一、教材分析 本小节选自《中等职业教育课程改革国家规划新教材-数学（基础模块上册）》第四章，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计 教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结 （一）熟悉背景、引入课题 1．让学生看材料： 如图1材料（多媒体）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……， 对数 教学目的：（1）理解对数的概念； （2）能够说明对数与指数的关系； （3）掌握对数式与指数式的相互转化． 教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化 教学难点：对数概念的理解． 教学过程： 一、引入课题 1． （对数的起源）价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程，体会引入对数的必要 性； 设计意图：激发学生学习对数的兴趣，培养对数学习的科学研究精神． 2． 尝试解决本小节开始提出的问题． 二、新课教学 1．对数的概念 一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ） ，记作： N x a log = a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式 说明：○ 1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 思考：○ 1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○ 2 是否是所有的实数都有对数呢？ 设计意图：正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数型函数定义域的确定作准备． 两个重要对数： ○1 常用对数（common logarithm ）：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数（natural logarithm ）：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化 x N a =log ? N a x = 对数式 ? 指数式 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例1．（教材P 73例1） 巩固练习：（教材P 74练习1、2） 设计意图：熟练对数式与指数式的相互转化，加深理解对数概念． 2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A 版 xx 高考会这样考 1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数． 复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系． 1． 对数的概念 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __ 叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2． 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3． 对数函数的图象与性质 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． [难点正本 疑点清源] 1． 对数值取正、负值的规律 当a >1且b >1或00； 当a >1且01时，log a b <0. 2． 对数函数的定义域及单调性 对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论． 3． 关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较． 1． (xx·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________． 答案 ? ?? ??－12，＋∞ 解析 函数f (x )的定义域为? ?? ??－12，＋∞， 令t ＝2x ＋1 (t >0)． 因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在? ?? ??－12，＋∞上为增函数，所 以函 《对数函数》优秀教案 一、教材分析 对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的，由此我制定了这样的教学目标。 1、通过指数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。 2、在教学过程中，通过数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。 教学重点：对数函数的概念、图象和性质． 教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。 二、指导思想和教学方法 利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。 三、教学过程 1、提出问题 我们来看下上节课的2.1.2的例8：截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？ 1999年底，我国人口约13亿； 经过1年（即2000年），人口数为13+13*1%=13*（1+1%)(亿） 经过2年（即2001年），人口数为13*（1+1%）+13*（1+1%）*1%=13*（1+1%）2（亿） 经过3年（即2002年），人口数为13*（1+1%）2+13*（1+1%）2*1%=13*(1+1%)3（亿） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 所以经过x 年，人口数为y=x %)11(*13+=x 01.1*13（亿） 当x=20时，1601.1*1320≈=y （亿） 所以经过20年后我国人口数最多为16亿。 咱们上节课的例题，我们能从关系式x y 01.1*13=中，算出任意一个年头x 的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？ 上述问题实际上就是从x x x 01.113 30,01.11320,01.11318===，...中分别求出x ，即已知底数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题， 通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：x y =01.1log ，其中 课题：对数函数的图像和性质（第一课时） 一、教材内容解析 1、“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2、“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。 二、学生学情分析 1、心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2、知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习。 三、教学目标设置 （一）教学目标 1、知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。 对数与对数函数的教学设计 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一学过概念，时间比较长，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生高一到高三年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法。 三、教学目标： 1、知识与技能 （1）熟练掌握对数的运算性质，并进行化简计算． （2）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质． （3）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题． 2、过程与方法 （1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络． （2）对于公式性质要熟练掌握，． （3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合． 3、情感．态度与价值观 使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,． 四、教学重点： 1、理解对数运算； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质及图像初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图及应用； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 公开课教案 【课题】对数函数及其性质【班级】13级学前7班 【时间】2014年4月23日【任课教师】康小燕 【教学目标】 1.知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像及性质； 2.过程与方法 （1）能画出对数函数的简图，会判断对数函数的单调性； （2）渗透数形结合的思想，培养学生观察、分析、归纳的能力； 3.情感态度与价值观 （1）激发学生学习数学的兴趣，体会数学来源于生活； （2）培养学生尝试、探索、合作及创新精神。 【重点难点】 重点：理解对数函数的概念、探究对数函数的图像及性质. 难点：对数函数性质的获得. 关键：对数函数的性质主要是类比指数函数的研究方法，借助数学软件，利用数形结合的思想突破难点. 【教学方法】引导探究、总结归纳、讲练结合 【教具准备】教学课件． 【课时安排】 1课时． 【教学过程】 一、创设情景兴趣导入 1.提出问题 某种物质的细胞分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，??，则1个这样的细胞分裂y次后得到细胞个数x为？ y2?x 1 反过来，分裂多少次可以得到1万个细胞，10万个??即知道分裂得到的细胞个数如何求得分裂次数呢？ 2.解决问题 yxxy y，的函数关系是1个细胞经过与次分裂后得到写成对个细胞，则设2x?x位于真数位置．，此时自变量数式为x?logy2*教学意图：导入实例易于学生想象，领会函数意义 二、动脑思考探索新知 概念：一般地，形如的函数叫以为底的对数函数，其中a>0且a≠1．对数axlogy?a 函数的定义域为。)(0,??例如、、都是对数函数．x?logyx?lgyx?logy132想一想：对数函数解析式有哪些结构特征？ 概念辨析：下列函数哪些是对数函数？ (4)y?logx；2;logx(1)y?5a(5)y?loga(x?0,且x?1)(2)y?logx?1;x2(3)y?2logx;8*教学意图：指导体会对数函数的特点。 三、对数函数性质的初步探究 类比研究指数函数的方法，借助对数函数的图像研究其性质. （一）利用“描点法”作函数和的图像．x?logyx?logy122函数的定义域为，取x 的一些值,列表如下：)??(0, 11 4 x1 2 ??24xy?log-1 0 -2 1 2 ??2x?logy-1 2 0 -2 1 ??12 2 观察函数图像发现： 1．函数和的图像都在y轴的右边；xy?logxlogy?212??；2．图像都经过点1,03．函数的图像自左至右呈上升趋势；函数的图像自左至右呈下xlogy?x?logy21 2降趋势． b>0，ab = 8,则当a 的值为 时，Iog 2a log 2(2b)取得最大值. f(x) = 2ln x 与函数 g(x) = x 2 — 4x + 5= (x — 2)2 + 1 的 C . 1 16 ⑵81 + log 35 + log 34 = 2 ⑵原式=3 4 ?/ f(2) = 2ln 2>g(2) = 1 , 3 4 + log 3 5 4 2 -x 一 = 一 4 5 3 ⑶当log 2a 与log 2(2b)有一个为负数时， 当log 2a 与log 2(2b)都大于零时， log 2a + log 2 2b 2 log 2 2ab log 2a log 2(2b) < — 成立. 27 ［答案］(1)B (2)— (3)4 3 + log 31 = 27. log 2a Iog 2(2b)<0显然不是最大值. 2 2 = 4,当且仅当 a = 2b,即 a = 4,b = 2 时“=” 【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略 (1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幕的运算. (2) 对一些可通过平移、对称变换作岀其图象的对数型函数，在求解其单调性 域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解. (3) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (单调区间)、值 ?对点题必刷题 1.设 f(x)= ln x,0 高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教案文含解析新人教A版 §2.6对数与对数函数 最新考纲考情考向分析 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化 成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊 点，会画底数为2,10， 1 2 的对数函数的图象． 3.体会对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且 a≠1)互为反函数. 以比较对数函数值大 小的形式考查函数的 单调性；以复合函数 的形式考查对数函数 的图象与性质，题型 一般为选择、填空题， 中低档难度. 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即 b＝log a N(a>0，且a≠1). 2.对数log a N(a>0，a≠1)具有下列性质 (1)N>0；(2)log a1＝0；(3)log a a＝1. 3.对数运算法则 (1)log a(MN)＝log a M＋log a N. (2)log a M N ＝log a M－log a N. (3)log a Mα＝αlog a M. 4.对数的重要公式 (1)对数恒等式：log a N a＝N. (2)换底公式：log b N ＝log a N log a b . 5.对数函数的图象与性质 y ＝log a x a >1 01时，y >0；当0 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：新高一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课类型 T- 对数的概念与运算性质 C- 对数的换底公式及对数恒等式 T- 对数函数的图像与性质 星 级 ★★★ ★★★ ★★★★ 教学目的 (1)理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数。 (2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)掌握对数函数这类重要的函数模型。 授课日期及时段 教学内容 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y=2x ，请问分裂多少次可以得到一万个细胞? 知识结构 1. 对数 (1)对数：如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的 ，记作x ＝ .其中a 叫做对数的 ，N 叫做 . (2)两类重要的对数 ①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，记作 ； ②自然对数：以 为底的对数称为自然对数，记作 . 注：(i)无理数e ＝2.718 28…； (ii)负数和零没有对数； (iii)log a 1＝ ，log a a ＝ . (3)对数与指数之间的关系 当a ＞0，a ≠1时，a x ＝N x ＝log a N . (4)对数运算的性质 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ① log a (MN )＝ ； ②log a M N ＝ ； ② log a M n ＝ ； ④n a M m log ＝ ； 1.(1)对数 log a N 底数 真数 (2)①10 lg N ②e ln N (iii)0 1 (3) ? (4)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M ④n m log a M 例1、求下列各式的值： (1) log 535＋2log 122－log 51 50－log 514； (2)c b b a a log ·log (a ， b 是不为1的正数， c >0)； (3)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52). 解：(1)原式＝log 535×50 14＋2log 12 21 2＝log 553－1＝2. (2)∵log a b ·log b c ＝log b c log b a ＝log a c ， 对数函数的概念及其性质 课型新授课 三维目标： 一、知识与技能 1. 掌握对数函数的概念和图象，理解并记忆对数函数的规律； 2. 把握指数函数与对数函数关系的实质. 二、过程与方法 1.培养学生的数学交流能力和与人合作的精神. 2.用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学习,渗透数形结合、 分类讨论等数学思想. 三、情感态度与价值观 1.通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有 机联系,激发学生的学习兴趣. 2.在教学过程中,培养学生观察能力、逻辑思维能力、归纳能力，分 析探究能力和解决实际问题的能力；培养学生倾听，接受别人意见 的优良品质，体验数形结合的和谐美。 教学重点： 理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质。 [解决方法] 注重指数函数与对数函数的图象和性质的对比，遵循特殊到一般的认知规律，利用特殊函数增加感性认识。 教学难点： ⑴底数a对对数函数的影响；解决方法：对比分析 ⑵定义域对对数函数的影响; 解决方法：例题剖析 教学用具： 多媒体课件（对数函数的图形变化及性质的动态演示） 三角板（列表总结性质） 学法指导： 对比研究法、发现法、归纳法、讲练结合法。 学习过程中要注意对数运算是指数运算的逆运算，对数函数与指数函数之间的关系，理解掌握对数函数的图象和性质，注意α的取值对对数函数的单调性的影响。 教学过程： 设置情境，引入新课 师：前面我们比较系统地学习了指数与对数这两种运算，那么大家回想一下，等式a b=N 可以转化为log a N=b(a＞0且a≠1,b∈R,N＞0),已知底 数a和指数求幂值N是指数问题，而已知底数a和幂值N求指数b就是我们刚学过的对数问题，并且在指、对数互化中a、b、N的范围也是一样的。下面我们来回想这样一个实例： 某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，由2个分成4个……。一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与分裂次数x的函数关系式可表示为y=2x，代入分裂次数x的值就可以求得细胞个数y了，大家还记得这个函数类型吗？ 反过来如果我们知道细胞个数y，求分裂次数x，比如一个细胞大约经过多少次分裂达到32，2000，100000…….呢?我们根据等式y=2x 把分裂次数x表示为x=log2y,如果用x表示自变量，y表示函数，那么这个函数应为y=log2x,这样得到了我们生活中又一类与指数函数有着密切关系的函数模型—对数函数，下面我们就一起来研究学习这种新函数。 新课讲授 一、对数函数的概念： 一般地，函数y＝㏒a x（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x表示自变量，定义域是（0，+∞）。 思考题：（1）为什么函数的定义域是（0，+∞）？ （2）对数函数y＝㏒a x与指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义 域,值域之间有什么关系? 例 1求下列函数的定义域 : . 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级 学员姓名： 辅导科：新高一 课 时 数： 3 ：数 学 学科教师： 授课类型 T- 对数的概念与运算性质 C- 对数的换底公式及对数 恒等式 T- 对数函数的图像与性 质 星级 ★★★ ★★★ ★★★★ 教学目的 (1)理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用 对数。 (2)理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 (3)掌握对数函数这类重要的函数模型。 授课日期及时段 教学内容 次后得到的细胞个数 y=2 x ，请问分裂多少次可以得到一万个细胞 1. 对数 (1) 对数：如果 a x ＝ N(a> 0，且 a ≠1，) 那么 x 叫做以 a 为底 N 的 ，记作 x ＝ .其中 a 叫做对 数 的 ， N 叫做 . (2) 两类重要的对数 ① 常用对数：以 为底的对数叫做常用对数，记作 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个， 4 个分裂成 8 个， ? 现有 2 个这样的细胞，分裂 某种细胞分裂时，由 ②自然对数：以为底的对数称为自然对数，记作 注： (i)无理数 e＝2.718 28 ?； (ii) 负数和零没有对数； (iii)log a1＝， log a a＝. (3)对数与指数之间的关系当 a> 0， a≠1时， a x＝ N x＝ log a N. (4)对数运算的性质 如果 a>0，且 a≠1， M>0，N>0，那么： ①log a(MN ) ＝； ②log a M n＝； 1.(1) 对数 log a N 底数真数 (2)①10 lgN ②e lnN (iii)0 1 (3)? (4)①log a M ＋ log a N ② log a M － log a N ③nlog a M ④ m n log a M 例 1 、求下列各式的值： (2)a logab·logbc(a，b 是不为1的正数，c>0)； (3)(log 2125＋log425＋log85) ·(log 1258＋ log254＋ log 52). 1 35×50 解： (1)原式＝ log5351×450＋2log122＝ log553－ ②log a M N＝ ④ log a m M n＝ (1) log 535＋ 2log 1 2－log5510－ log514； 对数函数及其图像与性质的教学案例 莆田侨职林晨 一、背景 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的参与，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式创造性思维教学对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。在实施数学新课程中，如何贯彻新课程理念，正确把握和实施中职数学教学，已成为我们每一个中职数学教师应该研究的课题。 二、教学设计思想 本节是在学生已经学过对数与常用对数以及指数函数的基础上，借助生活中典型实例引出对数函数的概念，借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让学生通过分析、推理、归纳、类比等活动过程，从中了解和体验对数函数图象和性质。因而让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 三、学生情况与教材分析 1、通过探究式创造性思维教学方法充分利用现实情景，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和flash动画等丰富学生的学习资源，生动活泼的展示图形，强调学生动手操作和主动参与。 2、教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践、自主探究与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题。 四、教学分析 1、教学目标 （1）知识目标： ①掌握对数函数的概念； ②理解并掌握对数函数的图像及性质特征 （2）能力目标： ①观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养学生观察能力； ②应用对数函数的性质解题. ③通过观察函数图像得到函数性质，加强学生数形结合思想的渗透。 2、教学重点 对数函数概念及图像与性质. 3、教学难点 对数函数图像与性质. 4、教学设计 （1）检查课前预习，培养学生的自学能力； （2）实例引入知识，提升学生的求知欲； （3）“描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质； （4）知识的巩固与练习，培养学生的思维能力. 5、教学模式：自主学习模式 . 6、教学特点：在学生预习的基础上，充分利用学案，巩固知识、熟练知识、应用知识，使所学知识学生熟练掌握. 7、教学过程： (一)创设情景 兴趣导入 设1个细胞经过y 次分裂后得到x 个细胞，则x 与y 的函数关系是2y x =，写成对数式为2log y x =，此时自变量x 位于真数位置． (二)动脑思考 探索新知 （利用对数函数概念，预设填空题检查学生预习情况，教师指导并使其掌握） 概念：一般地，形如log a y x =的函数叫以a 为底的对数函数，其中a >0且a ≠1．对数函数的定义域为(0,)+∞，值域为),(+∞-∞． 例如x y 5log =、x y 3 1log =，lg y x =都是对数函数． (三)动手操作 探索新知 2.2.1第一课时 对数的概念教案 1．对数的概念： 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b =，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数 例如：1642= ? 216log 4= ; 100102 =?2100l o g 10= 2421 = ?2 12log 4= ; 01.0102=-?201.0log 10-= 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ， 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N a N a =log ③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a N N m m a 1）1log log =?a b b a ， 2）.log log b m n b a n a m = （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备： 1. 有指对数互化的意识 由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。 例1. 已知n 3log ,m 2log a a ==，求n 3m 2a -的值。 对数函数 ①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点. ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数与对数函数互为反函数（） 一对数 1 定义：若ab=N （），则b叫做以a为底N的对数。记做b=logaN y= logax（x>0且x不等于1） 2 性质：几个恒等式（M,N,a,b都是正数，且a，b不等于1） 1 a logaN =N 2 logaaN=N logaa=N 3 logaN= logbN/ logba(换底公式) 4 logab=1/ logba 5 logambn= （n/m）logab 3 运算法则：（,M>0,N>0）； 1 loga（mn）= logaM +logaN; 2 logaM/N= logaM -logaN 3 logaMN=n logaM 4 log()=（n/m）logab 4 常用对数，自然对数：将以10为底的对数叫常用对数，记作lgN 以e=2.71828……为底的对数叫自然对数，记作ln N 5 零和负数没有对数，且loga1=0，logaa=1 6 图像（略） 7 过定点（1,0）。a>1时单调递增0 教材分析： 对数函数放在指数函数之后学习，它是指数函数的反函数，与指数函数关系密切。对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。主要考察利用对数函数的性质比较数值大小，求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。 学情分析： 对数函数是指数函数的反函数，在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系，在此基础上研究对数的相关性质。由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念、性质为主，为接下来对数函数性质的学习做铺垫。 教学目标： C 层目标1. 通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能； B 层目标2. 运用对数运算性质解决有关问题； A 层目标3. 培养学生分析、综合解决问题的能力. 教学重点：对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点：正确使用对数的运算性质. 教学过程： 一、知识梳理： 1．复习回顾 对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ();n m n mn m a a a == 2．对数运算性质 我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数 式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= MN N M a a a log log log =+∴ 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论） 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： 3.2 对数与对数函数 解读对数概念及运算 对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考． 一、对数的概念 对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ?log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ； (2)a log a N ＝N . 例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值． 解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2. 点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数． 二、对数的运算法则 常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0. (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M . 例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得 原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用． 三、对数换底公式 根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式： log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)log a b ·log b a ＝1； (2)log an b m ＝m n log a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35 . 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 3 5 ＝52log 25×12log 52＝54. 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记． 通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界． 对数换底公式的证明及应用 设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c a ，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下： 证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .* *式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得 log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N . 所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c a . 推论1：log a b ·log b a ＝1. 推论2：log an b m ＝m n log a b (a >0且a ≠1，b >0)． 例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值； (2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值． 对数函数的图像和性质 一、教学内容分析： 1、对数是学生在高一刚刚接触到的新概念，不易理解，计算的形式具有一定的复杂性. 2、以对数作为基础的对数函数是高中函数学生最不易掌握的函数类型。 3、函数是高中十分重要的概念. 其中关于定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等函数的性质应有一个整体的认识，这在学习、解决函数问题的过程中显得十分重要，应在适当的时机对学生这种函数的整体观念加以培养，这节课的学习过程是一个可以把握的机会。 二、学生分析： 1、学生从初中到高一年级接触到了一些函数和研究函数的一些方法。 2、学生对于信息技术的使用有一定的熟练程度（主要指作函数图象）。 3、学生在学习了反函数之后，有了研究新函数的一种新方法，因此，选择这节课让学生自主研究对数函数的性质。 学生可以选择描点作图的方法来研究对数函数的图像与性质，也可以选择使用教学软件来研究函数的图像与性质，还可以通过研究指数函数反函数的方法来研究对数函数的图像和性质等。 三、教学目标： 1、会画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 2、对于函数的性质与函数图像的形态之间的关系有一个初步的整体的理解，体会研究函数性质的过程中数形结合、分类讨论归纳的数学思想方法在研究问题过程中的体现。 3、培养学生对问题进行质疑的意识，培养学生在学习的过程中交流的习惯。 四、教学重点： 1、了解对数函数的定义； 2、理解研究函数图像和性质的方法； 3、能准确画对数函数的图像，理解对数函数的性质。 4、利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等。 五、教学难点： 1、对数函数图像的准确作图； 2、准确得到对数函数的性质，并利用对数函数的性质解决一些简单的问题。 六、教学活动： 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 《指数函数与对数函数的关系》教案 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系，归纳出互为反函数的概念，通过指数函数图象与对数函数图象的关系，总结出互为反函数的图象间的关系，体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ，而把这个函数的自变量作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时，在区间[1，＋∞)内，指数函数y ＝a x 随着x 的增加，函数值的增长速度 逐渐加快 ，而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数，对于等式a t ＝s ，若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ，若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系，我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么，它们的定义域和值域有怎样的关系？ 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时，当x 分别取－3，－2，－1，0，1，2，3这6个数值时，对应的y 值分别是什么？ 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时，当x 分别取18，14，12 ，1，2，4，8时，对应的y 值分别是什么？ 问题4综合问题2、问题3的结果，你有什么感悟？ 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象，能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，那对数函数 优秀教案
对数及对数函数教案
2019-2020年高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A版
对数函数优秀教案
对数函数图象的与性质教学设计
对数与对数函数教学设计高三复习课
对数函数公开课教案
高中数学精讲教案-对数与对数函数
q (3)已知 ［解析］ 图象，如图所 a>0， (1)在同一直角坐标系下画岀函数
高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教案文含解析新人教A版
对数与对数函数教案
对数函数的概念及其性质教案
对数与对数函数教案
(完整版)对数函数教学案例
高中数学必修一对数及对数函数
对数与对数函数复习教案
浙江省衢州市仲尼中学高三数学一轮复习 对数与对数函数2教案
对数与对数函数教案
对数函数教学设计
《指数函数与对数函数的关系》教案新部编本
相关主题
文本预览