数学发展简史
数学发展简史 数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前5 世纪——公元17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前5 世纪——公元17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》 托勒密——三角学
丢番图——不定方程 2．东方（公元2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元8 世纪）——印度数码、有0；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）
数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法 奥马尔．海亚姆
数学史复习资料
一、单项选择题 1.关于古埃及数学的知识，主要来源于( )。 A.埃及纸草书和苏格兰纸草书 B.兰德纸草书和莫斯科纸草书 C.莫斯科纸草书和希腊纸草书 D. 兰德纸草书和尼罗河纸草书 2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。 A.爱奥尼亚学派 B.伊利亚学派 C.诡辩学派 D.毕达哥拉斯学派 3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。 A.《九章算术》 B.《孙子算经》 C.《周髀算经》 D.《缀术》 4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。 A.中国 B.印度 C.阿拉伯 D.古希腊 5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( )。 A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 8.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 11.射影几何产生于文艺复兴时期的( ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术 D.绘画艺术 12.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是( ) A.牛顿 B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 13.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波尔约是( )
13年《基础代数》复习题
基础代数》复习题 0.概念：群中元素的阶数； 正规子群； 商群；单群；(左、右) 理想；商环；分式环；整环；环的特征；模；域；代数元； (1)写出所有不同构的 18、 36 阶交换群。 写出所有不同构的p 2 阶群,P 为奇素数。 (1)证明 56 阶群有正规的 Sylow 2-子群或者有正规 的 Sylow 7- 子群。 2)证明 p 2q 阶群不是单群。 3)设是 p, q 是不同的素数， 证明 pq 阶群都有正规的 Sylow 子群. 4. 证明任意 2p 阶群都同构于循环群或者二面体群。 5．判断下面的命题是否正确？对正确的请加以证明；对不 正确的请举出反例说明。 (1)在有限群中，如果 a 与b 共轭，c 与d 共轭，那么ac 与 bd 共轭。 (2)如果H 是G 的正规子群，K 是H 的正规子群，那么K 是 G 的正规子群。 ⑶ 设Z(G)是有限群G 的中心，并且G/Z(G)是循环群，那 么 G 是交换群。 (4)设G 是有限群，那么对它的阶数|G|的每个因子n, G 都 有n 阶子群。 1． 求二面体群的全部子群、正规子群。 2． 3．
(5)设G是有限群，G的任意指数为2、3的子群都是G的 正规子群。 6.用GL(n,q)和SL(n,q)分别表示有限域 GF(q)上n维向量 空间上全体可逆线性变换、行列式为1的全体可逆线性变换所构成的群.O (1)分别求GL(n,q)和SL(n,q)的阶数。 (2)分别求GL(n,q)和SL(n,q)的中心。 7.设M2(F)是域F上全体2级矩阵按矩阵的加法、乘法所构 成的环。 (1)求M2(F)的所有左理想和右理想。 ⑵求M2(F)的所有理想。 &设G是有限群，P是其阶数|G|的最小素因子，证明 任意指数为P的子群都是G的正规子群。 9 .设G是有限群，如果Aut G = 1 ,那么G的阶数为1 10.求5次交错群、4次对称群的所有不共轭的子群 11叙述群同态基本定理、Sylow定理、同构定理. 12.试给出G的子群H是正规子群的几个等价条件 13求在模18剩余类环乙8 中的所有零因子、幕零元 14设G是有限群，P是其阶数|G|的最小素因子，证明任意阶数为P 的正规子群包含在 G的中心中。 15设a是有限域F=GF(2)上多项式x3+x + 1的根， (1)求扩域F(a)作为有限域F上线性空间的一组基; (2)化简(a4+a3+a2+a+1)(a中1)Section A 之所以不把二氧化碳列为污染物，是因为二氧化碳是大气的天然成份，植
线性代数发展简史
华北水利水电学院 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级：2012084 成员组成：201208420 联系方式：************ 2013年11月6日 摘要：线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 关键词：行列式，矩阵，，，， 正文：线性代数的发展简史 引言 代数学可以笼统地解释为关于字母运算的学科。在中学所学的初等代数中，字母仅用来表示数。初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数学在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时，还研究次数更高的一元方程及多元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。线性代数是高等代数的一大分支，是研究如何求解线性方程组而发展起来的。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等。在线性代数中，字母的含义也推广了，不仅用来表示数，也可以表示行列式、矩阵、向量等代数量。笼统地说，线性代数是研究具有线性关系的代数量的一门学科。线性代数不仅在内容上，更重要的是在观点和方法上比初等代数有很大提高。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但从数学史上来看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。行列式出现于线性方程组的求解。行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家、微积分学奠基人之一莱布尼兹(Leibnitz)。1750 年克莱姆(Cramer)在他的《线性代数分析导言》中发表了求解线性方程组的重要基本公式(即人们熟悉的Cramer 克莱姆法则)。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848 年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。1855 年矩阵代数得到了Arthur Cayley 的工作培育。Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换ST 的系数矩阵变为矩阵S 和矩阵T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由Cayley 在1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论，数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既v x w 不等于w x v ）的向量代数是由Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（Die lineale Ausdehnungslehre ）一书中提出的。(1844) 。
数学史资料
§5.2阿拉伯数学 5.2.1阿拉伯文明概况 阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，是穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作。 穆斯林在默罕莫得（mohammed）的鼓舞下，在默罕莫得死后（632）不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。661年，叙利亚总督摩阿维亚(muawiyah)被选为哈里发后改为世袭制,开始了倭马亚王朝(umayyads, 661-750).755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。750年阿布尔·阿拔斯(abū'l-abbās,722-754)推翻倭马亚王朝，建立了东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。756年，逃亡到西班牙的倭马亚王朝后裔阿卜杜·拉曼(abdal-rahmān) 宣告建立西部阿拉伯王国，定首都西班牙的哥尔多华。909年，伊斯兰什叶派脱离巴格达，在北非突尼斯建立一个新的哈里发国家，973年迁都埃及开罗。 11世纪开始，阿拉伯帝国受到外民族的侵略，11世纪初东亚突厥人一支的塞尔柱(seljuk)人入侵阿拉伯，并于1055年在巴格达建立素丹政权；1097年十字军东征，开始了基督教欧洲对穆斯林亚洲的征服；1258年，蒙古人旭烈兀(1219-1265)占领巴格达，建立伊儿汗国，从此阿拉伯帝国灭亡。 在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与艺术事业，他们曾经从拜占庭帝国收买过大量希腊人手稿，他们还延请各地科学家到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心与商业中心，那里设有学院、图书馆、天文台等科学机构。6世纪柏拉图学院被罗马王封闭后，很多希腊学者转入波斯，这样具有希腊学术传统的波斯文化后来成为阿拉伯文化的一部分。埃及的亚历山大里亚城曾是希腊的学术中心，被阿拉伯征服后，也成为留给阿拉伯人的重要文化遗产，而且叙利亚学派所在的安提阿、大马士革与基督教景教派所在地以得撒，都在阿拉伯帝国的统治下。这样阿拉伯获得印度、希腊、近东等多地区的文化，大多来源于希腊人的手稿或叙利亚与希伯来文译本。今天的研究表明，中国的文化也曾直接流入阿拉伯，或通过印度间接传播阿拉伯世界。 在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右传入巴格达，并译成阿拉伯文，8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后都被译成阿拉伯文字。9世纪最著名翻译家，阿拉伯学者伊本·科拉（Tabit ibn Qorra,836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作。到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。
数学发展简史
数学发展简史 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。 一、数学形成时期（——公元前 5 世纪） 建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。 二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪） 也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几 何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪） 毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》 阿基米德——面积、体积 阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》
托勒密——三角学 丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国 西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》 魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 天元术、正负开方术——高次方程数值求解； 大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度 现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法） 数学与天文学交织在一起 阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年） 开创弧度制度量 婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵 婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪） 花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。 阿布尔．维法
数学史
①宋元四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰 ②欧拉：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》。 ③莱布尼茨：微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，简称《新方法》； 积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》 ④克莱因：《爱尔朗根纲领》：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变 的性质的学问，或者说任何一种的集合学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 ⑤微积分的形成、发展和完善：形成：牛顿主要著作《运用无限多项方程的分析》、《流 线法与无穷级数》、《曲线求积分》、《流线简论》；莱布尼茨主要著作：《新方法》、《深奥的几何与不可分量及无限的分析》；发展：欧拉著作：《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》；完善（严格化）：柯西发表《分析教程》、《无限小计算教程概论》，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号，这种严格化的突出表现是创造了一套（）语言，用以重建分析体系；它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数微分、收敛积分等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。 ⑥数学三次危机：1、无理数的发现 2、无穷小是零吗？ 3、悖论的产生 ⑦哥德巴赫的猜想：他的假设相当于：每个偶数是两个素数之和，每个奇数是三个素数 之和。这就是著名的哥德巴赫猜想，用语言来叙述，分两部分内容，第一部分叫奇数的猜想，第二部分叫偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数之和；偶数的猜想指出，任何一个大于等于4的偶数都是两个素数之和。 ⑧《九章算术》包括哪些内容：一：算术方面. 分数四则运算法则、比例算法、盈不足 术。二：代数方面. 方程术、正负术、开方术。三：几何方面. 面积计算、体积计算、勾股定理。 ⑨数学发展中心的迁移：公元前600年---公元前后：古希腊。公元前后---公元14世纪： 中国、印度、阿拉伯。15世纪---17世纪，意大利、法国。17世纪---18世纪：英国。 18世纪---19世纪前半：法国、德国。19世纪后半---20世纪30年代：德国、法国。
高等代数学习报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除 高等代数学习报告 篇一：高等代数期末论文学习总结 高等代数学习总结 摘要:两学期的高等代数已经接近尾声了，高等代数作为数学专业的基础学科之 一。本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。关键词: 行列式矩阵二次型 正文: 《高等代数》是数学学科的一门传统课程。在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用 性的今天，《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础，是大学数学各个专业的主干基础课程。它是数学在其它学科应用的必需基础课程，又是数学修养的核心课程。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引
进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。通过学习后，我们知道，不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。 在学习之前，我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍，因为大一的时候线性代数学得不深，而且也没有学完。经过两学期的学习后，我发现，这两者之间区别还是挺大的。高等代数数学专业开设的专业课，更注重理论的分析，需要搞懂许多概念是怎么来的，而线性代数，只是一种运算工具，是供工科和部分医科专业开设的课程，只注重应用。 经过两学期的学习，我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触，特别是代数的一些思想，也从中收获不少。下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。行列式行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具，而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域 定义：设A=（??????）为数域F上的n×n矩阵，规定A的行列式为
代数学基础学习笔记
代数学基础学习笔记 第一章 代数基本概念
习题解答与提示(P54)
1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab) =a b ,则 G 为交换群. 证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab) =a(ba)b, a b =a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G 为交换群.
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2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a =e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab) =ba(ab)(ab) =ba b(ab)=beb(ab)=b (ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2] 对任意 a,b G, a b =e=(ab) , 由上一题的结论可知 G 为交换群.
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代数学基础学习笔记
3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合 条件: (1) (2) (3) a(bc)=(ab)c; 由 ab=ac 推出 a=c; 由 ac=bc 推出 a=b;
证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1] 设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2) 可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得 akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得 asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.
下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思
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数学的发展历史
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
关于高等代数与数学分析的学习体会
高等代数与数学分析的学习体会 摘要：作为数学系的学生，高等代数和数学分析，是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。同时它们也是数学中最基础的两门课程，几乎所有的后学课程都要用到它们。在本文中，我就自己对这两门课程的基本内容，学习体会，以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。 高等代数部分 基本内容： 在谈自己对高等代数的学习体会之前，我想先回顾一下高等代数的基本内容。我们大一所学习的高等代数，主要包括两部分：多项式代数和线性代数。 其中线性代数部分又可以分成：行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换， —矩阵，欧几里得空间，双线性函数与辛空间等一些章节。而在这些章节中，又是以向量理论，线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。 如果和以前学过的初等代数相比，我觉得，高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 简单体会： 记得大一刚学习高等代数的时候，那时感觉自己真的学得云里雾里，因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。但是通过不断地对它的学习，慢慢地开始有好转，开始感觉它不再那么陌生，并对它有了初步的认识。而当我学完抽象代数之后，我发现自己对高等代数的有了更好的理解。其实高等代数中的每个不同的章节，都是由一个集合再加上一套运算规则，进而构成的一个代数结构。 例如，第一章多项式，我们所有的讨论都是在某个数域P上的一元多项式环中进行。其中的某个数域P中的一元多项式全体，就相当于某个集合，在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则，就构成了一个代数结构。 因为高等代数具有这种结构，所以在学习每种代数结构时，我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。因此，在高等代数学习中对每种代数
代数学基本定理
代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。 代数学基本定理说明，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根。 由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。 有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。 尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在[1] 。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。 2证明历史 代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P. 塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。 该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下： 设为n次实系数多项式，记，考虑方根： 即与 这里与分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出，即，因此z0便是方程的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。 高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。 3证明方法 所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。 定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式 就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。 许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z| > R时，就有： 复分析证明
代数学符号发展的历史
代数学符号发展的历史 代数是一门具有丰富内容并且与现实世界、学生生活、其他学科联系十分密切的学科，同时代数也是一门基础的数学学科，它为数学本身和其他学科的研究提供了语言方法和手段.是谁最先用字母表示数呢？系统地使用字母表示数的最主要的人是法国的数学家韦达（F.Vieta,1540-1603）. 代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡儿改进后成为现代的形式。 “＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡儿第一次使用了根号，并引进用字母表中前面的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。
近代西欧各国的数学史
是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多，断代史和分科史的研究也逐渐展开，1945年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 通史研究 古希腊数学史 古埃及和巴比伦数学史 断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》（1926～1927）一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到1978年法国数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究，可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念，即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。” 历代数学家的传记 以及他们的全集与《选集》的整理和出版这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。
专业性学术杂志
古代 现当代 介绍 <<；九章算术>>；是中国现存的一部最古老的数学书。作者不详。初步考证，大约成书于东汉初期。此书采用问题集的形式，搜集了二百四十六道与生产实践相联系的应用问题及其解法，依照问题的性质和解法，分别隶属於方田，栗米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程及句股九章。 随着社会的发展，社会生产力的逐渐提高，从而促进了数学的发展。<<；九章算术>>；就是记载了古代劳动人民在生产实践中总结出来的数学知识。它不但开拓了中国数学的发展道路，在世界数学发展中也占有及其重要的地位。 《九章算术》的历史 魏，晋时代，刘徽对<<；九章算术>>；作过注解（以下简称为刘注)。唐初，李淳风（？-714）也作过注解（以下简称为李注)。有刘，李注文的<<；九章算术>>；，在宋代有北宋元丰年间的刻本，南宋嘉定年间的刻本。清初，这两种刻本都逐次散失。流传到今的只有上海图书馆保存的南宋残本和故宫博物院所藏这残本的抄本。 清代，戴震（1724-1777）对於由<<；永乐大典>>；抄录出来的<<；九章算术>>；作过校订（以下简称为戴校本)之后，便依次刊刻成四库馆本，武英殿本以及微波榭本。后来还有万有文库本，丛书集成本和四部丛刊本等。为了恢复隋，唐时期的<<；九章算术>>；，一九六三年中华书局出版了天算史专家钱宝琮（1892-1974）校点的<<；算经十书>>；本。 刘徽除注解<<；九章算术>>；外，还编著<<；海岛算经>>；一书。由於资料所限，其籍贯身世，生卒年月则无可详考。只能根据不多的一些记载断定他是魏，晋时代淄乡（今山东临淄或淄川一带)人。 刘徽在<<；九章算术>>；注解中，“析理以辞，解体用图”，不但给出明确的概念，导出正确的理论，而且还有很多创造发明。从而取得了不可磨灭的功绩。可以看出，刘徽在数学
高等代数教学大纲
中国海洋大学本科生课程大纲 课程属性：学科基础 课程性质：必修 一、课程介绍 1.课程描述： 高等代数是数学科学学院各专业的重要专业必修基础课，是学习其它数学课程的主要先修课之一。高等代数的内容主要包含两个模块：第一模块，方程和方程组的求解问题，主要内容有：多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型；第二模块，线性空间相关理论，主要内容有：线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧几里得空间。高等代数内容包含理工科所开设的线性代数的主要内容。 2.设计思路： 开设高等代数课程的目的是：一方面，使数学院本科生在中学所学初等代数的基础上继续学习更加高深的代数学知识，使其掌握系统的经典代数内容，为学习其它数学课程（如数值代数、近世代数、计算方法等等）提供坚实的代数基础知识；另一方面，通过本课程的学习，逐步培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生在数学思想、数学方法方面的修养。 19世纪以前的代数研究内容主要是解方程和方程组以及由此产生的相关理论，称为经典代数；19世纪以后的代数主要研究一些抽象代数结构，如群、环、域、模等，称为抽象代数或近世代数。高等代数课程的内容主要是经典代数内容，涵盖学习其它数学课程所要求的基本的代数基础知识。 - 2 -
高等代数的内容基本按照经典代数的发展编排的，主要有两条主线：第一，方程和方程组求解问题，第二，线性空间相关理论。第一条主线的主要内容有：多项式理论——对应高次方程，其求解需要降次，需研究多项式的因式分解；行列式理论——求解线性方程组的主要工具之一；线性方程组理论——解的判定与求法；矩阵理论——解线性方程组时用到的矩阵运算与性质；二次型理论——二次齐次方程的化简与对称矩阵。第二条主线的主要内容多是解析几何中内容的推广，主要有：线性空间——几何空间的推广与抽象；线性变换——线性空间中点的运动的描述；λ-矩阵——证明线性变换的矩阵与其标准形相似；欧几里得空间——带有长度、夹角与距离等度量性质的线性空间，是几何空间的推广。 3.课程与其他课程的关系： 先修课程：无； 并行课程：数学分析、空间解析几何； 后置课程：近世代数。高等代数与近世代数内容恰好实现对接，完整体现了代数学的基本内容，联系密切。 二、课程目标 本课程目标是：一方面使学生系统地掌握经典代数的内容，包括多项式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等，为学习其它数学课程打下坚实的代数知识基础；另一方面，通过本课程的学习，培养学生的数值计算能力、逻辑分析能力和抽象思维能力，提高学生运用数学思想、数学方法分析问题、解决问题的能力。 到课程结束时，学生应达到以下几方面要求： （1）知识掌握良好。会判断多项式的可约性，能计算两多项式的最大公因式；会计算行列式；会判定线性方程组是否可解，掌握线性方程组解的结构；熟练掌握矩阵的各种运算；可将二次型化为标准形；掌握线性空间基底理论以及子空间的运算；会写线性变换的矩阵，会判定矩阵是否对角化、准对角化，并能求出其相应对角形与准 - 2 -
初中代数基础知识试题-123
一、 填空题 1． 一个数等于它倒数的4倍，这个数是__________. 2． 已知：| x | = 3，| y | = 2，且 xy ＜0，那么 x + y =__________. 3． 16的平方根是_________. 4． 用四舍五入法，对200626取近似值，保留四个有效数字是2006261≈_________. 5． 如果 a = 1 +2，b=211 -，那么a 与b 的关系是_________. 6． 如果单项式 b y x 2223与87y x a -是同类项，那么=+b a _________. 7． 若代数式1 ||)1)(2(-+-x x x 的值为零，那么x 的取值应为_________. 8． 某商品原价为 a 元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场 物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是_________. 9． 计算：=?÷4 21245])[(a a a __________. 10． 因式分解：a 3 + a 2b – ab 2 – b 3 =_________. 11． 在实数范围内分解因式：9x 2 + 6x – 4 =________. 12． 化简：=+-÷-b a b a b ab 2 22 )(____________. 13． 化简：=---n m n m 1)(____________. 14． 计算：=--12134 ____________. 15． 如果| y – 3 | + (2x – 4)2 = 0,，那么2x – y =____________. 16． 如果 x = 1是方程x 2 + kx + k -5 = 0的一个根，那么 k =____________. 17． 若???-==25y x 是方程组? ??==+n xy m y x 的一个解，那么这个方程组的另一个解是____________. 18． 分式方程11 14=--x x 的解是____________. 19． 分式方程25211322=-+-x x x x ，设y x x =-1 2，那么原方程可化为关于y 的整式方程是____________. 20． 无理方程x x =-2的解是____________.
