变量之间的相关关系
[自我认知]:
1. 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 ( )
A. 小麦产量与施肥值
B. 球的体积与表面积
C. 蛋鸭产蛋个数与饲养天数
D. 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
2. 下列变量之间是函数关系的是 ( )
A. 已知二次函数2y ax bx c =++,其中a ,c 是已知常数,取b 为自变量,因变量是这个函数的
判别式：24b ac ?=-
B. 光照时间和果树亩产量
C. 降雪量和交通事故发生率
D. 每亩施用肥料量和粮食亩产量
3．下面现象间的关系属于线性相关关系的是 ( )
A. 圆的周长和它的半径之间的关系
B. 价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C. 家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D. 正方形面积和它的边长之间的关系
4．下列关系中是函数关系的是 ( )
A. 球的半径长度和体积的关系
B. 农作物收获和施肥量的关系
C. 商品销售额和利润的关系
D. 产品产量与单位成品成本的关系
5．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 ( )
A. 角度和它的余弦值
B. 正方形边长和面积
C. 正n 边形的边数和它的内角和
D. 人的年龄和身高
6．下面哪些变量是相关关系 ( )
A. 出租车费与行驶的里程
B. 房屋面积与房屋价格
C. 身高与体重
D. 铁的大小与质量
7．下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是 ( )
A. 瑞雪兆丰年
B. 上梁不正下梁歪
C. 吸烟有害健康
D. 喜鹊叫喜,乌鸦叫丧
8. 在回归直线方程中,b 表示 ( )
A. 当x 增加一个单位时,y 增加a 的数量
B. 当y 增加一个单位时, x 增加b 的数量
C. 当x 增加一个单位时, y 的平均增加量
D. 当y 增加一个单位时, x 的平均增加量 班次 姓名
9. 回归方程为 1.515y x =-,则 ( )
A. 1.515y x =-
B. 15是回归系数a
C. 是回归系数a
D.10x =时0y =
10.工人月工资（x 元）与劳动生产率(x 千元)变化的回归直线方程为?5080y
x =+,下列判断不正确的是 ( )
A ．劳动生产率为1000元时,工资为130元
B. 劳动生产率提高1000元时,则工资提高80元
C. 劳动生产率提高1000元时,则工资提高130元
D. 当月工资为210元时,劳动生产率为2000元
11.有关线性回归的说法中,不正确的是 ( )
A. 相关关系的两个变量不是因果关系
B. 散点图能直观地反映数据的相关程度
C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D. 任一组数据都有回归方程
12.设有一个回归方程为?2 1.5y
x =-,则变量x 增加一个单位时 ( ) A.y 平均增加单位 B. y 平均增加2单位
C. y 平均减少单位
D. y 平均减少2单位
13.回归直线方程必定过 ( )
A. ()0,0点
B. (),0x 点
C. ()0,y 点
D. (),x y 点
14．2003年春季,我国部分地区SARS 流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制,下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS 治愈者数据,以及根据这些数据绘
制出的散点图
下列说法①根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系；
②根据此散点图,可以判断日期与人数具有一次函数关系.
其中正确的个数为 ( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D.以上都不对
第二章统计测试题（A组）
一、选择题 (每小题5分,共50分)
1. 某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学
生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是( )
A. 1000名学生是总体
B. 每个学生是个体
C. 100名学生的成绩是一个个体
D. 样本的容量是100
2. 对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N
为( )
A. 150
B. 200
C. 100
D. 120
3．某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔3分钟从传送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是( )
A. 简单随机抽样
B. 系统抽样
C. 分层抽样
D. 其它抽样方法
4. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调
查产品销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①；在丙
地区有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况,记这项调查为
②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( )
A. 分层抽样法,系统抽样法
B. 分层抽样法,简单随机抽样法
C. 系统抽样法,分层抽样法
D. 简单随机抽样法,分层抽样法
5. 我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分
层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( )
A. 45,75,15
B. 45,45,45
C. 30,90,15
D. 45,60,30
6. 频率分布直方图中,小长方形的面积等于 ( )
A. 相应各组的频数
B. 相应各组的频率
C. 组数
D. 组距
7. 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过70分的人数
为8人,其累计频率为,则这样的样本容量是 ( )
A. 20人
B. 40人
C. 70人
D. 80人
8. 某农科所种植甲、乙两种水稻,连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验,试验得出平均
产量是x
甲=x
乙
=415㎏,方差是2s甲=794,2s乙=958,则产量比较稳定的是 ( )
A. 甲
B. 乙
C. 甲、乙一样稳定
D. 无法确定
9．下面现象间的关系属于线性相关关系的是( ).
A. 圆的周长和它的半径之间的关系
B. 价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C. 家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D. 正方形面积和它的边长之间的关系
10.有关线性回归的说法中,下列不正确的是( )
A. 相关关系的两个变量不是因果关系
B. 散点图能直观地反映数据的相关程度
C. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D. 任一组数据都有回归方程
二、填空题 (每小题5分,共20分)
11.从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体,假定其中每个个体被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________.
12.一个容量为n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别是40,,则n =__ _.
13.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组. [),a b 是其中的一组,抽查出的个体在该组上的频率为m,该组上的直方图的高为h,则||a b -=_________.
14.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出50条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______________条鱼.
三、解答题 (每小题10分,共30分)
15.一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取？
16.若1x ，2x ，…n x ，和1y ，2y ，…n y 的平均数分别是x 和y ，那么下各组的平均数各为多少。 ①21x ，22x ，…2n x ;②1x +1y ，2x +2y ，…n x +n y ;③1x +a ，2x +a ，…n x +a （a 为常数）
20.某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
第 二 章 统计测试题（B 组）
一.选择题
1. 抽样调查在抽取调查对象时 ( )
A. 按一定的方法抽取
B. 随意抽取
C. 全部抽取
D. 根据个人的爱好抽取
2. 对于简单随机抽样,下列说法中正确的命题为 ( ) ①它要求被抽取样本的总体的个数有限,以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取,以便在抽取实践中进行操作；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等概率抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时,各个个体被抽取的概率相等,而且 在整个抽样检查过程中,各个个体被抽取的概率也相等,从而保证了这种方法抽样的公平性.
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④
3. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品的销售情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查研究为⑴；从丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调
查为⑵.则完成⑴、⑵这两项调查宜采用的抽样方法依次是 ( )
A. 分层抽样法,系统抽样法
B. 分层抽样法,简单随机抽样法
C. 系统抽样法,分层抽样法
D. 简单随机抽样法,分层抽样法
4. 某小礼堂有25排座位,每排有20个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了学生,会后为了了解有关情况,留下了座位号是15的所有的25名学生测试.这里运用的抽样方法是 ( )
A. 抽签法
B. 随机数表法
C. 系统抽样法
D. 分层抽样法
5. 我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( )
A. 45,75,15
B. 45,45,45
C. 30,90,15
D. 45,60,30
6. 中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励,要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众.现采用系统抽样法抽取,其组容量为 ( )
A. 10
B. 100
C. 1000
D. 10000
7. 对总数为n 的一批零件,抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的可能性为25%,则实数n 为 ( )
A. 150
B. 200
C. 100
D. 120
8. 某中学有高级教师28人,中级教师54人,初级教师81人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为36的样本,最适合抽取样本的方法是 ( )
A. 简单随机抽样
B. 系统抽样
C. 分层抽样
D. 先从高级教师中随机剔除1人,再用分层抽样.
9. 一个容量为35的样本数据,分组后,组距与频数如下[)5,10：5个；[)10,15：１２个；[)15,20：7个；[)20,25：5个；[)25,30：4个；[)30,35：
2个.则样本在[)20,+∞区间上的频率为( ) A. 20% B. 69% C. 31% D. 27%
10.在用样本估计总体分布的过程中,下列说法正确的是 ( )
A. 总体容量越大,估计越精确
B. 总体容量越小,估计越精确
C. 样本容量越大,估计越精确
D. 样本容量越小,估计越精确
11.下列对一组数据的分析,不正确的说法是 ( )
A. 数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D. 数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
12.下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( )
A. 正方体的棱长和体积
B. 单位圆中角的度数和所对弧长
C. 单产为常数时,土地面积和总产量
D. 日照时间与水稻的亩产量
13.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是 ( )
A. 都可以分析出两个变量的关系
B. 都可以用一条直线近似地表示两者的关系
C. 都可以作出散点图
D. 都可以用确定的表达式表示两者的关系
14.观察新生儿的体重,其频率分布直方图如图,则新生儿体重在[)2700,3000的频率为 ( )
A. 0.001
B.
C.
D.
二、填空题
15.若总体中含有1650个个体,现在要采用系统抽样,从中抽取一个容量为35的样本,分段时应从总体中随机剔除__________个个体,编号后应均分为________段,每段有________个个体.
16.某工厂生产的产品用传送带将其送入包装车间之前,质检员每隔5分钟从传送带某一位置取一件产品检测,则这种抽样方法是_____________.
17.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品,产品数量这比依次为1600,1600,4800.现用分层抽样的方法抽出一个容量为N 的样本,样本中A 种型号的产品共有16件,那么此样本的容量N=__________件.
18.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出50条鱼,其
中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______________条鱼.
辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示,则时速在[)50,60的汽车大约有______________辆.
体重(克)
_
三、解答题
20.某校500名学生中,O 型血有200人,A 型血有125人,B 型血有125人,AB 型血有50人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本.按照分层抽样方法抽取样本,各种血型的人分别多少？写出抽样过程.
40 60 70 50 80
时速
第
二 章 统 计
变量之间的相关关系
1．B 2．A 3．C 4．Ａ
第 二 章 统计测试题（A 组）
一、选择题 DDBBD BAACD
二、填空题 11. 12. 320 13. m/h 14. 750
三、解答题
15. 解：抽取人数与职工总数的比是100:500=1:5,则各年龄段(层)的职工人数依次是
125:280:95=25:56:19,然后分别在各年龄段(层)运用简单随机抽样方法抽取.
所以,在分层抽样时,不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56
人和19人.
16. ①2x ②x y + ③x a +
17. 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如下图：
甲 乙
5 6
5 6 1 7 9
8 9 6 1 8 6 3 8
4 1
5 9 3 9 8 8
7 10 3 1
0 11 4
从这个茎叶图上可看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是99；甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是89.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好. 第 二 章 统计测试题（B 组）
一、选择题
二、填空题
15. 5,35,47 16.系统抽样
三、解答题
20.解：用分层抽样方法抽样,O型血抽8人,A型血抽5人,B型血抽5人,AB型血抽2人,各种血型的抽取可用简单随机抽样(如AB型)或系统抽样(如A型),直至取容量为20的样本.
2.3 变量间的相关关系导学案（1） 编制： 唐玉辉 审核人：张士国 【教学目标】 1. 理解两个变量的相关关系的概念 2. 会画散点图，并利用散点图判断两个变量是否具有相关关系 3. 理解最小二乘法原理，会求回归直线方程． 【教学重难点】 教学重点：理解两个变量的相关关系的概念，会画散点图 教学难点：理解最小二乘法原理，会求回归直线方程． 【知识梳理】 1.两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 特征 两变量关系确定 两变量关系带有随机性 2.散点图 将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在 中得到的图形． 3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也 ，这种相关称为正相关． (2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值 ，这种相关称为负相关． 二、两个变量的线性相关 1．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线称为 。 2.最小二乘法 设x 、Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx .当x 取值x i (i ＝1,2，…， n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了 y i 与 纵坐标之间 的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝ 作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法． 3．回归直线方程的系数计算公式 (注：回归直线一定过平均值（y x ,）点) 回归直线方程 回归系数 系数a ^的计算公式 方程或公式 y ^＝a ＋bx a ^＝y －－ b ^x －
广东惠州市高一数学《23变量间的相关关系（2）》学案 【学习目标】 1 ?能正确绘制散点图； 2 ?会应用最小二乘法求回归方程，并理解回归直线的预报功能. 【重点难点】 1. 应用最小二乘法求回归方程； 2.比较深刻地体会回归直线的预报 功能. 【使用说明及学法指导】 1 .结合预习案阅读课本P 84 F 89及“优化训练” P 46巴9 ,再顺次完成其它部分. 2. 本课必须牢记的内容：散点图、正相关、负相关、回归直线、最小二乘法的有关概念. 预习案 一、知识梳理 1 .在散点图中，如果数据点大致分布在一条直线附近，就称两个变量具有 ___________ 关系. 这条直线叫做 ______________ ，它的方程叫做 ________________ . 对具有 ___________ 的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。 2 .最小二乘法： _______________________________________________________________________ . b 3. 根据最小二乘法，回归方程 ? bx 召中的?, b?由下列公式给出： a 二、问题导学 1. 对于课本所给公式②，你能明白数学符号的具体含义吗？ 2. 获得实验数据后，我们首先应做什么事情？如果两变量具有什么关系时，我们才应用最小 二乘法？应用最小二乘法时，你有什么方法能保证运算的准确度? 、预习自测 1.变量y 与x 之间的回归方程（ A .表示y 与x 之间的函数关系 B . 表示y 与x 之间的不确定关系 C.反映y 与x 之间真实关系的形式 D . 反映y 与x 之间的真实关系达到最大限度的吻合 2.线性回归直线？ bx ?必过点（ ) A . 0,0 B . x,0 C . 0,y D .x, y 3. _________________________________________________________________ 对于回归方程 ? 4.75x 257，当x 28时，y 的估计值是 ______________________________________ ;若x 增加一个 单位，则预计y 将 _____________ （填“增加”或“减小” ） _______ 个单位。 4.
变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧
第五节 变量间的相关关系、统计案例 知识梳理 1．散点图． (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________． (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合． 答案：1.（1）散点图 2．相关关系． (1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________． (2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关 3．回归直线． (1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^ 就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i －y ∑i ＝1 n x i －x 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x ·y ∑i ＝1 n x 2 i －n x 2 ，a ^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； (2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下
变量间的相关关系 一、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。 教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章 3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标 1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 2 、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。 三、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 四、教学设计） （一）、创设情境导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 （二）、初步探索，直观感知 1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 一个点。
2.3 变量间的相关关系 一、选择题 1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（ ） A 、角度和它的余弦值 B 、正方形边长和面积 C 、正n 边形的边数和顶点角度之和 D 、人的年龄和身高 2、下列变量之间的关系是函数关系的是（ ） A 、已知二次函数,2 c bx ax y ++=其中a,c 是已知常数，取b 为自变量，自变量和这个函数的判别式ac b 42-=? B 、光照时间和果树亩产量 C 、降雪量和交通事故发生率 D 、每亩施用肥料量和粮食亩产量 3、近十年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下（单位：亿元）： 建立社会商品零售总额y 与职工工资总额x 的线性回归方程是（ ） A 、y=2.7991x —23.5494 B 、y=2.7992x —23.5493 C 、y=2.6962x —23.7493 D 、y=2.8992x —23.7494 4、对于回归分析，下列说法错误的是（ ） A 、在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B 、线性相关系数可以是正的或负的 C 、回归分析中，如果2r =1或2r =±1，说明x 与y 之间完全线性相关 D 、样本相关系数r ∈(-1,+1) 5、有一组观测值有22组，则与显著性水平0、05相应的相关系数临界值为（ ） A 、0、404 B 、0、515 C 、0、423 D 、0、537 6、下列说法中正确的是（ ） A ．任何两个变量都具有相关关系 B ．人的知识与其年龄具有相关关系 C ．散点图中的各点是分散的没有规律 D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的
相关系数是变量之间相关程度的指标。样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值一般介于-1～1之间。相关系数不是等距度量值,而只是一个顺序数据。计算相关系数一般需大样本. 相关系数又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。 相关系数用希腊字母γ表示，γ值的范围在-1和+1之间。 γ＞0为正相关，γ＜0为负相关。γ＝0表示不相关； γ的绝对值越大，相关程度越高。 两个现象之间的相关程度，一般划分为四级： 如两者呈正相关，r呈正值，r=1时为完全正相关；如两者呈负相关则r呈负值，而r=-1时为完全负相关。完全正相关或负相关时，所有图点都在直线回归线上；点子的分布在直线回归线上下越离散，r的绝对值越小。当例数相等时，相关系数的绝对值越接近1，相关越密切；越接近于0，相关越不密切。当r=0时，说明X和Y两个变量之间无直线关系。 相关系数的计算公式为<见参考资料>. 其中xi为自变量的标志值；i＝1，2，…n；■为自变量的平均值， 为因变量数列的标志值；■为因变量数列的平均值。 为自变量数列的项数。对于单变量分组表的资料，相关系数的计算公式<见参考资料>. 其中fi为权数，即自变量每组的次数。在使用具有统计功能的电子计算机时，可以用一种简捷的方法计算相关系数，其公式<见参考资料>. 使用这种计算方法时，当计算机在输入x、y数据之后，可以直接得出n、■、∑xi、∑yi、∑■、∑xiy1、γ等数值，不必再列计算表。 简单相关系数： 又叫相关系数或线性相关系数。它一般用字母r 表示。它是用来度量定量变量间的线性相关关系。 复相关系数: 又叫多重相关系数 复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。 偏相关系数： 又叫部分相关系数：部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相
第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
第二章统计 2.3变量间的相关关系 2.3.1变量之间的相关关系 学习目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,经有人统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性? 问题2:(1)“粮食产量与施肥量有关系吗?”“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗? (2)两个变量间的相关关系是什么?有几种? (3)怎样判断两个变量之间是否具有相关关系? 二、信息交流,揭示规律 问题2讨论结果: 散点图 :
分析数据:大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析. 散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图,如图. 从散点图可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论. (a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.) 三、运用规律,解决问题 【例1】下列关系中,带有随机性相关关系的是. ①正方形的边长与面积之间的关系 ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系 【例2】有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 四、变式训练,深化提高 1.对课间操的分数与学习成绩作出相关分析,并且将结论与同学们交流. 2.有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给
第二章 2.3 2.3.1变量间的相关关系 A级基础巩固 一、选择题 1．以下关于相关关系的说法正确的个数是导学号 95064491( B ) ①相关关系是函数关系 ②函数关系是相关关系 ③线性相关关系是一次函数关系 ④相关关系有两种，分别是线性相关关系和非线性相关关系 A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]根据相关关系的概念可知，只有④正确，故选B． 2．下列关系属于线性负相关的是导学号 95064492( C ) A．父母的身高与子女身高的关系 B．农作物产量与施肥量的关系 C．吸烟与健康的关系 D．数学成绩与物理成绩的关系 [解析]若以吸烟量为横轴，健康为纵轴画出散点图，则由生活常识知，这些点散布在从左上角到右下角的区域内. 因此，吸烟与健康的关系属于线性负相关. 3．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是导学号 95064493( C ) A．都可以分析出两个变量的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者的关系 [解析]给出一组样本数据，总可以作出相应散点图，但不一定分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或有函数关系. 4．有五组变量： ①汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸咽量和其身体健康情况； ④立方体的棱长和体积； ⑤汽车的重量和行驶100 km的耗油量.
其中两个变量成正相关的是导学号 95064494( C ) A．①③B．②④ C．②⑤D．④⑤ [解析]②⑤中的两个变量成正相关. 二、填空题 5．有下列关系：导学号 95064495 ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系； ④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系. 其中具有相关关系的是__①③④__. [解析]②⑤为确定性关系. 6．据两个变量x、y之间的观测数据画成散点图如图，这两个变量是否具有线性相关关系(答是与否)__否__.导学号 95064496 [解析]如图中的点分布杂乱，两个变量不具有线性相关关系. 三、解答题 7．5名学生的数学和化学成绩见下表：导学号 95064497 [解析]散点图如图所示：
高二期末数学变量间的相关关系必背知识点梳 理 数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。小编准备了高二期末数学变量间的相关关系必背知识点，希望你喜欢。 基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系;当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系(不确定性的关系)，如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关
系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系;函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
变量间的相关关系的教学设计 本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。 教学设计与实践： [教学目标]： 1、明确事物间的相互联系。认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。 2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。 [教学用具]： 学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯 [教学实践情况]： 一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。 根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：
物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）： （影响你的物理成绩的关系图） 因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。 二、引出相关关系的概念 教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？” 学生甲：粮食产量与施肥用量的关系； 学生乙：人的体重与食肉数量的关系。 …… 从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 三、探究线性相关关系和其他相关关系 问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪百分比和年龄
变量之间的相关关系 [自我认知]: 1. 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 ( ) A. 小麦产量与施肥值 B. 球的体积与表面积 C. 蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D. 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 2. 下列变量之间是函数关系的是 ( ) A. 已知二次函数2y ax bx c =++,其中a ,c 是已知常数,取b 为自变量,因变量是这个函数的 判别式：24b ac ?=- B. 光照时间和果树亩产量 C. 降雪量和交通事故发生率 D. 每亩施用肥料量和粮食亩产量 3．下面现象间的关系属于线性相关关系的是 ( ) A. 圆的周长和它的半径之间的关系 B. 价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C. 家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D. 正方形面积和它的边长之间的关系 4．下列关系中是函数关系的是 ( ) A. 球的半径长度和体积的关系 B. 农作物收获和施肥量的关系 C. 商品销售额和利润的关系 D. 产品产量与单位成品成本的关系 5．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 ( ) A. 角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C. 正n 边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高 6．下面哪些变量是相关关系 ( ) A. 出租车费与行驶的里程 B. 房屋面积与房屋价格 C. 身高与体重 D. 铁的大小与质量 7．下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是 ( ) A. 瑞雪兆丰年 B. 上梁不正下梁歪 C. 吸烟有害健康 D. 喜鹊叫喜,乌鸦叫丧 8. 在回归直线方程中,b 表示 ( ) A. 当x 增加一个单位时,y 增加a 的数量 B. 当y 增加一个单位时, x 增加b 的数量 C. 当x 增加一个单位时, y 的平均增加量 D. 当y 增加一个单位时, x 的平均增加量 班次 姓名
变量间的相关关系 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。 3、判断正、负相关、线性相关： 请观察这4幅图，看有什么特点？ 图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。 后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系 1、找回归直线 下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图， 图1 2 图图3 图4
山西大学附中高一年级(上)数学学案编号15 变量间的相关关系(1) 学习目标: (1)通过具体示例考察变量之间的关系，认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 重难点:理解变量间的相关关系. 学习过程: 一.复习回顾： 函数的定义 二.情景设置： 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 知识探究：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系
的含义如何？ 思考4：相关关系与函数关系的异同点： 小结：对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.） 检测:P85;P94.A组1. 1、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ 2、下列变量之间的关系是相关关系的是( ) ①球的体积与半径的关系； ②动物大脑容量的百分比与智力水平的关系； ③人的年龄与体重之间的关系； ④降雨量与农作物产量之间的关系。
第四节 变量间的相关关系__ 统计案例 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有________________，这条直线叫做________． (2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x － y － ∑i ＝1 n x 2i －n x － 2 ， a ^＝y －－b ^x －． (3)通过求Q ＝∑i ＝1 n y i －bx i －a 2 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点 到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数： 当r ＞0时，表明两个变量________； 当r ＜0时，表明两个变量________． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
K 2 ＝n ad －bc 2 a ＋ b a ＋ c b ＋ d c ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． [小题体验] 1．(教材习题改编)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0．95x ＋a ^，则a ^ ＝________． 2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 已知P (K 2≥3．841)≈0．05，P (K 2≥5．024)≈0．025． 根据表中数据，得到K 2 的观测值k ＝50× 13×20－10×7 2 23×27×20×30 ≈4．844．则认为选修文科 与性别有关系出错的可能性为________． 1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y － )点，可能所有的样本数据点都不在直线上． 3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)． [小题纠偏] 1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
§2.3变量间的相关关系 编者：史亚军 范剑云 1．经历用不同方法确定线性回归直线方程的过程，通过确定线性回归直线方程，知道最小二乘法的原理． 学习重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。 学习难点：变量间的相关关系，利用散点图直观体会这种相关关系。 使用说明： （1）预习教材9184 P P ，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； 预习案（20分钟） 一．知识链接 （1）客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. （2）某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 从表中我们能感觉到热茶的销量与气温之间存在着某种关系，它们之间的关系是什么呢？我们能否根据气温的变化预测热饮的杯数呢？ 为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 组长评价： 教师评价：
二．新知导学 （1）作散点图的步骤和方法？ （2）正、负相关的概念？ （3）什么是线性相关？ （4）看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什 么方式增加的呢？ （5）什么叫做回归直线？ （6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？它有什么样的思想？ 探究案（30分钟） 例1：我们来解决预习案中的问题，假如经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表如下： （1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数.
变量间的相关关系讲义 一、基础知识梳理 知识点1变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确 定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是 一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数 学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。 注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。 点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程 s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变 量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定 是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1. 在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点 就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2. 从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条 光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3. 对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。 如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从 左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横 纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大 致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关 系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。 点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反 映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观 醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅 可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度 知识点3:回归直线 （1 ）回归直线的定义 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。 （2 ）回归直线的特征