一多选题
1. 迭代过程是否结束通常的判断方法有（）
A. 设计变量在相邻两点之间的移动距离充分小
B. 相邻两点目标函数值之差充分小
C. 目标函数的导数等于零
D. 目标函数梯度充分小
E. 目标函数值等于零
2. 能处理含等式约束条件的有约束设计优化方法有( )。
A. Powell法
B. 变尺度法
C. 内点罚函数法
D. 外点罚函数法
E. 混合罚函数法
3. 组成优化设计数学模型基本要素是（）
A. 设计变量
B. 目标函数
C. 极值
D. 设计空间
E. 约束条件
4. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )
A. 若Hessian矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点
B. 若Hessian矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点
C. 若Hessian矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点
D. 若Hessian矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点
E. 若Hessian矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点
5. 对于所有非零向量X，若X T MX>0，则二次型矩阵M是（）
A. 三角矩阵
B. 负定矩阵
C. 正定矩阵
D. 非对称矩阵
E. 对称矩阵
6. 下面关于梯度法的一些说法，正确的是( )。
A. 只需求一阶偏导数
B. 在接近极小点位置时收敛速度很快
C. 在接近极小点位置时收敛速度很慢
D. 梯度法开始时的步长很小，接近极小点时的步长很大
E. 当目标函数的等值线为同心圆，任一点处的负梯度才是全域的最速下降方向
二填空题
1. 判断是否终止迭代的准则通常有______________、______________ 和______________三种形式。
2. 在一般的非线性规划问题中，kuhn-tucker点虽是约束的极值点，但______________是全域的最优点。
3. Powell法是以________________________方向作为搜索方向。
4. 罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是_________________________ 罚函数法。
5. 阻尼牛顿法的构造的迭代格式为_______________________________________________________________________________ ______ 。
6. 用二次插值法缩小区间时，如果，，则新的区间（a,b）应取作_____________，用以判断是否达到计算精度的准则是_____________________________________。
7. 外点惩罚函数法的极小点是从可行域之________________________向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 _____________向最优点逼近。
8. 多元函数F（x）在点x*处的梯度▽F（x*）＝0是极值存在的__________________________________________________条件。
9. 函数在不同的点的最大变化率是______________。
10. 优化计算所采用的基本的迭代公式为__________________________________________________。
11. 当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是______________中一个曲面。
12. 函数，在点处的梯度为 ______________。
13. 当有n个设计变量时，目标函数与n个设计变量间呈__________________________维空间超曲面关系。
14. 函数F（x）=3x+x-2x1x2+2在点（1，0）处的梯度为______________。
三问答题
1. 满足什么条件的方向是可行方向？满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。
2. 分析比较牛顿法、阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点？
3. 为何说梯度是函数在一点上变化率的综合描述？
4. 黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？
四计算题
1. 已知约束优化问题：
试求在点的梯度投影方向。
2. 使用黄金分割法确定函数的极值点。初始点
。
（使用进退法先确定初始区间）
3. 用外点法求下面问题的最优解
提示:可构造惩罚函数用解析法求解。
4. 用内点法求下面问题的最优解
5. 用阻尼牛顿法求函数的极小点。
6. 用牛顿法求函数的极小点（迭代两次）。
五综合分析题
1. 证明为凸函数
2. 用进退法确定的一维优化初始搜索区间，设初始点
，步长。
3. 用梯度法对函数作二次迭代，初始点，并验证相邻两次迭代的搜索方向是互相垂直的。
4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p 基于MATLAB工具箱的机械优化设计 长江大学机械工程学院机械11005班刘刚 摘要：机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计效率和质量。本文系统介绍了机械优化设计的研究内容及常规数学模型建立的方法，同时本文通过应用实例列举出了MATLAB 在工程上的应用。 关键词：机械优化设计；应用实例；MATLAB工具箱；优化目标 优化设计是20世纪60年代随计算机技术发展起来的一门新学科, 是构成和推进现代设计方法产生与发展的重要内容。机械优化设计是综合性和实用性都很强的理论和技术, 为机械设计提供了一种可靠、高效的科学设计方法, 使设计者由被动地分析、校核进入主动设计, 能节约原材料, 降低成本, 缩短设计周期, 提高设计效率和水平, 提升企业竞争力、经济效益与社会效益。国内外相关学者和科研人员对优化设计理论方法及其应用研究十分重视, 并开展了大量工作, 其基本理论和求解手段已逐渐成熟。 国内优化设计起步较晚, 但在众多学者和科研人员的不懈努力下, 机械优化设计发展迅猛, 在理论上和工程应用中都取得了很大进步和丰硕成果, 但与国外先进优化技术相比还存在一定差距, 在实际工程中发挥效益的优化设计方案或设计结果所占比例不大。计算机等辅助设备性能的提高、科技与市场的双重驱动, 使得优化技术在机械设计和制造中的应用得到了长足发展, 遗传算法、神经网络、粒子群法等智能优化方法也在优化设计中得到了成功应用。目前, 优化设计已成为航空航天、汽车制造等很多行业生产过程的一个必须且至关重要的环节。 一、机械优化设计研究内容概述 机械优化设计是一种现代、科学的设计方法, 集思考、绘图、计算、实验于一体, 其结果不仅“可行”, 而且“最优”。该“最优”是相对的, 随着科技的发展以及设计条件的改变, 最优标准也将发生变化。优化设计反映了人们对客观世界认识的深化, 要求人们根据事物的客观规律, 在一定的物质基和技术条件下充分发挥人的主观能动性, 得出最优的设计方案。 优化设计的思想是最优设计, 利用数学手段建立满足设计要求优化模型; 方法是优化方法, 使方案参数沿着方案更好的方向自动调整, 以从众多可行设计方案中选出最优方案; 手段是计算机, 计算机运算速度极快, 能够从大量方案中选出“最优方案“。尽管建模时需作适当简化, 可能使结果不一定完全可行或实际最优, 但其基于客观规律和数据, 又不需要太多费用, 因此具有经验类比或试验手段无可比拟的优点, 如果再辅之以适当经验和试验, 就能得到一个较圆满的优化设计结果。 传统设计也追求最优结果, 通常在调查分析基础上, 根据设计要求和实践 第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： 百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 机械优化设计实验指导 书 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 《机械优化设计》 实验指导书 武秋敏编写 院系：印刷包装工程学院 专业：印刷机械 西安理工大学 二00七年九月 上机实验说明 【实验环境】 操作系统： Microsoft Windows XP 应用软件：Visual C++或TC。 【实验要求】 1、每次实验前，熟悉实验目的、实验内容及相关的基本理论知识。 2、无特殊要求，原则上实验为1人1组，必须独立完成。 3、实验所用机器最好固定，以便更好地实现实验之间的延续性和相关性，并便于检查。 4、按要求认真做好实验过程及结果记录。 【实验项目及学时分配】 【实验报告和考核】 1、实验报告必需采用统一的实验报告纸，撰写符合一定的规范，详见实验报告撰写格式及规范。 （一）预习准备部分 1. 预习本次实验指导书中一、二、三部分内容。 2. 按照程序框图试写出汇编程序。 （二）实验过程部分 1. 写出经过上机调试后正确的程序，并说明程序的功能、结构。 2. 记录4000～40FFH内容在执行程序前后的数据结果。 3. 调试说明，包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析，对执行结果进行分析。 （三）实验总结部分 实验（一） 【实验题目】 一维搜索方法 【实验目的】 1．熟悉一维搜索的方法－黄金分割法，掌握其基本原理和迭代过程； 2．利用计算语言（C语言）编制优化迭代程序，并用给定实例进行迭代验证。 【实验内容】 1．根据黄金分割算法的原理，画出计算框图； 2．应用黄金分割算法，计算：函数F(x)=x2+2x，在搜索区间-3≤x≤5时，求解其极小点X*。 【思考题】 说明两种常用的一维搜索方法，并简要说明其算法的基本思想。 【实验报告要求】 1．预习准备部分：给出实验目的、实验内容，并绘制程序框图； 2．实验过程部分：编写上机程序并将重点语句进行注释；详细描述程序的调过程（包括上机调试的情况、上机调试步骤、调试所遇到的问题是如何解决的，并对调试过程中的问题进行分析。 3．实验总结部分：对本次实验进行归纳总结，给出求解结果。要求给出6重迭代中a、x1、x2、b、y1和y2的值，并将结果与手工计算结果进行比较。 4.回答思考题。 主讲:阮学云 安徽理工大学 第一节绪论 1.1 概念 ~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。（三级减速器，V降低23%） 1.2 优化设计发展概况 时间：60年代开始，在化工，建筑领域得到应用 内容：机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。 第二节优化设计的数学模型 2.1 例子。 设计：一长度为6 米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S 解： 6=2（a+b) S= a*b 法一：解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。 法二：做图法 2.2 优化设计的数学模型 统一形式描述： min f(x) x=[x1,x2,………x n]T s.t g i(x)≤0 i=1,2,3…..m h j(x)=o j=1,2,…….p 包括： 1.设计变量 2.目标函数 3.约束问题 2.3 优化过程： 优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示: （2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量和带参变量。 （3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题。 （4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划。 2. 优化设计问题的迭代思路 3. 终止准则 准则1-点距准则 4. 1往往采用两个准则来判别 4.2 往往采用两个准则来判别 第三节一维搜索 0 概念： 对一维（也称一元或单变量）函数f(x)寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。 3.1 方法分类 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 前言 机械优化设计是一门实践性很强的课程，必须通过实际上机操作运用各种优化方法程序来达到： 1、加深对机械优化设计方法的基本理论和算法步骤的理解； 2、培养独立编制计算机程序的能力； 3、掌握常用优化方法程序的使用； 4、培养灵活运用优化方法解决工程设计问题的能力。 因此，本课程在课堂教学过程中安排适当的时间上计算机运算。本书作为上机实验的指导书，旨在对每次实验目的内容提出具体要求，并加以考核。 实验报告内容 每次上机实验后，学生要做一份完整的实验报告，实验报告内容应包括： 1、优化方法的基本原理简述； 2、自编优化方法源程序。 3、考核题的优化结果及其分析； 4、具体工程设计问题的数学模型、优化设计结果及其分析。 实验一 一维搜索方法（黄金分割法或二次插值法） 1、 目的：加深对一维搜索方法的确定区间的进退法和缩短区间的黄金分割法或二次插值法基本原理的理解 2、 内容：按所给程序框图编制上机程序，上机输入、调试并运行程序，或调试并运行已给程序，用所给考核题进行检验。 3、 考核题（α0＝0，h 0=0.1, ε=0.001） (1) 36102+-=t t )t (f min (2) 60645234+-+-=t t t t )t (f min (3) 221)t )(t ()t (f min -+= (4) x e x )x (f min -+=22 (5) 求函数4321322123141x x x x x x x x x x )X (f +--=自点T k ),,,(X 3210---=出发，沿方向T ),,,(4321=d 的最优步长因子α× 和在d 方向的极小点X *和极小值f(X *)。 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ? -?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释 机械优化设计实例 压杆的最优化设计 压杆是一根足够细长的直杆，以学号为p值，自定义有设计变量的 尺寸限制值，求在p一定时d1、d2和l分别取何值时管状压杆的体积或重 量最小？（内外直径分别为d1、d2）两端承向轴向压力，并会因轴向压力 达到临界值时而突然弯曲，失去稳定性，所以，设计时，应使压应力不 超过材料的弹性极限，还必须使轴向压力小于压杆的临界载荷。 解：根据欧拉压杆公式，两端铰支的压杆，其临界载荷为：I——材料的惯性矩，EI为抗弯刚度 1、设计变量 现以管状压杆的内径d1、外径d2和长度l作为设计变量 2、目标函数 以其体积或重量作为目标函数 3、约束条件 以压杆不产生屈服和不破坏轴向稳定性，以及尺寸限制为约束条件，在外力为p的情况下建立优化模型： 1） 2） 3） 罚函数： 传递扭矩的等截面轴的优化设计解：1、设计变量： 2、目标函数 以轴的重量最轻作为目标函数： 3、约束条件： 1）要求扭矩应力小于许用扭转应力，即： 式中：——轴所传递的最大扭矩 ——抗扭截面系数。对实心轴 2）要求扭转变形小于许用变形。即： 扭转角： 式中：G——材料的剪切弹性模数 Jp——极惯性矩，对实心轴： 3）结构尺寸要求的约束条件： 若轴中间还要承受一个集中载荷，则约束条件中要考虑：根据弯矩联合作用得出的强度与扭转约束条件、弯曲刚度的约束条件、对于较重要的和转速较高可能引起疲劳损坏的轴，应采用疲劳强度校核的安全系数法，增加一项疲劳强度不低于许用值的约束条件。 二级齿轮减速器的传动比分配 二级齿轮减速器，总传动比i=4，求在中心距A最小下如何 分配传动比？设齿轮分度圆直径依次为d1、d2、d3、d4。第一、二 级减速比分别为i1、i2。假设d1=d3,则： 七辊矫直实验 罚函数法是一种对实际计算和理论研究都非常有价值的优化方法，广泛用来求解约束问题。其原理是将优化问题中的不等式约束和等式约束加权转换后，和原目标函数结合成新的目标函数，求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。考虑到本优化程序要处理的是一个兼而有之的问题，故采用混合罚函数法。 一）、优化过程 （1）、设计变量 以试件通过各矫直辊时所受到的弯矩为设计变量： （2）、目标函数 《机械优化设计》课程教学大纲 一．课程基本信息 开课单位：机械工程学院 英文名称：Mechanical Optimize Design 学时：总计48学时，其中理论授课36学时，实验（含上机）12学时 学分：3.0学分 面向对象：机械设计制造及其自动化，机械电子工程等本科专业 先修课程：高等数学，线性代数，计算机程序设计，工程力学，机械原理，机械设计 教材：《机械优化设计》，孙靖民主编，机械工业出版社，2012年第 5版 主要教学参考书目或资料： 1.《机械优化设计》，陈立周主编，上海科技出版社，1982年 2.《机械优化设计基础》，高健主编，机械工业出版社，2000年 3.其它教学参考数目在课程教学工作实施前另行确定 二．教学目的和任务 优化设计是60年代以来发展起来的一门新学科，它是将最优化方法和计算机技术结合、应用于设计领域而产生的一种现代设计方法。利用优化设计方法可以从众多的设计方案中寻找最佳方案，加快设计过程，缩短设计周期，从而大大提高设计效率和质量。优化设计方法目前已经在机械工程、结构工程、控制工程、交通工程和经济管理等领域得到广泛应用。在机械设计中采用最优化方法，可以加速产品的研发过程，提高产品质量，降低成本，从而达到增加经济效益的目的。学生通过学习《机械优化设计》课程，可以掌握优化设计的基本原理和方法，熟悉建立最优化问题数学模型的基本过程，初步具备对工程中的优化设计问题进行建模、编程和计算的应用能力，为以后从事有关的工程技术工作和科学研究工作打下一定的基础。 三．教学目标与要求 本门课程通过授课、计算机编程等教学环节，使学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。初步掌握建立数学模型的方法，掌握优化方法和使用MATLAB优化工具箱能力。并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力 四．教学内容、学时分配及其基本要求 第一章优化设计概述（2学时） （一）教学内容 1、课程的性质、优化的含义；优化方法的发展与应用；机械优化设计的内容及目的；机械优化设计的一般过程 2、机械优化设计的基本概念和基本术语；优化设计的数学模型；优化问题的几何描述；优化设计的基本方法 （二）基本要求 《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。 机械优化设计实验指导书 实验一用外推法求解一维优化问题的搜索区间 一、实验目的： 1、加深对外推法（进退法）的基本理论和算法步骤的理解。 2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。 3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。 二、主要设备及软件配置 硬件：计算机（1台/人） 软件：VC6.0（Turbo C） 三、算法程序框图及算法步骤 图1-1 外推法（进退法）程序框图 算法程序框图：如图1-1所示。 算法步骤：（1）选定初始点a1=0, 初始步长h＝h0，计算 y1＝f(a1)， a2=a1＋h,y2＝f(a2)。 （2）比较y1和y2: （a）如y1≤y2, 向右前进；，转（3）； （b）如y2＞y1, 向左后退；h＝－h，将a1与a2，y1与y2的 值互换。转（3）向后探测； (3）产生新的探测点a3＝a2＋h，y3＝f(a3); (4) 比较函数值 y2和y3： （a）如y2>y3, 加大步长 h＝2h ，a1=a2, a2=a3,转（3）继续 探测。 （b）如y2≤y3,则初始区间得到：a=min[a1,a3]， b=max[a3,a1]，函数最小值所在的区间为[a， b] 。 四、实验内容与结果分析 1、根据算法程序框图和算法步骤编写计算机程序; 2、求解函数f(x)=3x2-8x+9的搜索区间，初始点a1=0,初始步长h0=0.1; 3、如果初始点a1=1.8,初始步长h0=0.1,结果又如何？ 4、试分析初始点和初始步长的选择对搜索计算的影响。 实验二用黄金分割法求解一维搜索问题 一、实验目的： 1、加深对黄金分割法的基本理论和算法步骤的理解。 2、培养学生独立编制、调试机械优化算法程序的能力。 3、培养学生灵活运用优化设计方法解决工程实际问题的能力。 二、主要设备及软件配置 硬件：计算机（1台/人） 软件：VC6.0（Turbo C） 三、算法程序框图及算法步骤 图1-2 黄金分割法程序框图 算法程序框图：如图1-2所示。 算法步骤： 1）给出初始搜索区间[a，b]及收敛精度ε，将λ赋以0.618。 第一章习题答案 1-1某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X )=8*4*x 1+8*3*x 2+2（8*25*+8*15*） =40x 1+36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X )=40x 1+36x 2X ∈R 3· 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1==X 使弹簧重量最轻，同时满足 下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问 题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X =?????? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X )= 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X )= 322 12 4 x x rx πX ∈R 3· []τπ-+312218)21(x Fx x x []λ-4 1 33 28Gx x Fx 某厂生产一个容积为8000cm 3 的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目 标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 浅析机械优化设计方法基本理论 【摘要】在机械优化设计的实践中，机械优化设计是一种非常重要的现代设计方法，能从众多的设计方案中找出最佳方案，从而大大提高设计的效率和质量。每一种优化方法都是针对某一种问题而产生的，都有各自的特点和各自的应用领城。在综合大量文献的基础上，总结机械优化设计的特点，着重分析常用的机械优化设计方法，包括无约束优化设计方法、约束优化设计方法、基因遗传算方法等并提出评判的主 要性能指标。 【关键词】机械；优化设计；方法特点；评价指标 一、机械优化概述 机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门科学，它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。该领域的研究和应用进展非常迅速，并且取得了可观的经济效益，在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。随着科技的发展，现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心，以计算机为工具，向着多变量、多目标、高效率、高精度方向发展。]1[ 优化设计方法的分类优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以做出各种不同的分类。按目标函数的多少，可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法按维数，可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法按寻优途径，可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法按优化设计问题能否用数学模型表达，可分为能用数学模型表达的优化设计问题其寻优途径为数学方法，如数学规划法、最优控制法等。 1.1 设计变量 设计变量是指在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，在优化过程中，这些参数就是自变量，一旦设计变量全部确定，设计方案也就完全确定了。设计变量的数目确定优化设计的维数，设计变量数目越多，设计空间的维数越大。优化设计工作越复杂，同时效益也越显著，因此在选择设计变量时。必须兼顾优化效果的显著性和优化过程的复杂性。 第一章习题答案 1-1 某厂每日（８h 制）产量不低于１800件。计划聘请两种不同的检验员,一级检验员的标准为:速度为25件/ｈ，正确率为98%,计时工资为4元/h;二级检验员标准为：速度为１5件／h ，正确率为95%，计时工资3元/h 。检验员每错检一件,工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为:一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人? 解：(1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求,取设计变量为X = ?? ????=??????二级检验员一级检验员 21x x ; (2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即: ｆ(Ｘ) = 8*4*x 1＋ 8*3*x 2 + 2(８*25*0．02ｘ1 +8*15*0．05x ２ ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min ｆ (X ） = 40x 1+ 3６x ２ X ∈R ３· ｓ.ｔ. g 1（X ) =1800-８＊25x 1+8*１５x 2≤0 g 2(X ） =ｘ1 -8≤0 g ３(X ) =x 2-10≤0 ｇ4(Ｘ) = -x 1 ≤0 ｇ5(Ｘ) = -x ２ ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ,许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻,同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥,弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解: （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； (２)建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： ｆ（Ｘ） = 322 12 4 x x rx π (3）本问题的最优化设计数学模型: 机械优化设计实验 报告 班级：XXXX 姓名：XX 学号：XXXXXXXXXXX 一、外推法 1、实验原理 常用的一维优化方法都是通过逐步缩小极值点所在的搜索区间来求最优解的。一般情况下，我们并不知道一元函数f（X）极大值点所处的大概位置，所以也就不知道极值点所在的具体区域。由于搜索区间范围的确定及大小直接影响着优化方法的收敛速度及计算精度。因此，一维优化的第一步应首先确定一个初始搜索区间，并且在该区间内函数有唯一的极小值存在。该区间越小越好，并且仅存在唯一极小值点。 所确定的单股区间应具有如下性质：如果在[α1，α3]区间内任取一点α2，,α1<α2<α3或α3<α2<α1，则必有f(α1)>f(α2) a2=a1+h; f1=f(a0); f2=f(a2); if(f1>f2) //判断函数值的大小，确定下降方向 { a3=a2+h; f3=f(a3); } else { h=-h; a3=a1; f3=f1; a1=a2; f1=f2; a2=a3; f2=f3; a3=a2+h; f3=f(a3); } while(f3<=f2) //当不满足上述比较时，说明下降方向反向，继续进行判断 { h=2*h; a1=a2; f1=f2; a2=a3; f2=f3; a3=a2+h; f3=f(a3); 《机械优化设计》复习题 一、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 第一章习题答案 1-1 某厂每日(8h 制)产量不低于 1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为件/h,正确率为98%，计时工资为 4元/ h;二级检验员标准为：速度为元/h。检验员每错检一件，工厂损失 2元。现有可供聘请检验人数为： 省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1 )确定设计变量； g2( X) = X1 -8 w 0 g3( X) = X2-10 w 0 g4( X) = -X1 w 0 g5( X) = - X2 w 0 X3 (2)建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即: 2 2 f(X)=——rx1 X2X3 4 (3)本问题的最优化设计数学模型: 2 2 min f (X) = —rx1 X2X3 4 25 15件/h,正确率为95%，计时工资 3 —级8人和二级 10人。为使总检验费用最 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= X1 X2 一级检验员二级检验员 (2)建立数学模型的目标函数；取检 验费用为目标函数，即： f(X) = 8*4* X1+ 8*3* X2 + 2 =40x1+ 36x2 ( 8*25*0.02x1 +8*15*0.05 X2) s.t. min f (X) = 40X1+ 36X2 g i(X) =1800-8*25 3’ X € R X i+8*15X2< 0 1-2已知一拉伸弹簧受拉力选择一组设计变量X [X1 X2F，剪切弹性模量G，材料重度 X3]T[d D2 n]T使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数 r，许用剪切应力[],许用最大变形量[]。欲 簧丝直径d 0.5，弹簧中径10 D2 50。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 ks^ , k s 1 ± d 2c D2 (旋绕 比)， 8F n D Gd4 解：(1)确定设计变量; X1 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X2 D2 3 ? X€ R机械优化设计论文(基于MATLAB工具箱的机械优化设计)
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