课题：22.1.1二次函数（第1课时）
一、教学目标
1.复习巩固函数、正比例函数、一次函数、反比例函数的概念.
2.知道什么是二次函数，会判断一个函数是不是二次函数.
3.会根据实际问题列出二次函数的解析式.
二、教学重点和难点
1.重点：二次函数的概念.
2.难点：根据实际问题列出二次函数的解析式.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
师：初二的时候我们学过函数的概念，什么是函数？哪位同学还记得？（稍停）
（师出示下面的板书）
在一个变化过程中，有两个变量x和y，x每取一个值，y就有唯一确定的值，我们就说x是自变量，y是x的函数.
师：（指板书）大家把函数的概论默读两遍.（生默读）
师：学习了函数概念之后，我们还学习了几种特殊的函数，这几种特殊的函数是正比例函数、一次函数、反比例函数.
师：什么样的函数是正比例函数？形如y=kx的函数叫做正比例函数（板书：形如y=kx的函数叫做正比例函数）.
师：譬如，y=2x就是一个正比例函数（边讲边板书：y=2x）.
师：什么样的函数是一次函数？形如y=kx+b的函数叫做一次函数（板书：形如y=kx+b的函数叫做一次函数）. 师：譬如，y=2x+3就是一个一次函数（边讲边板书：y=2x+3）.
师：（指准y=kx+b）一次函数y=kx+b，当b=0时，成为正比例函数y=kx，所以说，正比例函数是特殊的一次函数.
师：什么样的函数是反比例函数？形如
k
y
x
=的函数叫做反比例函数（板书：形如
k
y
x
=的函数叫做反
比例函数）.
师：譬如，
2
y
x
=就是一个反比例函数（边讲边板书：
2
y
x
=）.
师：正比例函数、一次函数、反比例函数都是一些特殊的函数，从今天开始，我们再来学习一种特殊的函数，叫二次函数（板书课题：22.1.1二次函数）.
（二）尝试指导，讲授新课
师：什么样的函数是二次函数？（板书：y=2x2）y=2x2是一个二次函数；（板书：y=3x2+x）y=3x2+x也是一个二次函数；（板书：y=-x2+5）y=-x2+5也是一个二次函数；（板书：y=x2+2x-3）y=x2+2x-3也是一个二次函数. 师：（指板书）从这几个二次函数，哪位同学知道什么样的函数是二次函数？（让生思考一会儿）生：……（让几名同学发表看法）
（师出示下面的板书）
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
师：（指准板书）形如y=ax2+bx+c的函数叫做二次函数.在这个式子中，x是自变量，a，b，c都是常数，二次项系数a不能为0，而一次项系数b、常数项c没有这个限制，它们可以为0，也可以不为0.
师：（指y=2x2）如果b，c都为0，二次函数就成了这种样子；（指y=3x2+x）如果b不为0，c为0，二次函数就成了这种样子；（指y=-x2+5）如果b为0，c不为0，二次函数就成了这种样子；（指y=x2+2x-3）如果b，c都不为0，二次函数就成了这种样子.
师：（指准y=ax2+bx+c）总之，形如y=ax2+bx+c的函数，只要a≠0，不管b，c等不等于0，都是二次函数. 师：下面请同学们根据二次函数的概念来做几个练习.
（三）试探练习，回授调节
1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”. (1)y=2x 2
-x+3是二次函数； （ ） (2)y=3-x+2x 2
是二次函数； （ ） (3)y=2x 2
-x 是二次函数； （ ） (4)y=2x 2+3是二次函数； （ ） (5)y=2x 2是二次函数； （ ） (6)y=0x 2-x+3是二次函数； （ ） (7)y=2(1+x)2
是二次函数； （ ） (8)21
y
2x x 3
=
-+是二次函数. （ ）
2.形如y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的函数是二次函数，请你找出下列二次函数的a ，b ，c ： (1)二次函数y=x 2
+3x-4，a= ，b= ，c= ； (2)二次函数y=2x 2
-x ，a= ，b= ，c= ； (3)二次函数y=-x 2+6，a= ，b= ，c= ；
(4)二次函数2
x y 2
=
，a= ，b= ，c= ；
(5)二次函数y=x+3x 2
-1，a= ，b= ，c= ； (6)二次函数y=(x+2)(2x-1)，a= ，b= ，c= . （四）尝试指导，讲授新课
师：下面我们来看一个二次函数的实际例子. （师出示例题）
例 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.假如每年都比上一年的产量增加x 倍，请你写出两年后这种产品的产量y 与x 之间的函数关系式.
师：大家把这个题目默读几遍，想一想怎么列函数关系式. 【要给学生充足的读题思考时间】
师：（指准例题）某工厂一种产品现在的年产量是20件（板书：现在20），计划今后两年增加产量，假如每年都比上一年的产量增加x 倍，那么一年后的产量是多少件？（板书：一年后，让生思考一会儿再叫学生） 生：……（让几名学生回答）
师：一年后的产量应该是现在的产量20乘以1+x ，即20(1+x)（边讲边板书：20(1+x)）. 师：那么两年后的产量是多少件？（板书：两年后，让生思考一会儿再叫学生） 生：……（让几名学生回答）
师：两年后的产量应该是一年后的产量20(1+x)再乘以1+x ，即20(1+x)2
（边讲边板书：20(1+x)2
，上面的板书如下所示）. 现 在 20 一年后 20(1+x) 两年后 20(1+x)2
师：（指准例题）这道题目要我们写出两年后这种产品的产量y 与x 之间的函数关系式，函数关系式是y=20(1+x)2
（边讲边板书：y=20(1+x)2
），把(1+x)2
展开整理一下，得到y=20x 2
+40x+20（边讲边板书：y=20x 2
+40x+20）.
师：（指y=20x 2
+40x+20）从这个关系式可以看出，y 是x 的什么函数？ 生：（齐答）二次函数. （五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了二次函数的概念，什么是二次函数？（指准板书）形如y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的函数是二次函数，这里的a 不能为0，而b ，c 可以为0，可以不为0. 师：（指例题）本节课我们还学习了一个二次函数的实际例子，通过这个例子，希望同学们会根据实际问题列
出二次函数关系式.
（作业：P41习题1.2.）
四、板书设计
课题：22.1.2二次函数y=ax2（第1课时）
一、教学目标
1.复习函数图象的概念和描点法.
2.会用描点法画二次函数y=x2，y=-x2的图象，知道二次函数的图象是一条抛物线，知道抛物线y=x2，y=-x2的开口方向、对称轴和顶点.
二、教学重点和难点
1.重点：用描点法画二次函数y=x2，y=-x2的图象.
2.难点：准确地画出y=-x2的图象.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：
(1)形如y= (k≠0)的函数叫做正比例函数；
(2)形如y= (k≠0)的函数叫做一次函数；
(3)形如y= (k≠0)的函数叫做反比例函数；
(4)形如y= (a≠0)的函数叫做二次函数.
2.填空：如图，一个正方体的棱长为x，则它的表面积y与棱
x
长x之间的函数关系是y= ，这个函数是
函数.
（二）创设情境，导入新课
师：上节课我们学习了二次函数的概念，这节课我们要学习什么？这节课我们要学习如何画二次函数的图象.在学习如何画二次函数图象之前，让我们先来复习函数图象的概念.
师：什么是函数图象？（板书：y=x2）我们以二次函数y=x2为例来说明函数图象的意思.
师：（指准y=x2）二次函数y=x2，x取1，y=1，以x的值1为横坐标，以y的值1为纵坐标，可以在坐标平面内描一个点；同样，x取2，y=4，以x的值2为横坐标，以y的值4为纵坐标，又可以在坐标平面内描一点.x可以取很多很多值，相应地我们可以描出很多点.大家可以想象，这很多很多点密密麻麻可以组成一条曲线，这条曲线就是函数y=x2的图象.
师：函数图象的意思告诉我们函数图象是什么，但我们不能按函数图象的意思来画图象.为什么？（稍停）因为按这种意思画图象，要密密麻麻描很多很多点，这样画太麻烦了，所以必须要有比较简单的画函数图象的方法.这种简单的画函数图象方法我们已经学过，叫什么方法？（稍停）叫描点法（板书：描点法）. 师：怎么用描点法画函数图象呢？用描点法画函数图象有三步，哪三步？（稍停）第一步列表（板书：第一步列表），第二步描点（板书：第二步描点），第三步连线（板书：第三步连线）.
师：下面我们就用描点法画二次函数y=x2的图象.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示例题）
例用描点法画出二次函数y=x2的图象.
师：用描点法画二次函数y=x2的图象，首先要干什么？
生：（齐答）列表.
（师出示下表）
师：（指准表格）我们取了x为-3，-2，-1，0，1，2，3这七个数，当x=-3时，y等于什么？
生：（齐答）y=9.（师填入：9）
（以下师生共同完成填表过程）
师：用描点法画函数图象第二步干什么？
生：（齐答）描点.
（师出示下面的直角坐标系）
师：（指准表格）当x=-3时，y=9，以-3为横坐标，以9为纵坐标描点（边讲边描点）.
（以下师生共同完成描点过程）
师：点描好了，下一步干什么？
生：（齐答）连线.
师：怎么连线？大家在脑子里连一连，看看连出来的是什么样的曲线？（让生想象一会儿）
师：从左到右把所有的点用平滑曲线连接起来（边慢慢地讲边慢慢地连线），这条曲线就是二次函数y=x2的图象（边讲边在图中板书：y=x2）.
师：（指图象）二次函数的图象画完了，关于这个图象，有几点需要告诉大家.
师：（指图象）首先要告诉大家，二次函数y=x2的图象是抛物线（板书：二次函数y=x2的图象是抛物线）. 师：为什么说是抛物线？因为这个图象的形状类似于投篮球时球在空中经过的路线，所以说是抛物线.以后我们把这个图象叫做抛物线y=x2.
师：（指准图象）第二点需要告诉大家的是，抛物线一头是封闭的，一头是开口的，抛物线y=x2的开口方向向上（板书：开口向上）.
师：（指准图象）第三点需要告诉大家的是，抛物线y=x2是一个轴对称图形，它的对称轴是什么？（稍停）它的对称轴是y轴（板书：对称轴是y轴）.
师：（指准图象）第四点需要告诉大家的是，抛物线都有一个顶点，这个最尖尖上的点就是抛物线的顶点，从图象可以看出，抛物线y=x2的顶点是原点（板书：顶点是原点）.
师：好了，抛物线y=x2的情况介绍完了，下面请大家来做一个练习.
（四）试探练习，回授调节
3.用描点法画出二次函数y=-x2的图象.
第一步：列表；
第二步：描点；
第三步：连线
4.根据上题所画的图象，填空：
二次函数y=-x2的图象是抛物线，抛物线y=-x2的开口向，对称轴是，顶点是 . （五）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了画最简单的二次函数y=x2，y=-x2的图象，y=x2的图象是抛物线，y=-x2的图象也是抛物线.下面几节课我们还要画更复杂的二次函数图象，通过画图象我们会发现，实际上任何二次函数的图象都是抛物线.因为二次函数的图象都是抛物线，所以把y=x2的图象叫做抛物线y=x2，把y=x2+2x+3的图象叫做抛物线y=x2+2x+3，把某某二次函数的图象叫做抛物线某某.
课外补充作业：
5.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=1
2
x2，y=-
1
2
x2的图象.
第一步：列表；
y=1 2 x2
y=-1 2 x2
第二步：描点；
第三步：连线.
6.根据上题所画的图象，填空：
(1)抛物线y=1
2
x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(2)抛物线y=-1
2
x2的开口向，对称轴是，顶点是 .
四、板书设计
课题：22.1.2二次函数y=ax（第2课时）
一、教学目标
1.通过画y=ax2的二次函数的图象，经历归纳过程，知道抛物线y=ax2的特点.
2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：抛物线y=ax2的特点.
2.难点：归纳抛物线y=ax2的特点.
三、教学过程
（一）创设情境，导入新课
上节课我们画了二次函数y=x2,y=-x2的图象，这两个函数是最简单的二次函数，这节课我们再来画几个二次函数的图象，请看例题.
（二）尝试指导，讲授新课
（师出示例题）
例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=1
2
x2，y=2x2的图象.
师：画二次函数y=1
2
x2，y=2x2的图象，首先要列表.
（师出示下面的表格）
y=1 2 x2
y=2x2
（以下师生共同完成填表过程）师：表填好了，下面要描点和连线.
（师出示下面的直角坐标系）
（以下师先用彩笔画y=1
2
x2的图象，并在图中板书：y=
1
2
x2；再用另一色彩笔画y=2x2的图象，并在图中
板书：y=2x2）
师：（指图象）两个函数的图象都画好了，大家比较一下，这两个图象有什么共同点和不同点？（让生观察思考一会儿再叫学生）
生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准图象）我们知道，所有的二次函数的图象都是抛物线，所以这两个二次函数的图象也都是抛物线.
抛物线y=1
2
x2和抛物线y=2x2有这么三个共同点，第一它们的开口方向都向上，第二它们的对称轴都是y
轴，第三它们的顶点都是原点.
师：（指准图象）抛物线y=1
2
x2和抛物线y=2x2有一个不同点，哪个不同点呢？（稍停）就是它们的开口大小
不一样，抛物线y=1
2
x2的开口大，而抛物线y=2x2的开口小.
师：下面请同学们再来画两个二次函数的图象，并探讨这两个图象的共同点和不同点. （三）试探练习，回授调节
1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-1
2
x2，y=-2x2的图象.
y=-1 2 x2
y=-2x2
2.根据上题所画的图象，比较抛物线y=-1
2
x2和抛物线y=-2x2，填空：
(1)它们的共同点是，开口方向都向，对称轴都是，顶点都是；
(2)它们的不同点是，抛物线y=-1
2
x2的开口比抛物线y=-2x2开口（填“大”或“小”）.
（四）尝试指导，讲授新课
（师在黑板上出示在同一直角坐标系中画出的y=-1
2
x2，y=-2x2的图象）
师：我们画了四个二次函数的图象，（指准函数解析式）这四个函数是y=1
2
x2，y=2x2，y=-
1
2
x2，y=-2x2，它
们都是形如y=ax2的二次函数（板书：y=ax2）.大家看一看，是不是这样的？（稍停）
师：（指图象）这四个函数都是形如y=ax2的二次函数，所以从它们的图象，可以归纳出形如y=ax2二次函数的图象特点，也就是说可以归纳出抛物线y=ax2的特点（板书：抛物线y=ax2的特点）.
师：首先我们来看抛物线y=ax2的开口方向，开口方向是向上的还是向下的？（让生观察思考一会儿再叫学生）生：……（让一两名好生发表看法）
师：（指准图象）抛物线y=1
2
x2，抛物线y=2x2的开口向上，而抛物线y=-
1
2
x2，抛物线y=-2x2的开口向下.
可见抛物线y=ax2的开口是向上还是向下，要看a的符号，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下（板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）.
师：我们再来看对称轴，抛物线y=ax2的对称轴是什么？
生：（齐答）对称轴是y轴.
师：（指图象）这四个图象的对称轴都是y轴，可见抛物线y=ax2的对称轴是y轴（板书：(2)对称轴是y轴）. 师：我们再来看顶点，抛物线y=ax2的顶点是哪一点？
生：（齐答）顶点是原点.
师：（指图象）这四个图象的顶点都是原点，可见抛物线y=ax2的顶点是原点（板书：(3)顶点是原点）.
师：最后我们来看抛物线y=ax2开口的大小.（指准图象）抛物线y=1
2
x2开口比抛物线y=2x2开口大；抛物线
y=-1
2
x2开口比抛物线y=-2x2开口大；抛物线y=
1
2
x2与抛物线y=-
1
2
x2开口一样大；抛物线y=2x2与抛物线
y=-2x2开口一样大.从这些事实，大家想一想，抛物线y=ax2的开口大小取决于什么？（让生思考一会儿再叫学生）
生：……（让一两各好生发表看法）
师：抛物线y=ax2的开口大小取决于｜a｜，｜a｜越小,开口越大（板书：(4)｜a｜越小,开口越大）.
师：（指板书）上面我们从这四个图象归纳出了抛物线y=ax2的四个特点，大家对照图象看看这四个特点.（生默读）
师：下面请大家来做一个练习.
（五）试探练习，回授调节
3.填空：
(1)抛物线y=4x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(2)抛物线y=-3x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(3)抛物线y=4x2的开口比抛物线y=-3x2的开口（填“大”或“小”）.
（六）归纳小结，布置作业
师：本节课我们画了几个形如y=ax2二次函数的图象，并从这几个图象归纳出了抛物线y=ax2的四个特点，请大家一起把这四个特点读一遍.（生读）
（作业：P41习题4.）
四、板书设计
课题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k（第1课时）
一、教学目标
1.经历画图、观察、比较、归纳过程，知道抛物线y=ax2+k和抛物线y=ax2的关系，知道抛物线y=ax2+k的特
点.
2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：抛物线y=ax2+k的特点.
2.难点：归纳抛物线y=ax2+k的特点.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：抛物线y=ax2的特点：
(1)当a＞0时，开口向；当a＜0时，开口向；
(2)对称轴是；
(3)顶点是；
(4)｜a｜越小，开口越 .
2.填空：
(1)抛物线y=1
2
x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(2)抛物线y=-1
3
x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(3)抛物线y=-1
3
x2的开口比抛物线y=
1
2
x2的开口（填“大”或“小”）.
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
抛物线y=ax2的特点：
(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
(2)对称轴是y轴；
(3)顶点是原点；
(4)｜a｜越小，开口越大.
上节课我们学习了抛物线y=ax2的特点，（指准板书）抛物线y=ax2有这么四个特点.第一个特点是，抛物线的开口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.第二个特点是，抛物线的对称轴是y轴.第三个特点是，抛物线的顶点是原点.第四个特点是，抛物线的开口大小由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，抛物线的开口越大；｜a｜越大，抛物线的开口越小.
师：（指准y=ax2）y=ax2是比较简单的二次函数，如果在ax2后面加上常数k，二次函数就成了y=ax2+k（边讲边板书：y=ax2+k），本节课我们就来学习抛物线y=ax2+k的特点（与y=ax2+k连起来板书：抛物线y=ax2+k 的特点）.
（三）尝试指导，讲授新课
师：抛物线y=ax2+k有什么特点？为了探讨这个问题，请大家先来画两个具体函数的图象.
3.尝试题：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=1
2
x2+2，y=
1
2
x2-2的图象.
y=1
2
x2+2
y=1
2
x2-2
（生尝试时，师将尝试题出示在黑板上，等多数同学画好后，师生共同完成黑板上的尝试题，两条抛物线用不同色彩笔画）
师：（指图象）二次函数y=1
2
x2+2，y=
1
2
x2-2的图象画好了，从画好的图象看，这两条抛物线的开口是向上
还是向下？
向上.
师：这两条抛物线的对称轴是什么？y轴.
师：这两条抛物线的顶点是哪个点？（让生观察思考一会儿再叫学生）
师：（指准图象）抛物线y=1
2
x2+2的顶点是这个点，顶点坐标是(0，2)；抛物线y=
1
2
x2-2的顶点是这个点，
顶点坐标是(0，-2).
师：（用虚线画y=1
2
x2的图象，并指准图象）这是我们上节课画过的二次函数y=
1
2
x2的图象，请大家观察这
三个图象，你发现抛物线y=1
2
x2和这两条抛物线有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）
师：（指准图象）抛物线y=1
2
x2和这两条抛物线相比，它们的形状相同，只是位置不同，把抛物线y=
1
2
x2向
上平移2个单位，就得到抛物线y=1
2
x2+2；把抛物线y=
1
2
x2向下平移2个单位，就得到了抛物线y=
1
2
x2-2.
师：（指准板书）上下平移抛物线y=1
2
x2，可以得到抛物线y=
1
2
x2+2，抛物线y=
1
2
x2-2，那么上下平移哪条
抛物线可以得到抛物线y=ax2+k？
：抛物线y=ax2
（指准图象）因为上下平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=ax2+k，所以它们的开口方向相同，对称轴相同，开口大小相同，只是顶点不同.
（指准板书）抛物线y=ax2的开口方向由a的符号决定，所以抛物线y=ax2+k的开口方向也由a的符号决定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下（板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）. （指准板书）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，所以抛物线y=ax2+k的对称轴也是y轴（板书：(2)对称轴是y 轴）.
师：（指准板书）抛物线y=ax2的开口大小由｜a｜的大小决定，所以抛物线y=ax2+k的开口大小也由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，开口越大（板书：(4)｜a｜越小，开口越大）.
师：（指准图象）抛物线y=ax2的项点是原点，经过上下平移，顶点发生了变化，大家想一想，抛物线y=ax2+k 的顶点坐标是什么？（让生思考一会儿再叫学生）
生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准图象）抛物线y=1
2
x2+2的顶点是(0，2)，抛物线y=
1
2
x2-2的顶点坐标是(0，-2)，可见抛物线y=ax2+k
的顶点坐标是(0，k)（板书：(3)顶点坐标是(0，k)）.
师：（指板书）这就是抛物线y=ax2+k的四个特点，下面请大家做几个练习.
（四）试探练习，回授调节
4.填空：
(1)把抛物线y=2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=2x2+3，抛物线y=2x2+3的开口向，对称轴是，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=2x2-6，抛物线y=2x2-6的开口向，对称轴是，顶点坐标是；
(3)把抛物线y=-1
3
x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-
1
3
x2+1，抛物线y=-
1
3
x2+1的开口向，
对称轴是，顶点坐标是；
(4)把抛物线y=-1
3
x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-
1
3
x2-2，抛物线y=-
1
3
x2-2的开口向，
对称轴是，顶点坐标是 .
（五）归纳小结，布置作业
师：（指板书）本节课我们学习抛物线y=ax2+k的特点，请大家结合图象把这四个特点默读两遍.（生默读）课外补充作业
5.填空：
(1)把抛物线y=1
3
x2向平移个单位，可以得到抛物线y=
1
3
x2-3，抛物线y=
1
3
x2-3的开口向，
对称轴是，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=-x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-x2+2，抛物线y=-x2+2的开口向，对称轴是，顶点坐标是；
(3)抛物线y=1
3
x2-3比抛物线y=-x2+2的开口（填“大”或“小”）.
6.利用上题确定的开口方向、对称轴和顶点，请在下面的直角坐标系中，大致画出抛物线y=1
3
x2-3，抛物线
y=-x2+2.
四、板书设计
课题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2＋k的图象（第2课时）
一、教学目标
1.经历画图、观察、比较、归纳过程，知道抛物线y=a(x-h)2和抛物线y=ax2的关系，知道抛物线y=a(x-h)2
的特点.
2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：抛物线y=a(x-h)2的特点.
2.难点：归纳抛物线y=a(x-h)2的特点.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：抛物线y=ax2+k的特点：
(1)当a＞0时，开口向；当a＜0时，开口向；
(2)对称轴是；
(3)顶点坐标是；
(4)｜a｜越小，开口越 .
2. 填空：
(1)把抛物线y=-3x2向下平移4个单位，可以得到抛物线y= ，得到的抛物线开口向，对称轴是，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=3x2向上平移5个单位，可以得到抛物线y= ，得到的抛物线开口向，对称轴是，顶点坐标是；
(3)上面得到的两条抛物线的开口大小（填“相等”或“不等”）.
（二）创设情境，导入新课
师：上节课我们学习了形如y=ax2＋k二次函数的图象特点，本节课我们要学习另一种形式的二次函数的图象特点（板书：抛物线y=a(x-h)2的特点）.
师：（指准y=a(x-h)2）形如y=a(x-h)2的二次函数的图象有什么特点？还是让我们先来画两个具体函数的图象. （三）尝试指导，讲授新课
3.尝试题：在同一直角坐标系中，画出二次函数y=-1
2
(x+3)2，y=-
1
2
(x-3)2的图象.
y=-1
2
(x+3)2
y=-1
2
(x-3)2
（生尝试时，师将尝试题出示在黑板上，等多数同学画好后，师生共同完成黑板上的尝试题，两条抛物线用不同色彩笔画）
师：（指图象）二次函数y=-1
2
(x+3)2，y=-
1
2
(x-3)2的图象画好了，从画好的图象看，这两条抛物线的开口
是向上还是向下？生：（齐答）向下.
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
(x+3)2的对称轴是什么？（稍停）对称轴是这条直线（边讲边用虚线画对称轴），
因为这条直线上点的横坐标都为-3，所以我们把对称轴记作直线x=-3（边讲边在图中板书：直线x=-3）.
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
(x-3)2的对称轴是什么？（稍停）对称轴是这条直线（边讲边用虚线画对称轴），
对称轴记作什么？
记作直线x=3
.师：（指准图象）因为这条直线上点的横坐标都为3，所以我们把对称轴记作直线x=3（边讲边在图中板书：直线x=3）.
师：（指y=-1
2
(x+3)2的图象）我们再来看顶点，这条抛物线的顶点坐标是什么？
(-3，0).
师：（指y=-1
2
(x-3)2的图象）这条抛物线的顶点坐标是什么？
(3，0).
师：（用虚线画y=-1
2
x2的图象，并指准图象）这是二次函数y=-
1
2
x2的图象，请大家观察这三个图象，你发
现抛物线y=-1
2
x2和这两条抛物线有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）
生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
x2和这两条抛物线相比，它们的形状相同，只是位置不同.把抛物线y=-
1
2
x2
向左平移3个单位，就得到抛物线y=-1
2
(x+3)2；把抛物线y=-
1
2
x2向右平移3个单位，就得到抛物线
y=-1
2
(x-3)2.
师：（指准板书）左右平移抛物线y=-1
2
x2可以得到抛物线y=-
1
2
(x+3)2，抛物线y=-
1
2
(x-3)2，那么左右平
移哪条抛物线可以得到抛物线y=a(x-h)2?
生：抛物线y=ax2.（让几名学生回答后师板书：左右平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x-h)2）
师：（指准图象）因为左右平移抛物线y=ax2可以得到抛物线y=a(x-h)2，所以它们的开口方向相同，开口大小相同，而对称轴不同，顶点不同.
师：抛物线y=ax2的开口方向怎么确定？
生：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.
师：抛物线y=a(x-h)2的开口方向怎么确定？
生：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.（生答师板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）
师：抛物线y=ax2的对称轴是什么？
生：（齐答）y轴.
师：抛物线y=a(x-h)2的对称轴是什么？
生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准板书）抛物线y=-1
2
(x+3)2的对称轴是直线x=-3，抛物线y=-
1
2
(x-3)2的对称轴是直线x=3，可见
抛物线y=a(x-h)2的对称轴是直线x=h（板书：(2)对称轴是直线x=h）. 师：抛物线y=ax2的顶点是什么？
生：（齐答）是原点.
师：抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标是什么？
生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
(x+3)2的顶点坐标是(-3，0)，抛物线y=-
1
2
(x-3)2的顶点坐标是(3，0)，可见
抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标是(h，0)（板书：(3)顶点坐标是(h，0)）.
师：抛物线y=ax2的开口大小怎么决定？
生：｜a｜越小，开口越大.
师：抛物线y=a(x-h)2的开口大小怎么决定？
生：｜a｜越小，开口越大.（生答师板书：(4)｜a｜越小，开口越大）
师：（指板书）这就是抛的线y=a(x-h)2的四个特点，下面请大家做几个练习.
（四）试探练习，回授调节
4.填空：
(1)把抛物线y=4x2向平移个单位，可以得到抛物线y=4(x+6)2，抛物线y=4(x+6)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=4x2向平移个单位，可以得到抛物线y=4(x-5)2，抛物线y=4(x-5)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(3)把抛物线y=-2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-2(x+7)2，抛物线y=-2(x+7)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(4)把抛物线y=-2x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-2(x-4)2，抛物线y=-2(x-4)2的开口向，
对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .
（五）归纳小结，布置作业
师：（指板书）本节课我们学习抛物线y=a(x-h)2的特点，请大家结合图象把这四个特点默读两遍.（生默读）课外补充作业
5.填空：
(1)把抛物线y=-1
4
x2向平移个单位，可以得到抛物线y=-
1
4
(x+2)2，抛物线y=-
1
4
(x+2)2的开口
向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=x2向平移个单位，可以得到抛物线y=(x-2)2，抛物线y=(x-2)2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(3)抛物线y=-1
4
(x+2)2比抛物线y=(x-2)2的开口（填“大”或“小”）.
6.利用上题确定的开口方向、对称轴和顶点，请在下面的直角坐标系中，大致画出抛物线y=-1
4
(x+2)2，抛
物线y=(x-2)2.
四、板书设计
课题：22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象（第3课时）
一、教学目标
1.经历画图、观察、比较、归纳过程，知道抛物线y=a(x-h)2+k和抛物线y=ax2的关系，知道抛物线y=a(x-h)2+k
的特点.
2.培养画图能力和归纳概括能力，渗透数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：抛物线y=a(x-h)2+k的特点.
2.难点：归纳抛物线y=a(x-h)2+k的特点.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：抛物线y=a(x-h)2的特点：
(1)当时，开口向上；当时，开口向下；
(2)对称轴是直线x= ；
(3)顶点坐标是；
(4) 越小，开口越大.
2.填空：
(1)抛物线y=-1
2
x2的开口向，对称轴是，顶点是；
(2)把抛物线y=-1
2
x2向上平移3个单位，可以得到抛物线y= ，这个抛物线开口向，
对称轴是，顶点坐标是；
(3)把抛物线y=-1
2
x2向右平移2个单位，可以得到抛物线y= ，这个抛物线开口向，
对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .
（二）创设情境，导入新课
师：（板书：y=ax2+k）前面我们学习了形如y=ax2+k二次函数的图象特点，（板书：y=a(x-h)2）又学习了形如
y=a(x-h)2二次函数的图象特点.如果把这两种形式合起来（边讲边连线，如板书设计所示），二次函数成了什么样子？（稍停）成了y=a(x-h)2+k这种样子（边讲边板书：y=a(x-h)2+k）.本节课就来学习形如y=a(x-h)2+k 二次函数的图象特点（板书：抛物线y=a(x-h)2+k的特点）.
（三）尝试指导，讲授新课
师：抛物线y=a(x-h)2+k有什么特点？还是让我们来画一个具体函数的图象.
3.尝试题：在直角坐标系中，画出二次函数y=-1
2
(x-2)2+3的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（生尝试时，师将尝试题出示在黑板上，等多数同学做好后，师生共同完成黑板上的尝试题的画图过程）
师：（指图象）二次函数y=-1
2
(x-2)2+3的图象画好了，从图象看，这条抛物线的开口方向向上还是向下？
生：（齐答）向下.（板书：开口方向向下）
师：（指图象）这条抛物线的对称轴是什么？
生:……（让几名学生回答）
师：对称轴是这条直线（边讲边用虚线画对称轴），可见对称轴是直线x=2（板书：对称轴是直线x=2）. 师：（指图象）这条抛物线的顶点坐标是什么？
生：……(让几名学生回答)
师：（指准图象）顶点是这一点，顶点坐标是（2，3）.
师：（用虚线画y=-1
2
x2的图象，并指准图象）这是抛物线y=-
1
2
x2，这是抛物线y=-
1
2
(x-2)2+3，请大家观
察这两个图象，你发现这两条抛物线有什么关系？（让生观察一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准图象）这两条抛物线形状相同，只是位置不同.把抛物线y=-1
2
x2向上平移3个单位，再向右平移2
个单位，就得到抛物线y=-1
2
(x-2)2+3.
师：从这个例子我们可以归纳出一个结论，什么结论？（师出示下面的板书）
把抛物线y=ax2先上下平移再左右平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.
师：请大家把这个结论一起来读一遍.（生读）
师：（指板书）因为这两条抛物线有这样的平移关系，所以抛物线y=a(x-h)2+k和抛物线y=ax2的开口方向相同，开口大小相同，而对称轴不同，顶点不同.
师：（指准板书）抛物线y=ax2的开口方向由a的符号决定，所以抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向也由a的符号决定，怎么由a的符号决定？
生：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.（生答师板书：(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下）
师：（指准板书）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是什么？
生：……（让几名学生回答）
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
(x-2)2+3的对称轴是直线x=2，可见抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，
（板书：(2)对称轴是直线x=h）.
师：（指准板书）抛物线y=ax2的顶点是原点，抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是什么？生：……（让几名学生回答）
师：（指准图象）抛物线y=-1
2
(x-2)2+3的顶点坐标是(2，3)，可见抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h，k)
（板书：(3)顶点坐标是(h，k)）.
师：（指准板书）这两条抛物线的开口大小相同，抛物线y=ax2的开口大小由｜a｜的大小决定，所以抛物线y=a(x-h)2+k的开口大小也由｜a｜的大小决定，怎么由｜a｜的大小决定？
生：｜a｜越小，开口越大.（生答师板书：(4)｜a｜越小，开口越大）
师：（指板书）这就是抛物线y=a(x-h)2+k的四个特点，下面请大家做几个练习.
（四）试探练习，回授调节
4.填空：
(1)把抛物线y=0.6x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=0.6(x-1)2+2，抛物线y=0.6(x-1)2+2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=0.6x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=0.6(x-1)2-2，抛物线y=0.6(x-1)2-2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(3)把抛物线y=-0.6x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=-0.6(x+1)2+2，抛物线y=-0.6(x-1)2+2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(4)把抛物线y=-0.6x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=-0.6(x+1)2-2，抛物线y=-0.6(x-1)2-2的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .
（五）归纳小结，布置作业
师：（指板书）本节课我们学习抛物线y=a(x-h)2+k的特点，请大家结合图象把这四个特点默读两遍.（生默读）
（作业：P37练习）
课外补充作业：
5.填空：
(1)把抛物线y=1
2
x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=
1
2
(x-2)2-3，
抛物线y=1
2
(x-2)2-3的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(2)把抛物线y=-x2向平移个单位，再向平移个单位，可以得到抛物线y=-(x+2)2+3，抛物线y=-(x+2)2+3的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(3)抛物线y=1
2
(x-2)2-3的开口比抛物线y=-(x+2)2+3的开口（填“大”或“小”）.
6.利用上题确定的开口方向、对称轴和顶点，请在下面的直角坐标系中，大致画出抛物线y=1
2
(x-2)2-3，抛
物线y=-(x+2)2+3.
四、板书设计
课题：22.1.4二次函数y=ax+bx+c的图象（第1课时）
一、教学目标
1.会用配方法将形如y=ax2+bx+c的二次函数转化为形如y=a(x-h)2+k的二次函数，会确定抛物线的开口方向、
对称轴和顶点坐标.
2.发展式的变形能力，渗透转化思想.
二、教学重点和难点
1.重点：用配方法将二次函数的一般形式转化为标准形式.
2.难点：用配方法将二次函数的一般形式转化为标准形式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：抛物线y=a(x-h)2+k的特点：
(1)当时，开口向上；当时，开口向下；
(2)对称轴是直线x= ；
(3)顶点坐标是；
(4) 越小，开口越大.
2.填空：
(1)抛物线y=-2(x-0.5)2+1.6的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(2)抛物线y=2(x-0.5)2-1.6的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是；
(3)抛物线y=-2(x+0.5)2+1.6的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .
(4)抛物线y=2(x+0.5)2-1.6的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 .
（二）创设情境，导入新课
（师出示下面的板书）
抛物线y=a(x-h)2+k的特点：
(1)当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h；
(3)顶点坐标是(h，k)；
(4)｜a｜越小，开口越大.
师：(指准板书)上节课我们学习了抛物线y=a(x-h)2+k的特点，抛物线y=a(x-h)2+k有这么四个特点.第一个特点是，抛物线的开口方向由a的符号决定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.第二个特点是，抛物线的对称轴是直线x=h.第三个特点是，抛物线的顶点坐标是(h，k).第四个特点是，抛物线的开口大小由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，抛物线的开口越大；｜a｜越大，抛物线的开口越小.
师：本节课我们要学习什么？（稍停）让我们来看一个例题.
（三）尝试指导，讲授新课
（师出示例1）
例1 写出抛物线y=2x2+4x+5的开口方向、对称轴和顶点坐标.
师：（指例1）怎么做这个题？大家先想一想.（让生思考一会儿）
师：哪位同学找到了解题思路？
生：……（让几名同学发表看法）
师：（指准板书）形如y=a(x-h)2+k的二次函数，我们可以直接指出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.y=2x2+4x+5是这种形式的二次函数吗？
生：（齐答）不是.
（指准板书）那怎么确定抛物线y=2x2+4x+5的开口方向、对称轴和顶点坐标？（稍停）我们可以把y=2x2+4x+5师：
化成y=a(x-h)2+k的形式.怎么化呢？（稍停）通过配方来化.下面我们一起来化.
（以下师讲解板书，解题过程如下）
解：2x2+4x+5=2(x2+2x)+5=2(x2+2x+1-1)+5
=2(x2+2x+1)-2+5=2(x+1)2+3
∴y=2(x+1)2+3
因此，抛物线y=2x2+4x+5的开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是
（-1，3）.
（四）试探练习，回授调节
3.把下列二次函数化成y=a(x-h)2+k的形式：
(1)y=-3x2+12x-7；
(2)y=2x2+2x.
4.利用上题结果填空：
(1)抛物线y=-3x2+12x-7的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是
；
(2)抛物线y=2x2+2x的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是
.
（五）尝试指导，讲授新课
师：我们再来看一道例题.
(师出示例2)
例2 写出抛物线y=-1
2
x2+6x-21的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下)
解：-1
2
x2+6x-21=-
1
2
(x2-12x)-21=-
1
2
(x2-12x+36-36)-21
=-1
2
(x2-12x+36)+18-21=-
1
2
(x-6)2-3
∴y=-1
2
(x-6)2-3
因此，抛物线y=-1
2
x2+6x-21的开口向下，对称轴是直线x=6，顶点坐标是
(6，-3).
（六）试探练习，回授调节
5.写出抛物线y=1
2
x2+3x+4的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（七）归纳小结，布置作业
师：(指准板书)我们知道，形如y=a(x-h)2+k的二次函数可以直接指出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.但是像y=2x2+4x+5又该怎么办呢?(稍停)先通过配方把函数化成y=a(x-h)2+k这种形式，再确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（作业：P39练习）
四、板书设计
课题：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（第2课时）
一、教学目标
1.经历把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k形式的过程，知道抛物线y=ax2+bx+c的特点.
2.发展式的变形能力，渗透转化思想和数形结合思想.
二、教学重点和难点
1.重点：抛物线y=ax2+bx+c的特点.
2.难点：把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.
三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.把y=3x2+2x+1化成y=a(x-h)2+k的形式.
2.利用上题结果填空：抛物线y=3x2+2x+1的开口向，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 . （二）尝试指导，讲授新课
师：我们已经会把一个具体的二次函数化成y=a(x-h)2+k这种形式，那么一般地，（板书：y=ax2+bx+c）怎么把二次函数y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k这种形式呢？请大家先自己试一试.
(生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间)
师：好了，下面我们一起来化.
师：(指准板书)第三，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是什么?(稍停后指准)顶点的横坐标是
b 2a ，纵坐标是
2
4ac b
4a
（板书：(3)顶点坐标是（
b
2a
，
2
4ac b
4a
））.
师：(指准板书)最后，抛物线的开口大小也是由｜a｜的大小决定，｜a｜越小，开口越大(板书：(4)｜a｜越小，开口越大).
师：(指准板书)这就是抛物线y=ax2+bx+c的四个特点，在这四个特点中，x=
b
2a
实际上是求对称轴的公式，
(
b
2a
，
2
4ac b
4a
)实际上是求顶点坐标的公式.下面我们来看一个利用公式求对称轴和顶点坐标的例
子.
（师出示例题）
例利用公式求抛物线y=3x2+2x的对称轴和顶点坐标. (以下师边讲解边板书，解题过程如下)
解：a=3，b=2,c=0
b 2a =
21
233
22
4ac b43021 4a433
因此，抛物线y=3x2+2x的对称轴是直线x=1
3
，顶点坐标是（
1
3
，
1
3
）.
（三）试探练习，回授调节
3.利用公式求抛物线y=-2x2+x-1的对称轴和顶点坐标.
（四）归纳小结，布置作业
师：本节课我们学习了抛物线y=ax2+bx+c的特点，请大家把这四个特点再看一看，记一记.(生默读) 课外补充作业
4.利用公式求下列抛物线的对称轴和顶点坐标：
(1)y=x2+4x；
(2)y=-3x2+12x-8.
5.根据抛物线的特点，在下面的直角坐标系中，大致画出抛物线y=x2+4x，抛物线y=-3x2+12x-8.
四、板书设计
课题：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象（第3课时）
一、教学目标
1.了解从抛物线y=ax 2
特点到抛物线y=ax 2
+bx+c 特点的探索过程. 2.会利用抛物线y=ax 2+bx+c 的特点画二次函数的图象，培养画图能力. 二、教学重点和难点
1.重点：利用抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点画二次函数的图象. 2.难点：列表时x 值的选取. 三、教学过程
（一）基本训练，巩固旧知
1.填空：抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点：
(1)当a ＞0时，开口向 ；当a ＜0时，开口向 ； (2)对称轴是直线x= ； (3)顶点坐标是 ； (4)｜a ｜越 ，开口越大. 2.填空：
(1)通过配方，y=2x 2
+12x+13可化成y=2(x+ )2
- ，抛物线y=2x 2
+12x+13的开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标是 ； (2)利用公式可以确定，抛物线y=1
2
x 2+3x-2.5的开口向 ，对称轴是直线x= ，顶点坐标
是 ；
(3)抛物线y=2x 2
+12x+13比抛物线y=1
2
x 2
+3x-2.5的开口 (填“大”或“小”). （二）创设情境，导入新课
（以上的演进图要结合下面的讲解逐步板书出来）
师：前面我们学习了抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点（边讲边板书：y=ax 2
+bx+c )，抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点我们不是一下子得出来的，而是经历了一个逐步的探索过程.
师：首先我们从比较简单的二次函数y=ax 2
入手（边讲边板书：y=ax 2
），通过画图、观察，归纳出抛物线y=ax 2
的特点.
师：把抛物线y=ax 2
上下平移（边讲边连线并板书：上下平移），可以得到抛物线y=ax 2
+b （边讲边板书：y=ax 2
+k ）.从上下平移关系，得出抛物线y=ax 2
+k 的特点.
师：把抛物线y=ax 2
左右平移(边讲边连线并板书：左右平移)，可以得到抛物线y=a(x-h)2
(边讲边板书：y=a(x-h)2
).从左右平移关系，得出抛物线y=a(x-h)2
的特点.
师：把抛物线y=ax 2
上下平移再左右平移（边讲边连线），可以得到抛物线y=a(x-h)2
+k(边讲边板书：y=a(x-h)2
+k ).从上下平移左右平移关系，得出抛物线y=a(x-h)2
+k 的特点.
师：最后，我们得出了抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点，怎么得出的?(稍停)我们通过配方(连线并板书：配方)，把y=ax 2
+bx+c 化成y=a(x-h)2
+k 这种形式，从而得出抛物线y=ax 2
+bx+c 的特点.
y=ax 2+bx +c
配方
y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2
y=ax 2+k
移
平右左
移
平
下
上y=ax 2
师：(指准演进图)从探索抛物线y=ax2的特点出发，到得出抛物线y=ax2+bx+c的特点结束，这个过程体现了一个重要的数学思想，就是把复杂问题不断转化为简单问题，然后按照从简单到复杂的顺序来思考问题.希望同学们能够体会这种思考问题的方法.（擦掉演进图）
师：到这里我们学完了二次函数的图象特点，有的同学可能会问：学图象特点有什么用啊?掌握二次函数的图象特点有很多用处，这节课我们先来介绍一个用处——利用图象特点画图象.
（三）尝试指导，讲授新课
师：譬如，(板书：y=2x2+12x+13)前面我们做了练习，确定了抛物线y=2x2+12x+13的开口方向、对称轴和顶点坐标.开口向上还是向下?
生：(齐答)向上.（生答师板书：开口向上）
师：对称轴是什么?
生：(齐答)对称轴是直线x=-3.（生答师板书：对称轴是直线x=-3）
师：顶点坐标是什么?
生：(齐答)顶点坐标是(-3，-5).（生答师板书：顶点坐标(-3，-5)）
师：利用这些特点，我们可以大致画出抛物线，怎么画呢?
(师出示下面的直角坐标系)
师：（指准上图）这一点是(-3，-5)，以这一点为顶点，开口向上，画一条抛物线（边讲边画图），这条抛物线大致就是y=2x2+12x+13的图象（在图中板书：y=2x2+12x+13）.
师：（指准图象）这个图象是大致的，不很准确，不准确在什么地方?（稍停）开口大小不准确.怎么画比较准确的图象?还得用描点法来画.
师：用描点法画图象，先要列表.
（师列出下表）
师：（指准表）列表时，先要取x值，x取哪几个值呢?大家想一想.（让生想一会儿再叫学生）生：……（让几名学生发表看法）
师：（指准草图）抛物线y=2x2+12x+13是轴对称图形，所以x先要取中间的那个值，也就是顶点的横坐标-3（边讲边填入-3）.
师：然后按对称性在-3的两边取-2和-4（边讲边填入：-2，-4），再取-1，-5(边讲边填入：-1，-5).
(以下师生共同完成列表、描点和连线过程，描点前师出示下面的直角坐标系)
（四）试探练习，回授调节
3.用描点法画出二次函数y=1
2
x2+3x-2.5的图象
本资源的初衷，是希望通过网络分享，能够为广大读者提供更好的服务，为您水平的提高提供坚强的动力和保证。内容由一线名师原创，立意新，图片精，是非常强的一手资料。 二次函数 教学目标知识 技能 1.通过回顾教材，说出二次函数的定义；能画出二次函数的图象；能从图象上认识二 次函数的性质；掌握各类函数之间的平移规律. 2.通过练习，能够根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实 际问题. 过程 方法 通过让学生练习，进一步体会数学建模思想，进一步体验用配方法和数形结 合思想等解决问题的方法. 情感 态度 1．通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣； 2．让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣. 重点有关二次函数的基础知识及二次函数的实际应用. 难点灵活运用二次函数的有关知识解决实际问题. 环节教学问题设计教学活动设计 知识回顾1.二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增 大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对 称轴右侧，y随x的增大而 , 在对称轴左侧，y随x的增大而 . 2.抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最 值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值 3．抛物线8 2 2- - =x x y的对称轴为直线____，顶点坐标为___，与 y轴的交点坐标为____； 4.如何平移3 )1 ( 3 1 2- + - =x y 的图象可得到函数2 3 1 2+ - =x y. 5.已知二次函数c bx ax y+ + =2的 教师引入课题后利用 学案出示问题组.学生 自主完成填空， 教师巡视学生完成情 况，然后找学生说出答 案，同时要求学生总结 解决以上问题所运用的 知识点、方法及规律. 3、4两题要指导学生画 出草图，养成据图分析 问题的习惯， 教师指导学生利用数
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
第二十二章二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 22．1.1 二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一.创设情境，导入新课 问题1 现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)．
二.合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000 (3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，称a为二次项系数，b为一次项系数，c
第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 教学目标 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 教学过程 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的形式． 板书：我们把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
《二次函数》教案 第一课时 ★新课标要求 一、知识与技能 1．能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．2．注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯．二、过程与方法 1．让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系模型的过程． 2．使学生进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系，发展概括及分析问题、解决问题的能力． 三、情感、态度与价值观 通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，服务于生活的辩证观点． ★教学重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．★教学难点 本课时的难点是通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律． ★教学方法 注意让学生参与对问题的分析、讨论过程，在探索中了解二次函数及相关的概念；结合列函数式的讨论，可适当引导学生对问题的结论进行猜想． ★教学过程 一、引入新课 1．设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2．试将计算结果填写在下表的空格中， 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大，最大面积为50m2． 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见．形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10． 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=x m时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式． 二、进行新课 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0．1元，其销售量可增加10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
教学内容 二次函数的图象与性质（1） 本节共需7课时 本课为第1课时 主备人：黄维贤 教学目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点 通过画图得出二次函数特点 教学难点 识图能力的培养 教具准备 坐标小黑板一块 课型 新授课 教学过程 初 备 统 复 备 情境导入 我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数 x y 3= x y 3 =的图象分别是 、 ，那么二次函数2 x y =的图象是什么呢？ （1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时 如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的 值时，y 的值如何？ （2）观察函数2 x y =的图象，你能得出什么结论？ 实践与 探索1 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1）22x y = （2）2 2x y -= 共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点：2 2x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边， 曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升． 22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最 高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 注意点： 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探 索2 例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解（1）由题意，得)0 ( 16 1 2> =C C S． 列表： 描点、连线，图象如 图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周 长是4cm． （3）根据图象得， 当C≥8cm时，S≥4 cm2． 注意点： （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 2 4 6 8 … … 小结与作 业课堂小结： 通过本节课的学习你有哪些收获？课堂作业： 课本P 习题 家庭作业： 《九年级教辅资料》对应题 教学后记：
单元备课 一、单元名称：二次函数 二、单元教学内容及教材分析 “二次函数”这章主要要求学生在掌握好原来的一次函数、正比例函数的基础上，进一步学习二次函数的初步知识。本章采用由简入繁的方式对各种形式的二次函数进行了系统的学习。尤其与旧教材不同的是，加入了函数的平移，从而对函数的图像进行了更深入的理解。 对二次函数的表达式问题中，要求了三种形式，而且对二次函数表达式的确定要求的也非常具体。对二次函数与一元二次方程的关系中，也与旧教材有鲜明的对比。在这一节中，一直采用探究的形式对一元二次方程的根的情况和二次函数进行对比、研究。最后，对二次函数的应用部分，教材中大胆采用了前几年的部分中考题，让人感到紧跟中考方向。另外，从题目的难度看，虽然比旧教材的题目减少了，但是题目的难度却有增无减，这给教师的教和同学们的学都是一个大的考验。 三、单元教学重点难点 重点：1.掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.学会分析简单的二次函数的有关问题。 难点1、二次函数与一元二次方程的关系。 2、二次函数的应用题。 四、单元教学目标 1.知识与技能：让学生掌握各种形式的二次函数的图像和性质，并会求解二次函数的表达式。 2.过程与方法：通过学习和探究会分析简单的二次函数的有关问题。 3.情感态度价值观：要让学生认识到轴对称图形的美感，并理解二次函数的应 用之广泛。 五、主要教学方法、手段、选用的教学媒体 本章主要采用讨论探索和类比学习的方法，对教材内容让学生先学后教，让学生首先有一个基本的认识，然后指导学生先对基本的题目进行自学、讨论，然后总结规律，最后教师进行点评。选用班班通媒体辅助教学。 六、单元课时安排 22.1 二次函数的图象和性质 7课时 22.2 二次函数与一元二次方程 2课时 22.3 实际问题与二次函 3课时 小结 1课时 第二十二章单元测试题选讲 2课时
22.1 二次函数的图象和性质 一、内容和内容解析 1．内容 二次函数的概念． 2．内容解析 本章是在学习了一次函数的基础上，继续进行函数的学习，是对函数知识的完善与提高，为高中继续学习函数作准备． 学习一种函数包括以下基本内容：(1)通过具体实例认识这种函数；(2)探索这种函数的图象和性质；(3)利用这种函数解决实际问题；(4)探索这种函数与相应方程等的关系．本章“二次函数”的学习也是从以上几个方面展开的． 二次函数的概念是通过具体问题引入的，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立函数中的数量关系和变化规律．这些内容的学习有助于学生初步形成建模思想，提高学习数学的兴趣和应用意识． 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解二次函数的定义． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． (2)通过探索实际问题中两个变量之间的关系的过程，向学生渗透类比思想、建模思想，让学生体会数学与生活之间的联系． 2．目标解析 达成目标(1)的标志是：学生能够通过实例列出函数解析式，通过观察解析式的共同点归纳出二次函数的定义，并知道表示二次函数的解析式中字母的意义，能根据给出的函数解析式判断一个函数是不是二次函数． 目标(2)体现在学生达成目标(1)的活动的过程中，达成的标志是：学生在正确描述出函数解析式的过程中，积极类比、思考，以自身的实际经验为基础，体会二次函数与生活之间的联系． 三、教学问题诊断分析 学生在思考y ＝6x 2，m ＝221n －n 2 1，y ＝20x 2＋40x ＋20的共同特征时，发现函数的特征不容易统一，所以引导学生先回忆一次函数的定义，对比一次函数与以上等式的异同，发现以上等式右边为自变量的二次式，并发现二次项系数a ≠0是必要条件，而b ，c 为常数即可． 基于以上分析，本节课的教学难点是：从实例中归纳出二次函数的定义及二次函数的辨析． 四、教学过程设计 1．由实际生活引入二次函数 多媒体显示第二十二章章前图等图片． 问题1 花园的喷水池喷出的水，河上架起的拱桥都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？ 师生活动：学生观察图片，并阅读章引言的内容．这些都是实际生活中经常见到的，这些都将在本章——二次函数中学习． 设计意图：通过实际问题说明二次函数存在于生活中以及学习二次函数的必要性． 2．通过实例，归纳二次函数的定义 问题2 正方体的棱长为x ，那么正方体的表面积y 与x 之间有什么关系？ 师生活动：学生独立思考，正方体共有六个面，它们都是全等的正方形，边长为x ，一个面
第2课时实际问题与二次函数（2） ※教学目标※ 【知识与技能】 将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用. 【过程与方法】 通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神. 【教学重点】 利用二次函数解决有关拱桥问题. 【教学难点】 建立二次函数的数学模型. ※教学过程※ 一、问题导入 问题为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 答案解：（1）由题意，得() 7002045201600 y x x =--=-+. （2）P=()()()2 2 402016002024006400020608000 x x x x x --+=-+-=--+，∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元. （3）由题意，得()2 206080006000 x --+=.解得 150 x=，270 x=． ∵抛物线()2 20608000 P x =--+的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x≤58，∴50≤x≤58.∵在201600 y x =-+中，20 k=-＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x=58时，y最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒. 二、探索新知 探究图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？ 提问 （1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？ （2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析 式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？ （3）题中“水面下降1m的含义是什么？”水面下降的同
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
第二十二章二次函数单元教学计划 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
第二十二章二次函数单元测试 一、单选题(共10题；共30分) 1、西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是() A、y＝－(x－)2＋3 B、y＝－3(x＋)2＋3 C、y＝－12(x－)2＋3 D、y＝－12(x＋)2＋3 2、抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是( ) A、B、C、D、 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A、2 B、4 C、8 D、16 4、抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为 A、 B、C、D、 5、下列关系式中，属于二次函数的是(x是自变量)()
A、y= B、y= C、y= D、y=ax2+bx+c 6、下列函数解析式中，一定为二次函数的是() A、y=3x﹣1 B、y=ax2+bx+c C、s=2t2﹣2t+1 D、y=x2+ 7、抛物线y=﹣2x2+4的顶点坐标为( ) A、(4，0) B、(0，4) C、(4，2) D、(4，﹣2) 8、已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为xm，圆柱的侧面积为ym2，则y与x的函数关系式为( ) A、y=﹣2πx2+18πx B、y=2πx2﹣18πx C、y=﹣2πx2+36πx D、y=2πx2﹣36πx 9、已知将二次函数y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣4x﹣5，则b，c的值为( ) A、b=0，c=6 B、b=0，c=﹣5 C、b=0，c=﹣6 D、b=0．c=5 10、(2020?梧州)2020年5月22日﹣29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣ x2+bx+c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ) A、y=﹣ x2+ x+1 B、y=﹣ x2+ x﹣1 C、y=﹣ x2﹣ x+1 D、y=﹣ x2﹣ x﹣1 二、填空题(共8题；共30分) 11、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数________和________的图象交点的横坐标来求得．
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质课题： 22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 （2）． 1 课时 教学设计 课标要求 1、让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 2、理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 教材及学情分析 1、教材分析： 二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，学生在学习了正比例函数、一次函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是今后学习其它初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。 2、学情分析 九年级的学生，在讲本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图像和性质，从知识结构上看他们已经具备了继续探究二次函数的图像和性质的基础。学生自主探究和合作交流的能力较强，并且他们比较、分析、抽象和概括的能力也有较大提高。但也有一些问题，求函数的解析式、由函数图象得出有用的信息的能力有待提高。 课时教学目标 1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象． 2．让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质． 3．理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 重点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系难点理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系． 教法学法 指导 启发法发现法练习法 教具 准备 课件 教学过程提要
第22章 二次函数单元测试题 一、选择题（共24分） 1、抛物线1)3(22+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．(3，1) B ．(3，－1) C ．(－3，1) D ．(－3，－1) 2、将抛物线y =（x ﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ． y =（x ﹣2）2 B ． y =（x ﹣2）2+6 C ． y =x 2+6 D ． y =x 2 3、已知二次函数y =x 2－3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x +m =0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=－1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3 4、下列二次函数中，图像以直线x =2为对称轴，且经过点(0,1)的是 （ ） A 、1)2(2+-=x y B 、1)2(2++=x y C 、3)2(2--=x y D 、3)2(2-+=x y 5、若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x －a )(x －b ) = 1(a < b )的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为（ ） A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 6、)0(1≠+=k n kx y 与二次函数)0(2 2≠++=a c bx ax y 的图象相交于A (1-，5)、B (9，2)两点，则关于x 的不等式c bx ax n kx ++≥+2 解集为( ) A 、91≤≤-x B 、91<≤-x C 、91≤<-x D 、1-≤x 或9≥x 7、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 上，点 ),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ） A ．50->x B ．10->x C ．150-<<-x D ．320<<-x 8、若二次涵数y =ax +bx +c (a ≠0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x 1，0)，(x 2，0)，且x 1 初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十二章二次函数 22．1二次函数的图象和性质 22．1.1二次函数 1．从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系． 2．理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式． 3．会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 重点 二次函数的概念和解析式． 难点 本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力． 一、创设情境，导入新课 问题1现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题)． 二、合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)； (2)王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m)，种植面积为y(m2)． (一)教师组织合作学习活动： 1．先个体探求，尝试写出y与x之间的函数解析式． 2．上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨． (1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112 (二)上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法． 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a 第单元.第课时.总第课课 题 22.1 二次函数 教学目标 （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教 法 教 具 问题引导法 课时 安排 一课时 课 前 准 备 复习初二一次函数的相关内容，作为二次函数的铺垫 教学过程一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC 的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围， [x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2] 5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。 [y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)] 将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为： y=－2x2＋20x (0＜x＜10) (1) 将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为： y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2) (2) 三、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答； (1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个? (各有1个) (2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式? (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) (4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？ 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y 取得最大值。 2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系 人教版九年级数学（下）第二十六章 二次函数课时教学案 26．1二次函数（一） 一、学习目标 1．知识与技能目标： （1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。 二、学习重点难点 1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。 （一）前置作业、导入新课： 回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流： 问题1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。 问题2： n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系? 问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如 。 问题6：函数y=ax2+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ （三）尝试应用： 例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值． 注意：二次函数的二次项系数必须是 的数。 例2． 已知关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函 m m 2 21)x (m y --= 第二十二章二次函数22.1.1 二次函数的定义 （第2题） ，结果精确到0.1 m2）22.1.2 二次函数 y＝ax2 的图象和性质 教 学 目 标 知识 与技能 1．会用描点法画二次函数 y＝ax2的图像，理解抛物线的有关概念 2．掌握二次函数2 ax y=的性质，能确定二次函数 y＝ax2的表达式 过程 与方法 通过画具体的简单二次函数的图像，探索出二次函数 y＝ax2的性质及图像特征 情感态度 与价值观 使学生经历探索二次函数 y＝ax2图像性质的过程，培养学生观察、思考、归纳 的良好思维习惯。 教学重点 1．二次函数2 ax y=的图象的画法及性质。 2．能确定二次函数 y＝ax2的解析式。 教学难点 1．用描点法画二次函数 y＝ax2的图像，探究其性质。 2．能依据二次函数 y＝ax2的有关性质解决问题。 教学互动设计备注复习：二次函数的定义？一般形式？判断方法？ 回顾 上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质． 在研究一次函数时，曾借助图象了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图象入手． 1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 我们知道，一次函数的图象是一条直线．那么，二次函数的图象是什么？它有什么特点？ 又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y＝ax2的图象与性质． 例1、画二次函数y＝x2的图象． 解：列表．（一般取7组值，或更多） 在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次（按x由小到大）连结各点（连线），得到函数y＝x2的图象，如图所示． 提问：通过画图和观察图象，你能发现图象有什么 特征？ 像这样的曲线通常叫做抛物线．（二次函数 的图象←→抛物线）它有一条对称轴，（对称轴是 y轴或直线x=0）抛物线与它的对称轴的交点叫做 抛物线的顶点．（抛物线上最高或最低点←→二次 函数的最大值或最小值） 做一做 （1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？ （2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？ 九年级上二次函数章节训练 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 若y=(2?m)x m2?3是二次函数，则m的值为( ) A.±√5 B.√5 C.?√5 D.0 2. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为() A.50m B.100m C.160m D.200m 3. 二次函数y=x2+1的图象大致是() A. B. C. D. 4. 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q 出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛 t2；③直线物线的一部分）.则下列结论：①AE=6cm；②当0 (x?6)2+3的图象，下列叙述错误的是（） 5. 下列关于函数y=1 2 A.图象是抛物线，开口向上 B.对称轴为直线x=6 C.顶点是图象的最高点，坐标为(6,?3) D.当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大 ,?1)，6. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(1 2 则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③b2?4ac>0；④a+b+c<0．其中正确的是________（填序号） 7. 如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分，对称轴是直线x= 1．①b2>4ac；②4a?2b+c<0；③不等式ax2+bx+c>0的解集是x≥3.5； ④若(?2,?y1)，(5,?y2)是抛物线上的两点，则y1初中数学人教版九年级上册：第22章《二次函数》全章教案
第22章二次函数教案
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人教版数学九年级上第22章 二次函数章节训练
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