相似三角形的判定
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概述
适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
新人教版
课时时长（分钟）
120
知识点 1、相似三角形的定义
2、利用平行法判定三角形相似
3、相似三角形形的判定定理
教学目标 1、 了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定，并应用其
解决一些问题
2、 经历类比全等三角形的知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，
进一步探索相似三角形的判定及其应用
3、在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受学习的乐趣增强学
习数学的兴趣
教学重点 1、利用平行法判定三角形相似
2、相似三角形形的判定定理
教学难点 1、利用平行法判定三角形相似
2、相似三角形形的判定定理
【教学建议】 相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，
而“相似三角形判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在.在本章教学中，我 们建议重点培养学生提出问题、解决问题的能力，让学生在亲自操作、探究的过程中，获得 三角形相似的判定方法.
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【知识导图】
相似三角形的判定
相似三角形的定义 利用平行法判定三角形相似
相似三角形的判定定理
判定定理1（SSS） 判定定理2（SAS） 判定定理3（AA）
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
态．通过实践测量对比，调动学生学习的兴趣和积极性. 小明用长度分别为 30cm、40cm、50cm 的三根木条做成一个三角形框架，并计划用一根长 度为 60cm 的木条再做一个形状相同的三角形框架. 小明应该在找两根多长的木条？
二、复习预习
相似多边形的性质： ① 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的算 术平方根）.
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③相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. ④反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似 上节课学习了相似多边形形及性质，今天我们继续探究如何判定两个三角形相似？
三、知识讲解
考点 1 相似三角形的定义
（1）相似三角形的定义：若两个三角形的三个角分别相等，三条变成比例，则这两个三角
形相似.相似三角形的定义是由相似多边形的定义迁移得到的.
（2）相似三角形的表示：如果 ?ABC与 ?A' B'C ' 相似，就记作 ?ABC∽ ?A' B'C ' ，符号“∽”
读作相似于，利用“∽”表示图形相似时，对应顶点要写在对应的位置上，主要目的是为了
指明对应角，对应边.
（3）相似比：两个三角形相似，对应边的比叫做相似比，相似比是有顺序的，若
?ABC与?A1B1C1
的相似比为
k,那么
?A1 B1C 1与?ABC的相似比为 1 k
.
知识拓展：（1）相似三角形于全等三角形的联系与区别;全等三角形的大小相等，形状相同，
而相似三角形的形状相同，大小不一定相等，所以全等三角形是相似三角形的特例，相似比
等于 1:1 的两个相似三角形是全等三角形.
（2）书写两个三角形是相似时，要注意对应点的位置要一致，即若 ?ABC相似?DFE , 则
说明 A 的对应点是 D,B 的对应点是 E,C 的对应点是 F.
（3）相似三角形的传递性：如果 ?ABC∽ ?A' B'C ' , ?A' B'C ' ∽ ?A"B"C" 那么. ?ABC∽
?A"B"C "
考点 2 利用平行法判定三角形相似
平行于三角形的一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角 形相似
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知识拓展：符合相似特征的图形有 “A”字型和“X”字型等，如下图所示:
考点 3 相似三角形形的判定定理 1（SSS）
判定定理 1：三边成比例的两个三角形相似.
几何叙述：如图所示，在
和
AB 中，若 A' B'
BC ?
B 'C '
AC ?
A'C ' ，则 ?ABC
∽ ?A' B'C '
考点 4 相似三角形的判定定理 2（SAS）
判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
几何叙述：如图所示：在
和
AB ? AC , ?A ? ?A'
中，A' B' A'C '
，则 ?ABC
∽ ?A' B'C '
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知识拓展：（1）对于已知两边的长度及边的夹角相等的情况，常用此定理判定两个三 角形相似.
（2）应用此定理判定时，一定要注意必须是两边夹角相等才行. （3）应用此定理判定时，还要注意一些隐含条件，如公共边、对顶角等.
考点 5 相似三角形的判定定理 3（AA）
判定定理 3：两个角分别相等的两个三角形相似.
几何叙述：如图所示，在
和
中，若 ?A ? ?A' , ?B ? ?B ' , 则 ?ABC∽ ?A' B'C '
知识拓展：（1）在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一 组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等. （2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似（此知识常用，但 是有时需要证明） （3）若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成 比例，则这两个直角三角形相似.
四 、例题精析 类型一 相似三角形的定义
例题 1
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如图，△ACD 和△ABC 相似需具备的条件是（ ）
A．
B．
C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?B
【解析】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： = ， ∴AC2=AD?AB． 故选 C． 【总结与反思】题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形
相似，得出添加的条件只能是 = ，根据比例性质即可推出答案．
类型二 相似三角形的判定
例题 2
下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ）
A．∠A=∠E 且∠D=∠F
B．∠A=∠B 且∠D=∠F
C．∠A=∠E 且
D．∠A=∠E 且
【解析】解：A、∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项 错误； B、∠A=∠B，∠D=∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由
可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出
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△ABC 与△DEF 相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E 且 故选：C．
不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
【总结与反思】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相 似可以判断出 A、B 的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两 个三角形相似可以判断出 C、D 的正误，即可选出答案．
例题 3
如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC=
，在 AC 边上截取 AD=BC，连接 BD．
（1）通过计算，判断 AD2 与 AC?CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．
【解析】解：（1）∵AD=BC，BC=
，
∴AD=
，DC=1﹣
=
．
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∴AD2=
=
，AC?CD=1×
=
．
∴AD2=AC?CD． （2）∵AD=BC，AD2=AC?CD，
∴BC2=AC?CD，即
．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴
，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【总结与反思】（1）先求得 AD、CD 的长，然后再计算出 AD2 与 AC?CD 的值，从而可得到
AD2 与 AC?CD 的关系；
（2）由（1）可得到 BD2=AC?CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△
BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质
和三角形的内角和定理可求得∠ABD 的度数．
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五 、课堂运用
基础
1. 如图所示，在?ABCD 中，BE 交 AC，CD 于 G，F，交 AD 的延长线于 E，则图中的相似三角 形有（ ）
A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 2.如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）
3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（4，0）、B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A
不重合），当点 C 的坐标为
时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似（至
少找出两个满足条件的点的坐标）．
4. 如图，在△ABC 中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB 的垂直平分线分别与 AC、AB 交于点 D、 E，连接 BD．求证：△ABC∽△BDC．
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答案与解析 1.【答案】D． 【解析】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA， AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB． 共有 6 对，故选 D． 2. 【答案】解：由题意得，∠A=∠A（公共角）， 则可添加：∠ADE=∠ACB，利用两角法可判定△ADE∽△ACB． 故答案可为：∠ADE=∠ACB（答案不唯一）． 【解析】根据相似三角形的三种判定方法即可． 3. 【答案】（﹣1，0）；（1，0）． 【解析】解：∵点 C 在 x 轴上，∴点 C 的纵坐标是 0，且当∠BOC=90°时，由点 B、O、C 组 成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC 应该与∠BOA=90°对应， ①当△AOB∽△COB，即 OC 与 OA 相对应时，则 OC=OA=4，C（﹣4，0）； ②当△AOB∽△BOC，即 OC 与 OB 对应，则 OC=1，C（﹣1，0）或者（1，0）． 故答案可以是：（﹣1，0）；（1，0）． 4.【答案】同解析． 【解析】证明： ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD． ∵∠BAC=40°， ∴∠ABD=40°， ∵∠ABC=80°， ∴∠DBC=40°， ∴∠DBC=∠BAC，
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∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC．
巩固
1. 在三角形纸片 ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三 角形与△ABC 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，BE 垂直 AC 交 AC 于点 F，求证：△DEF∽△EBD．
3.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、CD 上的点，AE=ED，DF= DC，连接 EF 并延 长交 BC 的延长线于点 G． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）若正方形的边长为 4，求 BG 的长．
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答案与解析 1.【答案】D． 【解析】解：三角形纸片 ABC 中，AB=8，BC=4，AC=6． A、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似， 故此选项错误； B、 = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似，故 此选项错误； C、 = = ，对应边 = = ≠ ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 不相似， 故此选项错误； D、 = = ，对应边 = = = ，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似，故 此选项正确； 故选：D． 2.【答案】证明：∵AC⊥BE， ∴∠AFB=∠AFE=90°， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAE=90°， 又∵∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA，
∴=， ∵点 E 是 AD 的中点， ∴AE=ED，
∴=， 又∵∠FED=∠DEB， ∴△DEF∽△BED．
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【解析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出 = ，进而得出△DEF∽△BED． 3. 【答案】（1）证明：∵ABCD 为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED，
∴
，
∵DF= DC，
∴
，
∴
，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD 为正方形，
∴ED∥BG，
∴
，
又∵DF= DC，正方形的边长为 4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10．
【解析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得 成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
，根据有两边对应
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得 CG 的长，即可求得 BG 的长．
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拔高
1. 如图，在?ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EF∥BC，GH∥AB，且 CG=2BG，S△BPG=1，则
S?AEPH=（
）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 如图，正方形 ABCD 中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG 分别交 AE，AF 于 M，N．则 的值是
．
y?k 3.如图，一条直线与反比例函数 x 的图象交于 A（1，4）B（4，n）两点，与 x 轴交于 D 点，AC⊥ x 轴，垂足为 C．
（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求 n 的值及 D 点坐标； （2）如图乙，若点 E 在线段 AD 上运动，连结 CE，作∠CEF=45°，EF 交 AC 于 F 点． ①试说明△CDE∽△EAF； ②当△ECF 为等腰三角形时，直接写出 F 点坐标．
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答案与解析 1.【答案】B． 【解析】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形 HPFD、BEPG、AEPH、CFPG 为平行四边形， ∴S△PEB=S△BGP， 同理可得 S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB， ∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD=S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP， 即 S =S ． 四边形 AEPH 四边形 PFCG ∵CG=2BG，S△BPG=1， ∴S =S 四边形 AEPH 四边形 PFCG=4×1=4， 故选：B． 2.【答案】 ．
【解析】解：作 EH⊥AF，令 AB=3，则 BF=2，BE=EF=CF=1，
AF=
=，
∵S△ABF= AF?BN= AB?BF，
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∴BN=
，NF= BN=
，
∴AN=AF﹣NF=
，
∵E 是 BF 中点， ∴EH 是△BFN 的中位线，
∴EH=
，NH=
，BN∥EH，
∴AH=
，=，
解得：MN=
，
∴BM=BN﹣MN=
，MG=BG﹣BM=
，
∴ =；
故答案是： ．
3.【答案】（1）①∵点 A（1，4）在反比例函数图象上 ∴k=4
y?4 即反比例函数关系式为 x ；
②∵点 B（4，n）在反比例函数图象上 ∴n=1 设一次函数的解析式为 y=mx+b ∵点 A（1，4）和 B（4，1）在一次函数 y=mx+b 的图象上
?m ? b ? 4 ?m ? ?1 ∴ ??4m ? b ? 1解得 ??b ? 5
∴一次函数关系式为 y=-x+5 令 y=0，得 x=5 ∴D 点坐标为 D（5，0）； （2）①证明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x 轴 ∴C（1，0） ∴AC=CD=4， 即∠ADC=∠CAD=45°，
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∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°， ∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°， ∴∠ECD=∠AEF， △CDE 和△EAF 的两角对应相等， ∴△CDE∽△EAF．
②当 CE=FE 时，由△CDE≌△EAF 可得 AE=CD=4，DE=AF=4﹙ 2 -1）， ∵A（1，4）， ∴F 点的纵坐标=4-AF=4-4（ 2 -1）=8-4 2 ∴F﹙1，8-4 2 ﹚
当 CE=CF 时，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此时 E 与 D 重合， ∴F 与 A 重合， ∴F（1，4） 当 CF=EF 时，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，显然 F 为 AC 中点， ∴F（1，2）
当△ECF 为等腰三角形时，点 F 的坐标为 F1（1，2）；F2（1，4）；F3（1，8?4 2 ） y?k
【解析】（1）①根据点 A 的坐标即可求出反比例函数的解析式为 x ；②再求出 B 点的
坐标 B（4，1），即得 n=1；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的 y=0，求 得点 D 的坐标 D（5，0）； （2）①在本题中要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE 和△EAF 的三个内角分别对应相等， 即可得证；
六 、课堂小结
1. 知识结构及要点小结
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?定义及表示方法
相似三角形??????判定：?????132...平两三行边边于成成三比比角例例形且的的夹两一角个边相三的等角直的形线两相和个似其三他角两形边相相似交，所构成的三角形与原三角形相似
??
??4.两个角分别相等的两个三角形相似
2. 解题方法及技巧小结 （1） 两个三角形的相似比要注意顺序. （2） 判断两个三角形相似时，应先观察是否有对应角相等，在观察是否有对应边成比例， 要根据三角形的判定方法全面的分析 、考虑问题. （3） 应用三角形相似时注意对应情况.
七 、课后作业
基础
1. 如图，在四边形 ABCD 中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相 似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC
B．AC 是∠BCD 的平分线
C．AC2=BC?CD
D． =
第1题
第2题
第3题
2. 如图，在△ABC 中，AB≠AC．D、E 分别为边 AB、AC 上的点．AC=3AD，AB=3AE，点 F 为 BC
边上一点，添加一个条件：
，可以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个）
3. 如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影
部分的面积是△ABC 的面积的
．
4. 如图所示，在 4×4 的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的
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顶点上． （1）填空：∠ABC=
°，BC=
；
（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似？并证明你的结论．
答案与解析 1. 【答案】C． 【解析】解：在△ADC 和△BAC 中，∠ADC=∠BAC， 如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有： ①∠DAC=∠ABC 或 AC 是∠BCD 的平分线； ②=； 故选：C． 2.【答案】DF∥AC，或∠BFD=∠A． 【解析】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A． 理由：∵∠A=∠A， = = ， ∴△ADE∽△ACB， ∴①当 DF∥AC 时，△BDF∽△BAC， ∴△BDF∽△EAD． ②当∠BFD=∠A 时，∵∠B=∠AED， ∴△FBD∽△AED． 故答案为 DF∥AC，或∠BFD=∠A． 3.【答案】 ．
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教学时间 课题 27.2.1相似三角形的判定（3） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 过 程 和 方 法 经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 情 感 态 度 价值观 教学重点 三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 教学难点 三角形相似的判定方法3的运用． 教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一” 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD ?AB ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由． （3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD= ∠B ， 那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． （4）教材P46的探究4 ． 二、例题讲解 例1（教材P46例2）． 分析：要证PA ?PB=PC ?PD ，需要证PB PC PD PA ，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似． 证明：略 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一 点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． 分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、 AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
27．2 相似三角形的判定（一） 主备：司娟 审核：九年级数学备课组 一、教学目标 （一）通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法。 （二）利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力。 （三）通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷。 二、教学重点难点 [教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 三、 教学过程 （一）复习 1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入 如图1，△ABC 与△A ’B ’C ’相似. 图1 记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”． [注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角． 对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有 ∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝' 'A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗? （三）［探究1］ 1、如图，任意画两条直线l 1、l 2,再画三条与l 1、l 2 相交的平行线l 3、l 4 、l 5.分别度量l 3、l 4 、l 5 在l 1上截得的两条线段AB,BC 和在l 2上截得的两条线段DE,EF 的长 度， 相等吗？ 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的 EF DE BC AB 与
2．相似三角形的识别 第一课时相似三角形的识别(一) 教学目标： 1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。 2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似? 根据定义：对应角相等，对应边成比例。 3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。 (1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学们动手试一试： 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。 2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?与同伴交流，是否
有相同结果。 3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。 4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢? 这是由于三角形具有它特殊的性质。三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法： 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：两角对应相等，两三角形相似。 同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个 三角形，是否一定会相似呢? 例题： 1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。 2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗? 3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。 三、练习 1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。 2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。和你的同伴交流作法是否一样? 四、小结 本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：有两个角对应相等的两个三角形相似。 五、作业
《相似三角形的判定》教案 课标要求 1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； 2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似； 3．了解相似三角形判定定理的证明． 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？反过来 ∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF k EF === ∴△ABC∽△DEF． 师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1 k ． 追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度， AB BC 与 DE EF 相等吗？任意平移l5． AB BC 与 DE EF 还相等吗？ 当l3//l4//l5时， 有AB DE BC EF =， BC EF AB DE =， AB DE AC DF =， BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE//BC时，有
第3课时相似三角形的判定定理3 1.掌握相似三角形的判定定理3. 2.了解两个直角三角形相似的判定方法. 3.深化对相似三角形的三个判定方法的理解，并能够运用相似三角形的判定方法解决相似三角形的有关问题. 阅读教材P35-36，自学“例2”与“思考”，理解相似三角形判定定理3及直角三角形相似的判定方法. 自学反馈学生独立完成后集体订正 ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应,那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形. ③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似. ④如图所示，已知∠ADE=∠B,则△AED∽.理由是. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？ 要根据已知条件选择适当的方法. 活动1 小组讨论 例1 如图，在△ABC中，∠C=60°,BE⊥AC于E,AD⊥BC于D. 求证:△CDE∽△CAB. 证明:∵∠C+∠CAD=90°,∠C+∠CBE=90°, ∴∠CAD=∠CBE. 又∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBE.
∴CA CB = CD CE . 又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB. 在寻求不到另一个角相等的情况下，寻求夹相等的角的两边的比相等，是解本类题型的有效方法. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点. ①求证:△BCF∽△DCE； ②若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG∶GC的值. 求线段的比值一般的方法是寻找两线段所在的三角形相似. 2.如图所示，在⊙O中，AB=AC，则△ABD∽，若AC=12，AE=8，则AD= . 3.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似. 要考虑到线段的对应分两种情况. 活动1 小组讨论 例2 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a,BC=b,当BD与a,b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?
相似三角形判定练习题 1．如图1，（1）若OA OB =_____，则△OAC∽△OBD，∠A=________． （2）若∠B=________，则△OAC∽△OBD，________与________是对应边． （3）请你再写一个条件，_________，使△OAC∽△OBD． 2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_______∽△________，△______∽△_______． (1) (2) (3) 3．如图3，已知A（3，0），B（0，6），且∠ACO=?∠BAO，?则点C?的坐标为________，?AC=_______．4．已知，如图4，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形． 5．下列各组图形一定相似的是（）． A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 6．如图5，AB=BC=CD=DE，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（）． A．45° B．60° C．75° D．90° (4) (5) (6) 7．如图6，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠ADC=________．8．如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由． 9．如图，D，E是AB边上的三等分点，F，G是AC边上的三等分点，?写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
10．如图，在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点C（1，0）?和点D，使△AOB 与△DOC相似，求出D点的坐标，并说明理由．
27.2.1 相似三角形的判定（3） 一、教学目标 1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法． 3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． 二、重点、难点 1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似” 2．难点：三角形相似的判定方法3的运用． 3．难点的突破方法 （1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法． （2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据． （3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似． 三、例题的意图 本节课安排了两个例题，例1是教材P35的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课的学习打基础． 四、课堂引入 1．复习提问： （1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？ （2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD?AB，那么△ACD与△ABC 相似吗？说说你的理由．
（3）如（2）题图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？——引出课题． 五、例题讲解 例1（教材P35例2）． 证明：略（见教材P35例2）． 例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． 分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似． 解：略（DF= 3 10）． 六、课堂练习 1．教材P36的练习1、2． 2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 3．下列说法是否正确，并说明理由． （1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形； （2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形． 七、课后练习 1．已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF ．
初三数学-相似三角形 的判定
【本讲教育信息】 一. 教学内容：相似三角形的判定 二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。 三. 知识回顾 （一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。 相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。 （二）判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③有两个角对应相等的两个三角形相似。 ④三条边对应成比例的两个三角形相似。 ⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。 【典型例题】 例1. 如图，△ABC中，∠A= 60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。 例2. 如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F 求证：△ACE∽△ABC 例3. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB 例4. 如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 判断下列各命题的真假（真命题打“T ”，否则打“F ”） （1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（ ） （2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（ ） （3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（ ） （4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（ ） （5）一个顶角为?40的等腰三角形和一个底角为?70的等腰三角形相似（ ） （6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（ ） （7）所有的菱形均相似（ ） （8）所有的正方形均相似（ ） 2. △ABC 中，∠ACB=?90，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，则与△ABC 相似而不全等的三角形的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知△ABC ∽△'''C B A ，相似比为4，△'''C B A ∽△''''''C B A ，相似比为3，试问：△ ''''''C B A 与△ABC 是否相似？若它们相似，则相似比为多少？ 4. 如图，若∠EBC=∠ABD ，∠ECB=∠DAB 求证：△ABC ∽△DBE 。 5. 过△ABC 三条角平分线的交点I ，作AI 的垂线与AB 、AC 分别交于D 、E ， 求证：△BID ∽△IEC 。 6. 如图，平行四边形ABCD 中，AD=10，DC=6，E 为AB 中点，F 有BC 上，则BF 长为多少时，使得△DCF ∽△DAE ？
课相似三角形判定（2） 教学目标(1)初步掌握两个三角形相似的四个判定方法． (2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题． (3)在探索三角形相似的判定方法过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． 教学 重点 掌握判定方法，会运用判定方法判定两个三角形相似。 教学难点（1）三角形相似的条件归纳、证明； （2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 教学步骤、内容一.创设情境 活动1 教师活动:复习提问： (1) 两个三角形全等有哪些判定方法？SSS SAS ASA AAS (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？定义、（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。 (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？相似比k=1时，两个相似三角形全等 活动2 提出探讨问题：1、如图，如果要判定△ABC与△ A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应 角和对应边的关系？ 2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？ 3、(教材P42页探究2) 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。 教师活动:带领学生画图探究并取k=1.5； 学生活动:学生细心观察思考,小组讨论后回答问题 教师活动:（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）教师带领学生探求证明方法．（已知、求证、证明） B'C' A' A B C
桐城市吕亭初中 教 案 吕亭初中: 鲍俊
2012年10月25日
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似． 课堂教学预设 师生互动 【活动一】 一、情景导入 让我们以热烈的掌声欢迎各位老师的光临指导下面将是你们展示自己，积极思考，实现自我价值的时间﹗大家有没有信心﹗ 二、回顾：说出三角形相似的方法。 师：复习提问： 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ 生：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）两角对应相等的两个三角形相似（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【活动二】新课讲授 三、思想：数学上有一种思想叫类比思想：在三角形全等判定方法中，除了 ASA AAS SAS 外，还有什么判定方法？ 还有SSS ，那么三角形相似呢？ 是不是有相似的结论呢？ 是否有△ABC ∽△A ’B ’C ’？ 师：1、提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能 否判定这两个三角形相似呢？ 2、带领学生画图探究； 3、【归纳】 三角形相似的判定方法： 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似． 师：1、提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ 2、教师带领学生探求证明方法． 生：已知:如图在△ABC 和△A ’B ’ C ’中 A ’B ’:AB= A ’C ’ :AC=B ’C ’:BC. 求证:△ABC ∽△A ’B ’C ’ B' C'A' A B C A'B'B'C'A'C'AB BC AC ==
相似三角形判定练习题（1） ◆基础练习 1．（1）已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，图（1）中各三角形中与 △ABC相似的是________． （1）（2） （2）如图2，锐角△ABC的边AB、AC上的高CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：________________________________（用相似符号连接）．2．（1）具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（）． A.有一个角是40°的两个等腰三角形; B.两个等腰直角三角形; C.有一个角为100°的两个等腰三角形; D.两个等边三角形 （2）如图3，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD 于点F，图中的相似三角形有（）． A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 （3）（4） （3）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．?下列结论正确的是（）． A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACD C.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC 3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线．△ABC与 △BDC相似吗？请说明理由． 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC． ◆能力提高 5．如图，已知正方形ABCD与正方形A′B′C′D′的边长比为1：2，?请你利用这两个正方形，通过割补的方法，得到两个相似三角形，且相似比是1：3． 要求：（1）借助原图拼图； （2）简要说明方法；
（3）指明相似的两个三角形． 6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC ，点E ，F 在AB 上，∠ECF=45°． ⑴求证:△ACF ∽△BEC ；⑵设△ABC 的面积为S ，求证:AF·BE=2S． 7．如图，O 是△ABC 的内角平分线的交点，过O 作DE ⊥AO 交AB ，AC 于D ，E ． 求证:BD·CE=OD·OE． 聚焦中考 8.如图，在ABC △中，C ∠9060B D =∠=°，°，是AC 上一点，DE AB ⊥于E ，且21CD DE ==，，则BC 的长为（ ） A ．2 B ． ． 45° A E F B C O E D C B A
《怎样判定三角形相似》教案 教学目标 知识与技能： 1．了解相似三角形及相似比的概念； 2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论； 3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法； 4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题． 过程与方法： 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法． 情感、态度与价值观： 发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系． 教学重点 掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似． 教学难点 探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题． 教学流程 一、知识迁移 类比相似多边形的相关知识回答下面的问题： 1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为 ∵△ABC∽△DEF， ∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF ==． 如何判断两个三角形相似呢？
反过来 ∵A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ；==AB AC BC DE DF EF ∴△ABC ∽△DEF ． 老师问：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS ，SAS ，ASA ，AAS ）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 二、探究归纳 （一）平行线分线段成比例 探究：如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2都相交的平行线l 3，l 4，l 5．分别度量l 3，l 4，l 5在l 1上截得的两条线段AB ，BC 和在l 2上截得的两条线段DE ，EF 的长度，AB BC 与DE EF 相等吗？任意平移l 5．AB BC 与DE EF 还相等吗？ 当l 3//l 4//l 5时， 有AB DE BC EF =，BC EF AB DE =，AB DE AC DF =，BC EF AC DF =等． 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 迁移：将基本事实应用到三角形中， 当DE //BC 时，有 AD AE BD CE =，BD CE AD AE =，AD AE AB AC =，BD CE AB AC =等． 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比
年 级 九年级 课题 27.2.1相似三角形的判定（第一课时） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1． 了解相似三角形及相似比的概念； 2． 掌握平行线分线段成比例定理和推论； 3． 掌握相似三角形两种判定方法：平行线法，三边法. 过程 方法 类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法. 情感 态度 发展学生的探究能力,渗透类比思想,体会特殊与一般的关系. 教学重点 掌握相似三角形的概念,能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似. 教学难点 能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 1.什么是相似多边形? 2.怎样判断两个多边形相似? 3.三角形也属于多边形吗？相似三角形属于相似多边形吗？ 4.给相似三角形下定义. 5.怎么样判断两个三角形相似？ 二、自主探究 （一）平行线分线段成比例定理及其推论 教材40页探究1 ● 平行线分线段成比例定理 分析: 1.线段AB,BC,DE,EF 的长度随着直线5,43,l l l 的位置的变化而变化吗？ 2.猜测BC AB 与EF DE 相等吗？ 3.通过画图，测量，计算验证你的猜想. 4.用数学语言描述你的发现. 得到：平行线分线段成比例定理 教师点拨：其它成比例的线段还有哪些？实际上，线段左上、左下、左全，右上、右下、右全只要写在对应位置， 所得比就是相等的. ● 平行线分线段成比例定理的推论 1.定理图形中的直线21,l l 交点在直线43,l l 上时，对应线段还成比例吗？ 2.擦去四周的部分，只留下△ABC 和△ADE ，原来的对应线段还成比例吗？ 你可以得到什么结论？ 得到：平行线分线段成比例定理构的推论 （二）相似三角形的判定方法 ● 平行线法 在上面的两幅图形中，△ABC 和△ADE 相似吗？你能用学过的知识说明吗？ 教师提出问题，学生回忆，思考，并回答 教师组织学生按照探究要求进行活动，并回答教师设计的问题，逐步完善探究到的结论. 教师进行必要点拨，让学生认识到所有的成比例线段以及他们的内在联系. 教师利用图形的变化自然将教学内容过渡到推论的探究，引导学生思考问题，逐步认识到定理内容在三角形中体现，从而得到推论，学生尝试叙述，教师引导完善，规范. 复习相关知识，引出课题。建立新旧知识之间的联系，感知事物之间由一般到特殊，由特殊到一般的关系. 激起学生的好奇心，探索欲望. 通过实践，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(定理). 让学生亲自进行观察，分析，探究，得到结论，培养学生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法. 23
孟津县直中学教案 编号： 时间：2013年 10月 10 日年级 段 九年级学科数学主备人 课题2．相似三角形的判定课时 课前 准备 教学目标1．会说出识别两个三角形相似的方法，有两个角分别相等的两个三角形相似。 2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。 教学过程： 一、复习 1．两个矩形一定会相似吗?为什么? 2．如何判断两个三角形是否相似?
教 学 过 程 根据定义：对应角相等，对应边成比例。
3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?为什么?是否存在识别两个三角形相似的简便方法?本节就是探索这方面的识别两个三 角形相似的方法。 二、新课讲解 同学们观察你与你的同伴所用的三角尺，以及老师用的三 角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。 这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。 (1)是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。 (2)是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直 角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边， 是否成比例呢? 这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。是这样吗?请同学 们动手试一试： 1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。 画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际 画图过程中，同学们画几个角相等?为什么? 增删、点评 实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角 ∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180° 所确定的。 2．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个 角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三 角形相似。 于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简
相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似． 温馨提示： ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（2）；
相似三角形的判定 [教学目标] 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法．（2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． [教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法]探究法 [教学媒体]多媒体课件直尺、三角板 [教学过程] 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入 （一）复习1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入如图1，△ABC与△A’B’C’相似.
图1 记作“△ABC ∽△A ’B ’C ’”， 读作“△ABC 相似于△A ’B ’C ’”． [注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在 对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角． 对于△ABC ∽△A ’B ’C ’,根据相似形的定义,应有 ∠A ＝∠A ’， ∠B ＝∠B ’ , ∠C ＝∠C ’, ''B A AB ＝''C B BC ＝' 'A C CA . [问题]：将△ABC 与△A ’B ’C ’相似比记为k 1,△A ’B ’C ’与△ABC 相似比记为k 2,那么k 1 与k 2有什么关系? k 1＝ k 2能成立吗? 三、探索交流 （一）［探究］1、在△ABC 中，D 为AB 的中点，如图2，过D 点作DB ∥BC 交AC 于点E ，那么△ADE 与△ABC 相似吗？ （1）“角” ∠BAC ＝∠DAE ． ∵DB ∥BC, ∴∠ADE ＝∠B, ∠AED ＝∠C ． （2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？ Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 ∵DB ∥BC ，D 为AB 的中点， ∴E 为AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线． 图 2 （三角形中位线定理的逆定理） ∴DE ＝2 1BC ．（三角形中位线定理）
27.2.4 用三边比例关系判定三角形相似 一、教学目标 知识与技能 掌握两个三角形相似的判定条件（三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）． 过程与方法 会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题． 情感态度与价值观 经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力． 二、重、难点 重点：掌握相似三角形的判定方法，能运用进行证明 难点：熟练应用相似三角形的判定定理进行证明 三、课堂引入 1．复习引入 （1）相似多边形的主要特征是什么？ （2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△与△A ′B ′C ′中， 如果k A C CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△与△A ′B ′C ′相似，记作△∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比． 反之如果△∽△A ′B ′C ′，则有A C CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果1，这两个三角形有怎样的关系？ 2．教材中的思考，并引导同学们探索与证明． 3．【归纳】 三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 三、例题讲解 例1（补充）如图△∽△，∥，∠∠． （1）写出对应边的比例式； （2）若10126．求、的长．
例2（补充）在△中，∥，，1，4，5，求的长． 四、课堂练习 1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形D．两个等边三角形 2．（选择）如图，∥， ∥，则图中相似三角形一共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 3．如图，∥， （1）如果2，3，求的值； （2）如果8，12，15，7，求和的长． 4．如图，在□中，∥，2:3，4，求的长．
《相似三角形的判定》练习题 相似三角形的判定 1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似 2、引理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似 4、判定定理2：两对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似 5、判定定理3：三边对应成比例，则两三角形相似 6、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 一、选择题 １、下列各组图形必相似的是（ ） A 、任意两个等腰三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 ２、如图，CD BC OB OA AOD ====∠,900，那么下列结论成立的是（ ） A 、OA B ?∽OCA ? B 、OAB ?∽ODA ? C 、BAC ?∽BDA ? D 、以上结论都不对 ３、点P 是ABC ?中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ?，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、5条 ４、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（ ） A 、1225 B 、125 C 、45 D 、3 5 ５、ABC ?中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ?相似，则这样的点的个数最多是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数 ６、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=BC 4 1，下面得出的六个结论： （1）ABF ?∽AEF ?；（2）ABF ?∽ECF ?；（3）ABF ?∽ADE ?；（4）AEF ?∽ECF ； （5）AEF ?∽ADE ?；（6）ECF ?∽ADE ?，其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、5个