1亮度处理—图像整体变亮或变暗
实现方法：加大或减小每个像素的三基色值
计算式：V=V'*(1+d)
V —调整后颜色值
V'—原颜色值
d —亮度调整系数，-1<=d<=1
2. 对比度处理—图像亮处更亮暗处更暗
实现方法：以亮度的中间值为基准，加大较大的颜色值，减小较小的颜色值
中间值的取法：ⅰ固定取127；ⅱ取所有像素点各基色的平均值
计算公式：V=127+(V'-127)*(1+d)
V —调整后颜色值
V'—原颜色值
d —对比度调整系数，-1<=d<=1
3. 色阶处理
将给定的输入范围映射到给定的输出范围，输出范围一般默认为[0,255] 公式：121'255)(d d d V V -?-=
d 1——输入范围的下界值
d 2——输入范围的上界值
4. 图像平滑
目的：消除图像中的噪声
噪声即叠加在图像上的正负随机亮度值
均值平滑：取本身及周围9个像素点的颜色平均值
中值平滑：取本身及周围9个像素点的颜色中间值
5. 水平一阶微分法
求各像素点与左侧像素点颜色值的绝对值得到边缘强度值，以各点的边缘强度值为灰度形成一幅边缘检测结果灰度图像。
6. 垂直一阶微分法
像素点与上边像素点颜色差值的绝对值
7. 双向一阶微分法
水平、垂直分别求边缘值，取最大者
8. 锐化-即加大边缘处的颜色差异
9. 双向一阶微分锐化
对每个像素点的每种基色值，分别求与左侧和上侧点的差值，将两者均值叠加到当前值上。
10. 镜像（垂直翻转、水平翻转）
围绕图像中心点，像素进行左右置换或上下置换。
垂直翻转可逐行进行，水平翻转函数要逐行逐点进行处理。
11. 缩小
缩小：图像画面面积减小，像素减少，图像等比例缩小
裁剪：图像画面面积减小，像素减少，但图像不变，只是局部处于画面中，多出部分丢弃 宽度与高度方向的缩小比例可以不同
实现方法：抽点发—采样法
12. 放大
图像放大：图像画面增大，像素增多，图像等比例放大
画布放大：图像画面增大，图像不变，图像周围为空白画面
实现方法：插值法—线性插值、二次插值、三次插值
采样法
放大采样法的处理程序与缩小采样法程序完全相同
双向线性插值方法例子：
设dw=biWidth/dWidth=0.7，dh=0.7
则新图像中的点（6，8）对应于原图像中的位置为（4.2，5.6）
当采用采样法时，将取离该位置最近的点（4，6）填入新图像的（6，8）点。
当采用双向线性插值时，则取该位置周围的四个点，插值计算该点的值。如下图：
V 1
V 3
34
则有：V12＝V1*(1－0.6)＋V2*0.6
V34＝V3*(1－0.6)＋V4*0.6
V ＝V12*(1－0.2)＋V34*0.2 ＝V1*(1－0.6)*( 1－0.2)＋V2*0.6*( 1－0.2) ＋V3*(1－0.6)*0.2＋V4*0.6*0.2
＝V1*0.32＋V2*0.48 ＋V3*0.08＋V4*0.12
13. 饱和度处理—图像颜色更加鲜艳或暗淡
定义：在三基色模型中，颜色是灰度和纯彩色的叠加，即颜色=灰色+纯彩色
如：（240,150,60）=（60,60,60）+（180,90,0）
纯彩色：由任意两种基色合成的颜色
颜色的鲜艳程度决定纯彩色所占的比例，定义为饱和度，用“S”表示
S=（MaxV - MinV）/MaxV
MaxV=max(R,G,B)
MinV=min(R,G,B)
如：（240,150,60）
MaxV=240，MinV=60
S=（240-60）/240=0.75=75%
实现方法：
设d为饱和度调整比例系数
S=S'*(1+d), 0<=S<=1
则调整后的基色值应满足：
(MaxV-MinV)/MaxV=S
按此公式，存在多种调整方式。因而还需确定其他原则
亮度保持不变：
MaxV+MidV+MinV=MaxV'+MidV'+MinV'=B
纯彩色的基色比例保持不变，即色调不变
(MidV-MinV)/(MaxV-MinV)=(MidV'-MinV')/(MaxV'-MinV')=H
加上这两个条件后，即构成三个方程，可唯一确定出处理后的各基色值
算式推导：
已知：处理前的三基色值V1'，V2'，V3'；饱和度调整比例为d，有V1'>=V2'>=V3' 求：处理后的三基色值V1,V2,V3（用B,S,H表示）
可得：
S'=(V1'-V3')/V1'
S=S'*(1+d), 0<=S<=1
B=V1'+V2'+V3'
H=(V2'-V3')/(V1'-V3')
则处理后的三基色值应满足如下方程：
(V1-V3)/V1=S
V1+V2+V3=B
(V2-V3)/(V1-V3)=H
且0<=V1,V2,V3<=255
可推导得：
B
, 0<=V1<=255
V1=
1+(H-2)S
V3=(1-S)V1
V2=V3+H(V1-V3)
14. 色调处理
色调的定义及计算公式
色调是对纯彩色中基色比例的描述
色调的取值范围为[0,360]
取值方式如下图：
红 0
绿 120蓝 240黄 60
青 180紫 300
计算公式：
0 R =G =B
60(G -B)/(R -m in(G ,B)) R =m ax(R ,G ,B)H =120+60(B-R )/(G -m in(R ,B)) G =m ax(R ,G ,B )240+60(R -G )/(B-m in(R ,G )) B=m ax(R ,G ,B )
?????
?? 若H<0, 则H=H+360
例：(240,150,60)
其中纯彩色为(180,90,0)
又：(180,90,0)=(90,0,0)+(90,90,0)
所以处于红色与黄色之间
H=60*(150-60)/(240-60)=30
色调的调整
设色调的偏移系数为d ，则调整后的色调为：
H=H'+d
若H<0，则H=H+360
若H>360，则H=H-360
调整原则：最大基色值及最小基色值保持不变，即饱和度不变。
调整性质：只需求中间值，但最大值、最小值、中间值所对应的基色值可能发生变化。 基本方法：首先求中间值，再进行基色的对应。
中间值的计算公式：midV=(maxV -minV)*(60-abs(H%120-60))/60+minV
15．旋转
问题：
将图像绕中心点旋转一定角度
将图像中的每个像素点变换到新的位置
旋转后图像所占的正矩形区域将扩大
旋转计算公式
以图像左下角为原点，逆时针旋转为正
设某像素点相对于图像中心点的位置为（x ，y ），与中心点连线的长度为r ，与x 轴的夹角为α，旋转角为θ，则旋转后的夹角为αθ+。
则变换后的坐标为：
cos()cos cos sin sin x r r r αθαθαθ'=+=-
sin()sin cos cos sin y r r r αθαθαθ'=+=+
由于：cos x r α=，sin y r α=
所以有：
cos sin x x y θθ'=-
cos sin y y x θθ'=+
采用该旋转公式计算四个角旋转后的位置可得到新图像的矩形区域
处理方法
正向映射，新图像中会形成空洞
反向映射，不会存在空洞，但计算量增大，相当于在正向映射中用邻近值填补空洞 反向映射计算公式
相当于旋转-θ角，公式为：
'cos()'sin()'cos 'sin x x y x y θθθθ=---=+
'cos()'sin()'cos 'sin y y x y x θθθθ=-+-=-
平面向量得实际背景及基本概念 1、向量得概念：我们把既有大小又有方向得量叫向量。 ２、数量得概念:只有大小没有方向得量叫做数量。 数量与向量得区别： 数量只有大小,就就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小、 3.有向线段:带有方向得线段叫做有向线段。 4.有向线段得三要素:起点,大小,方向 ５、有向线段与向量得区别; （1)相同点:都有大小与方向 (2）不同点:①有向线段有起点,方向与长度，只要起点不同就就就是不同得有向线段 比如：上面两个有向线段就就是不同得有向线段。 ②向量只有大小与方向,并且就就是可以平移得,比如：在①中得两个有向线 段表示相同(等)得向量。 ③向量就就是用有向线段来表示得,可以认为向量就就是由多个有向线段连接而成 6、向量得表示方法: ①用有向线段表示； ②用字母a 、b (黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:; ７、向量得模:向量得大小(长度)称为向量得模,记作｜|、 8、零向量、单位向量概念： 长度为零得向量称为零向量,记为:0。长度为1得向量称为单位向量。 ９、平行向量定义: ①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、即:0 ∥a 。 说明：(1)综合①、②才就就是平行向量得完整定义； (2)向量ａ、ｂ、c 平行,记作ａ∥b ∥c 、 １0、相等向量 长度相等且方向相同得向量叫相等向量、 说明:(1）向量ａ与ｂ相等，记作a ＝b ;(２)零向量与零向量相等; (３)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有．． A(起点) B (终点) a
数字图像处理 课程编码：3073009223 课程名称：数字图像处理 总学分： 2 总学时：32 (讲课28，实验4) 课程英文名称：Digital Image Processing 先修课程：概率论与数理统计、线性代数、C++程序设计 适用专业：自动化专业等 一、课程性质、地位和任务 数字图像处理课程是自动化专业的专业选修课。本课程着重于培养学生解决智能化检测与控制中应用问题的初步能力，为在计算机视觉、模式识别等领域从事研究与开发打下坚实的理论基础。主要任务是学习数字图像处理的基本概念、基本原理、实现方法和实用技术，并能应用这些基本方法开发数字图像处理系统，为学习图像处理新方法奠定理论基础。 二、教学目标及要求 1．了解图像处理的概念及图像处理系统组成。 2．掌握数字图像处理中的灰度变换和空间滤波的各种方法。 3．了解图像变换，主要是离散和快速傅里叶变换等的原理及性质。 4．理解图像复原与重建技术中空间域和频域滤波的各种方法。 5. 理解解彩色图像的基础概念、模型和处理方法。 6. 了解形态学图像处理技术。 7. 了解图像分割的基本概念和方法。 三、教学内容及安排 第一章：绪论（2学时） 教学目标：了解数字图像处理的基本概念，发展历史，应用领域和研究内容。通过大量的实例讲解数字图像处理的应用领域；了解数字图像处理的基本步骤；了解图像处理系统的组成。 重点难点：数字图像处理基本步骤和图像处理系统的各组成部分构成。 1.1 什么是数字图像处理 1.2 数字图像处理的起源
1.3.1 伽马射线成像 1.3.2 X射线成像 1.3.3 紫外波段成像 1.3.4 可见光及红外波段成像 1.3.5 微波波段成像 1.3.6 无线电波成像 1.3.7 使用其他成像方式的例子 1.4 数字图像处理的基本步骤 1.5 图像处理系统的组成 第二章：数字图像基础（4学时） 教学目标：了解视觉感知要素；了解几种常用的图像获取方法；掌握图像的数字化过程及其图像分辨率之间的关系；掌握像素间的联系的概念；了解数字图像处理中的常用数学工具。 重点难点：要求重点掌握图像数字化过程及图像中像素的联系。 2.1 视觉感知要素（1学时） 2.1.1 人眼的构造 2.1.2 眼镜中图像的形成 2.1.3 亮度适应和辨别 2.2 光和电磁波谱 2.3 图像感知和获取（1学时） 2.3.1 用单个传感器获取图像 2.3.2 用条带传感器获取图像 2.3.3 用传感器阵列获取图像 2.3.4 简单的图像形成模型 2.4 图像取样和量化（1学时） 2.4.1 取样和量化的基本概念 2.4.2 数字图像表示 2.4.3 空间和灰度级分辨率 2.4.4 图像内插 2.5 像素间的一些基本关系（1学时） 2.5.1 相邻像素 2.5.2 临接性、连通性、区域和边界 2.5.3 距离度量 2.6 数字图像处理中所用数学工具的介绍 2.6.1 阵列与矩阵操作
图像处理基础概念
2.2 图像基本概念 2.2.1 像素与灰度 像素和分辨率在计算机中，有两个大家都熟悉的概念：像素（pixel）和分辨率（resolution）。我们将图像进行采样的单位称为像素，像素是是组成图像的最基本元素，是数字图像显示的基本单位。像素是一个逻辑尺寸单位，比如一台计算机，其屏幕大小为17英寸，可以用800行*1280列个像素（格子）来显示桌面的图像，也可以用768行*1024列来显示桌面图像，不过显示的图像的清晰度会有差别。在计算机编程中，由像素组成的图像也通常叫“位图”或“光栅图像”。而分辨率狭义的是指显示器所能显示的像素的多少，当用户设置桌面分辨率为1280*800时，表示的意思就是在这个屏幕大小的物理尺寸上，显示器所显示的图像由800行*1280列个像素组成；可以看出，在同样大小的物理尺寸上，分辨率越高的图像，其像素所表示的物理尺寸越小，画面也就越精细，整个图像看起来也就越清晰。广义的分辨率是指对一个物体成像数字时化时进行采样的物理尺寸的大小，比如我们嫦娥一号卫星拍摄的月亮的照片，其分辨率是个很大的数（通常称分辨率很低），如几千平方公里，意思是说，在拍摄的月球的照片上，一个像素点相当于月球上几千公里见方。 2.2.2 采样量化 将空间上连续的图像变换成离散点的操作称为采样。采样间隔和采样孔径的大小是两个很重要的参数。当对图像进行实际的抽样时，怎样选择各抽样点的间隔是个非常重要的问题。关于这一点，图像包含何种程度的细微的浓淡变化，取决于希望忠实反映图像的程度。 经采样图像被分割成空间上离散的像素，但其灰度是连续的，还不能用计算机进行处理。将像素灰度转换成离散的整数值的过程叫量化。表示像素明暗程度的整数称为像素的灰度级（或灰度值或灰度）。一幅数字图像中不同灰度级的个数称为灰度级数，用G表示。灰度级数就代表一幅数字图像的层次。图像数据的实际层次越多视觉效果就越好。一般来说，G=2g，g就是表示存储图像像素灰度值所需的比特位数。若一幅数字图像的量化灰度级数G=256=28级，灰度取值范围一般是0~255的整数，由于用8bit就能表示灰度图像像素的灰度值，因此常称8 bit 量化。从视觉效果来看，采用大于或等于6比特位量化的灰度图像，视觉上就能令人满意。一幅大小为M×N、灰度级数为G的图像所需的存储空间，即图像的数据量，大小为M×N×g （bit）。 图2.4 分辨率与图像清晰度图2.5 量化等级与图像清晰度
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
网络域名及其管理 【教材分析】 本节课是浙江教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《信息技术基础》第三章第三节的内容。教材内容分图像的几个基本概念和图像的编辑加工两部分。基本概念有：像素、分辨率、位图和矢量图、颜色、图形与图像、文件格式。其中“像素和分辨率”旨在让学生了解描述数字图像的基本概念；“位图和矢量图，图形和图像”重在要求学生分清这两组概念；“颜色”阐述了用计算机三原色描述和存储数字图像颜色的原理，学生应该学会计算一幅图像的存储空间。“文件格式和图像的编辑加工”旨在让学生了解常见的图像文件格式及简单的图像编辑加工。因此不作为教学的重点。由此可见，本节课内容重在概念原理和技术深层思想的探析，为学生今后进一步学习图像的编辑加工奠定了基础。同时，这部分知识也是对第一章“信息的编码”学习的一个承接，在内容上强化了多媒体信息的编码与二进制编码的对应关系。当然，在这些概念的学习中都体现了“由简单到复杂”这一人类认识事物的基本规律和“逐步细化”这一信息技术解决问题的基本思路，都体现了问题解决与“技术更好地为人服务”的基本思想。 【学情分析】 本节课的学习对象为高一学生。通过第一章的学习，他们已经能够掌握信息的编码及二进制的相关知识。但调查发现，对于具体的图像在计算机市如何表示的，学生还只是有一个大概的了解，知道是用二进制表示的。作为必修课的学习，学生对于信息技术不仅要“知其然”，更重要的是“知其所以然”，也即要理解相关技术原理，技术思想以及研究问题的方法。而理解的目的则是为了更好联系日常生活，更好的的应用。基于上述分析，引领他们探究数字图像的基础知识、训练解决信息技术问题的方法。 【课时安排】一课时 【教学目标】 （一）知识与技能 1.了解像素掌握图像分辨率的概念。 2.掌握数字图像颜色的表示方法及存储空间的大小。 3. 了解位图和矢量图，图像和图形的不同。 4. 了解图像文件的文件格式。 5. 在操作体验的基础上理解像素及颜色的表示。 （二）过程与方法 通过教师讲解、自主探究、讨论交流和操作实践，掌握像素、分辨率、数字图像的颜色的表示方式，进而能够运用这些知识分析、解决现实生活中碰到的实际问题。 （三）情感态度与价值观 结合ps图像的讲解训练，培养灌输学生的法制观念提高学生的网络道德水平。 【教学重点】 分辨率的定义及现实生活中的分辨率的使用；。 【教学难点】 数字图像颜色的表示及存储方法 【教学策略】
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 当λ＜0时,λa与a反方向； 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；
第六章平面向量 【知识框架】 向量及基本概念 二向量的表示 ' '几何意义 向量的加法 < 运算律 向量的减法n 几何意义 向量的线性运算 运算律 数乘向量』向量共线的条件 平面向量基本定理 ? I '物理背景与集合意义 向量的数量积《运算律 性质 向量的应用'向量在几何中的应用二平面几何和解析几何 i 向量在物理中的应用二位移、力学等 6. 1向量的基本概念及基本运算 (1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模 _ (2 )特定大小或关系的向量 T ① 零向量：模为0的向量，记作 0,其方向是任意的 ② 单位向量：模为1个单位长度的向量 ③ 共线向量(平行向量)：方向相同或相反的非零向量。规定：零向量与任何向量共线 ④ 相等向量：模长相等且方向相同的向量 ⑤ 相反向量：模长相等但方向相反的向量。规定：零向量的相反向量是它本身 2.向量的表示法 ① 字母表示法：如小写字母 a , b , c 等，或AB , CD 等 ② 几何表示法：用一条有向线段表示 1. 向量的加法、减法 (1 )法则：平行四边形法则、三角形法则 (2 )运算律：交换律、结合律 (3)几何意义： 平面向量 :向量线性运算的坐标表 i 向量数量积的坐标表示
知识点三：定理与公式 1共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个实数 ’，使得b - ■ a 2. 平面向量基本定理：女口果 0(2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量a ，有且只有一对实数 ■ 1, '2,使a ='心一心色 3 .三点共线定理:平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数：■ J ,使得 OA = -OB ? IOC ，其中-■ - - -1 , 0为平面上任意一点 4.①平面内有任意三点。、A 、B ，若M 是线段 AB 的中点，则 0M 冷 0A 0B ② ABC 中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则 AB BC C^ 0 , GA GB 0 ③ 向量加法的多边形法则 【自主学习】 1. 以下命题中，正确命题的序号是 _________ (1 )若 a=b ，贝y a = b (2) 若a,b 都是单位向量，则a =b -fe- f —Ifc —*■ —>r f (3) 若a = o,b 二 o,则a 二 b (4) 若 a = b 且 a // b,则 a = b (5) 若四边形ABCD 是平行四边形，则 AB 二 DC,BC 二DA 2. 已知直线x +y =a 与圆x 2 +y 2 =4交于AB 两点，且 OA + OB = OA —OB 。其中0为 坐标原点，则实数 a 的值为 _________ 2或- 2 3. 已知向量 a, b 满足 a =3, a + b= a —b=5，贝U b = __________ 4 I -I- I —F —F ， + —r- 4.已知 AB =a 5b,BC 二-2a 8b,CD =3a -b ，则( )A A.点A 、B 、D 共线 B.点A 、B 、C 共线 C.点B 、C 、D 共线 D.点A 、C 、D 共线 【题型解析】 __________ 题型一向量的相关概念 例1?对于非零向量 a , b , 'a ，b =0 ”是a// b ”的( )A 2.向量的数乘(实数与向量的积) ::0
平面向量的实际背景及基本概念 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 2.数量的概念：只有大小没有方向的量叫做数量。 数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 3.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 4.有向线段的三要素：起点，大小，方向 5.有向线段与向量的区别； （1）相同点：都有大小和方向 （2）不同点：①有向线段有起点，方向和长度，只要起点不同就是不同的有向线段 比如：上面两个有向线段是不同的有向线段。 ②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的两个有向线 段表示相同（等）的向量。 ③向量是用有向线段来表示的，可以认为向量是由多个有向线段连接而成 6.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母： AB ； 7.向量的模：向量AB 的大小（长度）称为向量的模，记作|AB |. 8.零向量、单位向量概念： 长度为零的向量称为零向量，记为：0。长度为1的向量称为单位向量。 9.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.即：0 ∥ａ。 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 10.相等向量 A(起点) B （终点） a
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．． 向线段的起点无关．．．．．．．．. 11.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） 说明：（1）平行向量是可以在同一直线上的。 （2）共线向量是可以相互平行的。 例1.判断下列说法是否正确，为什么？ （1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）两个非零向量相等当且仅当什么？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？ 解析：（1）不是，方向可以相反，可有定义得出。 （2）不是，当两个向量方向相同的时候，只要长度不相等就不是相等向量，但是是平行的。 （3）零向量 （4）零向量 （5）共线向量（平行向量 （6）长度相等且方向相同 （7）不一定，可以平行。 例2.下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C. B A O D E F
第七辑 平面向量专题 一，基本概念 1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。 2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为a 或者AB 。 3，向量的大小：即是向量的长度（或称模） 4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。 5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、 1= 1= 6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。 7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若a 与b 相等，记为a =b 8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若a 与b 是相反向量，则表示为=-；向量-= 二，几何运算 1，向量加法： （1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示： （2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示， （3）两个向量和仍是一个向量； （4）向量加法满足交换律、结合律：a b b a +=+，)()(c b a c b a ++=++ （5）加法几种情况（加法不等式）： = << = 2，减法： （1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图=- （2）两向量差依旧是一个向量； （3）减法本质是加法的逆运算：CB CA AB CB AC AB =+?=- 3，加法、减法联系： （1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，AC AD AB =+，=- （2=，则四边形ABCD 为矩形 B A a C B A ? a b a b a b b a +
4，实数与向量的积： （1）实数λ与向量a 的积依然是个向量，记作a λ，它的长度与方向判断如下： 当0>λ时，a λ与a 方向相同；当0<λ时，a λ与a 方向相反；当0=λ时，0=a λ；当0=a 时，0=a λ ；=λ（2）实数与向量相乘满足：)()(λμμλ= μλμλ+=+)( λλλ+=+)( 5，向量共线： （1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ= （2）如图，平面内C B A ,,三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数q n m ,,， 使得=++n m q ，且0=++q n m ，反之也成立。 （3）AC AB λ=，则OC OA OB λλ+-=)1(（证明略） 6，向量的数量积 （1 ）数量积公式：= ?=?θθcos cos （2）向量夹角θ：同起点两向量所夹的角，范围是[] 0180,0∈θ （3）零向量与任一向量的数量积为0，即00=?a （4 ）数量积与夹角关系：b a ≤?≤ 00=θ 00900<<θ 090=θ 0018090<<θ 0180=θ =? 0>?> 0=? >?>0 =?（5 = θcos 称为b 在a = θcos a 在b 的方向上的投影 （6）重要结论：直角三角形ABC 中，2 =? （7）向量数量积的运算律： 2a = e =（向量e 为与a 方向相同的单位向量） ?=? )()()(λλλ?=?=? =?+)(?+? 2222)(+?+=+ 2222)(+?-=- 2 2)()(-=-?+ b a b a b a b a b a
什么是图像：“图”是物体透射或反射光的分布，是客观存在的。 “像”是人的视觉系统对图在大脑中形成的印象或认识，是人的感 觉。图像（image）是图和像的有机结合，既反映物体的客观存 在，又体现人的心理因素；是客观对象的一种可视表示，它包含 了被描述对象的有关信息。 图像分类：根据图像空间坐标和幅度（亮度或色彩）的连续性可分为模拟（连续）图像和数字图像。 模拟图像是空间坐标和幅度都连续变化的图像，而数字图像是空间坐标和幅度均用离散的数字（一般是整数）表示的图像。 图像处理（image processing）就是对图像信息进行加工处理和分析，以满足人的视觉心理需要和实际应用或某种目的（如压缩编码或机器识别）的要求。图像处理可分为以下3类：▓模拟图像处理（analogue image processing）； ▓数字图像处理（digital image processing）； ▓光电结合处理（optoelectronic processing）。 模拟图像处理：也称光学图像处理，它是利用光学透镜或光学照相方法对模拟图像进行的处理，其实时性强、速度快、处理信息量法对模拟图像进行的处理，其实时性强、速度快、处理信息量大、分辨率高，但是处理精度低，灵活度差，难有判断功能。 数字图像处理：即利用计算机对数字图像进行处理，它具有精度高、处理内容丰富、方法易变、灵活度高等优点。但是它的处理速度受到计算机和数字器件的限制，一般也是串行处理，因此处理速度较慢。 光电结合处理：用光学方法完成运算量巨大的处理（如频谱变换等），而用计算机对光学处理结果（如频谱）进行分析判断等处理。该方法是前两种方法的有机结合，它集结了二者的优点。光电结合处理是今后图像处理的发展方向，也是一个值得关注的研究方向。 图像的数学表示：一幅图像所包含的信息首先表现为光的强度（intensity ）,即一幅图像可看成是空间各个坐标点上的光强度I 的集合，其普遍数学表达式为：I = f (x ，y，z，λ，t) 式中(x,y,z )是空间坐标，λ是波长，t 是时间，I是光点( x,y,z ) 的强度（幅度）。上式表示一幅运动的(t)、彩色/多光谱的(λ) 、立体的( x,y,z )图像。 图像的特点： （1）空间有界:人的视野有限，一幅图像的大小也有限。 （2）幅度（强度）有限：即对于所有的x，y都有0≤f(x,y) ≤Bm 其中B m 为有限值。 数字图像处理的基本步骤 ▓图像信息的获取：采用图像扫描仪等将图像数字化。 ▓图像信息的存储：对获取的数字图像、处理过程中的图像 信息以及处理结果存储在计算机等数字系统中。 ▓图像信息的处理：即数字图像处理，它是指用数字计算机 或数字系统对数字图像进行的各种处理。 ▓图像信息的传输：要解决的主要问题是传输信道和数据量 的矛盾问题，一方面要改善传输信道，提高传输速率，另外要 对传输的图像信息进行压缩编码，以减少描述图像信息的数据 量。 ▓图像信息的输出和显示：用可视的方法进行输出和显示。
课题：向量的概念及表示 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法 本章共分两大节。第一大节是“向量及其运算”，内容包括向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示等 本节从台湾与大陆直航问题中的距离和方向两个要素出发，以及金钱豹与小狗的追逐问题。抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念 在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 例如：从台湾与大陆直航问题中的距离和方向，以及金钱豹与小狗的追逐问题，方向不同效果不同。抽象出向量的概念，向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；
平面向量基础知识 第一课时：向量的概念 向量的定义（两要素） 向量与矢量、数量、标量的区别 作用点、实际意义（单位）、可比性 向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象 向量的表示 几何表示 （几何中用点表示位置、用射线表示方向 起点到终点） 用有向线段表示向量使向量具有几何直观性 有向线段（三要素）与向量的区别 （人的身高不随位置改变而改变） 向量只与其起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关 符号表示 有向线段的起点与终点符号（大写）（具体） 小写符号（抽象） 手写必须带箭头 （“帽子”） 用符号表示向量使向量具有代数的属性 坐标表示 用坐标表示向量使向量具有算术的属性 向量的模及其表示 写法与读法 （“外套”） 模特殊的向量 零向量 定义、表示0、方向 单位向量 定义 方向的惟一性 与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e 、i 、j 、ｋ 位置特殊的向量 位置向量 起点为坐标原点的向量 方向关系特殊的向量与表示 平行向量（共线向量 “平行向量”与“共线向量”是等意词） 垂直向量 相等向量 平移变换用之 相反向量 反向变换用之 零向量的规定：零向量与任一向量共线，零向量的相反向量是零向量 判断： 1、若两向量相等，则它们的起点与终点相同 2、AB BA =- 3、若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 4、若AB CD =，则AB CD 5、若a 与b 不共线，则a ≠0，b ≠0 6、若AB ∥CD ，则A 、B 、C 、D 四点共线 7、若AB ∥AC ，则A 、B 、C 三点共线 8、若AB=CD ，则AB CD = ∥ ＝
9、若AB=CD ，则||||AB CD = （既戴帽子，又穿外套） 两个向量平行，这两个向量可以在一条直线上，这与平面几何中的“平行”的含义不同；两个向量共线，这两个向量不一定在一条直线上，这与平面几何中的“共线”的含义也不同．而规定零向量与任一向量平行，使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立．（在几何中，“平行”和“共线、重合”绝不相同，而在向量中，“平行”和“共线”绝对一样） 向量的类型：自由向量、滑动向量、固定向量 第二课时：向量的加法 向量加法的定义 向量加法处理方法：三角形法则、平行四边形法则 （当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，只适用三角形法则；当两个向量不共线时，平行四边形法则和三角形法则是一致的） 向量加法的特征：尾首相接，首尾相连（与接点的位置无关） 向量的和拆分 封闭折线的和向量 △ABC 中，G 是重心?GA ＋GB ＋GC ＝0 求和向量时需要把向量具体化、几何化 向量加法的运算律：交换律、结合律 向量加法的性质 1、两个向量的和为一个向量 2、若两个向量平行，则它们的和向量与它们也平行 3、若两个向量不平行，则它们的和向量与它们也不平行 4、||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |， 当且仅当a 与b 同向，或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立． 第三课时：向量的减法 向量减法的定义 向量减法是向量加法的逆运算 向量减法处理方法：三角形法则、平行四边形法则 向量减法的特征：首首相聚，被减被指（与起点的位置无关） 向量的差拆分 向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上该向量的相反向量 求差向量时需要把向量具体化、几何化 向量减法的性质 1、两个向量的差为一个向量 2、若两个向量平行，则它们的差向量与它们也平行 3、若两个向量不平行，则它们的差向量与它们也不平行 4、||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |， 当且仅当a 与b 反向或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a 与b 同向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．
第二章数字图像处理的基本概念 1.什么是图像对比度？人眼感受的亮度与哪些因素有关？ 图像对比度是图像中最大亮度B max与最小亮度B min之比。即C1=B max/B min 2.图像数字化包括哪两个过程？它们对数字化图像质量有何影响？ 采样和量化。 采样间隔越大，所得图像像素数越少，空间分辨率低，质量差，严重时出现像素呈块状的国际棋盘效应；采样间隔越小，所得图像像素越多，空间分辨率高，质量好，但数据量大。 量化等级越多，所得图像层次越丰富，灰度分辨率越高，质量越好，但数据量大；量化等级越少，图像层次欠丰富，灰度分辨率低，质量变差，会出现假轮廓现象，但数据量小。 3.数字化图像的数据量与哪些因素有关？ 采样间隔越大，量化等级越小，数据量越小；采样间隔越小，量化等级越多，数据量越大。 4.连续图像f(x,y)与数字图像I(r.c)中各量的含义是什么？它们有何联系和区别？ 5.图像处理按功能分有哪几种形式？ 按图像处理的输出形式，图像处理的基本功能可分为三种形式。 (1)单幅图像→单幅图像； (2)多福图像→单幅图像； (3)单(或多)幅图像→单幅图像。 6.什么是点处理？你所学算法中有哪些属于点处理？试举3种不同作用的点运算。 在局部处理中，当输出值JP(i,j)值仅与IP(i,j)像素灰度有关的处理称为点处理。 图像对比度增强、图像二值化、灰度的线性变换、线性拉伸等属于点处理。 7.什么是局部处理？你所学算法中有哪些属于局部处理？试举3种不同作用的局部运算。 在对输入图像进行处理时，计算某一像素的小邻域N[IP(i,j)]中的像素值确定，这种处理称为局部处理。 图像的移动平均平滑法、空间域锐化属于局部处理。 8.图像特性包括哪些类型？ 自然特征：亮度、对比度； 人工特征：直方图、频率。 9.什么是窗口处理和模板处理？二者有何区别与联系？ 对图像中选定矩形区域内的像素进行处理叫做窗口处理； 预先准备一个和输入图像IP相同大小的二维数组，存储该区域的信息，然后参照二维数组对输入图像处理，叫做模板处理。 模板处理中若模板为矩形区域，则与窗口处理具有相同的效果，但窗口处理与模板处
2.2 图像基本概念 2.2.1 像素与灰度 像素和分辨率在计算机中，有两个大家都熟悉的概念：像素（pixel）和分辨率（resolution）。我们将图像进行采样的单位称为像素，像素是是组成图像的最基本元素，是数字图像显示的基本单位。像素是一个逻辑尺寸单位，比如一台计算机，其屏幕大小为17英寸，可以用800行*1280列个像素（格子）来显示桌面的图像，也可以用768行*1024列来显示桌面图像，不过显示的图像的清晰度会有差别。在计算机编程中，由像素组成的图像也通常叫“位图”或“光栅图像”。而分辨率狭义的是指显示器所能显示的像素的多少，当用户设置桌面分辨率为1280*800时，表示的意思就是在这个屏幕大小的物理尺寸上，显示器所显示的图像由800行*1280列个像素组成；可以看出，在同样大小的物理尺寸上，分辨率越高的图像，其像素所表示的物理尺寸越小，画面也就越精细，整个图像看起来也就越清晰。广义的分辨率是指对一个物体成像数字时化时进行采样的物理尺寸的大小，比如我们嫦娥一号卫星拍摄的月亮的照片，其分辨率是个很大的数（通常称分辨率很低），如几千平方公里，意思是说，在拍摄的月球的照片上，一个像素点相当于月球上几千公里见方。 2.2.2 采样量化 将空间上连续的图像变换成离散点的操作称为采样。采样间隔和采样孔径的大小是两个很重要的参数。当对图像进行实际的抽样时，怎样选择各抽样点的间隔是个非常重要的问题。关于这一点，图像包含何种程度的细微的浓淡变化，取决于希望忠实反映图像的程度。 经采样图像被分割成空间上离散的像素，但其灰度是连续的，还不能用计算机进行处理。将像素灰度转换成离散的整数值的过程叫量化。表示像素明暗程度的整数称为像素的灰度级（或灰度值或灰度）。一幅数字图像中不同灰度级的个数称为灰度级数，用G表示。灰度级数就代表一幅数字图像的层次。图像数据的实际层次越多视觉效果就越好。一般来说，G=2g，g就是表示存储图像像素灰度值所需的比特位数。若一幅数字图像的量化灰度级数G=256=28级，灰度取值范围一般是0~255的整数，由于用8bit就能表示灰度图像像素的灰度值，因此常称8 bit 量化。从视觉效果来看，采用大于或等于6比特位量化的灰度图像，视觉上就能令人满意。一幅大小为M×N、灰度级数为G的图像所需的存储空间，即图像的数据量，大小为M×N×g （bit）。 图2.4 分辨率与图像清晰度图2.5 量化等级与图像清晰度 一般来说，采样间隔越大，所得图像像素数越少，空间分辨率低，质量差，严重时出现像素呈块状的国际棋盘效应；采样间隔越小，所得图像像素数越多，空间分辨率高，图像质量好，但数据量大，如图2.4所
向量的基本概念公式: 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 ；字 母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. ()(a b c a b ++=++AC BC AB =+ AB BA =-,OA OB =-||||a a λλ=>0时, a a λ与同向; a a 与异向; 0a =. ()()a a λμλμ= )a a a μλμ=+ )a b λλ=+ //b a b λ?= 3已知两个非零向量与b ，作OA =a , =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。 4．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．
5．向量的数量积的性质： 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量); a ⊥ b ?a ·b =0?12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱ ; cos θ= a b a b ?? ． 6 ．向量的数量积的运算律： ·b =b ·;(λ)·b =λ(·b )=·(λb );(＋b )·c =·c +b ·c ． 7.重要定理、公式 (1) 平面向量基本定理 e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2) 两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3) 两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4) 线段的定比分点公式 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 ??? ????++=++=.1,12 12 1λ λλ λy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1 时，得中点公式： OP ＝21（1＋2OP ）或??? ????+=+=.2,2 2121y y y x x x