班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容：(目的和要求，原理，步骤，数据，计算，小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性； 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码： f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); （b）结果： 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性； (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:（a）代码： w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、
概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 1.傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子； 2.傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似； 3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； 4.著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅立叶变换算法（FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
有関傅立叶变换的FPGA实现 傅立叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅立叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 离散傅里叶变换的应用 DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。）。 1.频谱分析 DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。 2.数据压缩 由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用
傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念：编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著，机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译
名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于
傅里叶变换在信号处理中的应用 姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013 摘要： 傅里叶变换是一种特殊的积分变换。通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。 关键词： 傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。 一傅里叶变换 1.定义 f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ① 傅里叶变换 傅里叶逆变换 2.分类 连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}} \int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.
《测试信号分析及处理》课程作业 快速傅里叶变换 一、程序设计思路 快速傅里叶变换的目的是减少运算量，其用到的方法是分级进行运算。全部计算分解为M 级，其中N M 2log =；在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的，输出序列()k X 是按顺序排列；每级包含2N 个蝶形单元，第i 级有i N 2 个群，每个群有12-i 个蝶形单元； 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算，每个蝶形 单元数据的间隔为12-i ，i 为第i 级； 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。 将输入序列()i x 按码位倒序排列时，用到的是倒序算法——雷德算法。 自然序排列的二进制数，其下面一个数总比上面的数大1，而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。 若已知某数的倒序数是J ，求下一个倒序数，应先判断J 的最高位是否为0，与2 N k =进行比较即可得到结果。如果J k >，说明最高位为0，应把其变成1，即2 N J +，这样就得到倒序数了。如果J k ≤，即J 的最高位为1，将最高位化为0，即2N J -，再判断次高位；与4N k =进行比较，若为0，将其变位1，即4 N J +，即得到倒序数，如果次高位为1，将其化为0，再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。 注：因为0的倒序数为0，所以可从1开始进行求解。 二、程序设计框图 （1）倒序算法——雷德算法流程图
(2)FFT算法流程
分数傅里叶变换 分数傅里叶定义： 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。 1.1（维基百科） 第一种定义: 第二种定义： 1.2 从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式： Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换 A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具 分数傅里叶的分类： 1.一维分数傅里叶变换 分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式, 1.积分形式 2级数表达式形式 其中 2.二维分数傅里叶变换 其中C为相应常系数。当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表 达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。 分数傅里叶变换的性质 1周期性：（k为整数） 2线性：（c1和c2是复常数）
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用
Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
Electronic Component & Device Applications 姨 ·exp(j (s 2+u 2)2tan α-jsu sin α )exp(j (t 2+v 2 )2tan β -jtv sin β ) (1) 其中，α＝p 1π/2，β=p 2π/2，表示信号通过二维傅里叶变换后的旋转角度。应用二维傅里叶变换核K p1,p2(s ,t ,u ,v )，在变换阶数p 1和p 2给定的情况下，信号f (s ,t )的二维分数阶傅里叶变换定义为： F p1,p2(u ,v )= ∞-∞ 乙∞ -∞ 乙f (s ,t )K p1,p2 (s ,t ,u ,v )dsdt (2) 因为二维分数阶傅里叶变换核是可分离的， 即： K p1,p2(s ,t ,u ,v )=K p1(s ,u )×K p2(t ,v ) (3) 二维离散分数阶傅里叶变换和逆变换定义 为： X p1,p2(m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 Σx (p ,q )K p1,p2(p ,q ,m ,n ) (4)x (m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 ΣX p1,p2(m ,n )K -p1,-p2(p ,q ,m ,n ) (5) 收稿日期：2010-09-21 基于分数阶Fourier 变换的图像加密算法 尚宇雄，尚 宇 (西安工业大学电子信息工程学院，陕西 西安 710032) 摘 要：针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足，设计了一种基于分 数阶傅里叶变换和混沌系统的图像加密新算法。该方案的安全性依赖于随机混沌图像、分数阶傅里叶变换阶数以及混沌系统的初始参数。理论分析和模拟实验结果表明该方案具有良好的图像加密效果。 关键词：分数阶Fourier 变换；混沌置乱；图像加密 doi:10.3969/j.issn.1563-4795.2011.03.017 52
*国家自然科学基金资助项目。收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷 第2期 中 国 激 光V o l.A24,N o.2 1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997 分数傅里叶变换产生分数泰伯效应* 华建文 刘立人 (中国科学院上海光机所 上海201800) 提要 讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学 条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。这种双重变换有助于光 学系统的设计、分析和计算。最后给出了应用实例。 关键词 光学变换,傅里叶变换,泰伯效应 1 引 言 分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。后来由McBride 和Kerr [2] 把它发展成一个较为完整的数学理论。它是傅里叶变换的全族。后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。文献[6～11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。这两种过程同时发生有一定的实用意义。利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。而且还能满足观察不同大小物体的要求。2 分数泰伯效应和分数傅里叶变换 泰伯效应是一相干波照明一光栅,在自由空间中距光栅的某些特定的平面上能出现一些准确泰伯像和更多的分数泰伯像[13]。一块周期为T ,开口比为h 的朗奇光栅可用下式描述 g (x ,y )=rect(x /h )* n W (x -n T )(1)符号“*”表示卷积。用单色平面波照明光栅,其菲涅耳衍射场在光栅后方自由空间中传播,在离光栅距离为Z 的平面上,光强分布为[13]
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为： 可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点 的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即
x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为： 上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明： 因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数
图像傅里叶变换 冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样, 傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 Fourier theory讲的就是：任何信号（如图像信号）都可以表示成一系列正弦信号的叠加，在图像领域就是将图像brightness variation 作为正弦变量。比如下图的正弦模式可在单傅里叶中由三个分量编码：频率f、幅值A、相位γ这 三个value可以描述正弦图像中的所有信息。1.frequency frequency在空间域上可由亮度调节，例如左图的frequency比右图的frequency 低…… 2.幅值magnitude（amplitude）sin函数的幅值用于描述对比度，或者说是图像中最明和最暗的峰值之间的差。（一个负幅值表示一个对比逆转，即明暗交换。） 3.相位表示相对于原始波形，这个波形的偏移量（左or右）。=================================================================一个傅里叶变换编码是一系列正弦曲线的编码，他们的频率从0开始（即没有调整，相位为0，平均亮度处），到尼奎斯特频率（即数字图像中可被编码的最高频率，它和像素大小、resolution有关）。傅里叶变换同时将图像中所有频率进行编码：一个只包含一个频率f1的信号在频谱上横坐标f为f1的点处绘制一个单峰值，峰值高度等于对应的振幅amplitude，或者正弦曲线信号的高度。如下图所示。
图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。则其离散傅立叶变换定义可表示为： 式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==
1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π
分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论 在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法，其MATLAB 计算程序可在https://www.doczj.com/doc/9c2721995.html,.tr/~haldun/fracF.m 上查到。现在 基于该程序，对一方波进行计算仿真。?????<=其它 ,01,1)(t t x 注：网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁，据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到，Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处，而两个程序的计算结果基本相符。本文使用较为简洁的计算程序，Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。 程序如下： clear clc %构造方波?????<=其它 ,01 ,1)(t t x dt=0.05; T=20; t=-T:dt:T; n=length(t); m=1; for k=1:n; % tt=-36+k; tt=-T+k*dt; if tt>=-m && tt<=m x(k)=1; else
5. 图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频
MATLAB 离散傅里叶变换及应用 一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。 程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');
subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、 序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，