第一章三角形的证明
一、全等三角形判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
二、等腰三角形的性质
定理：等腰三角形有两边相等；(定义)
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
三、等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
四、直角三角形
1、直角三角形的性质
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、直角三角形判定
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
3、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
五、线段的垂直平分线角平分线
1、线段的垂直平分线。
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角平分线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）
判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法
第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
1. 不等关系
2. 不等式的基本性质
3. 不等式的解集
4.一元一次不等式
5.一元一次不等式与一次函数
6.一元一次不等式组
一.不等关系
※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.
¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系. ※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.
非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0
非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0
二.不等式的基本性质
※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:
(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:
如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即
如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c
b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
如果a>b,并且c<0,那么ac b c a < ※2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b; 如果a 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三.不等式的解集 ※1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. ※2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同. ¤3.不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左 四.一元一次不等式 ※1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. ※2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. ※3.解一元一次不等式的步骤: ①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1(不等号的改变问题) ※4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax ①当a>0时,解为a b x > ;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a b x <; ¤5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即: ①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、 “不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式与一次函数 六. 一元一次不等式组 ※1.定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组. ※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式 的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定. ※3.解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a 、b 为实数,且a 第三章图形的平移与旋转 一、平移定义和规律 1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）。 b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。 2平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、对应角相等。 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。 3简单的平移作图： 平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 二、旋转的定义和规律 1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角。 关键：a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。 b. 图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。 2旋转的规律(性质)： 经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。 (旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等。 3简单的旋转作图： 旋转作图要注意：①旋转方向；②旋转角度。 整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。 三、中心对称 1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．中心对称的基本性质： （1）．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 （2）．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 4、中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 5、图案的分析与设计①首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成。②图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法。 第四章因式分解 1. 因式分解 2. 提公因式法 3. 公式法 一. 因式分解 ※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系: (1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法 ※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化 成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+ ※2. 概念内涵: (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ ※3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 公式法 ※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法. ※2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((2 2b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 2 22)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- ¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((2 22244y x y x y x -+=-就没有分解到底. ※4. 运用公式法: (1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式; ②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. ※5. 因式分解的思路与解题步骤: (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. （补充） 分组分解法: ※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++ ※2. 概念内涵: 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. ※3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 十字相乘法: ※1.对于二次三项式c bx ax ++2 ,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅= , 21c c c ⋅=, 且满足1221c a c a b +=,往往写成 c 2a 2c 1 a 1 的形式,将二次三项式进行分解. 如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ ※2. 二次三项式q px x ++2 的分解: ))((2b x a x q px x ++=++ ab q b a p =+= b a 11 ※3. 规律内涵: (1)理解:把q px x ++2 分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同. (2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. ※4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确. 第五章 分式与分式方程 1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可 不含字母。 2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。 3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 用式子表示 或 其中 A 、 B 、 C 为整式（0≠C ） 注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。 （2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。 （3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷= 分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变 分式的值。 2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变 分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最 简公分母。 4. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。 5.分式的运算： 1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算 5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n n b a b a =)( 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 7. 整数指数幂. 1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10 ≠=a a ； 2） 任何一个不等于零的数的-n 次幂（n 为正整数），等于这个数的n 次幂的倒数，即 n n a a 1=- （)0≠a 注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即 3） 科学计数法：把一个数表示为a ×10n (1≤∣a ∣＜10,n 为整数)的形式，称为科学计数法。 注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a ×10n 的形式，n 为正整数； （2）绝对值小于1的数可以表示为a ×10-n 的形式，n 为正整数. （3）表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n （4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) 4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅；（2）幂的乘方：mn n m a a =)(;（3）积的乘方：n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的乘方：n n n b a b a =)(；(b ≠0) 8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 n n b a a b )()(=- 2）分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程； (4)验根． 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 3）烈分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题基本公式：工作量=工时×工效． d. 顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水． e．相遇问题 f.追及问题 相遇路程＝速度和×相遇时间追及距离＝速度差×追及时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和追及时间＝追及距离÷速度差 速度和＝相遇路程÷相遇时间速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题h浓度问题 顺流速度＝静水速度＋水流速 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 逆流速度＝静水速度－水流速度 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 m利润与折扣问题利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 第六章平行四边形 一、平行四边形的性质 1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分。 二、平行四边形的判定 1、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （4）定理3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。 3、平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah 三、三角形的中位线 1、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线） 2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 四、多边形的内角和与外角和 1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。 2、正多边形的每个内角都等于（n-2）·180°/n 3、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形 不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等 4、常4、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么ac 如果a 北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定、性质： 1.判定（ＳSS) (SAS) （ASＡ) (AAＳ) （ＨL直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等。 二、等腰三角形的性质 定理:等腰三角形有两边相等;(定义) 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。 (三线合一） 推论２:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于6０°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”。) 推论１:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形; ３、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线、角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心) 判定:到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。(内心) 判定:在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 1．定义：一般地，用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。 ２.基本性质：性质１:．不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.如果ａ>ｂ,那么ａ 第一章三角形的证明 一、全等三角形判定定理： 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 三、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四、直角三角形 1、直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直平分线角平分线 1、线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角平分线。 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法 八年级下册数学各章节知识点总结 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程及不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语. 非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质 1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,则a+c>b+c, a-c>b-c. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,则ac>bc, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,则ac 如果a 北师大版初二数学下册知识点归纳 学会整合学问点。把需要学习的信息、把握的学问分类，做成（思维导图）或学问点卡片，会让你的大脑、思维条理糊涂，便利记忆、温习、把握。这里给大家整理了一些有关北师大版初二数学下册学问点归纳,盼望对大家有所关心. 北师大版初二数学下册学问点归纳1 第一章分式 1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3整数指数幂的加减乘除法 4分式方程及其解法 其次章反比例函数 1反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两支的增减性相同; 2反比例函数在实际问题中的应用 第三章勾股定理 1勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2勾股定理的逆定理：假如一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 第四章四边形 1平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线相互平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线相互平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2特别的平行四边形：矩形、菱形、正方形 (1)矩形 北师大版八年级下册数学各章节知识梳理 教学目标： 能够利用尺规作已知线段的垂直平分线 重难点：重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用 易错点：准确理解线段垂直平分线的性质定理，解题时要考虑全面，避免漏解 整体分析 【一】教学目标 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。优生不多，思想不够活跃，有少数学生不上进，思维跟不上。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。【二】教材分析 本学期教学内容共计六章：《三角形的证明》、《一元一次不等式和一元一次不等式组》、《图形的平移与旋转》、《因式分解》、《分式与分式方程》、《平行四边形》。 《三角形的证明》：本章将证明与等腰三角形和直角三角形的性质及判定有关的一些结论，证明线段垂直平分线和角平分线的有关性质，将研究直角三角形全等的判定，进一步体会证明的必要性。 《一元一次不等式和一元一次不等式组》：本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应。 《图形的平移与旋转》：本章将在小学学习的基础上进一步认识平面图形的平移与旋转，探索平移，旋转的性质，认识并欣赏平移，中心对称在自然界和现实生活中的应用。 《因式分解》：本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法。 《分式与分式方程》：本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题，能解决简单的实际应用问题。《平行四边形》：本章将研究平行四边形的性质与判定，以及三角形中位线的性质，还将探索多边形的内角和，外角和的规律；经历操作，实验等几何发现之旅，享受证明之美。【三】教学重点: （１）掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及应用。 （２）掌握分解因式的两种基本方法（提公因式法与公式法）。 （３）掌握分式的基本性质、四则运算、分式方程的解法及列分式方程解应用题。 （４）命题的推理论证。 （５）图形的平移与旋转、性质与应用。 （６）平行四边形的性质与应用。 【四】教学难点: （１）对不等式的基本性质的理解和熟练运用，一元一次不等式（组）的应用。 （２）提公因式法与公式法的灵活运用。 （３）分式的四则混合运算和列分式方程解应用题。 （４）几个概念的理解、区别和应用。 （５）命题的推理论证。 （６）图形的平移与旋转。 【五】重要时间节点: 北师大版八年级下册数学知识点必看 求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，也是要记、要背、要讲练的。下面是小编给大家整理的一些北师大版八年级下册数学知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。 北师大版初二数学下册知识点归纳 第一章分式 1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3整数指数幂的加减乘除法 4分式方程及其解法 第二章反比例函数 1反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两支的增减性相同; 2反比例函数在实际问题中的应用 第三章勾股定理 1勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 第四章四边形 1平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 (1)矩形 性质：矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形; 推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。 (3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。 3梯形：直角梯形和等腰梯形 等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等;同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 八年级下册数学知识点归纳北师大版 一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多 北师大版八年级下册数学各章知识要点总 结 北师大版八年级下册数学各章阐发知识要点总结 北师大版八年级数学下卷各章知识预备班要点总结 第一章十元一元一次不等式和一元一次不等式组 一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连 接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立黎曼的未知数的值，叫做不 等式的解. 2、不等式的解不唯一，把所有兼顾不等式的解集合在一起，构成 不等式的判别式.3、求不等式解集的过程叫解不等式. 4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等 式数列组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的 公共定理部分。 6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或 整式，所得的结果仍是表达式.基本性质2：在等式的两边除以都乘以 或相乘同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是表达式.二、不等式的 基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向恒定. （注：移项要变号，但不等号不变。） 性质2：不等式的两边都约等于（或除以）同一个正数，不等号的方向维持不变.性质3：不等式的两边都约等于（或除以）同一个负数，不等号的思路改变. 不等式的基本性质、若a;b,则ac;bc； 、若a;b,c;0则ac;bc，若cc,则a;c 四、解不等式组的方法:1、解出不等式的重心坐标。2、在同一数 轴表示不等式的解集。3、读到不等式组的解集。五、列一元一次不等 式组解实际问题一回的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检验并作答。六、常考题型： 1、求4x-6六、分解因式的方法：1、提公因式法。 2、运用公式法。第三章分式 注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零. 2°分式与整式不同的是：分式的指数函数中含有字母，整式的分 母中不含字母. 3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（ AA中B≠0时，分式有意义；分式中，当B=0分式无意义；当A=0 且B≠0时，分式的值为零。）BB常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的四则运算运算。3、分式方程的解法及其利用分式方 程解。 第四章相似图形 一、比例定义：表示两个比相乘八个的式子叫比例.1、如果a与b 的比值和c与d的比值相等，那么 ac=或a∶b=c∶d,这时构成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的bd 项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、 b为内项. 2、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就直言这两条线段的比 八年级下册 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1、（4页）一般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。 2、（7-8页） 不等式的基本性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 3、（10页）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 （11页）求不等式解集的过程叫做解不等式。 4、（14页）不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5、（27页）一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 6、（28页）一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 第二章 分解因式 7、（44页）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。 8、（47页）多项式bc ab +的各项都含有相同的因式b 。我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如b 就是多项式bc ab +各项的公因式。 9、（47页）如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。 10、（57页）形如222b ab a ++或2 22b ab a +-的式子称为完全平方式。 11、（57页）如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 ()()b a b a b a -+=-22 ()2222b a b ab a +=++ ()2 222b a b ab a -=+- 第三章 分式 12、（66页）整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式。如果除式B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 13、（68页）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 14、（69页）把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 15、（74页）分式乘除法的法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 16、（80页）根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 17、（82页）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。 18、（87页）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 第一章 一元一次不等式与一元一次不等式组 一. 不等关系 1. 一般地,用符号“<〞(或“≤〞), “>〞(或“≥〞)连接的式子叫做不等式. 2. 区别方程及不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。 3. 准确“翻译〞不等式,正确理解“非负数〞、“不小于〞等数学术语. 非负数 <> 大于等于0(≥0) <> 0与正数 <> 不小于0 非正数 <> 小于等于0(≤0) <> 0与负数 <> 不大于0 二. 不等式的根本性质 1. 掌握不等式的根本性质,并会灵活运用: (1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即: 如果a>b,那么>, >. (2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即 如果a>b,并且c>0,那么>, c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即: 如果a>b,并且c<0,那么<, c b c a < 2. 比拟大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么是正数;反过来,如果是正数,那么a>b; 如果,那么等于0;反过来,如果等于0,那么; 如果a 即>b <> >0 <> 0 a <0 (由此可见,要比拟两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集: 1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,及方程的解不同. 3. 不等式的解集在数轴上的表示: 用数轴表示不等式的解集时,要确定边界与方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左 四. 一元一次不等式: 1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式. 2. 解一元一次不等式的过程及解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向. 3. 解一元一次不等式的步骤: ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式根本情形为>b(或 初二下册数学知识点归纳北师大版 初二下册数学知识点归纳北师大版篇一 第一章分式 1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以或除以一个不等于零的整式，分式的只不变 2、分式的运算 1分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3、整数指数幂的加减乘除法 4、分式方程及其解法 第二章反比例函数 1、反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/xk不为0 性质：两支的增减性相同; 2、反比例函数在实际问题中的应用 第三章勾股定理 1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 第四章四边形 1、平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 1矩形 性质：矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形; 推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 北师大版初二数学下册知识点归纳 北师大版初二数学下册知识点归纳1 第一章分式 1分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式，分式的只不变 2分式的运算 (1)分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (2)分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减;异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 3整数指数幂的加减乘除法 4分式方程及其解法 第二章反比例函数 1反比例函数的表达式、图像、性质 图像：双曲线 表达式：y=k/x(k不为0) 性质：两支的增减性相同; 2反比例函数在实际问题中的应用 第三章勾股定理 1勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方 2勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 第四章四边形 1平行四边形 性质：对边相等;对角相等;对角线互相平分。 判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。 推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。 2特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形 (1)矩形 性质：矩形的四个角都是直角; 矩形的对角线相等; 矩形具有平行四边形的所有性质 判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形; 推论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 (2)菱形性质：菱形的四条边都相等;菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;菱形具有平行四边形的一切性质 判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。 (3)正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。 3梯形：直角梯形和等腰梯形 等腰梯形：等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等;同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 北师大版初二数学下册知识点归纳2 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 一、一般地，用符号(或)，(或)连接的式子叫做不等式. 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.北师大版八年级下册数学各章知识点总结
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