数学分析(3)期末试卷
2005年1月13日
班级_______ 学号_________ 姓名__________
考试注意事项：
1.考试时间：120分钟。
2.试卷含三大题，共100分。
3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！
4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)
1、 设z x u y
tan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则
=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x
x
?
=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L
s x yd _____________。
6、 在xy 面上，若圆{}
12
2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关
于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S
2
_______。
二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2
x
y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求
x x x e x x
d sin e
2?
∞+---。提示：C bx b bx a b
a e x bx e ax ax
+-+=?)cos sin (d sin 2
2。
5、 利用坐标变换求??+-D
y x y
x y
x d d sec
2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
6、 求曲面2222≤++z y x 与22y x z +≥所围成的立体体积。
7、 计算y x z x z y z y x S
d d d d d d 333++??，其中S 是球面2222R z y x =++)
0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。
三、证明题（每题10分，共20分）
1、 试证：函数?
????=+≠++=,0 ,0
,0,),(222222
2
y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在，但
在原点不可微，并且),(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。
2、 试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对
方程)(x f y =和)(x g z =表示，并求x y d d 和x
z d d ，以及交线在点0P 的法平面方程。
数学分析3期末考试题
一.选择题（每题4分，共16分）
1.如果是偶函数且可导，则 （ ） A. 0)0(='f B. 0)0(=f C.1)0(='f D.1)0(=f
2.下列广义积分收敛的是 （ ） A.
dx x x
?
+∞
+0
21 B. dx x x ?+∞∞-+214cos
C.
)1(,11
≤?
+∞
p dx x p D. )1(,)(ln 12≤?+∞p dx x x p
3.下列说法错误的是 （ ） A.设2
R E ?为任一有界无穷点集，则E 在2
R 中至少有一个聚点.
B.设{}2
R P k ?为一个有界点列，则它必存在收敛子列.
C.2
R E ?为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D.2
R E ?为有界闭集，则E 不一定为一列紧集. 4.下列
说
法
正
确
的
是
（
）
A.若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.
B.若级数∑n u 是收敛的，∑n v 是发散的，则+∑n u ∑n
v
可以是收
敛的.
C.若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则+
∑n u ∑n
v
可以是收敛的.
D. 若级数∑n u 和∑n v 是发散的，则n n v u ∑也是发散的. 二.填空题（每空3分，共15分）
1．级数∑-n
x n n
2)1(的收敛半为 ，收敛区间
为 .
2．若x
y
z arctan =在)1,1(处可微，则=)1,1(x z ，
=)1,1(y z .
3. 函数)sin(y x y z +=的全微分为 . 三.计算题（共40分）
1．计算下列定积分（每题4分，共8分）
（1）dx x x ?+-1
02
211 （2）dx x x e e 2
1)(ln 1?
2．求级数∑∞
=++1)
2)(1(1
n n n n 的和函数（8分）
3．把函数??????
?<≤<<--=,0,4
,0,4
)(ππππ
x x x f 展成傅立叶级数.(8分)
4.求极限2
2)
0,0()(1
sin
)(lim y
x y x y x ++→，.（8分）
5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面方程和法线方程.(8分)
四.讨论题和证明题（共29分）
1．设,)(n
x x x f n
n -=讨论函数列{}{}n n f f '与在]1,0[∈x 的一致收敛性.（9分）
2.设f 在],[a a -上可积，证明：（5分） （1）若f 为奇函数，则0)(=?-dx x f a
a
（2）若f 为偶函数，则dx x f dx x f a
a a
??=-0
)(2)(
3.证明不等式e dx e x <
02
1.（5分）
4．证明函数()y x f ,??
???=+≠++=,0,0,0,22222
22y x y x y x y
x 在点)0,0(连续且偏导数存
在，但在此点不可微.（10分）
2008-2009（一）《数学分析》(3-3)期末考试试卷B
一. 选择题(每题3分,共27分)
1．下列说法错误的是 （ ）
A 2R 是开集但不是闭集
B {}222(,)x y x y r +≤是闭集
C {}22(,)1x y x y +<是开集
D ?是既开又闭的点集。
2. 设点P 是平面点集E 的边界点,CE 是E 关于全平面的余集，则（ ）
A P 是E 的聚点
B P 是E 的孤立点
C P 是E 的内点
D P 是C
E 的边界点 3. L 为单位圆周
1
22=+y x ，
ds
y L
?
的值为
( )
A 4
B 3
C 2
D 1
4. 设L 是沿抛物线22y x =从原点到点B （1，2）的曲线，L
xdy ydx +?
的值为 ( )
A 0
B 2
C 1
D －2
5
．
y
x y x xy
sin ),(),()11(lim ++∞+∞→的值等于
( )
A 1
B 2
C 3
D 0
6. 若S 为柱面2
22R y x =+被平面0=z 和0)H(H >=z 所截取的
部分，则dS y x S
??
+2
21
值等于
（ ）
A R H 2π
B R H π
C 4H
3π D R H 4π
7.累次积分??2
x 0
0dy y x f dx ),(1
交换积分顺序后，正确的是
( )
A
??y
0dx y x f dy ),(1
B ??1
1),(y
dx y x f dy
C ??y
0dx y x f dy 1
1),( D ??0
1),(y
dx y x f dy
8. 曲面z=x y arctan
在点(1,1,4
π)处的切平面方程是 ( )
A 2
2π
=
+-z y x B 2
2π
=
-+z y x
C z y x +=+=+4
)1(2)1(2π
D z y x -=
-=-4)1(2)1(2π
9. 设
,2y xe u = l 由起点
P(1,0)到终点Q(3,-1),则
l
u
??|P
等于
( )
A 0
B 1
C 2
D 3
二 计算题(每题8分, 共40分)
1. 设z =f (xy x
y
,),求y x z ???2.
2. 设2
2
2
z y x u ++=,其中),(y x f z =是由方程
xyz
z y x 3333=++所确定的隐函数,求x u
3．设L 为任一包含原点的闭曲线，方向取正向,计算?
+-L y x ydx
xdy 2
2
4. 计算
???V
dxdydz z 2的值，其中V 是由2222R z y x ≤++与Rz z y x 2222≤++所围成的空间区域
5. 计算曲面积分
dxdy z dzdx y dydz x S
222++??，其中S 是锥面 222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取
外侧.
三 证明题 (共24分)
1设22220;(,)0,0x y f x y x y +≠=+=?
讨论),(y x f 在（0，0）处是否连续，是否可微（10分）
2. 讨论积分dy e I y x ?+∞
-=02
在)0(],[>a b a 上的一致收敛性（8分）
3. 设),(y x f 为连续函数，且),(),(x y f y x f =，证明：
dy y x f dx dy y x f dx x
x
??
??--=10
10
)1,1(),( （6分）
四． 应用题（9分）
求体积一定而表面积最小的长方体.
数学分析(3)期末试卷
2005年1月13日
班级_______ 学号_________ 姓名__________
考试注意事项：
5.考试时间：120分钟。
6.试卷含三大题，共100分。
7.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！
8.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)
8、 设z x u y
tan =，则全微分=u d __________________________。
9、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则
=x u _________________________。
10、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是
__________________。 11、 设
,d ),()(sin 2y y x f x F x
x
?
=),(y x f 有连续偏导数，则
=')(x F __________________。
12、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分
?=L s x yd _____________。
13、 在xy 面上，若圆{}
12
2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆
关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
14、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分
=??dxdy z
S 2
_______。
二、计算题(每题8分，共56分)
8、 讨论y
x y x y x f 1
sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
9、 设),(2
x
y
y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
10、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小
值。
11、 求
x x x
e x
x
d sin
e 0
2?
∞+---。提示：
C bx b bx a b a e x bx e ax
ax
+-+=?)cos sin (d sin 22。
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?
2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分)
数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞ -=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15 [,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --.
一. (10分)设数列{}n a 满足 : 1a = , 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的 正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在 a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x α αα=-+-在的最大值,其中01α<<. 八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有 12()()f x f x ''≤. 九. (12分)设() ,0()0,0 g x x f x x x ? ≠? =?? =? 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.
2003年浙江大学数学分析试题答案
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ， a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连 续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
三年级期末考试试卷数学分析 第一大题：计算题；共两道题；满分30分；正确率较高；说明学生学生的口算能力及计算能力较高；失分的主要原因是计算马虎不细心造成的；但仍有学生计算题竖式正确；横式写错或忘写得数.缺乏良好的考试习惯；自己检查错误的能力亟待加强. 第二大题；填空题：学生马虎现象严重：本题面广量大；分数占全卷的1/5.本题主要考察学生运用书本知识解决日常生活中的问题的掌握情况.很多学生不能根据书本上知识灵活处理问题.错的较多的题是第1、2、4、小题.第1、2小题都与测量中的填合适的单位和换算有关；学生不会灵活运用；第4小题是对时间的简单计算有关；审题不仔细. 第三大题；选择题：分数占全卷的1/10.失分最多的是1、2、8、题.其中第1、2小题选择合适的单位错的比较多；如1题：交通局的叔叔要测量一条公路的宽度；应选择用（）作测量单位.很多学生选择A、千米学生不会选择合适的面积单位；说明学生对面积单位不能准确感知；对生活常识比较缺乏.第教学时；要给学生充分的时间实际去做；关注学生做的感受.在充分动手操作的过程中体验、感知面积单位的大小；重视学生在操作和体验中学习数学.第8小题不透明的纸袋里有一些乒乓球；忽视了题中的“一些”没能理解题意；学生的理解能力以及分析能力还有待加强. 第四大题；实践与操作：共3道小题；满分10分；正确率比较高.但也有失分较多的是第3小题；少数学生没标出所测量平行四边形的长度单位.教学时没能对学生严格要求作图的规范性. 第五大题：解决实际问题；共6道小题；满分30分；正确率稍差.主要是审题不仔细及计算马虎造成的.比如第1小题：出示题后让学生先提出一个用加法计算的问题并解答；再提出一个用减法计算的问题并解答.有少数学生出现漏题现象；只做第一个题；忘了第二个题.第4小题：快过年了；县城某商场搞促销活动；牛奶每盒4元；买10盒送2盒；妈妈到商场买14盒牛奶一共用多少钱？这道题学生失分很严重.主要原因是学生对题目中的条件‘买10盒送2盒’理解不够透彻；学生都是农村的孩子对促销理解不到位.第5小题考查的是正方形的周长；少数学生忘写单位；及计算粗心导致失分. 三、改进思考及措施： 1、教师及时反思进行详细卷面分析；针对每个学生进行分析. 2、加强课堂教学向40分钟要质量. 3、培养良好的学习习惯和态度.在平时的教学中；不能忽视学生良好学习习惯和学习态度的培养；首先需要提高审题能力.审题是做题的第一步；在课堂上；常常是老师刚一提问；学生就争先恐后的举手回答；并没有完整把握题目的内容.反思一下自己的教学；也存在这样的问题.所以；在平时的课堂教学中；多给学生思考的时间和空间；让他们想好了再回答.无论是公开课还是平时的随堂课；都不要怕冷场；要让同桌讨论和小组合作更加深入；而不是让学生发表肤浅的见解.再者；可以培养学生良好的审题习惯.例如读题时；让学生圈画出重点词句；突出题目的要求.第二；要做到长抓不懈；因为任何良好习惯不是一朝一夕能培养出来的；而是要有一个比较长的过程.只有这样；才能把学生因审题不清、看错题目、漏写结果、计算不细心等原因所产生的错误减少到最低程度.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若2.A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.
3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B.若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； 1.1.? +0 2.∑ ∞ =1!n n n n 3.()n n n n n 2 1211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n n nx x f n
2.(][)∞+?-∞-=∑,22,2 D x n n 六．已知一圆柱体的的半径为R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。（本题满10分） 七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上），且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。(本题满分10分) 八.证明：函数()∑=3cos n nx x f 在()∞+∞-,上连续，且有连续的导函数.（本题满分9分）
２０14 ---２015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题(每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) １.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ）． 2.若()()x g x f ,为连续函数,则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. ３. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛，()?+∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ ). 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛,则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛( ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( ）． 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛,则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分,共15分） １.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ） Ａ．不连续 Ｂ. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则( ）
Ａ. ()x f 在[]b a ,上一定不可积; Ｂ． ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; Ｃ. ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ; D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A ．发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ,则级数∑ n u 一定收敛； B ． 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛； Ｃ. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛; D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A ． ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； Ｄ. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析题库 一． 选择题 １． 函数7 12arcsin 162-+-=x x y 的定义域为（ ）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-. ２． 函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）. （A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３． 点0=x 是函数x e y 1=的（ ）. （A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点. ４． 当0→x 时，x 2tan 是（ ）. （A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小. ５． x x x x 2)1 (lim -∞→的值（ ）． （A ）e; (B)e 1; (C)2e ; (D)0. ６． 函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义 为（ ）． （A ）0 0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ?-?+→)()(lim 0 ; (C) ()()x f x f x ?-→?0lim 0 ; (D)()()x x x f x x f x ??--?+→?2lim 000. ７． 若()()2 102lim 0=-→x f x f x ，则()0f '等于（ ）. （A ）4; (B)2; (C)21; (D)4 1,
８． 过曲线x e x y +=的点()1,0处的切线方程为（ ）. （A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９． 若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（ ）. （A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933 123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（ ）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3. 11．函数()x f y =由参数方程?????==-t t e y e x 35确定，则=dx dy （ ）. （A ）t e 253; (B)t e 53; (C) t e --5 3 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =?是),(b a 上的（ ） （A ） 递增函数 ; （ B ） 递减函数; （C ） 严格递增函数; （D ） 严格递减函数. 13 ．()n = （A ） 21 ; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x →=（ ） （A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ）
历年试题数学分析
河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、计算下列各题（每题5分，共50分）： 1、2211 1222lim 11 133 3n x n →∞+++ +++; 2、 222arcsin 22x a x y a x a =- ()0a >,求y '; 3、()1ln ln ln x dx x ??+?? ? ? ?; 4、20 sin x e xdx π ? ; 5、计算广义积分21 1 dx x -?; 6、求幂级数() 135 n n n x n ∞ =-?∑ 的收敛区间; 7、设,y x z x =求,z z x y ??? ?; 8、展开函数()()cos 2x f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数; 9、计算二重积分 2 2,:2,,1D x dxdy D x y x xy y ===??所围成; 10、应用格林公式计算2 2 C xy dy x ydx -?,式中C 为按逆时针 方向绕圆周2 2 x y a +=一圈的路径. 二、(10)求函数()() 2 12x y x x dx =--?的极值，并求其图形 上的拐点. (下缺)
河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、完成以下各题(每小题8分,共48分) 1、() ( ) 23ln 1lim ln 1x x x e e →∞ ++; 2、设 ()2 ln 1arctan x t y t t ?=+??=-??,求 22,dy d y dx dx ; 3、计算广义积分2 2 2 ,02 sin sin dx x π α π αα << -? ; 4、将()11x f x x -=+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()()2y y AB e x dx xe y dy ++-?,其中AB 是经过()()() 0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧; 6、求函数()2 43 1 x f x x +=+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数 () ,z f x y =的全微分. 三、(12分)展开函数 ()1,02 0,2 x f x x π π π ? ≤≤ ?? =? ?≤≤?? 为余弦级数.
（十六）数学分析2考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2 分，共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ?+∞ sin xdx D ? -1 13 1 dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞=1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ） ，且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ） A )(1x a n n ∑∞ =在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛 C 若0|)(|lim =∞ →x a n n ，则 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]必绝对收敛