《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案
师：请同学们用三角板和圆规在学案上将图形补充完整；巡视后通过画板
3、同学们要注意，这里DP在旋转过程中可能会出现在△
此时∠AEB就变成了一个钝角，从而分类讨论后是另一种结果。
4、证明：连接DE，
给出下列结论：
是等边三角形.
、请同学们综合之前所学的内容完成这道练习，并在学案中留下自己的
第1题图
第2题图
几种构造辅助函数的方法及应用 许生虎 （西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070） 摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求 辅助函数的几种方法及在解题中的作用。 关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法 1. 引言 在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。 构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。 2. 构造辅助函数的七中方法 2.1“逆向思维法” 例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()?=2 1 21dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，
使()() θθθf f -='. 证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数. 将()() θθθf f '变为()()0='?+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '?+='=,可考虑 辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F 因为()()ξξf f =1 , 而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F = 所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF 即:()() θθθf f -='. 证毕 2.2 原函数法 在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下: (1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ (2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式; (3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习 1.已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 600 3. 如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ A D B O C E 4.如图所示，OA是圆O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 5. 如图所示，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。 6. 如图所示，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。
C A P O D C E O A D B 7. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为________________。 8. 如图所示，四边形ABCD内接于圆O，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 9.如图所示，圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5 10.下列说法中，正确的是（） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 11.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 12. 如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段 教学内容 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． 注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
圆周角的概念： 【例1】如图，∠BAC是圆周角的是（） 变式：1、如图，图中哪些角是圆周角，哪些不是圆周角？请说明理由。 圆周角定理： 【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D等于（） 【例2-2】已知圆中一条弦的长度等于它的半径，求此弦所对圆周角的度数。 2，则⊙O的半径为（）变式：1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=3
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论 ()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得 ()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有() ()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．
垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角提高练习 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五 个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ , 正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
第一课时辅导讲义
4、圆周角定理及其推论（重点） 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三 角形。 即：在△ABC中，∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∟C=90° 5.垂径定理的应用（难点） （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的的弧， 垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示， 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 C B A O O E D C B A
考点一：圆心角，弧，弦的位置关系 例1、（2006?）如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值围是（） 例2、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（） 例3、（2007?）如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其 中正确结论的序号是 例4.（2005?江）如图所示，⊙O半径为2，弦BD=2√3，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且 在BD上，则四边形ABCD的面积为 考点二：圆周角定理 例1如图，三角形ABC中，∠A=60°，BC为定长，以BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E．连接DE，已知DE=EC．下列结论：①BC=2DE；②BD+CE=2DE．其中一定正确的有（） 例2、（2011?）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角
中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()() f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231 n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+…
圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试
一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ， 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． A B D C O · E
《圆周角和圆心角的关系》第1课时教学设计
教学过程设计说明 [师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角． 回顾旧知，导入新课[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．创设问题设置悬念，激发学生学[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆情境习欲望。心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？ [师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片 )A．13．3在通过射门游戏引入圆周角的概念。 [师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ [生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆 有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)探索新知 圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角． [师]请同学们考虑两个问题：认识 概念 顶点在圆上的角是圆周角吗？(1) 圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？(2) 请同学们画图回答上述问题． [师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念让学生认识圆周角的两的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：个重要特征。 (1)角的顶点在圆上； (2)两边在圆内的部分是圆的两条弦． 试列举一些反例让学生进行辨析。 )1(出示投影片一试 [师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时， 他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关 系？ 我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所 对的圆周角有什么关系？联想建构[师]请同学们动手画出⊙O中弧AC所对的圆心角和圆周角．观察弧AC所对的圆周角有几个？提出这一问题意在引起 它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到学生思考，为本节活动的？弧AC所对的圆心角和所对的圆周角之间有埋下伏笔。什么关系？ 验[生] 弧AC所对的圆周角有无数个．通过测量的证猜方法得知：弧AC所对的圆周角相等，所对的圆想周角都等于它所对的圆心角的一半． （教师用几何画板展示变化中的圆周角与圆心角的关系） [师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其 论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流． [生]互相讨论、交流，寻找解题途径． [师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．(学
分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5
论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日
摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application
【第 1 页 共 8页】 微分中值定理证明中辅助函数的构造 1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ． 例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'() f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()() f b f a g x f x g b g a -=-g 再两边同时积分得()()()()()() f b f a g x f x C g b g a -=+-g ，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-g 故()()()()()()() f b f a F x f x g x g b g a -=--g 为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231 n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231 n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续 2）()F x 在（0，1）内可导 3）(0)F =0， 120(1)0231 n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231 n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．
圆（垂径定理、圆心角、圆周角）基础题练习 1如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长． 2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE的长为 3.如图，同心圆中，大圆的弦AB被小圆三等分，OP为弦心距，如果PD=2cm，那么BC=________cm． 4.如图，OA=OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？ 5.如图所示，已知在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，证明：AC=BC 6.已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4cm，求⊙O的直径 7.如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最 大深度． 8.已知：如图，△ABC内接于⊙0，AE⊥BC，AD平分∠BAC．求证：∠DAE=∠DAO． 圆心角、圆周角 1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数
5.如图，图中相等的圆周角有 A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 6.如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=60°，则∠OBC的度数为________度． 7.如图示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2，试求⊙O的半径大小． 8.已知：如图，点D的坐标为（0，6），过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点．圆周角∠OCA=30°，求A点的坐标． 9.如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径． 10如图，已知：AB、CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，求证：AC=BD 11.已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm． （1）求证：AC⊥OD；（2）求OD的长． 12.如图，OA⊥BC，∠AOB=50°，试求∠ADC的大小 如图，⊙O中，弦AB=CD．求证：∠AOC=∠BOD 13.如图，⊙O中，OA⊥BC，∠CDA=35°，求∠AOB的度数． . 14.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，求∠DCF的度数．
通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.
微分中值定理怎样构造 辅助函数 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的方法，还有附带几个经典例题，希望对广大高数考生有所帮助。 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)=f(ε) 证明过程： f ’(ε)=f(ε), 所以f ’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 y dx dy =,即dx dy y =1，所以对两边简单积分，即??=dx dy y 11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C ，但这只是我的经验方法，所以不加）就是x y =ln ，也就是x e y =，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把x e 除下来，就是1=x e y ，所以左边就是构造函数，也就是x e y -?，而y 就是f(x)，所以构造函数就是x e x f -)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a ，b ）中存在ε使f ’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， xy dx dy 2-=，把x,y 移到两边，就是xdx dy y 21-=，所以积分出来就是2ln x y -=，注意y 一定要单独出来，不能带ln ，所以就是=y 2x e -，移出1就是,12=x ye 所以构造函数就是2)(x e x f ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a ，a ）中存在ε使f ’(ε) ε+2f(ε)=0.
圆1 一、知识点 1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是 中心对称图形，对称中心是圆心. 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. 2、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 3、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条都是它的对称轴。（因为直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成：“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”。） 4、、垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的弧。（这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是过“圆心”。） 5、推论：（1）平分弦（不是直径）的直径，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径，弦且平分弦所对的另一条弧。 推论：圆的两条平行弦所夹弧。 6、与圆有关的角 (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 7、垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 二、例题 (泸州市2008年)如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（） A．45 B．60 C．75 D．90 2．(PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=4，则⊙O的半径是（）`
【知识点总结】 1．圆是 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形． 2．圆是轴对称图形，它的直径所在的直线都是对称轴；又时中心对称图形，它的中心是圆心． 3．垂径定理：（图1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 4．圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 5．顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 6．圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；?90的圆周角所对的弦是直径． 8．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 圆易错点 1．注意考虑点的位置 在解决点与圆的有关问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等． 例１．点P 到⊙O 上的最近距离为cm 3，最远距离为cm 5，则⊙O 的半径为 cm ． 例2．BC 是⊙O 的一条弦， ?=∠120BOC ，点A 是⊙O 上的一点（不与B 、C 重合），则BAC ∠的度数为 ． 2．注意考虑弦的位置 在解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类． 图3 图4
例3．在半径cm 5为的圆中，有两条平行的弦，一条为cm 8，另一条为cm 6，则这两条平行弦的距离是 ． 例4．AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的两条弦，且?=∠30BAC ，?=∠45BAD ，则CAD ∠的度数为 ． 考点1：基本概念和性质 考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现． 例5．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 考点2：圆心角与圆周角的关系 例6.如图1,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度. B A A (1) (2) (3) 例7..如图2,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________. 例8..如图3,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______. 考点3：垂径定理 考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决． 例9．如图，在⊙O 中，有折线OABC ，其中8=OA ，12=AB ，?=∠=∠60B A ，则弦BC 的长为（ ）。 Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20 1．下列命题中，正确命题的个数为（ ）. ①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③?90的圆周角所对的弦是直；④圆周角相等，则它们所对的弧相等． A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ． 4个 2.下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C
教学时间课题24.1.4 圆周角课型新授课 教学目标知识和能力 1.了解圆周角与圆心角的关系. 2.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 3.能运用圆周角的性质解决问题. 过程和方法 1.通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力. 2.通过观察图形，提高学生的识图能力. 3.通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力. 4.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题. 情感态度 价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点发现并论证圆周角定理. 教学准备教师多媒体课件 问题与情境师生行为设计意图 [活动1 ] 演示课件或图片： 问题1 如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角( 和)有什么关系? 问题2 如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角( 和)和同学乙的视角相同吗? 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆. 教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物. 教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题. 教师结合示意图，给出圆周角的定义.利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧( )所对的圆心角( )与圆周角( )、同弧所对的圆周角( 、、等)之间的大小关系.教师引导学生进行探究. 教师关注： 1.问题的提出是否引起了学生的兴趣; 2.学生是否理解了示意图; 3.学生是否理解了圆周角的定义; 4.学生是否清楚了要研究的数学问题. 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学. 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法. 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. [活动2] 问题1同弧(弧AB)所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的?
微分中值定理证明中辅助函数的构造 1原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数， 主要思想分为四点：（1）将要证的结论中的§换成兀；（2）通过恒等变形将结论化为易消 除导数符号的形式；（3）用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取 积分常数为零；（4）移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F ⑴. 例1：证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论酬筒中令…，得 '先变形为衞喘伯"）再两边同时积分得 尸（兀）=/（兀）_ /丫）一/"" g （x ）为所求辅助函数. g@）-g ⑷ 例2：若兔，q , $，…，色是使得&）+” + ￥ +…+上、=0的实数.证明方程 2 3 n + \ 兔+q 无+匕2兀2 +…+匕“"=0在（0, 1）内至少有一实根. 证： 由于［*（&）+。］兀 + 偽〒 ++ a n x n ）dx = a^x-^ — x 1 +—x 3 +??? + -^—兀"° +C 」 ? 2 3 n +1 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 F （x ） = a {}x + — x 2 + —x 3 +??? + -^-x"J （取C = 0 ）,贝！J 2 3 n + 1 1） F （x ）在［0, 1］上连续 2） F （x ）在（0, 1）内可导 3） F （0）=0, 尸⑴二勺+色+纟+…+厶二。 2 3 n + \ 故尸（尢）满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在e （0,1）使F@） = 0,即 （。（）兀+号■兀2 + 守兀‘+…+上穿兀处）：=卍=0亦即€z 0+a,^ + ^2 +???+qg" = 0? /(b)-/⑺) g(b)-g(a) g(x) = /(Q + C ,令 C = 0 /(毎 g(坍 /(>
1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证
明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知
问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示