北师大版高一数学（必修一）经典习题集
一、集合
1．设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 个 2．设集合{}0
62=+-=mx x x M ，则满足{}M M =?6,3,2,1的m 的取值范围是
3．已知集合?
?????∈==Z n n x x A ,6sin π，则A 的非空真子集个数有 个4．设集合}4|||{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合{A x x ∈|且B A x ?}= 。 5．设集合
}2|||{<-=a x x A ，}12
1
2|
{<+-=x x x B ，且B A ?，则实数a 的取值范围是 。
6．函数n
y x =的x 、n 都属地集合{1,2,3,4,9}且x n ≠，若以所有的函数值为元素作为集合M ，则
M 中元素的个数为 。 7.（2009年上海卷理）已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R
?=，则实数a 的取
值范围是 。 8.（2009重庆卷文）若{U
n n =是小于9的正整数}，{A n U n =∈是奇数}，{B n U n =∈是
3的倍数}，则()U A B = e ． 9.（2009重庆卷理）若
{}3A x R x =∈<，{}21x B x R =∈>，则A B = ．
10.（2009上海卷文） 已知集体A={x|x ≤1},B={x |≥a},且A ∪B=R ，则实数a 的取值范围 m 。 11.（2009北京文）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k
A -?且1k A +?，那么k
是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 12
（
2009
天
津
卷
文
）
设
全
集
{}
1
lg |*<∈=?=x N x B A U ，若
{}4,3,2,1,0,12|=+==?n n m m B C A U ，则集合B= 。
13．已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝2
2{|0}(1)
x a
x x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A B ；
⑵求使B ?A 的实数a 的取值范围．
14.}019|{22=-+-=a ax x x A }065|{2=+-=x x x B ,}082|{2
=-+=x x x C ． （1）B A B A =，求a 的值； （2）φ≠B A ，且φ=C A ，求a 的值； （3）φ==C A B A ，求a 的值；
15.
}034|{2=+-=x x x A ,}01|{2=-+-=a ax x x B ,}01|{2=+-=mx x x C ，且A B A = ，C C A = ，求a ，m 的值.
16．已知下列集合： （1）{}5,,121≤∈+==k N k k x x A ； （2）{}5,,22≤∈==k N k k x x A ；
（3）{}
3,,14,143≤∈-=+==k N k k x k x x A 或
(4)
{}N y N x y x y x A ∈∈=+=,,6),(4
问：（Ⅰ）用列举法表示上述各集合； （Ⅱ）对集合
1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与
1A 的关系．
17．（1）设
{}24<≤-=x x A ，{}4
2≥-<=x x x B 或．求B A ，B A ，A B C
R
)(．
（2）设集合{}21<≤-=x x M
，{}3+≤=k x x N ，若φ≠N M ．求k 的取值范围．
二、 求函数值域
求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。 一、 基本知识
1． 定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2． 函数值域常见的求解思路：
⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。
⑵．反解函数，将自变量x 用函数y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y 的不等式，解不等式即可获解。
⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x =看作是关于自变量x 的方程，
在值域中任取一个值0y ，0y 对应的自变量0x 一定为方程()y f x =在定义域中的一个解，即方程
()y f x =在定义域内有解；另一方面，若y 取某值0y ，方程()y f x =在定义域内有解0x ，则0y 一定为0x 对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x 的方程()y f x =在定义域内有
解的
y 得取值范围。
特别地，若函数可看成关于x 的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。
⑷．可以用函数的单调性求值域。 ⑸．其他。
3． 函数值域的求法
在以上求解思路的引导下，又要注意以下的常见求法和技巧：
⑴．观察法；⑵．最值法；⑶．判别式法；⑷．反函数法；⑸．换元法；⑹．复合函数法；⑺．利用基本不等式法；⑻．利用函数的单调性；⑼．利用三角函数的有界性；⑽．图象法；⑾．配方法；⑿．构造法。 二、 举例说明
⑴．观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。
例1：求函数()1y x =≥的值域。 )+∞
例2：求函数
y = [)1,+∞
⑵．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例3：求函数
2x y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44??????
例4：求函数2
256y x x =-++的值域。 73,8??-∞ ??
?
⑶．判别式法：通过二次方程的判别式求值域的方法。 例5：求函数
22122x y x x +=
-+的值域。 ()1,1,2??
-∞-?+∞???? ⑷．反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。
例6：求函数
23
32
x y x +=
-的值
22,,33????-∞?+∞ ? ?????
例7：求函数ax b y cx d +=+，0,d c x c ??≠≠- ???的值域。 ,,a a c c ????
-∞?+∞ ? ?????
⑸．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法。
例8：求函数
y x = 1,2?
?-∞ ??
?
⑹．复合函数法：对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从
而求出
()y f u =的值域的方法。
例9：求函数
212log (253)y x x =-++的值域。 49,8??
+∞????
⑺．利用基本不等式求值域： 例10：求函数1
y x x
=+
的值域。
(][),22,-∞-?+∞
例11：求函数
2
1
2y x x =+
(0)x >的值域。 [)3,+∞ ⑻．利用函数的单调性：
例12：求函数y =
提示：
y
=
1x ≥，故
y
是减函数，因此当1x =时，max y 0y >，∴(
y ∈。
例13：求函数y x =
略解：易知定义域为
1,2??-∞ ??
?，而
y x =在
1,2?
?-∞ ??
?上均为增函数，∴
1122y =≤，故y ∈1,2??
-∞ ??
? ⑼．利用三角函数的有解性：
例14：求函数
2cos 13cos 2x y x +=
-的值域。 [)1,3,5?
?-∞?+∞ ??
?
例15：求函数2sin 2sin x y x -=+的值域。 1,33??
????
⑽．图象法：如果可能做出函数的图象，可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常
用此方法）。 例16：求函数
31y x x =--+的值域。 []4,4-
求函数值域方法很多，常用的有以上这些，这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧。
,可以利用配方法求函数值域。
例17：求函数y =
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由2
20x
x -++≥,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。此时
221992(0,244x x x ??
-++=--+∈????
∴302,函数的值域是30,2??????
。
⑿．构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例18：求函数y =
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为
()f x = 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD
正方形。设HK=x ,则EK=2x -,KF=2x +
。
由三角形三边关系知，AK+KC ≥AC=5。当A 、K 、C 三点共 线时取等号。
∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。
三、 函数的单调性和奇偶性
[例1] 如果函数
2)1(2)(2+-+=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求a 的取值范围。
[例2] 判断函数a x x f +-=3
)(（R a ∈）在R 上的单调性
[例3 ] 已知函数)(x f ，)(x g 在R 上是增函数，求证：)]([x g f 在R 上也是增函数。
[例4] 求函数x
x y 1
+=的单调区间
[例5] 判断下列函数是否具有奇偶性 （1）2)1(3)1()(23++-+=x x x f
（2）32)(x
x f =
（3）11)(-+-=x x x f
（4）
2211)(x x x f -?-=
（5）x
x
x x f -+-=11)1()(
[例6] 函数)(x f 在),(∞+-∞上为奇函数，且当]0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(∞+∈x 时，求)(x f 的解析式。
[例7] 设)(x f 为奇函数，且在定义域)1,1(-上为减函数，求满足0)1()1(2
<-+-a f a f 的实
数a 的取值范围。 [例8] 设)(x f 是定义在),0(∞+上的增函数，1)2(=f 且)()()(y f x f xy f +=，求满足不等式
2)3()(≤-+x f x f 的x 的取值范围。
四、 指数函数
例1 求函数y ＝(12
)x 2
－2x
的单调增区间和单调减区间．
解：令y ＝f (x )＝(12)x 2
－2x ，则函数f (x )可以看作函数y ＝(1
2
)t 与函数t ＝x 2－2x 的复合函数．
因为y ＝(1
2
)t 在(－∞，＋∞)上是减函数，
函数t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上单调增函数，
所以函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的单调增区间是(－∞，1]；单调减区间是[1，＋∞)．
注：(1)利用复合函数的方法确定函数单调性的关键是弄清已知函数是由哪几个基本函数的复合而成的． (2)复合函数单调性的判定的结论：同增异减．当然这一结论解决填空题或选择题时，直接使用，如果是解答题，必需使用函数单调性的定义进行证明．
(3)本题可进一步研究：函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的值域如何求？
由上面的结论可知：
t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，
所以0＜f (x )≤2，当且仅当x ＝1时，f (x )＝2，
因此，函数f (x )＝(12
)x 2
－2x
的值域为(0，2]．
注意：必须注意f (x )＝(12
)x 2
－2x
＞0．
例2 判断函数f (x )＝a x ＋a －x (a ＞0，且a ≠1)的奇偶性，并证明之． 解 函数f (x )的定义域是R ．
由于对定义域内任意x ，都有
f (－x )＝a －x ＋a x ＝f (x )，
所以函数f (x )＝a x ＋a －x 是偶函数．
解：(1)因为对人任意x ∈R ，3x ＋1≠0， 所以函数f (x )的定义域是R ．
(2)因为y ＝f (x )＝3x －13x +1＝1－2
3x +1
设t ＝3x ，则y ＝g (t )＝1－2
t+1
(t ＞0)．
设0＜t 1＜t 2，则
y 1－y 2＝
2t 2+1－
2t 1+1
＝
2(t 1－t 2)
(t 1+1)(t 2+1)
＜0，
所以函数y ＝g (t )是(0，＋∞)上的增函数．
所以y ＞1－2
0+1
＝－1．
所以f (x )的值域是(－1，＋∞)．
注意：可画出函数y ＝g (t )(t ＞0)的图象，由图象得y ＞－1．
(安排此问题是为了让学生通过3x －13x +1，1－2
3x +1这两个形式之间的转化，为下面两个函数的性质做铺垫)
(3)提问：计算f (－x )应该用3x
－13x +1，1－2
3x +1
哪一种形式计算更为方便呢？
对于任意x ∈R ，都有
f (－x )＝ 3－x －13－x +1＝1－3x 1＋3x ＝－3x －1
3x +1
f (x )，
所以f (x )＝3x
－1
3x +1
是奇函数．
(4)提问：计算f (x 1)－f (x 2)应该用3x －13x +1 ，1－2
3x +1
哪一种形式计算更为方便呢？
对于R 上任意两个值x 1，x 2，设x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(1－23x 1
＋1
)－(1－2
3x 2
＋1
)
＝
2
3x 2
＋1－
2
3x 1
＋1＝
2(3x 1－3x 2
)
(3x 1＋1)(3x 2
＋1)，
因为x 1＜x 2，y ＝3x 是单调增函数， 所以3x 1＜3x 2，所以3x 1
－3x 2
＜0．
又因为 3x 1
＋1＞0，3x 2
＋1＞0， 所以 f (x 1)－f (x 2)＜0， 即 f (x 1)＜f (x 2)，
所以f (x )＝3x －1
3x +1
是R 上的单调增函数．
总结对于f (x )＝a x －1
a x +1
(a ＞0，且a ≠1)的单调性和奇偶性的研究，应该具体问题具体分析．
第五讲 巧解y=f(ax+b)函数的解析式和定义域
有很多同学在求复合函数的解析式和函数的定义域时，有时感觉步骤太多，不愿求，或很容易求错。现在介绍一种简便的方法供同学们参考。 一、 求复合函数的解析式
1、 已知f(2x －1)=3x 2-4x+3,求f(x+3)的解析式
一般的方法是先利用换元法求出f(x)的解析式，再利用f(x)的解析式求f(x+3)的解析式。
解：设2x-1=t,则x=
21+t ,所以f(t)=3(21+t )2
-4·2
1+t +3=47
21432+-t t ,
f(x+3)=47)3(21)3(432
++-+x x =744
32++x x
巧解：令2x-1=t+3,则x=24+t ,所以f(t+3)=3(24+t )2
-4·24+t +3=744
32
++t t 所以f(x+3)= 744
32
++x x 2、 已知f(
x 21-)=5-3x,求f(x+1)的函数解析式
解：设x 21-=t,所以x=212t -(t>0),f(t)=5-3·
2
12
t -=
2
7232+t f(x+1)=2
7)1(232
++x (x>-1)
练习：(1)已知：f(3x+8)=3x 2+6x+9,求f(1-3x)的函数解析式 （2）已知f(43-x )=9x+8,求f(3x-8)的函数解析式
二、求函数的定义域 1、已知函数y=f(
2
3
5-x ) 的定义域为（3，13），求y=f(3x －8)的定义域 学生对这样的题，关键在定义域的定义理解错误，造成解题错误，很多同学以为定义域指的是3x －8的
取值范围，根据函数的定义域的概念：是使函数有意义的x 的值范围，所以这题正确解法如下： 一般解法：解：依题意3 133 14 < 13314 < 133 14 < f(3x-8)的定义域为｛x|13314 < 26x -)的定义域为（3，8），求y=f(8x －3)的定义域。 六、 指数,对数函数 1．(2005广东)函数 x e x f -= 11 )(的定义域是 ． 2.（2007上海理）函数3 ) 4lg(--=x x y 的定义域是 3.（2007全国Ⅰ文、理）函数y=f(x)的图像与函数y=log 3x(x>0)的图像关于直线y=x 对称， 则f(x)= 4．(2005江西理、文)若函数 )2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a= ． 5.（2007重庆理）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为 6．（2007江西理）设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 7．（2004湖南文科）若直线y=2a 与函数y=|a x -1|(a>0,且a ≠1)的图象有两个公共点， 则a 的取值范围是 8.（2001上海理科）设函数f(x)= (]???+∞∈∞∈-) ,1(x ,x log ,1-x ,281x ，则满足f(x)= 41 的x 值为____________. 七、 关于函数的对称性和周期性 函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2005年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。 一、函数的对称性 1、函数 ()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2 a b x +=的 对称点（1a b x +-，y 1 ），当1x a b x =+-时，11 1()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。） 2、函数 ()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（ 2 a b +，2c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点 （2 a b +，2c ） 的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-， 即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2 a b +，2c ）对称。 （注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。） 3、函数 ()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -= 对称。 证明：在函数 ()y f a x =+上任取一点（x 1，y 1） ，则11()y f a x =+，点（x 1，y 1）关于直线2 b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=，故点（1b a x --，y 1）在函数 ()y f b x =-上。由点（x 1，y 1）是函数()y f a x =+图象上任一点，因此 ()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2 b a x -= 对称。 二、周期性 1、一般地，对于函数 ()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 2、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。 证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--= ∴函数()y f x =的一个周期为2A 。 3、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1 (A)() f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：略。 4、对于非零常数A ，函数 ()y f x =满足1 ()() f x f x =- ，则函数()y f x =的一个周期为2A 。 证明：略。 三、对称性和周期性之间的联系 1、函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函 数的一个周期。 已知：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-（a ≠b ） ，求证：函数()y f x =是周期函数。 证明：∵()()f a x f a x += -得()(2)f x f a x =- ()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =- ∴(2)(2)f a x f b x -=- ∴()(22)f x f b a x =-+ ∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。 2、函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数() y f x =是周期函数。 （函数 ()y f x =图象有两个对称中心（a ， 2c ）、（b ，2 c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。） 证明：由()()f a x f a x c ++-=? ()(2)f x f a x c +-= ()()f b x f b x c ++-=?()(2)f x f b x c +-= 得(2)(2)f a x f b x -=- 得()(22)f x f b a x =-+ ∴函数()y f x =是以2b －2a 为周期的函数。 3、函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。 证明：略。 四、知识运用 2005高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。 1、（2005·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=得(3)0f =，(2)0f =(5)0f ?= (2)0f =(1)0(1)0f f ?-=?= ∴(4)0f = ∴x =1，2，3，4，5时，()0f x = 这是答案中的五个解。 但是 (15 )(153f f f -?=-?+=?又 (15)(f f -?=-? 知 (15)0f ?=而 0(15)(153)(4f f f =?=?+=? 知 1.5, 4.5,()0x x f x ===也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。 2、（2005·广东 19）设函数 ()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。 ⑴试判断函数()y f x =的奇偶性； ⑵试求方程()0f x =在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。 解：⑴由(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+得函数()y f x =的对称轴为2x =，7x =。由 前面的知识可知函数的一个周期为T=10。 因为函数 ()y f x =在[0，7]上只有(1)(3)0f f == 可知 (0)0f ≠，(7)0f ≠ 又 (3)0,(3)(310)(f f f f ==-=-且 ∴(7)0f -= 而 (7)0f ≠且(7)0f -≠，则(7)(7)f f -≠，(7)(7)f f -≠- 因此，函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数。 ⑵由(3)(1)0f f ==，可得(11)(13)(7)(9)0f f f f ==-=-= 故函数()y f x =在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，满足()0f x =；从而可知函数()y f x =在[0，2005]上有402个解，在[－2005，0]上有400个解。所以，函数()y f x =在[－2005，2005]上共有802个解。 八、函数问题中的易错点 函数的应用问题主要是指将实际问题转化为函数问题，就是“数学建模”，它是解决数学应用题的重要方法.在建模时常会因出现“忽视从实际出发”、“理解不全面”、“与事实不符”和“时间间隔计算出错”四种解题误区，下面就函数应用问题中的这四个误区进行举行分析： 一、忽视从实际出发确定函数的定义域致错 例1、某工厂拟建一座平面图（如图）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外壁建造单价为每米400元，中间两条隔壁建造 单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池 无盖）（1）、写出总造价y（元）与污水处理池长x（米）的函数关系式，并指 出其定义域. （2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价. 错解：（1）污水处理池的长为x米，则宽为200 x 米，总造价 200200 400(22)248280200 y x x x =+?+??+? = 324 800()16000(016) x x x ++<≤ （2 ） 324 800()160008001600044800 y x x =++≥?=，当且仅当 324 x x = ，即18 x== 最低造价为44800元. 错因分析：上述解法中的思路是正确的，第（1）问列的式子也正确，但是定义域016 x <≤是不严格的，应由已知条件进一步缩小范围：12.516 x ≤≤.第（2）问中应用不等式解最值时忽视等号成立的条件为18 x=，但在定义域内取不到18，所以应根据函数的单调性进行分析求解. 正解：（1） 324 800()16000, y x x =++ 200 16,12.5 x x ≤∴≥ ，则定义域为[] 12.5,16 （2）长和宽分别为16米，12.5米时，总造价最低且为45000元. 二、由于对实际问题理解不全面而致错 例2、在一个交通拥挤及事故易发路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速v（单位：/ km小时）的平方和车身长（单位：m）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长为l（单位：m），且当车速为50(/ km小时)时，车距恰为车身长，问交通繁忙时应规定怎样的车速，才能在此路段的车流量Q最大？ ?? ? ?? 车速 车流量= 车距+车身长 错解：2 d kv l =，将50, v d l ==代入得 1 2500 k=，2 1 2500 d v l ∴=，又将 1 2 d l = 代入得v= 2 1 ( 2500 d v l v =≥， 将 2 10001000 ( (1) 2500 v v Q v v d l l ==≥ + + ， 100025000 () 2500 l l v ≤= + 25000 50 v l ∴== max 当且仅当时,Q 综上所知：50(/) v km h =时,车流量Q取取最大值. 错因分析：上述解法中的结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求不低 于()/ km h，所以在求解过程中应分此两种情况分类求解，得到分段函数 . 正解：依题意，得21 (2 1 (2500l v d v l v ?≤??=??>??， 则21000(3100021000((1)2500v v l v Q v d l v v l ?≤?? ?==? +?>?+?? ，显然， 当v ≤时，Q 是v 的增函 数，v ∴= max 100032 v Q l == ， 当v >时 ，100025000 1()2500v l l v ≤= + ，当且仅当50v =时，m a x 25000Q l =，综上所述，当50(/)v km h =时车流量Q 取到最大值. 三、结果与事实不符而致错 例3、WAP 手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟），按30元计费；超过500分钟的部分按0.15/分钟计费。假如上网时间过短（小于60分钟的），使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟计费。WAP 手机上网不收通话费和漫游费。 （1）写出上网时间x 分钟与所付费用y 元之间的函数关系式； （2）12月小王WAP 上网使用量为20小时，要付多少钱？ （3）小王10月份付了90元的WAP 上网费，那么他上网的时间是多少？ 错解：1）设上网时间为x 分钟，由已知条件所付费用y 关于x 的函数关系式为 （2）当12006020=?=x 分钟，500>x ，应付0.151200180y =?=元， （3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为600分钟。 错解分析：此题错解主要是对“超过500分钟的部分按0.15/分钟计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第（2）小题上了1200分钟的网，要180元，是30元包月用500分钟的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第（3）小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而可上网时间才多了100分钟，与事实不符. 正解：（1）设上网时间为x 分钟，由已知条件所付费用y 关于x 的函数关系式为 （2）当12006020=?=x 分钟，500>x ，应付135)5001200(15.030=-+=y 元， （3）90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由解析式可得上网时间为900分钟。 四、时间间隔计算出错 例4、某工厂转换机制，在两年内生产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率是多少？ 错解：设第一年某月的产值为b ，则第二年相应月的产值是11 (1)b a +，依题意所求增长率是 1111(1)(1)1b a b a b +-=+-. 错解分析：对于增长率问题，主要是应用公式(1)x y N p =+，对于x 往往指基数所在时间后跨过 时间的间隔数. 0,010.5,16030,60500300.15(500),500 x x x y x x x < ≤≤??+->? 正解：不妨设第一年2月份的产值为b ，则3月份的产值为(1)b a +，4月份的产值为2 (1)b a +，依次类推，到第二年2月份是第一年2月份后的第12个月，即一个时间间隔是一个月，这里跨过了12个月，故第二年2月份产值是12 (1)b a +，又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相 应月的增长率为：1212(1)(1)1b a b a b +-=+-. 函数应用问题解题时要掌握好函数应用问题解题的一般步骤，注意避免进入以上两个误区.具体的解题步骤一般有“审题”、“建模”、“求模”、“还原”四步，审题：弄清题意，分清条件结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得到数学结论；还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 变式练习题 1、已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 到达B 地，在B 地停留1小 时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数，表达式为 解析：由A 到B 共用时15060 2.5÷= ，停留 1小时距离不变，由B 返回时距离逐渐减小， 60 (0t 2.5)150 (2.5 ∴=≤??--≤? 2、某种产品每件80元可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 解析：设售出件数为 y 件，定价为x 元，则有8030x y =?? =?或120 20x y =??=?，设一次函数为y kx m =+， 则有13080;20120,450k k m k m m ? =- ?=+=+∴??=? ，因此一次函数为1504y x =-+.另因0y >，则 200x <，又0x >，因此可得0200x <<，即有1 504 y x =-+，()0,200x ∈. 3、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米(0 解析：观察排除法.因“前进了a 千米后休息了一段时间”， 排除A ；接着“又原路返回b 千米(0 4、开始时水桶甲中有16升水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线 16kt y e -=?（k 是正常数） ，假设经过2分钟时水桶甲和水桶乙的水量相等，那么经过多少分钟时水桶甲的水剩余2升？ 解析：由题意，当2t =时，8y =，即2816k e -?=? ，故k e -= ， 设经过t 分钟时水桶甲的水剩余2升，则216kt e -=? ，18t =，13211 ()()23 t =，6t = 答：经过6分钟时水桶甲的水剩余2升 习题答案 一、集合 1、12 2、5m =或7m =或(m ∈- 3、126 4、[1,3] 5、[0,1] 6、14 7.a ≤1 解析：因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。 8 {}2,4,8 解法： 1{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，则{1,3,5,7},{3,6,9},A B == 所以 {1,3,5,7,9}A B = ，所以(){2,4,8}U A B = e 9.（0，3）解析：因为 {}{}|33,|0,A x x B x x =-<<=>所以(0,3)A B =I 10. a ≤1 解析：因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。 11.6 解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与 k 相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是： {}{}{}{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共 6个. 12.{2，4，6，8} 解析：}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=?=B A U }9,7,5,3,1{=?B C A U }8,6,4,2{=B 13． 解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）． （2）∵ B ＝（2a ，a 2＋1）， 当a ＜1 3 时，A ＝（3a ＋1，2） 要使B ?A ，必须2231 12a a a ≥+??+≤? ，此时a ＝－1； 当a ＝1 3时，A ＝Φ，使B ?A 的a 不存在； 当a ＞1 3 时，A ＝（2，3a ＋1） 要使B ?A ，必须222 131 a a a ≥??+≤+?，此时1≤a ≤3． 综上可知，使B ?A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1} 14．（1）因为 B A B A =，此时当且仅当B A =，又因为}3,2{=B ，由韦达定理可得5=a 和 6192=-a 同时成立，即5=a ； （2）由于}3,2{=B ，}24{，-=C ，因为φ≠B A ，且φ=C A ，故只可能3A ∈，所以01032=--a a ，也即5=a 或2=a ，由（1）可得2=a ； （3）因为φ==C A B A ，此时只可能2A ∈，有01522 =--a a ，也即5=a 或3-=a ，由（1）可得3-=a ． 15. 由题意:A={1,3}，A B A B A =∴? ，又因为}0))1()(1(|{=---=a x x x B {1,1}{1}.(2)B a B a ∴=-==或时 当{ }1,1-=a B 时，有31=-a ，即4=a ；{}1=B 时，2=a ； A C C C A =∴? 当C φ=时,C 中方程无根，即2 4022m m ?=- 当C φ≠时，若{} 1=C ，有011=+-m 即2=m ； 若{ }3=C ，有0139=+-m 即310=m ；检验当310=m 时，? ?? ???=31,3C ，不满足C C A = ，故3 10 =m 舍去 若{}3,1=C 时，m 无解 由上述得：4=a 或2=a ；22<≤-m ． 16. (Ⅰ)⑴ { }{}11,9,7,5,3,15,,121=≤∈+==k N k k x x A ⑵{}{}10,8,6,4,2,05,,22=≤∈==k N k k x x A ； ⑶{} {}13,11,9,7,5,3,1,13,,14,143-=≤∈-=+==k N k k x k x x A 或； ⑷ {}{})0,4(),1,3(),2,2(),3,1(),4,0(,,6),(4=∈∈=+=N y N x y x y x A （Ⅱ）对集合 1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A 、3A 所表示的集合都是奇数集； 2A 所表示的集合都是偶数集；31A A =． 当021=x x 时，1x 和2x 中必有之一不为0（∵ 21x x <） ∴ 02 22121>++x x x x 当021 21222121>-+=++x x x x x x x x 在上面讨论结合（1）和（2）有0)()(12<-x f x f ∴ 函数在R 上是减函数 [例3 ] 证：任取1x ，R x ∈2 且21x x <则因为)(x g 在R 上是增函数 所以)()(21x g x g < 又 ∵ )(x f 在R 上是增函数 ∴ )]([)]([21x g f x g f < ∴ )]([x g f 在R 上是增函数 结论：同增异减：)(u f y =与)(x g u =增减性相同（反），函数)]([x g f y =是增（减）函数。 [例4] 解：首先确定义域： {}0≠x x ∴ 在)0,(-∞和),0(∞+两个区间上分别讨论 任取1x 、2x ),0(∞+∈且21x x < 则 2 121 12112212)(1 1)()(x x x x x x x x x x x f x f -+-=--+=- )1 1)((2 112x x x x --= 要确定此式的正负只要确定2 111x x - 的正负即可 这样，又需判断 2 11 x x 大于1还是小于1，由于21x x 的任意性。 考虑到要将),0(∞+分为)1,0(与),1(∞+ （1）当)1,0(,21∈x x 时，01 12 1<-x x ∴ 0)()(12<-x f x f 为减函数 （2）当1x , ),1(2∞+∈x 时，01 12 1>-x x ∴ 0)()(2>-x f x f 为增函数 同理（3）当)0,1(,21-∈x x 时，为减函数 （4）当)1,(,21--∞∈x x 时，为增函数 [例5] 注：对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-成立，则称)(x f y =为偶函数。 对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-成立，则称)(x f y =为奇函数。 解：（1）函数与定义域为R x x x x x f 32)1(3)1()(323+=++-+= )(3)(3x f x x x f -=--=- ∴ )(x f 为奇函数 （2）函数的定义域为R 又 ∵ )()()(3 23 2x f x x x f ==-=- ∴ )(x f 为偶函数 （3）函数的定义域为{}1 ∴ )(x f 为非奇非偶函数 （4）函数的定义域为{}1,1-，此时0)(=x f ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数 （5）由 011≥-+x x 得11<≤-x ，知定义域关于原点不对称 ∴ )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 [例6] 解：设),0(∞+∈x 则)0,(-∞∈-x ∴ )1()1)(()(+=---=-x x x x x f 又 ∵ )(x f 在R 上为奇函数 ∴ )1()()(+=-=-x x x f x f ∴ 当),0(∞+∈x 时，)1()(+-=x x x f ∴ )1()(+-=x x x f [例7] 解：由)(x f 为奇函数知：)1()]1([)1()1(2 22-=--=--<-a f a f a f a f 由)(x f 是减函数知：112 ->-a a ∴ ?? ???->-<-<-<-<-1111111122 a a a a 解得10< [例8] 解： )3()3()(2x x f x f x f -=-+ 又)4()2()2()2(22f f f f =+== ∴ 2)3()(≤-+x f x f 化为)4()3(2 f x x f ≤- ∴ ?? ? ??>->≤-030432x x x x 解得43≤ 六、指数,对数函数 1． ()0,∞- 2．())4,3(3, ∞- 3．x 3 4． 2 2 5． []0,1- 6．[)+∞,5 7．?? ? ??21,0 8． 3 高一数学必修一总复习北师大版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 必修一总复习 ［本讲的主要内容］ 1、集合及其基本运算 2、函数的概念及其基本性质 3、二次函数与幂、指、对数函数 4、函数的应用 二、学习目标 1、了解集合语言是现代数学语言的重要组成部分，可以简洁、准确地表述数学对象和结构；学会运用集合等数学语言来刻画世界和运用数学语言学习数学、进行交流的能力； 2、加深对函数概念本质的认识和理解；加强对变量数学的认识，认识到函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；并能结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，了解指数函数、对数函数和幂函数是三类不同的函数增长模型；通过收集函数的应用实例，了解函数模型的广泛应用。 三、知识要点 1、集合的概念与基本运算 ①一组对象的全体形成一个集合；常用大写拉丁字母来标记，如集合M ，集合A …… ②集合中的元素有三大特征，即无序性、确定性和互异性，这是判断集合形成和区分集合的重要依据； ③集合的表示：穷举法、描述法和图示法 ④集合的运算：指的是子、交、并、补四种运算，其结果仍然是一个集合； ,{|}{|}{|}U A B x A x B C A B C x x A x B C A B C x x A x B M C A M x x U x A ???∈∈=?=∈∈=?=∈∈=?=∈? 都有且或且 ⑤以下题型的结果要用集合表述：求定义域、求值域、求不等式的解集、求方程（组）的解集以及集合运算的结果等。 2、函数的概念与基本性质 ①函数概念的三种表述：运动的观念，集合的观念，映射的观念； ②函数的两大要素：定义域和对应法则； ③函数的三种表示方法：解析法，列表法和图像法； ④函数的两大重要性质：奇偶性和单调性； ⑤对分段函数、复合函数的认识。 3、二次函数与幂、指、对数函数 ①二次函数学习中的几个要点：二次函数解析式的三种形式；二次函数的图像的开口方向、位置、零点及最值与系数的关系；含参数的二次函数的研究（参数分别在函数式中和定义区间中）；三个二次的关系； ②幂函数学习中的要点：幂函数的定义；幂函数的图像与性质；在同一坐标系中不同指 数的幂函数的图像的位置关系； ③指数函数学习中的要点：指数式的运算；指数函数的定义；指数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的指数函数图像的位置关系； ④对数函数学习中的要点：对数式的运算；对数函数的定义；对数函数的图像与性质；在同一坐标系中不同底的对数函数图像的位置关系；对数函数与指数函数互为反函数的关系。 4、函数的应用：函数的应用主要包括两种类型，其一是函数与方程思想在解题中的综合应用；其二是函数模型在解决实际问题中的应用，常见的有效益最大化和成本最低问题。 四、考点解析与典型例题 考点一 对集合概念的考查 例 1. 试写出如图阴影部分所表示的集合 ① ② ③ 解：各阴影部分的表示方法均不唯一。 ① [（A ∩B ）∩C ∪C]∪[（A ∩C ）∩C ∪B]∪[（B ∩C ）∩C ∪A] ② [C ∪（A ∩B ∩C ）]∩（A ∪B ∪C ） ③A ∪（B ∩C ） 考点二 对集合运算的考查 例2. 试写出下列集合运算的结果 {}.{|66},|,,? 44.{|16},|50,? {|463},? R A x x B x k x k k Z A B A x x B x x x A B A x x x C A ππππ?? =-<<=-+<<+∈=???? =-<<=><==<<<= ①②或③.或 解： 355377.|6644444444.{|3346} R A B x x x x x x A B R C A x x x x ππππππππ-?? =-<<<<-<<-<<-< ?? ==≤-≤≤≥ ①或或或或②③ .或或 考点三 例3. 个关于x 的一元二次方程，然后再令判别式0≥?即可求出该函数的值域。试说明为什么会有0≥?？ 答： 其变形得到的关于x 的一元二次方程而言，其解集非空，故有0≥?。 考点四 例4. 考点五 例5. 解：代入函数解析式可得：2 ()310,0f x t t t =-++≥，故可求得其值域为 考点六 对函数的两个重要性质的考查 例6. 奇函数()y f x =满足：①(3) 0f -=；②当0()x y f x >=时为增函数，试解不等式()0.x f x ?< 解：由奇函数的对称性：(3)0f =； 例7 解：时为增函数；当x ≥1时为减函数。 考点七 函数的作图 例8. 如何由函数y ＝f （x －1）－2的图像得到函数y ＝f （x ＋1）＋2的图像？ 解：y ＝f （x ＋1）＋2可变形为（y －4）＝f[（x ＋2）－1]－2，则知可将函数y ＝f （x －1）－2的图像向左平移2个单位、再向上平移4个单位即可得到y ＝f （x ＋1）＋2的图像。 考点八 含参的二次函数的研究 一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。 例9. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。 解：若m ＝0，则()31f x x =-+，显然满足条件；若m ≠0，有两种情形： ①原点的两侧各有一个交点，则 ②都在原点的右侧，则： 例10. 函数2()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。 （I ）试写出g （t ）的函数表达式； （II ）求出g （t ）的最小值。 解： （II ）g （t ）min ＝－8。 考点九 函数与方程思想的考查 例11 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。 解：函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，即方程2 ()2230f x ax x a =+--=在[－1，1]上有解。当a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0。 方程2 ()2230f x ax x a =+--=在[－1，1]上有解 考点十 函数应用题 例12. 某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？ 解： M 吨/ 故平均每年至多只能减少4.1公顷。 四、数学思想方法 本模块主要涉及集合及函数的基本概念与性质，以及几个常见的函数如二次函数与幂、指、对数函数。主要数学思想方法有： 1、函数与方程的思想： 在本模块学习过程中，要充分认识函数与方程内在的联系，善于借助这种联系，将函数问题转化为方程问题，或将方程问题转化为函数问题进行处理。如将方程的根的分布问题与函数的零点的分布问题进行转化。 2、数形结合的思想： 这既是重要的数学思想，也是一种重要的数学方法。学习中一要注意利用函数图像研究函数性质，二要注意利用函数图像解决有关最值、不等关系、参数范围等问题。 3、分类讨论的思想：对含有参变量的函数或集合的研究往往要进行分类讨论，要注意最后结果的表述。一般地，对一个变量进行讨论求解另一个变量的范围时，一定要就第一个变量的不同取值范围进行分开表述；如果就变量本身进行讨论求解其范围，最后必须对所求范围进行求并集运算。 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题 1. （2008全国一1）函数y ） A. {}|0x x ≥ B. }|1x x ≥ C. {}{}|10x x ≥ D. {}|01x x ≤≤ 2. （2008全国一 6）若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线 y x =对称，则()f x =（ ） A. 21x e - B. 2x e C. 21x e + D. 22x e + 3. （2008全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()() 0f x f x x --<的解集为（ ） A. (10)(1)-+∞ ，， B. (1)(01)-∞- ，， C. (1)(1)-∞-+∞ ，， D. (10)(01)- ，， 4. （2008全国二3）函数1 ()f x x x =-的图像关于（ ） A. y 轴对称 B. 直线x y -=对称 C. 坐标原点对称 D. 直线x y =对称 5. （2008全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜a ＜c D. b ＜c ＜a 6. （2008北京卷2）若0.5 2a =，πlog 3b =，22π log sin 5 c =，则（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >> *7、（2008四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =， 则()99f =（ ） A. 13 B. 2 C. 132 Ｄ. 2 13 二、填空题 8. （2008湖北卷13）已知函数2()2f x x x a =++，2()962f bx x x =-+，其中x R ∈， ,a b 为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 。 9. （2008重庆卷13）已知12 4 9a =（a ＞0），则23 log a = 。 三、解答题 10. （2008 湖南卷改）已知函数()1).f x a =≠ ①若a ＞0，求()f x 的定义域； ②若()f x 在区间(] 0,1上是减函数，求实数a 的取值范围。 11. （2008浙江卷改）已知t 为常数，函数t x x y --=22 在区间[0，3]上的最大值为 2，求实数t 。 12. （2008北京卷改）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时， 111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ??????????? --?????=+- ? ??????? ，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =。按此方案，求第6棵树种植点的坐标和第2008棵树种植点的坐 高一必修集合练习题及答案 1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( ) A．{x|x≥3}B．{x|x≥2} C．{x|2≤x＜3}? D．{x|x≥4} 2．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝( ) A．{3,5}? B．{3,6} C．{3,7}? D．{3,9} 3.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( ) A．{x|x≥－1}? B．{x|x≤2 } C．{x|0 11．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B. 12．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范围． 13．(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.doczj.com/doc/9814051679.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝. 高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 高一数学必修一集合习题及答案 一、填空题 1.下列语句能确定是一个集合的是________.填序号 ①著名的科学家; ②留长发的女生; ③2021年广州亚运会比赛项目; ④视力差的男生. 2.集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________.填序号 ①0∈A;②a?A;③a∈A;④a=A. 3.已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________.填序号 ①直角三角形;②锐角三角形;③钝角三角形;④等腰三角形. 4.由a2,2-a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________.填序号 ①1;②-2;③6;④2. 5.已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为 ________. 6.由实数x、-x、|x|、x2及-3x3所组成的集合，最多含有________个元素. 7.由下列对象组成的集体属于集合的是________.填序号 ①不超过π的正整数; ②本班中成绩好的同学; ③高一数学课本中所有的简单题; ④平方后等于自身的数. 8.集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________. 9.用符号“∈”或“?”填空 -2______R，-3______Q，-1_______N，π______Z. 二、解答题 10.判断下列说法是否正确?并说明理由. 1参加2021年广州亚运会的所有国家构成一个集合; 2未来世界的高科技产品构成一个集合; 31,0.5，32，12组成的集合含有四个元素; 4高一三班个子高的同学构成一个集合. 11.已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三个元素组成的，且-3∈A，求a. 能力提升 12.设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是多少? 13.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11-a∈A a≠1. 求证：1若2∈A，则A中必还有另外两个元素; 2集合A不可能是单元素集. 1.③ 解析①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合. 2.③ 解析由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“=”. 3.④ 解析集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的. 4.③ 解析因A中含有3个元素，即a2,2-a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5.3 2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 (4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) 高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 人教版高一数学必修一重点知识点 总结5篇 学习高一数学知识点的时候需要讲究方法和技巧，更要学会对高一数学知识点进行归纳整理。下面就是给大家带来的人教版高一数学必修一知识点，希望能帮助到大家！ 人教版高一数学必修一知识点1 指数函数 (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴 的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数。 人教版高一数学必修一知识点2 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： (1)直线在平面内——有无数个公共点 (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示 aαa∩α=Aa∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： aα bβ=a∥α a∥b 2.2.2平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b=Pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： 1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则集合A ，B 的关系 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 4.若集合P ＝{x |3 高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是 高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0 的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 2020最全高一数学知识点总结归纳 高一新生刚接触到高中数学时都会很不适应，应为高中数学和以往初中和小学的数学都不一样，高中数学更加灵活多变，思维也更加广阔，而高一数学也是整个高中数学的基础，必须要学好，所以下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互 关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 集合 一、选择题 1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（） A.学校篮球水平较高的学生 B.校园中长的高大的树木 C.2007年所有的欧盟国家 D.中国经济发达的城市 2．方程组的解构成的集合是（）A．B．C．（1，1） D． 3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是（） A. a B. {a，c} C. {a，e} D.{a，b，c，d} 4．下列图形中，表示的是（） D C B A 5．下列表述正确的是 （） A. B. C. D. 6、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A B C.A∪B D.A B 7.集合A={x} ,B={} ,C={} 又则有（） A.（a+b） A B. (a+b) B C.(a+b) C D. (a+b) A、B、C任一个8.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若={1，2，3，4，5}，则x=（） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合{ 2 ， 7 ，8}是（） A. B. C. D. 11.设集合， ( ) A．B．C． D． 12. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（） A．0 B．0 或 1 C． 1 D．不能确定 二、填空题 13．用描述法表示被3除余1的集合． 14．用适当的符号填空： （1）；（2）{1，2，3} N； （3）{1} ；（4）0 ． 15.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 . 高一数学知识点总结归纳5篇最新 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.doczj.com/doc/9814051679.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N_或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能 (1)A是B的一部分，; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实 例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即： ①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 注意：B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或 B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q) 此文档下载后即可编辑 集合与函数基础测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B Y B. B A I C. B C A C U U I D. B C A C U U Y 11.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13+=x y 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________． 14．函数y ＝1 1＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a b a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则M N A M N B N M C M N D(完整word版)高一数学必修一集合练习题及答案
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