第一节 微分方程的数值计算
1-1-1 引言
电力系统的动态过程通常用微分方程来描述。在微分方程中，自变量是时间，因变量是系统中各物理变量。对于n 阶常微分方程，可以采用引入新变量的方法把它转化为n 个一阶常微分方程来求解。例如，对于二阶常微分方程
22
2d y K y dt
=- （1-1）
可以表示成：
2
dz K y dt
dy z dt
?=-???
?=?? （1-2）
一般来说，依据电工学和动力学建立起来的电力系统数学模型是可以用来数字仿真的。但是，在复杂电力系统中，由于数学模型很复杂，仿真的计算量很大，影响了仿真效率。有些环节对于所研究的问题影响很小，在建立数学模型时可以把它们忽略。这种简化严格来说应该用实际实验，或者用精确的物理模拟实验来检验，以确定简化的合理性。数学模型中的参数是数字仿真的基础，一般可以通过各种测量和实验得到，但这是一件十分烦琐的工作。目前，有些参数只能凭经验给出，其合理性有待实验的严格检验。
电力系统仿真的另一个重要问题是数学模型的求解问题。对于微分方程，除少数可以得到解析解以外，大多数只能采用数值解法。早在18世纪末，就有很多人提出过求解微分方程精确而有效的数值积分方法。
微分方程的积分是一簇曲线。通常，在初值确定之后，数值解才能够确定。
得到微分方程的数值近似解有两种基本的方法。一种方法是把近似解表示成有限个独立函数之和，另一种方法是差分法。
差分方法是寻求在一系列离散点上的近似值，这些离散点称为结点。在多数情况下，这些结点是等距的，即
n t nh =
（1-3）
h 称为步长。差分方法是一种递推算法，它使求解过程能顺着结点的顺序一步一步向前
推进，即可用前一个结点上的值(单步法)或者前面几个结点上的值(多步法)来计算当前步上的近似值。 1-1-2 单步法
所谓单步法就是用前一结点上的值来计算当前结点上的近似值的方法。 1．欧拉法
欧拉法是一种最简单的单步法。
对一阶微分方程
(,)dy
f t y dt
= （1-3）
假定0y 已给定，可计算出00(,)f t y 。把一阶微分方程写成数值积分法的计算形式
1
10(,)t t y y f t y dt =+?
（1-4）
如果1t 十分靠近0t ，则有
100010(,)()y y f t y t t =+-
（1-5）
当然，也可以把一阶微分方程写成
10
0010
(,)y y f t y t t -=-
（1-6）
即用0t 时的导数表示()y t 在区间[0t ，1t ]内的平均增量。 结点1n t +和结点n t 之间的关系可表示为
11(,)()n n n n n n y y f t y t t ++=+-
（1-7）
尽管这种方法精度不高，但却提出了一种设想，可以通过递推计算方法得出微分方程的近似解，这种方法称为欧拉法。因为是用折线来近似表示曲线(,)f t y ，故又可称为折线法。
2．隐式梯形法
从欧拉法可以看出，为提高精度，可以用00(,)f t y 和11(,)f t y 的平均值作为()y t 在区间[0t ，1t ]内的平均增量值。
10110010(,)(,)
2
y y f t y f t y t t -+=-
（1-8）
11001010(,)(,)
()2
f t y f t y y y t t +=+
-
（1-9）
在等式的两边均含有未知量1y ，故称为隐式梯形法。隐式梯形公式不能用递推的方式直接做数值计算。如果用欧拉法求得的值作为预测值，则有：
10001011001010(,)()(,)(,)
()2
y y f t y t t f t y f t y y y t t =+-??
?+=+-?? （1-10）
这种方法称为改进欧拉法。
利用欧拉法和改进欧拉法求微分方程的数值解，如果选取步长相同，改进欧拉法的计算量大，但改进欧拉法的精度高。反过来说，如果两种方法要求精度相同，则改进欧拉法可以选取较大步长，总的计算量可以节省，舍入误差也可较小。
3．龙格一库塔法
隐式梯形法是把00(,)f t y 和11(,)f t y 的平均值作为()y t 在区间[0t ，1t ]内的平均增量值。同理可以设想在[0t ，1t ]区间内，取不同的(,)f t y 后再求加权平均值，用它作为该区间的平均增量，即
11
N
n n i i i y y R K +==+∑
（1-11）
其中
1001
1
01
1
(,)
(,)
2,3,,i i i ij n ij j j j K hf t y K hf t h B y B K i N
--====++=∑∑
1
1N
i
i R
==∑
这种计算式称为自启动的N 阶龙格一库塔法。当N =l 时为欧拉法，当N =2时为改进欧拉法。常采用的各阶龙格一库塔法计算公式的系数如表l 所示。
表1 各阶龙格一库塔法的系数表
N
ij B
i R
通常采用的名称
1 0
11
R =
欧拉法
2 1212
211
B B =
=
120,1R R == 1122R R == 改进欧拉法 3
1212
31321,2
B B B ==-=
1126
233
R R R ===
三阶龙格一库塔法
4 1212
131322
4142430,0,0,1
B B B B B B ===
===
11461233
R R R R ====
四阶龙格一库塔法
四阶龙格一库塔法
112341
(22)6
n n y y K K K K +=++++
（1-12）
其中
1(,)n n K hf t y =
2111
(,)22n n K hf t h y K =++
3211
(,)22n n K hf t h y K =++
43(,)n n K hf t h y K =++
1-1-3多步法
多步法的一般计算公式为
10
1
(,)p p
n i n i i n i n i i i y A y h B f t y +---==-=+∑∑
（1-13）
其中
1p i i A ==∑和1
1p
i
i B
=-=∑
如果10B -=为显式公式，否则是隐式的。
这种方法不仅用到前面一个结点上的值，而且还用到前面几个结点上的值。常用的方法是01A =，其它的0i A =，i B 系数如表2所示 N
i B
通常采用的名称
显式
1
3122
231651212
12555937924
24
24
24
01
00000
000
0----
欧拉法 2
梯形法
3 三点亚当姆斯
4 四点亚当姆斯 隐式
1 1
122581
1212129195124
24
24
24
1
0000000
00
--
欧拉法 2
梯形法
3 三点亚当姆斯 4
四点亚当姆斯
在电力系统动态仿真计算中，常采用的多步计算方法是用四点亚当姆斯显式公式计算预测值，用四点亚当姆斯隐式公式计算校正值。
为了提高精度，在误差分析的基础上，分别用亚当姆斯四点显式公式计算预测值及其修正后的预测值，用亚当姆斯四点隐式公式计算校正值及其修正后的终值。计算过程如下：
1) 计算(,)n n f t y
2) 用显式公式计算预测值 1123(5559379)24n n n n n n h
y y f f f f +---=+-+- 3) 计算误差修正后的预测值 11251
()270
n n n n d y y c ++=--，
其中n c 是在第n 步计算中得到的校正值。
4)计算111(,)n n n f f t d +++=
5) 用隐式公式计算校正值 1112(9195)24n n n n n n h
c y f f f f ++--=++-+ 6) 计算误差修正后的终值 111119
()270
n n n n y c y c ++++=+-
按照数值积分时被积函数的近似表达式的不同，分为单步法和多步法。若采用线性插值函数代替被积函数，则可得出单步法计算公式：若采用高阶插值函数近似代替被积函敷，可推导出多步法计算公式。从理论上讲，多步法比单步法更为有效，可取用更多结点的数据来计算，精度较高。但是在突变点，因为变量突变，前面几个步长的数据不能用来估算本步长的值。多步法一般需要用同样精度的单步法启动。
按选取的插值结点是否包含1n t +结点来划分，分为显式法和隐式法。如果不包含1n t +结点，这种算法称为显式法。因为显式公式等号右边不包含未知量，可以通过递推方法连续计算下去。如果包含1n t +结点，所导出的数值积分公式称为隐式公式，公式等号两边都含有未知量，不能直接通过递推过程连续计算，一般先由显式公式求得预测值，然后代入隐式公式求出校正值。
第二节 数值积分法的误差、数值稳定性与刚性
在使用数值积分法中应该注意分析各种不同算法的误差。首先要了解各种计算方法中误差的来源，其次要了解在相继的各步长计算中误差的传递和影响，即数值稳定性。这个问题不仅与算法选取有关，而且与微分方程及步长的选取有密切关系。第三是要了解动态系统各环节时间常数的较大差异与取同一步长计算的协调问题，如果不协调将出现刚性问题，得不到真实的解。这些问题相互之间有一定联系和影响，在电力系统动态仿真研究中应给予足够重视。 1-2-1解的误差
在电力系统仿真计算中误差来自许多方面，主要有以下几方面。
1)数值计算中，例如数值微分，数值积分，无穷级数计算等都是通过有限次的近似计算得到近似解。近似解与真解的误差称为截断误差。
2)由于计算机表示数的位数有限，因此在运算中出现了舍入误差，这种误差有时候会随着运算量的增加而增大。例如有些病态线性方程组在求解时，舍入误差可以在计算过程中繁殖起来产生错误的解。
3)当采用分割法求解微分方程组和代数方程组时，可能产生交接误差。
4)由于对仿真系统变量特性作了某些简化而造成的误差，或者在给定步长内方程组线性化造成的误差。这种误差称为近似化误差。
5)在动态仿真中，有些变量有限值约束，如果限值约束不是恰好在求解时间间隔的结点上，这时不能算出也不能使用变量的限值和对限值的补偿，由此引起的误差称为限值误差。
当采用适当小的步长时，截断误差，交接误差、近似化误差和限值误差都可减小到容许范围内。但是，由于计算量增加会引起舍入误差，对仿真的整体效果不一定有利，因此对不同的系统和不同仿真问题，应选取合理的步长。
1．数值稳定性的定义
在数值积分法计算过程中，一个步长终点上的误差是上一步长计算所引起的误差和本步长计算所留下误差之和。这些相继步长上的误差可能相互抵消而衰减下去，也可能不断增殖而使结果无法使用。数值稳定性是对方法而言的，如果用某种方法求解方程式的数值解，初值的微小变化对近似解只产生有界的变化，那么我们称这种情况为稳定的。数值稳定性对于高阶微分方程式是程复杂的，为了解释这个问题，用一个简单的一阶方程式来说明。
考虑一阶微分方程
dy
Ay dt
=- （1-14）
用显式欧拉法求解时，计算公式为
1(1)n n n n y y hAy hA y +=-=-
（1-15）
计算时，实际上只能得到近似值
1(1)n n n n y y hAy hA y +=-=-
（1-16）
误差为
1(1)n n hA ρρ+=-
（1-17）
只有当11hA -<时才能够使误差在计算过程中衰减，误差不会增殖。也就是说，是数值稳定的。因此采用显式欧拉法时，步长不能取得太大。
用隐式梯形法计算时，计算公式为隐式公式
11()2n n n n hA
y y y y ++=-
+ （1-18）
11212n n hA y y hA +-
=
+
（1-19）
11212
n n hA hA ρρ+-
=
+
（1-20）
显然， 1n n ρρ+≤。由此可见，在计算过程中误差是衰减的，能保证数值稳定性。这也意味着隐式梯形法可以采取较大步长。
2．数值稳定域 考虑一阶微分方程
dy
y dt
λ= λ是复数 （1-21）
用欧拉法求解时，为保证数值稳定性，要求11h λ+<。此不等式在复平面上表示为以
h λ=-1为中心，以1为半径的圆，该区域称为绝对稳定区域。绝对稳定区域越大，这种数
值方法的适应性越强。如果稳定区域是h λ的整个左半复平面，我们称这种数值方法是A 稳定的。因此，欧拉法不是A 稳定的，仅仅是以h λ=-1为中心，以1为半径的圆。
后退欧拉法的计算公式为
111(,)n n n n y y hf t y +++=+
（1-22）
后退欧拉法是隐式方法，计算时先用显式欧拉法计算初值，再用隐式公式作迭代，计算公式为
(0)1(,)n n n n y y hf t y +=+
（1-23）
(1)()
111(,)
0,1,2,
k k n n n n y y hf t y k ++++=+
=
（1-24）
用迭代法求解时应考虑到迭代过程的收敛条件
(1)()()(1)()(1)
11111111
(,)(,)k k k k k k n n n n n n n n y y h f t y f t y hL y y +--++++++++-=-≤- （1-25）
其中L 为李氏常数，当1hL <时迭代过程收敛。
为说明后退欧拉法的数值稳定域，有
11n n n y y h y λ++=+
（1-26）
误差方程关系是
11
1n n h ρρλ
+=- （1-27）
只要Re()0h λ<，后退欧拉方法是A 稳定的。由于迭代时要求1hL <，在L 比较大时，
h 仍要受到限制。
隐式梯形法也是A 稳定的，但迭代过程收敛的条件是/21hL <。 1-2-3刚性方程问题
1．刚性方程问题的定义
在许多仿真计算中，特别是网络分析和仿真中，常出现刚性方程式。微分方程式的刚性问题在性质上与代数方程式的病态问题相类似，它同动态系统中各环节时间常数的差别有很大关系。更确切说，刚性问题是用线性化方程的最大特征值和最小特征值的比率来衡量的。
对于某个系统，如果有一些分量反应很慢，另一些分量反应很快，为了防止计算中截断误差增大．必须根据反应很快的分量选取步长。例如，考虑如下系统
9981998(0)1
9991999(0)0
dx
u v u dt dv u v z dt
?=-+=???
?=-+=??
（1-28）
它的解是
100010002t t
t t
u e e
v e e
----?=-??=-+??
从稳定性考虑，对于1000t
e -，用欧拉法时，要满足110001h -<，即要求10002h <。
而计算几个步长以后，1000t
e
-的值已很快衰减到与t
e -相比可忽略不计的程度，但是由此点
往后，由于稳定性的要求，仍只好采用非常小的步长，这就是刚性方程问题。
一般来说，对于一般的一阶常微分方程组
00
()
()dy
Ay g t dt
y t y ?=+???=? （1-29）
如果A 的特征值j λ满足
Re 0
min Re max Re j j j λλλ
<
则称该方程组为刚性方程组。 把
max Re min Re j j
λλ称为刚性比。
2．解决刚性问题的办法
解决刚性问题的有效办法是选取小步长，使计算结果准确反映系统中那些迅速变化的分量，使截断误差和其它误差保持在安全的低水平上。另外，数值稳定性好的数值积分法因为在计算中误差不易增殖，容许每步计算有较大误差。即，在总误差相同的条件下，稳定性好的数值积分法可以采用较大步长。由此看来，解决刚性问题的有效方法是选用对步长不加限制的数值积分法。显然，前面所讨论的A 稳定的方法能解决刚性问题，例如后退欧拉法和隐式梯形法。C.w.Gear 提出的stiff 稳定方法也是解决刚性问题的一种重要方法。
在电力系统数字仿真中，如果刚性问题不严重，那么稳定性好的计算方法优越性也不明显。电力系统暂态稳定研究中的经典模型(只考虑发电机转子运动的模型)不存在刚性问题，只有采用详细模型才可能出现刚性问题。
有一些刚性问题的影响常在大扰动之后的很短时间内才表现出来，随后很快衰减趋向平稳。解决这种刚性问题采用稳定性好的方法固然很好，但是有时除非步长很小很小，否则这类数值积分也不能够精确地计算出这些响应的过程。因此，应该根据有关变量对整个电力系统动态过程的影响来采取适当的方法。有时候不能仅限于在数值算法上想办法，实际上还可采用其它特殊方法，例如以下几种办法有时很有效。
1)改造数学模型。根据经验对系统各环节时间常数进行检验，可以省略掉某些时间常数值很小，衰减很快的变量，使模型简化，或者人为适当增大时间常数。更重要的是在仿真时
对工程中所考虑的模型和求解方法做巧妙的配合。
2)混合步长。对于不同的系统采用不同的步长。其做法是先给出标准步长h，在计算中按照系统各环节中最小的时间常数选择最小步长/h m。在一个h的间隔内求解一次代数方程，其它时间采用外推法求出代数方程。当然，这种方法只适用于分割法。
3)混合积分算法。对于刚性方程适宜采用稳定性好的数值积分方法，而对于非刚性方程适宜采用精度高的数值积分方法。混合积分法就是对方程组中的刚性方程和非刚性方程采用不同算法。
1-2-4精度、速度与方法选择
在电力系统动态仿真中，评价一个程序性能的好坏除了其适用性，方便性以外，计算时间少，解的可靠性与精确性也是很重要的指标。但是，这些要求很难同时满足，而且它们之间往往是相互矛盾的。因为仿真计算中每一步计算误差是前面各步误差的函数，所以要想使总的误差限制在可以接受的范围内，唯一实用的办法是对不同计算题目和程序采取实验的办法来了解整个计算过程对于局部误差会有多大的影响。
多数短期动态稳定程序采用定步长，在中期和长期动态仿真计算中，可以采用变步长或自动变步长的方法，以保证计算的精度和机时消耗达到理想的程度。另外，代数方程的矩阵分解法、结点编号顺序优化和压缩存贮等技术，对于不同的仿真计算题目也会有不同的效果。为了检验精度，可以利用另一个精度更高但机时消耗大的计算程序以小步长计算的结果进行比较。当然较为可靠的办法是利用现场实验结果进行对照比较，它不仅能检验计算精度，而且可对仿真模型提出改进方案。
在选择步长时，要从整个计算过程的计算量上综合考虑。只满足精度要求的最大步长不一定是计算量最小的。因为步长增大，在代数方程求解时迭代次数会增多，计算量增加(对于交差计算法)。步长选择还应该考虑到非线性环节的限制特性，故障清除时间等因素的影响。例如，在变步长方法中，可以考虑在非线性间断点、故障清除和大扰动后的一段时间内，采用小步长计算。
《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）
12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段 一、引 言 Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设: 121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的； 221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)； 321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[,]t t t +? (不失一般性, 设0t ?>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ?+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ?内新出生个体数 – t ?内死亡个体数,
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是 ． 答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答： Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
第十二章 微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程 一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x =． 三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解： 解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==； 解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=． 解： 解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =?．
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念 定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如： 12=+'+''xy y y 二阶方程；0 2 =+'xy y 一阶方程； x y ='''三阶方程，等等 讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之， x y ='''，方程两边三次积分，得方程的解 322 14 21241C x C x C x y +++=（321,,C C C 为任意常数） 。当4 24 1x y =时，也满足方程。可见 322 14 2 124 1C x C x C x y +++ = 包括了所有的解的形式。则称它为通解。 定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注2：一阶方程的几种形式：一般形式：0),, (='y y x F ，从这个方程种有可能解出y '，也有可能解不出来；一阶显 式方程： ),(y x f y ='；对称形式： ) ,(),(y x Q y x P dx dy = 或0=+Qdy Pdx 注3：在一阶方程种， x 和y 的关系是等价的.因此，有时可将x 看成函数， y 看做变量。 第二节 可分离变量方程 定义1：称能改写为形式： dx x g dy y f )()(=的一阶方程为可分离变量方程。 注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理1：若 )()(y f y F ='，)()(x g x G =，则dx x g dy y f )()(=的通解为C x G y F +=)()( 证： （1）先证C x G y F +=)() (是方程的解。 两边对 x 求导，得)()(x g dx dy y f =，即dx x g dy y f )()(= 故 C x G y F +=)()(是方程的解 （2）设) (x y ?=是方程的任一解，则 dx x g dx x x f )()()]([='?? 两边关于 x 积分，得 ? ?= 'dx x g dx x x f )()()]([?? 又 )(x F 是)(x f 的一个原函数，)(x G 是)(x g 的一个原函数 则 C x G x F +=)()]([?，即 )(x y ?=在C x G y F +=)()(中 所以， C x G y F +=)()(为 dx x g dy y f )()(=的通解。
第十二章微分方程 一、微分方程的基本概念（A:§12.1; B:§6.1） Ⅰ、内容要求－了解微分方程及其解，阶，通解，初始条件和特解等概念． Ⅱ、基本题型： （ⅰ）有关微分方程基本概念的客观题。 1．（4）下列微分方程为二阶微分方程是---------------------------------------------------（ C ） （A）（B）（C）（D） 2．（4）函数（为任意常数）是微分方程的----（ D ） （A）通解（B）特解（C）非解（D）是解，但不是通解，也不是特解． （ⅱ）验证题。 3．指出给出的函数是否为微分方程的解 （1）（4）， 解： 即是原方程的解。 （2）（4）， 解： 而 故，即是原方程的解。 （ⅲ）由通解及初始条件确定特解。 4．（4）若是某二阶微分方程通解，求其满足的特解。 解： 由得 二、一阶微分方程（A:§12.2,§12.3,§10.4; B:§6.2,§6.3,§6.4） Ⅰ、内容要求： （ⅰ）掌握以及型一阶方程解法。 （ⅱ）自学齐次方程，自学伯努利方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想。 （ⅲ）知道全微分方程（自学）。 Ⅱ、基本题型： （ⅰ）型方程的求解。 5．求下列微分方程的解：（每题6分）
（1）（2） 解：（1） （2） 由代入得 故 （ⅱ）型方程的求解。 6．求下列微分方程的通解：（每题6分）（1）（2） （3） 解：（1） （2） 即 （3） 即 7．求下列微分方程的特解：（每题6分）（1）（2） 解：（1） 即 由得 故原方程的特解为 （2） 由得 故原方程的特解为 （ⅲ）型的简单微分方程。 8. 求下列微分方程的通解：（每题7分）（1）（2） 解：（1）令则 故原方程可化为 （2）令则 故原方程可化为
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程教学设计 第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的
阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程
广西师范大学漓江学院试卷 课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师： 年级、专业：07数学考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系． 年 级 ： 专 业： 装订密封线 考 生 答 题 不 得 出 现 红 色字 迹 ， 除 画 图 外 ， 不 能 使用 铅笔答 题；答题 留 空 不 足 时 ， 可 写到 试卷 背面 ；请 注意 保 持试 卷完 整.
第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时） 一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理. 二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理. 三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 课题引入 在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质. 例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =?? =??=? 且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。 因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz v dt =, 所以这个问题其实就是求 一阶微分方程组 123(,,,) (,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =?? =??=? 的满足初始条件 00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z = 的解(),(),()x t y t z t . 另外，在n 阶微分方程 （1.12） () (1) (,,, ,)n n y f x y y y -'= 中,令 (1) 121,, ,n n y y y y y y --'''===就可 以把它化成等价的一阶微分方程组
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
第一讲 §1.1 微分方程与解（2课时） 一、目的要求：了解微分方程与相关学科的密切关系；掌握微分方程的有关基本概念。 二、重点： 1． 通过讲授微分方程的一些具体应用实例（如利用相关的物理、化学、生物、工程等有关规律建立反映实际问题的模型），使学生认识到学习本课程的生要性。 2． 基本概念：常（偏）微分方程、阶、解（显式和隐式）、通解（显式和隐式）、特解、积分曲线、定解条件、Cauchy 问题等。 三、难点：分析模型；通解的定义。 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法。 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 六、教学过程： 1.课题导入： 什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题. 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分 学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关. 这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程. 然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程. 一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然. 在初等数学中，曾经学习过代数方程，例如： ⑴3210x x -+=； 1=； ⑶3121x x x --=+ 中，对未知数x 所施加的是代数运算，因此它们都是代数方程。 还学习过三角方程、指数方程、对数方程等，例如： ⑴sin cos 1x x += ⑵2 21x e x x =+- ⑶1ln x x += 中，出现了未知量x 的超越函数，因此它们都是超越方程。并用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。 在高等代数中，又学习过高次代数方程，n 元线性代数方程组。这些方程（组）有一个共同特点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）。 但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中，作为未知而要去求的已经不再是一个或几个特定的值，而是一个函数。这类方程称为函数方程。例如：
常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一
13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。