证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞
→lim ，又0>a ，求证：对于方程
()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a
b x y x =+∞→lim 。
证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()??
????+=?-x
at
ax
dt e t f C e x y 0， 即
()()ax
x
at e
dt
e t
f C x y ?+=
。
由于b x f x =+∞
→)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而
()dt e M dt e t f dt e t f x
X
at X at
x
at
???
+≥0
)(
())(0
aX ax
X
at e e a
M dt e t f -+
=
?
， 由0>a ，从而有()∞=??
????+?+∞→x
at
x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞
→ax x e lim 。
应用洛比达法则得
()()ax
x
at x x e
dt
e t
f C x y ?+=+∞
→+∞
→0
lim
lim
()ax
ax
x ae e x f +∞→=lim ()a
b
a x f x ==+∞
→lim
。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
由于)(t A 是定义在区间b x a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件ηx =)(0t ，b t a ≤≤0，方程组x A x )(t ='存在唯一的解。分别取初始条件
????????????=001)(01M t x ，????????????=010)(02M t x ，
．．．????
?
???????=100)(0M t x n ， 它们对应的解分别为),(),(),(21t t t n x x x Λ且这n 个解在0t 时的朗斯基行列式为
01)(0≠=t W ，则)(),(),(21t t t n x x x Λ是n 个线性无关的解。
任取方程组x A x )(t ='的1+n 个解)(),(),(),(121t t t t n n +x x x x Λ，),(b a t ∈?，这
1+n 个解都是n 维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。
这就证明了方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解。
证明题：如果已知二阶线性非齐次方程)()()(2122t f x t a dt dx
t a dt
x d =++ 对应齐次方程的基本解组为)(),(21t x t x ，证明其有一特解是
ds s f s x s x W s x t x s x t x t φt
t )()]
(),([)
()()()()(0
212112?
-=,其中)(),(21t a t a 及)(t f 是区间Ｉ上的连续函数，
)](),([21t x t x W 是)(),(21t x t x 的朗斯基行列式。
证 已知)(),(21t x t x 是对应齐次方程
0)()(212
2=++x t a dt dx
t a dt
x d 的基本解组，则齐次方程的通解为
)()(2211t x C t x C +。
用常数变易法，求原方程的特解。
设 )()()()(2211*
t x t C t x t C y +=是原方程的特解，则)(),(21t C t C 满足下列关系
???=''+''='+')()()()()(0)()()()(2211
2211
t f t x t C t x t C t x t C t x t C ，
解得
))
(),(()
()()()()()()()()
(0)(2122
121221t x t x w t x t f t x t x t x t x t x t f t x t C -
='''=
'
，
))
(),(()
()())
(),(()()(0)()(211211
12
t x t x w t x t f t x t x w t f t x t x t C =
'=' ，
积
分
得
ds s x s x w s x s f t C ds s x s x w s x s f t C t t t
t ??
=-=
00
))(),(()
()()())(),(()()()(2
1122121 。
原方程的一个特解为
ds s x s x w s x s f t x ds s x s x w s x s f t x y t t t
t ??
+-=00
))
(),(()
()()())(),(()()()(21122121*
故ds s f s x s x w s x t x t x s x t φt
t )())
(),(()
()()()()(0
212121?
-=
是原方程的一个特解。
证明题：设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组Ax x ='……（1）的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，
()t e t λΓ'，...，()t e k t λ)(Γ是方程组（1）的线性无关解组。
证： 设()t e t
λΓx =是常系数线性齐次方程组
Ax x =' （1）
的解，()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，证明向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
，),(+∞-∞∈t 是方程组（1）的线性无关的解组。
证 先证明()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
都是方程组（1）的解。
由于()t e t
λΓx =方程组（1）的解，则有
()()()t e t e t e λt λt λt λΓA ΓΓ='+，
即
()()t λt ΓE A Γ)(-='
其中E 表示单位矩阵。
由()()t λt ΓE A Γ)(-='易得
()()t λt m m )1()()(--=ΓE A Γ 1,,2,1-=k m Λ 。 （2）
()()
t e dt
d m t λ)
(Γ()()t e t e λm t λm t λ)1()(++=ΓΓ， 由（2），上式变为
()()t e dt
d m t λ)
(Γ()()])[()()(t λe t e λm t λm t λΓE A Γ-+= ()(
)
t e dt
d m t λ)
(Γ()t e m t λ)(ΓA =，1,,2,1-=k m Λ。 故()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
都是方程组（1）的解。
再证明向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ线性无关。
因为()t Γ的分量都是次数k ≤的多项式，但至少有一个分量是t 的k 次多项式，所以
()0≠t k )(Γ，而当k m >时，()0=t m )(Γ。
若()+t e C t λΓ0()++'Λt e C t
λΓ1()0≡t e C k t λk )(Γ，),(+∞-∞∈t ，即 ()+t C Γ0()++'Λt C Γ1()0≡t C k k )
(Γ，),(+∞-∞∈t ，
给上式两边关于t 求k 阶导数，得()0≡t C k )
(0Γ
，),(+∞-∞∈t ，则必有00
=C 。
给()++'Λt C Γ1()0≡t C k k )
(Γ，),(+∞-∞∈t 两边关于t 求1-k 阶导数，则必有
01=C 。
同理，可得0=m C ，k m ,,2,1,0Λ=。
故向量组()t e t
λΓ，()t e t
λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
线性无关。
综上所述，我们证明了向量组()t e t
λΓ，()t e t λΓ'，...，()t e k t
λ)
(Γ
，),(+∞-∞∈t 是
方程组（1）的线性无关的解组。
证明题：n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n Λ有
且最多有
n 个线性无关的解。
n 阶齐次线性常微分方程0)()()()2(2)1(1)(=++++--x t a x t a x t a x n n n n Λ有且最多有
n 个线性无关的解。
证明 ：由于n 阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件
,
1)(,0)(,0)(,0)(,1)(,0)(,
0)(,0)(,1)(0)1(000)
1(202020)
1(10101=??='=?
?=??='==??='=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x n n n n n n
的解为),(,),(),(21t x t x t x n Λ则一定存在n 个解，又因为若任取1+n 个解
)(),(,),(),(121t t t t n n +????Λ
)(1
)
(2)(112
1121
121)](),(,),(),([n n n n n
n n n t t t t W ++++'''
=
?????????????Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
ΛΛ
由于 j n n j n j n j t a t a t a ????)()()()2(2)1(1)(-----=--Λ 即最后一行可由前行线性表出，则
)(1
)
(2)(112
1121
121)](),(,),(),([n n n n n
n n n t t t t W ++++'''
=
?????????????Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
ΛΛ=0，故这1+n 个解一定是线
性相
关的。从而命题得证。
证明题：设)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．
证明：．证明 由于)(1x y ?=和)(2x y ?=是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式
0)()()
()()(21
21≠''=
x x x x x W ???? （*） （5分）
假如它们有共同零点，那么存在一个点0x ，使得
)(01x ?=0)(02=?x 于是
0)
()(0
0)()()()()(0201020102010=''=''=
x x x x x x x W ??????
这与（*）式矛盾．
常微分方程习题集（5）
（五）证明题
1. 试证：如果)(t ?是
AX dt
dX
=满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η?)(ex p )(0t t A t -=.
2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．
3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组
mt Ce AX dt
dX
+=，有一解形如：mt Pe t =)(?，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及y
f
??连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充
要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.
5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞
→x f x ，求证：方程
)(d d x f y x
y
=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞
→x y x .
6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解.
8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数C 的表达式：
)()(x x C y ψ?+=
是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。
9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组
X t A dt dX )(1=与X x A dt
dX
)(2=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A 。 10. 证明： 一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解
的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。
（五）、证明题参考答案
1. 试证：如果)(t ?是
AX dt
dX
=满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η?)(ex p )(0t t A t -=.
证明：因为At t exp )(=Φ是
AX dt
dX
=的基本解矩阵，)(t ?是其解，所以存在常向量C 使得：
C At t ?=exp )(?，
令0t t =，则：
C At 0ex p =η，
所以
η10)(ex p -=At C ，
故
η
ηη
?)(exp )exp(exp )(exp exp )(0010t t A At At At At t -=-?=?=- 2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式c x W ≡)(，其中c 为常数．
证明：设)(x q 在区间I 上连续，由刘维尔公式可知，对任意I x ∈0，
它们的朗斯基行列式)(x W 满足：
))(exp()()(0
10?-=x
x dt t a x W x W ，I x ∈0
而在方程0)(=+''y x q y 中，0)(1=x a ，所以
)(1)()(00x W x W x W ==，
即 c x W ≡)(， I x ∈
3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组
mt Ce AX dt
dX
+=，有一解形如：mt Pe t =)(?.其中P C ,是常数向量. 证明：要证mt pe t =)(?是解，就是要证能够确定常数向量P ，它使得
mt mt mt Ce APe dt
Pe d +=)
(， 即mt mt mt Ce APe Pme +=，成立。
亦即
C A mE P =-)(，
由于m 不是A 的特征值，故0≠-A mE ，从而A mE -存在逆矩阵， 那么可取向量 ，
1)(--=A mE C P ，
这样方程就有形如mt Pe t =)(?的解.
4. 设(,)f x y 及
y
f
??连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子.
证明：先证必要性，设方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程，即
0))()((=-+dx x f y x p dy ，
所以
0),(=??=??x
N
x p y
M
，
)(x p N
x
N
y M =??-??， 即它有仅依赖与x 的积分因子，且 ))(ex p()(dx x p x ?=μ是其积分因子。
再证充分性，因为在方程0),(=-dx y x f dy ，中
,1),,(=-=N y x f M
所以
0,=????-=??x
N
y
f
y M ，
y f N x
N
y M ??-=??-
?? 如果它有仅依赖与x 的积分因子，则y
f
??-是x 的函数，设
)(x p y
f
=??-
关于y 积分得：)()(),(x f y x p y x f +-=，)(x f 是x 的可微函数，故方程0),(=-dx y x f dy 可表为：
0))()((=-+dx x f y x p dy
是线性方程.
5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞
→x f x ，求证：方程
)(d d x f y x
y
=+的任意解)(x y y =均有0)(lim =+∞
→x y x .
证明：设)(x y y =为方程的任一解，它满足初始值条件
，
由常数变易法有：
ds e s f e e y x y x s x
x x x x x )()()(00
)()(-----?+=，
于是
e d e )(lim
e lim
)(lim 0
x x x
x x
s x x x x x s
s f y x y --∞→-∞
→∞→?+=
= 0 + ??
?
??=??∞---∞→∞
-发散若收敛
若，00
000
0d e )(,0e e )(lim d e )(0x x s x x x x x x x s s s f s f s s f 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.
证明：设)(x ?为黎卡提方程的一个特解，则
)()()()()()
(2x r x x q x x p dx
x d ++=???， 令z x y +=)(?，则有
)())()(())()(()(2x r z x x q z x x p dx
dz
dx x d ++++=+??? 整理得：
2)()]()()(2[z x p z x q x x p dx
dz
++=? 它是2=n 的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解.
7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解.
证明：设
X t A dt
dX
)(=的系数矩阵)(t A 在区间I 上连续，任意取定一点I t ∈0和n 个线性无关的n 维常向量n ξξξ，，，Λ21。 对于每一个i ，n i ,,2,1Λ=，以)(t X i 表示X t A dt
dX
)(=满足初始条件i i t X ξ=)(0的解向量。
由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间I 上存在且有定义。
由于常向量组)(,),(),(00201t X t X t X n Λ是线性无关的，从而向量函数组)(,),(),(21t X t X t X n Λ于区间I 上线性无关.
8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数c 的表达式：
)()(x x c y ψ?+=
是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。
证明：将)()(x x c y ψ?+=直接代入一阶非齐次线性方程
)()(x f y x p dx
dy
=+可知，对任意常数c ，)()(x x c y ψ?+=都是一阶非齐次线性方程的解。
反之，设)(0x y 是一阶非齐次线性方程的任一解，则)()(0x x y ψ-是
其对应齐次方程
0)(=+y x p dx
dy
的解。 任取I x ∈0，由于)(x ?是其对应一阶齐次线性方程0)(=+y x p dx
dy
于
区间I 上的一个非零解，所以0)(0≠x ?。
令))()(())((0010x x y x c ψ?-=-，则)(x c ? 和)()(0x x y ψ-都是其对应齐
次方程
0)(=+y x p dx
dy
的解，并且在0x x =时取相同的值，故由初值问题解的唯一性知，应有)()()(0x x y x C ψ?-=，即)()()(0x x C x y ψ?+=。
9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组
X t A dt dX )(1=与X x A dt dX
)(2=在（a , b ）上有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A ，),(b a x ∈.
证明：因为方程组与X x A dt
dX
)(2=在（a , b ）上有相同的基本解组，
所以可设)(t Φ是其基本解矩阵。
从而有：
),(),()()
(1b a t t t A dt t d ∈Φ≡Φ， 与 ),(),()()
(1b a t t t A dt
t d ∈Φ≡Φ，成立。
所以 ),(),()()()(21b a t t t A t t A ∈Φ≡Φ， 又由于)(t Φ是其基本解矩阵，所以0)(det ≠Φt ，即)(t Φ可逆，故
)(1t A ≡)(2t A ，),(b a x ∈.
10. 证明： 一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。
证明：设)()()(t iv t u t X +==?是X t A dt
dX
)(=的解，
)(t A 是实函数矩阵， 则：
))()()(())()((t iv t u t A t iv t u dt
d
+≡+， 从而
)()()()()()(t v t iA t u t A t v dt
d
i t u dt d +≡+， 所以
)()()(t u t A t u dt d ≡，且)()()(t v t A t v dt
d
≡ 即它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。
反之，若
)()()(t u t A t u dt d ≡，)()()(t v t A t v dt
d
≡成立。则 )()()()()()(t v t iA t u t A t v dt
d
i t u dt d +≡+，
即向量函数)()()(t iv t u t +=?是（LH ）的解。
常微分方程期终考试试卷(1)
一、 填空题（30%）
1、方程
(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）
。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()
n X t X t X t L 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件
是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是
'
()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是
_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）
1、
3
()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-
３、若
2114A ??
=??
-??试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????并求expAt
４、32()480
dy dy
xy y dx dx -+=
５、求方程2
dy
x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解
6.求1,5
dx dy
x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.
三、证明题（１０％）
１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
试卷答案
一填空题
１、()M N y x x N ???-??= ()M N
y x
y M ???-??=- ２、 2()()()
dy
p x y Q x y R x dx =++
y y z =+
３、 ()()n dy
p x y Q x y dx =+ (1)()(,)n p x dx
n u x y y e --?=
４、
12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠L ５、11110
n n n n n n n d y d dy
x a a a y dx dx dx ---++++=L
６、
()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心 二计算题
１、解：因为
1,1M N
y x
??==-??，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子
2
2
ln 21()dy
y y y e e
y
μ--?===，两边同乘2
1y 得3
20dx x y dy y y +-=
所以解为 32
1x x y y dx dy c y y y
?
????-++-=???????????
2
2x y c y +=即
2
2()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+
=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±
1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程
A=-
1
2
B=0
2()cos 2f t t
=-
2i
λ=不是特征根，原方程有特解
cos2sin 2x A t B t =+代入原方程13A =
B=0
所以原方程的解为1211
cos sin cos cos223x c t c t t t t
=+-+
３、解：
221()690
14
p λλλλλ--==-+=-解得
1,23λ=此时 k=112n =
12v ηηη??==????
111123322120()()(3)()!i
t i t i t t t e A E e t i ηηηη?ηηηη=??+-+????
=-=??????+-+??????∑ 由公式expAt= 10()!i
n t
i
i t e A E i λλ-=-∑得
[]33310111exp (3)01111t
t
t t t At e E t A E e t e t t ?-?-??????
=+-=+=????????--+????????
４、解：方程可化为3
2
84dy y dx x dy y
dx ??+ ???=令dy p dx =则有
3284p y x yp +=（*）
（*）两边对y 求导：322322(4)(8)4dp
y p y p y p y p
dy -+-=
即
32(4)(2)0dp p y y
p dy --=由20dp y p dy -=得12p cy =即
2
()p y c =将y 代入
（*）22
24c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c p x c p y c ?=+???
?=??p 为参数
又由3240p y -=得123
(4)p y =代入（*）得：
3
427y x =也是方程的解 ５、解：
002
100225
200410725118
3000
2()4220()4400202204400160x
x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ????===+=
=++=+
=++++=+++
??? ６、解：由10
50x y x y --+=??
--=?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dx
x y dt dy x y dt ?=--????=-??
因为
11
11---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0） 由
221
1
2112201
1λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳
定焦点。
三、 证明题
由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：
10200''
1020011110200()1,()0,,()0
()0,()1,,()0
()0,()0,,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---=========L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
L
考虑
102001
00010[(),(),,()]10
001
n w x t x t x t =
=≠L L L L L L L L
从而()(1,2,)i
x t i n =L 是线性无关的。 常微分方程期终试卷(2)
一、填空题 30%
1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连
续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函
数.n ，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0
3、 如果存在常数
使得不等式
,0φL _____________对于所有
称为利普希兹常数。都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于
y 满足利普希兹条件。
4、 形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a
5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一
解可表为)(t γ_____________-。 二、计算题40%
1、 求方程的通解。
26xy x y
dx dy -=
2、 求方程xy
e x y
dx dy =+的通解。
3、 求方程t
e x x x 25'6''=++的隐式解。
4、 求方程）的第三次近似解。、通过点（002y x dx dy
+=
三、证明题30%
1.试验证()t Φ=?????
?122t t t 是方程组x '=????????-t t 22102x,x=??????21x x ，在任何不包含原点的区间a b t ≤≤上的基解矩阵。
2.设()t Φ为方程x '
=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:
()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.
《常微分方程》期终试卷答卷
一、填空题（每空5分）
1)()(y x f dx dy ?= 2、n y x Q y x P dx dy )()(+= z=n
y -1
3
),(),(21y x f y x f -2
1y y L -≤
4、011
1
11=++++----y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n
Λ
5、)()()(t t t ?φγ+=
二、计算题（每题10分）
1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1
-y ,算得dx dy y dx
dz 2--=
代入原方程得到x z x dx dz +-=6
，这是线性方程，求得它的通解为z=826
x x
c + 带回原来的变量y ，得到y 1=82
6x x c +或者c x y x =-886，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0. 2、
解：x y xe xy e dx dy xy xy
-=
-=
dx y xe xdy xy )(-=
dx xe ydx xdy xy =+ dx xe dxy xy = xdx e dxy
xy =
积分：
c x e xy +=
--2
21
故通解为：0
212
=++-c e x xy
3、
解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562
=++λλ，
5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=
2=λ不是特征根，所以方程有形如t
Ae t x 2)(=
把)(t x 代回原方程 t t t t
e Ae Ae Ae
22225124=++
211=
A 于是原方程通解为
t
t t e e c e c t x 2521211
)(++=-- 4、 解
0)(0=x ?
?=
+=x
x dx x x x 0
2
2
012)]([)(??
202)]([)(5
22
12x x dx x x x x
+
=+=???
4400160202)]([)(11
850
22
23x x x x dx x x x x
+
++=+=??? 三、证明题（每题15分）
1、证明：令()t Φ的第一列为1?(t)=???? ??t t 22,这时'1?(t)=???? ??22t =?
???
??-t t 22102
1?(t)故1?(t)
是一个解。同样如果以2?(t)表示()t Φ第二列，我们有2?(t)=???? ??01= ?
???
??-t t
22102
2?(t)
这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2
故()t Φ是基解矩阵。 2、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。
（2）由于()t Φ为方程x '
=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1
-Φ(t 0)也是x '
=Ax 的解矩阵，
而当t= t 0时，Φ(t 0)1
-Φ(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得()t Φ1
-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)
常微分方程期终试卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)
1. 1.
2xylnydx+{2
x +2
y
2
1y +}dy=0
2. dx dy =6x y
-x 2y 3. '
y =22)12(-++y x y
4. x '
y =2
2y x ++y
5. 5. tgydx-ctydy=0
6. 6. {y-x(2
x +2
y )}dx-xdy=0
7．一质量为m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k ）
的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为
2k ）。试求此质点的速度与时间的关系。
8. 已知f(x)?
x
dt
t f 0
)(=1,x ≠0,试求函数f(x)的一般表达式。
二． 证明题(10%*2=20%)
9. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N 试同齐次函数，且xM+yN ≠0,则)
(1
yN xM +是该方程的一个积分因子。
10. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。
试题答案：
1. 解：M y ??=2xlny+2x , N y ??=2x,则 M N
y x
M ??-
??-=2ln 2ln x y xy y -=-1y ,故方 程有积分因子
()y μ=1
dy
y e ?-=1y ，原方程两边同乘以1y 得
2ln xy y y
dx+
2
y
y
x +
dy=0是恰当方程. d(2
x
两边积分得方
程的解为2
x
lny+(
)
32
1
2
3
1y +=C 。
2. 解：1）y=0是方程的特解。2）当y ≠0时，令z=
1
y
-得
dz
dx =6x -
z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=2
68c x x +
代回原来的变量y 得方程解为1y =
2
6
8c x x
+；y=0.
3. 解：令x=u+3, y=v -2, 可将原方程变为dv du =2
2v u v ??
?
+??，
再令z=v u ，得到z+dz u
u =2
21z z ?? ?+??
，即dz u u =
()
()
2
2
11z z
z +-+，
分离变量并两端积分得2121dz z z ???+ ? ?
+?
?=du u -?+lnC 即ln z +2arctgz=
ln u
-+lnC ，
ln
zu =-
2arctgz+lnC 代回原变量得v=C 2v arctg
u
e
-
所以，原方程的解为y+2=C 223
y arctg
x e
+--.
4. 解：将方程改写为 '
y =
2
1x
y -
+ x y （*） 令u=x y
,得到x 'y =x 'u + u,则(*)变为x
dx du
=u -1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为
arcsin x y
=lnCx 。
5. 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)= -ln
x
cos +C 或sinycosx=C (*)
另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k π(k=0、1…) ，x=t π+2π
(t=0、1…)也是方程的解。
tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C 。
6. 解：ydx-xdy-x(
2
x +2
y
)dx=0,两边同除以
2
x +2
y
得
2
2
ydx xdy
y
x -+-xdx=0,即d(arctg x y )-12d 2
x =0,故原方程的解为arctg x y -12
2
x
=C 。
7． 解：因为F=ma=m dv
dt ，又F=1F 2F -=12t v
k k -，
即m dv dt =12t v
k k -(v(0)=0)，即dv
dt =12t v k k -(v(0)=0)，
解得v=12
2m k k 2
t m k e +12
k
k
(t
2m
k -
).
8．
解：令f(x)=y ，1()f x =0()x
f t dt
?，两边求导得
()
'
1
y -=y ，
即'1
y y
-
=y ，即
31dy y
-=dx ，两边求积得
2
1y
=2x+C ，
从而
y=
，故
f(x)= .
9. 证明：如M 、N 都是n 次齐次函数，则因为 x
x
M
+y
y
M
=nM ，x
x
N
+y
y
N
=nN ，故有
M N y xM yN x xM yN ??-
?+?+=
2
()()()y y y xM yN M x N y xM yN N M M +-+++2
()()
()x x
x xM yN N x M y xM yN N N M +-++-+
=
2
()()
()x x y M x yN N x y xM yN N N M +-+-
+
=2
()()
()M nN N nM xM yN --
+=0. 故命题成立。
10. 解：1）先找到一个特解y=%y 。 2）令y=%y +z ，化为n=2的伯努利方程。 证明：因为y=%y 为方程的解，
所以%d y dx =P(x)2
y %+Q(x)%y +R(x) (1)
令y=%y +z ，则有
%d y dx +dz dx = P(x)2
()y z +%+Q(x)()y z +%+R(x) (2) (2)-(1)得dz dx = P(x)2
(2)yz z +%+Q(x)z
即dz
dx =[2P(x)%y +Q(x)]z+P(x)2z
此为n=2的伯努利方程。
常微分方程期终试卷（4）
一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。
２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。
３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。
４、对毕卡逼近序列，()
)()(1≤--x x k k ??。
５、解线性方程的常用方法有（ ）。
６、若)
,,2,1)((n i t X i K =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。 ７、方程组x t A x )(='（ ）。
８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。
１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。
１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）。
二、计算题
求下列方程的通解。
１、1
sin 4-=-x e dx dy
y 。
２、1
)(122=??????
-dx dy y 。
３、求方程2
y x dx dy
+=通过)0,0(的第三次近似解。
求解下列常系数线性方程。 ４、0=+'+''x x x 。
５、t
e x x =-'''。
试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、
5,!--=+--=y x dt dy
y x dt dx 。
三、证明题。
常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分） 10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，