实验1 离散系统的时域及变换域分析 一、实验目的： 1.加深对离散系统的差分方程、单位抽样响应和卷积分析方法的理解。 2.加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 二、实验原理： 1.时域 离散系统 其输入、输出关系可用以下差分方程描述： ∑∑==-=-M m m N k n m n x b k n y a )()( 输入信号分解为冲激信号， ∑∞ -∞ =-= m m n m x n x )()()(δ 系统单位抽样序列h （n ）， 则系统响应为如下的卷积计算式： ∑∞ -∞ =-= *=m m n h m x n h n x n y )()()()()( 当0 0≠a N k a k ,...2,1,0==时，h(n)是有限长度的（n ：[0，M]），称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。 在MATLAB 中，可以用函数y=filter(b,a,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。 2.变换域 离散系统的时域方程为 ∑∑==-=-M m m N k n m n x b k n y a )()(
其变换域分析方法如下： X(z)H(z) Y(z) )()()()()(=?-= *=∑∞ -∞ =m m n h m x n h n x n y 系统函数为 N N M M z a z a a z b z b b z X z Y z H ----++++++= =......)()()(110110 分解因式 ∏∏∑∑=-=-=-=---== N k k M m m N k k k M m m m z d z c K z a z b z H 1 1 11 ) 1() 1()( ， 其中 m c 和 k d 称为零、极点。 在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统函数的零、极点分布图。使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 三 、实验内容 1.时域 （1.）编制程序求解下列系统的单位抽样响应，并绘出其图形。 )1()()2(125.0)1(75.0)(--=-+-+n x n x n y n y n y 解 用MATLAB 计算程序如下： N=15; n=0:N-1; b=[1,-1]; a=[1,0.75,0.125]; x=[n==0]; y=filter(b,a,x); subplot(3,2,1); stem(n,y,'.'); axis([0,N,-1,2]); ylabel('y(n)');
§8-1 引 言 一、 变换域分析的目的 变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。 对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题； 对于离散时间系统，通过Z 变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。 二、 Z 变换的发展史 十八世纪，DeMoivre 提出生成函数，并应用于概率论； 十九世纪Laplace 、二十世纪Seal 对其进行了进一步深入研究； 二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，其用途甚至超过了L.T. 三、 离散时间序列的频域分析方法 离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。傅利叶变换的离散形式——离散傅利叶变换（DFT ）——在离散时间系统分析中同样占用很重要的地位，而DFT 的快速算法——FFT ——的提出使得DFT 在各种信号处理场合得到的广泛的应用。 除了DFT 以外，其信号分析方法，如沃尔什变换等，在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。 §8-2 Z 变换及其性质 一、 Z 变换的定义 Z 变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的 角度提出。后者更加容易理解。本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。 离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列： )(k f ——> ∑+∞ -∞ =-= k kT t k f t f ) ()()(δδ 对其)(t f δ 进行F.T.： () ∑ ∑ ∑? ∑??∑ ? ∞ +-∞ =-∞+-∞ =-∞+-∞=∞ +∞ --∞ +-∞=∞+∞ --∞+∞--∞ +-∞=+∞ ∞ --= = ? ? ? ? ??-=-=??? ? ????-==k kT j k kT j k t j k t j t j k t j e k f e k f dt e kT t k f dt e kT t k f dt e kT t k f dt e t f j F ω ωωωωωδδδδω)()()()()()()()()()( 根据Dirichlet 条件，只有在信号满足绝对可积条件——这里可以
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)
上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋
于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
实验6 离散时间系统的z 域分析 一、实验目的 1.掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。 2.学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。 3.掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。 二、实验原理 1. Z 变换 序列x(n)的z 变换定义为 ()()n n X z x n z +∞ -=-∞ = ∑ Z 反变换定义为 1 1 ()()2n r x n X z z dz j π-= ? 在MATLAB 中，可以采用符号数学工具箱的ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F) 求符号表达式F 的z 变换。 F=ilaplace(Z) 求符号表达式Z 的z 反变换。 2.离散时间系统的系统函数 离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换 ()()n n H z h n z +∞ -=-∞ = ∑ 此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和输出信号的z 变换之比得到 ()()/()H z Y z X z =
由上式描述的离散时间系统的系统函数可以表示为 101101()M M N N b b z b z H z a a z a z ----+++= +++…… 3.离散时间系统的零极点分析 离散时间系统的零点和极点分别指使系统函数分子多项式和分母多项式为零的点。在MATLAB 中可以通过函数roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。 此外，还可以利用MATLAB 的zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数调用格式为： zplane(b,a) b,a 为系统函数的分子、分母多项式的系数向量（行向量）。 zplane(z,p) z,p 为零极点序列（列向量）。 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统的频率特性响应以及判断系统的稳定性： ①系统函数的极点位置决定了系统单位抽样响应h(n)的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。 ②系统的频率响应取决于系统的零极点，根据系统的零极点分布情况，可以通过向量分析系统的频率响应。 ③因果的离散时间系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点都位于单位圆内。 三、实验内容 (1)已知因果离散时间系统的系统函数分别为： ①23221()0.50.0050.3 z z H z z z z ++=--+
实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验设备 1、计算机 2、Matlab7.0以上版本 三、实验内容 1、对于给定的时域离散信号会进行频谱分析，即序列的傅里叶变换及其性质分析。 2、对于离散系统会进行频域分析及Z 域分析。包括频谱特性、零极点画图、稳定性分析。 3、对于差分方程会用程序求解，包括求单位冲击序列响应，零输入响应、零状态响应、全响应，求其系统函数，及其分析。 4、信号时域采样及其频谱分析，序列恢复。 5、扩展部分主要是关于语音信号的读取及其播放。 四、实验原理 1、序列的产生及运算 在Matlab 中自带了cos 、sin 、exp （指数）等函数，利用这些函数可以产生实验所需序列。 序列的运算包括序列的加法、乘法，序列)(n x 的移位)(0n n x -，翻褶)(n x -等。序列的加法或乘法指同序号的序列值逐项对应相加或相乘，但Matlab 中“+”“.*”运算是对序列的值直接进行加或乘，不考虑两序列的序号是否相同，因此编程时考虑其序号的对应。 2、序列的傅里叶变换及其性质 序列的傅里叶变换定义：)(|)(|)()(ω?ωωω j j n n j j e e X e n x e X ==∑∞-∞=-，其幅度特性为|)(|ωj e X ， 在Matlab 中采用abs 函数；相位特性为)(ω?，在Matlab 中采用angle 函数。 序列傅里叶变换的性质：
电子科技大学 实 验 报 告 学生姓名： 学号: 指导老师： 日期：2016年 12月 10日
一、实验室名称： 连续信号的采样和恢复 二、实验项目名称： 实验项目四：连续信号的采样和恢复 三、实验原理： 实际采样和恢复系统如图3.4-1所示。可以证明，奈奎斯特采样定理仍然成立。 ? ) x t ) (t P T ) 图3.4-1 实际采样和恢复系统 采样脉冲： 其中，T s πω2=， 2/)2/sin(τωτωτs s k k k T a =，T <<τ。 采样后的信号： ∑∞ -∞ =-=?→←k s S F S k j X T j X t x ) ((1)()(ωωω 当采样频率大于信号最高频率两倍，可以用低通滤波器)(ωj H r 由采样后的 ()()2() F T T k s k p t P j a k ωπδωω+∞ =-∞ ←?→= -∑
信号)(t x S 恢复原始信号)(t x 。 目的：1、使学生通过采样保持电路理解采样原理。 2、使学生理解采样信号的恢复。 任务：记录观察到的波形与频谱；从理论上分析实验中信号的采样保持与恢 复的波形与频谱，并与观察结果比较。 四、实验内容 实验内容（一）、采样定理验证 实验内容（二）、采样产生频谱交迭的验证 五、项目需用仪器设备名称：数字信号处理实验箱、信号与系统实验板的低通滤 波器模块U11和U22、采样保持器模块U43、PC 机端信号与系统实验软件、＋5V 电源 六、实验步骤： 打开PC 机端软件SSP.EXE ，在下拉菜单“实验选择”中选择“实验六”；使用串口电缆连接计算机串口和实验箱串口，打开实验箱电源。 实验内容（一）、采样定理验证 实验步骤： 1、连接接口区的“输入信号1”和“输出信号”，如图3.4-2所示。 图3.4-2 观察原始信号的连线示意图 2、信号选择：按“3”选择“正弦波”，再按“＋”或“－”设置正弦波频率为“2.6kHz ”。 按“F4”键把采样脉冲设为10kHz 。 七、实验数据及结果分析：
实验3 离散系统的变换域分析 一、实验目的： 加深对离散系统的频率响应分析和零、极点分布的概念理解。 二、实验原理： 离散系统的时域方程为 ∑∑==-=-M m m N k n m n x b k n y a 00)()( 其变换域分析方法如下： X(z)H(z)Y(z) )()()()()(=?-= *=∑∞-∞=m m n h m x n h n x n y 系统函数为 N N M M z a z a a z b z b b z X z Y z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式 ∏∏∑∑=-=-=-=---==k k M m m k k k M m m m z d z c K z a z b z H 111100)1() 1()( ， 其中 m c 和 k d 称为零、极点。 在MATLAB 中，可以用函数[z ，p ，K]=tf2zp （num ，den ）求得有理分式形式的系统函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统函数的零、极点分布图。使h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应，w 是频率的计算点，如w=0:pi/255:pi, h 是复数，abs(h)为幅度响应，angle(h)为相位响应。另外，在MATLAB 中，可以用函数 [r ，p ，k]=residuez （num ，den ）完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos （z ，p ，K ）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。 （在实验报告中对这几种函数的使用方法及参数含义做出说明，这一部分手写） 三、实验内容 例1 求下列直接型系统函数的零、极点，并将它转换成二阶节形式 解 用MATLAB 计算程序如下： num=[1 -0.1 -0.3 -0.3 -0.2]; den=[1 0.1 0.2 0.2 0.5]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); disp('零点');disp(z); disp('极点');disp(p); disp('增益系数');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k);
8－2信号的采样和复现的数学描述 一、采样过程 所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得 到一串脉冲序列信号)(t e *。可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即 )0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ， …如图8－8所示。因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T d 作为幅值调制器的载波信号，)(t T d 的数学表达式为 ?￥￥== -n nT)-(t )(d d t T (8－1) 其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为 ?￥-￥=* -==n T nT t t e t t e t e )()()()()(d d (8－2) 通常在控制系统中，假设当0 部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。下面我们将从频率域着手研究这个问题。 二、采样信号的频谱 假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(w j E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j w 表示，下面我们来看)(w j E *的具体表达式。 由于理想脉冲序列)(t T d 是一个周期函数，其周期为T ，因此它可以展开成指数形式的富氏级数，即 ?￥-￥ ==n t jn T s e T t w d 1)(（8－5）其中T s p w 2=为采样角频率。 将式(8－5)的结果代入(8－2)式得?￥ -￥=*==n t jn T s e t e T t t e t e w d )(1)()()(（8－6） 根据复位移定理；若[()]()F e t E j w =，则 [()]() at F e t e E j a w ±=m 因此，式(8－6)的富氏变换式为 ?￥ -￥=**-==n s jn j E T j E t e F )(1)()]([w w w (8－7) 假定连续信号)(t e 的频谱如图8－10(a )所示，则根据式(8－7)可得采样(离散)信号)(t e *的频谱如图8－10(b )所示。 由图8－10，可得到如下结论： (1)0=n 的项为)(1w j E T ，通常称为基本频谱。它正比于原连续信号)(t e 的频谱。 实验一---时域离散信号与系统变换域分析(2015) 实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验设备 1、计算机 2、Matlab7.0以上版本 三、实验内容 1、对于给定的时域离散信号会进行频谱分析，即序列的傅里叶变换及其性质分析。 2、对于离散系统会进行频域分析及Z 域分析。包括频谱特性、零极点画图、稳定性分析。 3、对于差分方程会用程序求解，包括求单位冲击序列响应，零输入响应、零状态响应、全响应，求其系统函数，及其分析。 4、信号时域采样及其频谱分析，序列恢复。 5、扩展部分主要是关于语音信号的读取及其播放。 四、实验原理 1、序列的产生及运算 在Matlab 中自带了cos 、sin 、exp （指数）等函数，利用这些函数可以产生实验所需序列。 序列的运算包括序列的加法、乘法，序列)(n x 的移位)(0n n x -，翻褶)(n x -等。序列的加法或乘法指同序号的序列值逐项对应相加或相乘，但Matlab 中“+”“.*”运算是对序列的值直接进行加或乘，不考虑两序列的序号是否相同，因此编程时考虑其序号的对应。 2、序列的傅里叶变换及其性质 序列的傅里叶变换定义：)(|)(|)()(ω?ωωω j j n n j j e e X e n x e X ==∑∞-∞=-，其幅度特性为|)(|ωj e X ， 在Matlab 中采用abs 函数；相位特性为)(ω?，在Matlab 中采用angle 函数。 第7章 常微分方程与拉普拉斯变换 7.1.1(单项选择) 微分方程x y y y sin 2='+''是 （ ） A ．一阶线性方程 B ．一阶非线性方程 C ．二阶线性方程 D ．二阶非线性方程； (难度:A;水平:a ) 7.1.2(单项选择) 微分方程0=''y 的通解是 （ ） A ．C y = B ．Cx y = C ．x C x C y 21+= D ．21C x C y +=； (难度:B;水平:a ) 7.1.3(单项选择) 微分方程x y sin -=''的通解为 （ ） A ．x y sin = B ．21sin C x C y += C ．21cos C x C x y ++= D ．21sin C x C x y ++= (难度:C;水平:c ) 7.2.1(填空) 用拉氏变换法解常系数线性齐次微分方程得出的解为 。（填“通解” 或“特解”） (难度:A;水平:a ) 7.2.2(填空) 若L[f （t ）]=F （P ），则L[f ’（t ）]= ， L[f ’’（t ）]= 。 (难度:A;水平:a) 7.2.3(填空) L -1[4/（P 2+4P+20）]= 。 (难度:C;水平:c) 7.2.4(填空) 线性方程组有解的充要条件是 。解的个数的结论是： 如果 ，则方程组有惟一解。如果 ，则方程 组有无穷多个解。如果 ，则方程组无解。 (难度:B;水平:b ) 7.2.5(填空) 微分方程n my y =+'（其中n m ,为常数，且0≠m ），则满足条件()00=y 的 特解为 。 (难度:B;水平:b ) 7.2.6(填空) 微分方程 满足条件的通解 为 . (难度:C;水平:c ) 7.3.1(判断) 方程的阶数即未知函数导数的最高阶数.( ) (难度:A;水平:a) 7.3.2(判断) x y =，则1='y ，0=''y ，于是1='+''y y ，所以x y =是方程的解.（ ） (难度:B;水平:b ) 7.4.1(计算) 求的通解. (难度:A;水平:a ) 实验一时域离散信号与系统变换域分析(10.17) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验内容 1. 序列的基本运算 1.1 产生余弦信号)04.0cos()(n n x π=及带噪信号)( 2.0)04.0cos()(n w n n y +=π 0<=n<=50（噪声采用randn 函数） 1.2 已知12)(1-=n n x 51≤≤n ，22)(2-=n n x 62≤≤n ,求两个序列的和、乘积、序列x1的移位序列（右移2位）,序列x2的翻褶序列，画出原序列及运算结果图。 2. 序列的傅里叶变换 2.1 已知序列)()5.0()(n u n x n =。试求它的傅里叶变换，并且画出其幅度、相角、实部和虚部的波形，并分析其含有的频率分量主要位于高频区还是低频区。 2.2 令||1000)(t a e t x -=，求其傅立叶变换)(Ωj X a 。分别用kHz f s 1=和kHz f s 5=对其进行采样，求出离散时间傅立叶变换)(ωj e X ，写出程序，并画出相应频谱，分析结果的不同及原因。 3. 序列的傅里叶变换性质分析 3.1 已知序列n j e n x )9.0()(3/π=，100≤≤n ，求其傅里叶变换，并讨论其傅里叶变换的周期性和对称性。 3.2 已知序列n n x )9.0()(-=，55≤≤-n ，求其傅里叶变换，并讨论其傅里叶变换的周期性和对称性。 为了方便，考虑在两个周期，例如[ππ2,2-]中2M+1个均匀频率点上计算FT ，并且观察其周期性和对称性。为此给出function 文件如下，求解FT 变换： function [X,w]=ft1(x,n,k) w=(pi/abs(max(k)/2))*k X=x*(exp(-j*pi/abs(max(k)/2))).^(n'*k) 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 dt d ，2 s 代替 2 2dt d ，…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下： （1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程） （2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。 （3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。 （4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。 举例说明 【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压 )0(c u 。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。 解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ?? ? ??=+=?idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为 )(t u u dt du RC r c c =+ （2-44） 对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s u s U r 0)(= 代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式 信号的采样与恢复实验 一、任务与目的 1. 熟悉信号的采样与恢复的过程。 2. 学习和掌握采样定理。 3. 了解采样频率对信号恢复的影响。 二、原理（条件） PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。 1. 采样定理 采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。这些值包含了该连续信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。采样定理是连续时间信号与离散时间信号之间的桥梁。 采样定理：对于一个具有有限频谱，且最高频率为ωmax的连续信号进行采样，当采样频率ωs满足ωs>=ωmax时，采样信号能够无失真地恢复出原信号。三角波信号的采样如图4-1-1所示。 图4-1-1信号的采样 2. 采样信号的频谱 连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为 它包含了原信号频谱以及重复周期为的原信号频谱的搬移，且幅度按规律变化。所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。某频带有限信号被采样前后频谱如图4-1-2。 图4-1-2 限带信号采样前后频谱 从图中可以看出，当ωs ≥2Bf 时拓延的频谱不会与原信号的频谱发生重叠。这样只需要利用截止频率适当的滤波器便可以恢复出原信号。 3. 采样信号的恢复 将采样信号恢复成原信号，可以用低通滤波器。低通滤波器的截止频率f c 应当满足f max ≤f c ≤f x -f max 。实验中采用的低通滤波器原理图如图4-1-3所示，其截止频率固定为 1802f Hz RC π=≈ 图4-1-3 滤波器电路 4. 单元构成 本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两个部分构成，滤波器部分不再赘述。其中的采样保持部分电路由一片CD4052完成。此电路由两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲，经过采样后的信号如图4-1-1所示。 三、内容与步骤 本实验在脉冲采样与恢复单元完成。 1. 信号的采样 拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt =-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求 大学信息数理学院 计算机控制系统实验报告 第一次实验 实验名称采样与保持 专业自动化142 实验组别徐亮学号14417228 同实验者国梁、王凯翔记录 实验时间2017 年06 月11 日成绩审阅教师 .. .. 一、实验目的 （1）了解模拟信号到计算机控制的离散信号的转换—采样过程。 （2）了解判断采样/保持控制系统稳定性的充要条件。 （3）了解采样周期 T 对系统的稳定性的影响。 （4）掌握控制系统处于临界稳定状态时的采样周期 T 的计算。 （5）观察和分析采样/保持控制系统在不同采样周期 T 时的瞬态响应曲线。 二、实验原理及说明 采样实验 采样实验框图如图所示。计算机通过模/数转换模块以一定的采样周期对B9 单元产生的正弦波信号采样，并通过上位机显示。 在不同采样周期下，观察比较输入及输出的波形（失真程度）。 图采样实验框图计算机编程实现以不同采样周期对正弦波采样，调节信号发生器（B5）单元的调宽旋钮，并以此作为 A/D 采样周期T。改变T 的值，观察不同采样周期下输出波形与输入波形相比的复原程度（或失真度）。 对模拟信号采样首先要确定采样间隔。采样频率越高，采样点数越密，所得离散信号就越逼近于原信号。采样频率过低，采样点间隔过远，则离散信号不足以反映原有信号波形特征，无法使信号复原，。 合理的采样间隔应该是即不会造成信号混淆又不过度增加计算机的工作量。采样时，首先要保证能反映信号的全貌，对瞬态信号应包括整个瞬态过程；信号采样要有足够的长度，这不但是为了保证信号的完整，而且是为了保证有较好的频率分辨率。 在信号分析中，采样点数N 一般选为2m 的倍数，使用较多的有512、1024、2048、4096 等。 采样保持器实验 线性连续系统的稳定性的分析是根据闭环系统特征方程的根在S 平面上的位置来进行的。如果特征方程的根都在左半S 平面，即特征根都具有负实部，则系统稳定。采样/保持控制系统的稳定性分析是建立在Z 变换的基础之上， .. 常州大学信息数理学院 计算机控制系统实验报告 第一次实验 实验名称采样与保持 专业自动化142 实验组别姓名徐亮学号14417228 同实验者李国梁、王凯翔记录 实验时间2017 年06 月11 日成绩审阅教师 一、实验目的 （1）了解模拟信号到计算机控制的离散信号的转换—采样过程。 （2）了解判断采样/保持控制系统稳定性的充要条件。 （3）了解采样周期 T 对系统的稳定性的影响。 （4）掌握控制系统处于临界稳定状态时的采样周期 T 的计算。 （5）观察和分析采样/保持控制系统在不同采样周期 T 时的瞬态响应曲线。 二、实验原理及说明 采样实验 采样实验框图如图所示。计算机通过模/数转换模块以一定的采样周期对B9 单元产生的正弦波信号采样，并通过上位机显示。 在不同采样周期下，观察比较输入及输出的波形（失真程度）。 图采样实验框图计算机编程实现以不同采样周期对正弦波采样，调节信号发生器（B5）单元的调宽旋钮，并以此作为 A/D 采样周期T。改变T 的值，观察不同采样周期下输出波形与输入波形相比的复原程度（或失真度）。 对模拟信号采样首先要确定采样间隔。采样频率越高，采样点数越密，所得离散信号就越逼近于原信号。采样频率过低，采样点间隔过远，则离散信号不足以反映原有信号波形特征，无法使信号复原，。 合理的采样间隔应该是即不会造成信号混淆又不过度增加计算机的工作量。采样时，首先要保证能反映信号的全貌，对瞬态信号应包括整个瞬态过程；信号采样要有足够的长度，这不但是为了保证信号的完整，而且是为了保证有较好的频率分辨率。 在信号分析中，采样点数N 一般选为2m 的倍数，使用较多的有512、1024、2048、4096 等。 信号的采样与恢复 （安徽建筑工业学院电子与信息学院课程设计） 2012年06月29日 此稿仅为借鉴 摘要 (2) 正文 一、设计目的与要求 (3) 二、设计原理 (4) 三、设计内容和步骤 (5) 1．用MATLAB产生连续信号y=sin(t)和其对应的频谱 (6) ２.对连续信号y=sin(t)进行抽样并产生其频谱 (7) 3. 通过低通滤波恢复原连续信号 (9) 四、总结 (12) 五、数据分析 (13) 六、参考文献 (1) 摘要 数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。做大量的习题和上机实验，有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。MATLAB强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。 本实验设计的题目是：信号的采样与恢复、采样定理的仿真。通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，最后通过设计低通滤波器滤出抽样所得频谱中多个周期中的一个周期频谱，并显示恢复后的时域连续信号。实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。信号恢复，滤波器的参数需要很好的设置，以实现将抽样后的信号进行滤波恢复原连续信号。 一、设计目的与要求 1.设计目的和要求 1.掌握利用MATLAB在数字信号处理中的基本应用，并会对结果用所学知识进 行分析。 2.对连续信号进行采样，在满足采样定理和不满足采用定理两种情况下对连 续信号和采样信号进行FFT频谱分析。 3.从采样信号中恢复原信号，对不同采样频率下的恢复信号进行比较分析。 4.基本要求：每组一台电脑，电脑安装MATLAB6.5版本以上软件。 二、设计原理 创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验 [学习目标] 1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)； 2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解； 3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换； 4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。 一、常微分方程(组) Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。 求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )， 其中自变量是X 。 DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。 DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的通解。 DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。 说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。 例1 解下列常微分方程(组)： 5 2 (1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ， (3) x 1 (x x ) y 解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)， y[x]，x] Out[1] = y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1] In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x] 求满足初始条件y ( x o ) = y o (4) 的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。 Out[2]={{ y[x] ｝， {y[x] 实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验设备 1、计算机 2、Matlab7.0以上版本 三、实验内容 1、对于给定的时域离散信号会进行频谱分析，即序列的傅里叶变换及其性质分析。 2、对于离散系统会进行频域分析及Z 域分析。包括频谱特性、零极点画图、稳定性分析。 3、对于差分方程会用程序求解，包括求单位冲击序列响应，零输入响应、零状态响应、全响应，求其系统函数，及其分析。 4、信号时域采样及其频谱分析，序列恢复。 5、扩展部分主要是关于语音信号的读取及其播放。 四、实验原理 1、序列的产生及运算。 在Matlab 中自带了cos 、sin 、exp （指数）等函数，利用这些函数可以产生实验所需序列。 序列的运算包括序列的加法、乘法，序列)(n x 的移位)(0n n x -，翻褶)(n x -等。序列的加法或乘法指同序号的序列值逐项对应相加或相乘，但Matlab 中“+”“.*”运算是对序列的值直接进行加或乘，不考虑两序列的序号是否相同，因此编程时考虑其序号的对应。 2、序列的傅里叶变换及其性质。 序列的傅里叶变换定义：)(|)(|)()(ω?ωωω j j n n j j e e X e n x e X ==∑∞-∞=-，其幅度特性为|)(|ωj e X ， 在Matlab 中采用abs 函数；相位特性为)(ω?，在Matlab 中采用angle 函数。 序列傅里叶变换的性质： 微分与平滑仿真实验 一．实验目的 1．数/模转换器得零阶保持器作用 零阶保持器：zero-order holder（ZOH）。 实现采样点之间插值的元件，基于时域外推原理，把采样信号转换成连续信号。 零阶保持器的作用是在信号传递过程中，把第nT时刻的采样信号值一直保持到第(n+1)T时刻的前一瞬时，把第(n+1)T时刻的采样值一直保持到(n+2)T时刻，依次类推，从而把一个脉冲序列变成一个连续的阶梯信号。因为在每一个采样区间内连续的阶梯信号的值均为常值，亦即其一阶导数为零，故称为零阶保持器。 零阶保持器的传递函数为： 2．零阶保持器在控制系统中的作用 零阶保持器的作用是使采样信号e*(t) 每一采样瞬时的值e(kT) 一直保持到下一个采样瞬时e[(k+1)T]，从而使采样信号变成阶梯信号eh(t)。 二．实验原理 如下图，控制系统中，给输入阶跃信号，有函数： plot(y.time,y.signals.values,x.time,x.signals.values) 可以画出其输入输出波形图1-1如下所示。 图1-1仿真原理图 三．仿真过程 图1-2 采样周期T-10MS时系统的输入输出波形 图1-3 采样周期T-20MS时系统的输入输出波形 图1-4 采样周期T-30MS时系统的输入输出波形 图1-5 采样周期T-40MS时系统的输入输出波形 四．思考与总结 1.在微机控制系统中采样周期T的选择因注意哪些方面？ 采样定理只是作为控制系统确定采样周期的理论指导原则，若将采样定理直接用于计算机控制系统中还存在一些问题。主要因为模拟系统f（t）的最高角频率不好确定，所以采样定理在计算机控制系统中的应用还不能从理论上得出确定各种类型系统采样周期的统一公式。目前应用都是根据设计者 的实践与经验公式，由系统实际运行实验最后确定。实验一---时域离散信号与系统变换域分析(2015)
常微分方程与拉普拉斯变换
实验一 时域离散信号与系统变换域研究分析(.)
用拉普拉斯变换方法解微分方程
信号的采样与恢复
用拉普拉斯变换方法解微分方程
实验一采样与保持
实验一采样与保持
信号的采样与恢复
(完整版)Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验
实验一时域离散信号与系统变换域分析(2015)(2)
采样与保持仿真实验
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