内单叶解析，并且把这个带形映射成w 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，其中a 是任意实常数。
推论1、设函数f (z )在区域D 内单叶解析，那么在D 内任一点，
.0)('≠z f
证明：假定,0)(',00=∈z f D z 由引理7.1，得出与单叶相矛盾得结论。
上述推论的逆命题不成立，例如z
e w =的导数在z 平面上不为零，而该函数在整个z 平面上不是单叶的。利用引理7.1，我们有 推论2 设函数)(z
f w =在0z z =解析，并且0)('0≠z f ，那么f (z )在0z 的某邻域内是单叶的。
如果)(z f w =在区域D 内单叶解析，根据定理7.1，它把区域D
双射到区域)(D f G =. f (z )在G 内所确定的函数为)(w z ?=. 并且有 定理7.6 设函数f (z )在区域D 内单叶解析，并且)(D f G =，那么
)(z f w =在G 内所确定的函数)(w z ?=是单叶的，并且如果
)(,000w z G w ?=∈，那么
.)
('1
)('00z f w =
? 证明：任给0>ε，选取引理7.1中的正数ρ及μ，使得ερ<，那么，当μ<-||0w w 时，ερ??<<-|)()(|0w w ，因此)(w z ?=在G 内任一点连续。
下面证明导数公式成立。当G w ∈，并且)(w z ?=时，我们有
0,z z D z ≠∈。于是
,1)
()(0
000
0z z w w w w z z w w w w --=--=
--?? 因为当0w w →时，)()(00z z w z ??=→=，所以
,)
('1
)()(lim 1lim 1)
()(lim
000000
00
00
z f z z z f z f z z w w w w w w z
z z
z w w =???? ?--=???? ?
?--=--→→→?? 即定理的结论成立。
设函数w=f (z )是区域D 内的解析函数. 设)(,000z f w D z =∈,
0)('0≠z f . 考虑在过0z 的一条简单光滑曲线C ：
),()()()(b t a t iy t x t z z ≤≤+==
其中x (t )及y (t )是z (t )的实部和虚部. 设]),[()(000b a t z t z ∈=。
由于
),(')(')('t iy t x t z dt
dz
+==
曲线C 在0z z =的切线与实轴的夹角是)('0t z 的幅角)('0t z Arg . 实际上，作从曲线C 上之点)(00t z z =到)(11t z z =的割线，由于割线的方向
与向量0101t t z z --的方向一致，则向量010
1t t z z --与实轴的夹角为0
101arg t t z z --，
由于C 是光滑曲线，那么当1t 趋近于0t 时，割线确有极限位置，即为曲线C 在0z z =的切线的位置。故极限
,0)('lim 00
10
10
1
≠=--→t z t t z z t
t 存在。因此下列极限也存在：
),('arg arg lim 00
10
10
1
t z t t z z t
t =--→ 它就是曲线C 在)(00t z z =处切线与实轴之间的夹角。
由于
)('))(('00t z t z f dt
dw
=，函数w=f (z )把简单光滑曲线C 映射成过)(00z f w =的一条光滑曲线Γ：),())((b t a t z f w ≤≤= 它在0w 的切线
与实轴之间的夹角是
),('arg ))(('arg )('))(('arg 0000t z t z f t z t z f +=
因此，Γ在0w 处的切线与实轴的夹角及C 在0z 处的切线与实轴之间的
夹角相差)('arg 0z f ，而这一数值与曲线C 的形状及在0z 处切线的方向无关，因此，称其为旋转角。
设在D 内过0z 还有一条简单光滑曲线)(:11t z z C =，函数w=f (z )把它映射成一条简单光滑曲线))((:11t z f w =Γ。和上面一样，1C 与1Γ在
0z 及0w 处切线与实轴的夹角分别是)('arg 01t z 及
),('arg ))(('arg )('))(('arg 01010101t z t z f t z t z f +=
所以，在0w 处曲线Γ到曲线1Γ的夹角恰好等于在0z 处曲线C 到曲线1C 的夹角：
),('arg )('arg )('))(('arg )('))(('arg 001000101t z t z t z t z f t z t z f -=- 特别，把单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。
下
面说
明
解析
函数模的几何意义。根据假设，我们有
,|
||
)()(|lim |)('|0000
z z z f z f z f z
z --=→ 由于|)('|0z f 是比值
|
||
)()(|00z z z f z f --的极限，它可以近似地表示这种比
值。在w=f (z )所作映射下，||0z z -及|)()(|0z f z f -分别表示z 平面
上向量0z z -及w 平面上向量)()(0z f z f -的长度，这里向量0z z -及)()(0z f z f -的起点分别取在0z 及)(0z f 。
当较小||0z z -时，|)('|0z f 近似地表示通过映射后，|)()(|0z f z f -对||0z z -的伸缩倍数，而且这一倍数与向量0z z -的方向无关。把|)('|0z f 称为f (z)在点0z 的伸缩率。
现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f (z )是在区域D 内解析的函数，0)(',),(,00000≠∈=∈z f D z z f w D z ，那么w=f (z )把0z 的一个邻域内任一小三角形映射成w 平面上含0w 的一个区域内的曲边三角形。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f (z )还把z 平面上半径充分小的圆ρ=-||0z z 近似地映射成圆
),0(|)('|||00+∞<<=-ρρz f w w
定义7.1如函数)(z f w =在点0z 的某邻域内有定义，且在点0z 处具有：（1）伸缩率不变性，
（2）过0z 的任意两曲线的夹角在变换)(z f w =下，既保持大小，又保持方向，
则称函数)(z f w =在点0z 是保角的，或称)(z f w =是在点0z 的保角变换。如果)(z f w =在区域D 内处处保角的，则称)(z f w =在区域D 是保角的，或称)(z f w =是在区域D 内的保角变换。 由上面的讨论，我们有
定理7.4 如函数)(z f w =是区域D 内的解析函数. 则它在导数不为零的点处是保角的。
定义7.2如函数)(z f w =在区域D 内是单叶且保角的，则称变换
)(z f w =在区域D 内是共形的，也称它为区域D 内的共形映射。 对于单叶解析函数，我们得到：
推论7.5如函数)(z f w =在区域D 内单叶解析函数的. 则它在区域D 内是保角的。
第二节 分式线性变换
分式线性函数是指下列形状的函数：
,)(d
z c b
z a z L w ++=
= 其中d c b a ,,,是复常数，而且0≠-bc ad 。
条件0≠-bc ad 是必要的，否则变换)(z L 恒为常数。当0=c 时，称它为整线性函数。
分式线性函数的反函数为
,a
w c b w d z -+-=
也是分式线性函数，其中0))((≠---bc a d 。
当0=c 时，所定义的分式线性变换是把z 平面双射到w 平面。 为了以后讨论方便，把分式线性变换的定义域推广到扩充复平
面∞C 上。当0=c 时，在∞=z 处定义∞=w ；当0≠c 时，在∞
=-=z c d
z ,处分别定义为c a
w w =∞=,；这样分式线性变换可看成∞C 到∞C 的一个
双射。
一般分式线性变换是由下列四种简单变换函数叠合而得，如把z 及w 看作同一个复平面上的点，且有
（1）、a z w +=（a 为一个复数）确定了一个平移； （2）、z e w i θ=（θ为一个实数）确定一个旋转；；
（3）、z r w =（r 为一个正数）确定一个以原点为相似中心的相似映射；
（4）、z
w 1
=是由映射z
z 11=及关于实轴的对称映射1z w =复合而成的。
事实上，我们有：
), (c a
b
z d a d b az w 0)(=+=+=
).0(1
≠+-+=++=
c d
cz c ad bc c a d z c b z a w 例7.4 试证：除恒等变换外，一切分式线性变换都有两个不动点（考虑重数）。
证明：分式线性变换都有不动点一定满足方程
d
z c b
z a z ++=
即 0)(2=--+b z a d z c 如0≠c ，显然上面的方程有两个根。
当0=c ，则0≠d ，方程变为0)(=--b z a d 。进一步，如,d a ≠有)/(a d b z -=，
同时可以看到：变换把∞=z 映射成∞=w ；如d a =, 则0≠b ， ∞=z 为二重不动点。
接下来，讨论分式线性变换的映射性质。
平移、旋转及以原点为相似中心的相似映射都是保角的，且在扩充复平面上是单叶的，从上面讨论知道：仅需考察z w /1=（反演变换）的共形性质。
如果∞≠,0z ，则
01
2≠-=z
dz dw 这时，反演变换是保角的。在∞=,0z 处，先给出：
定义7.3 二曲线在无穷远点处的交角为α，如果这两条曲线在反演变换下的像曲线在原点处的交角是α.
由该定义知道：反演变换在0=z 及∞=z 处是保角的。所以我们得到：
定理7.7 分式线性变换在扩充复平面上是共形的。
定义7.4 扩充复平面上有顺序的四个相异点4321,,,z z z z 构成的量
2
31
324144321:
),,(z z z z z z z z z z z z ----=
称为交比。
定理7.8 在分式线性变换下，四个点的交比不变。即分式线性函数把扩充 z 平面上任意不同四点4321,,,z z z z 分别映射成扩充 w 平面上四点
4321,,,w w w w ，那么
),,,(),,,(43214321w w w w z z z z =.
证明：设
,4,3,2,1,=++=
i d
z c b
z a w i i i
则
)
)(()
)(())((d cz d cz d z c b z a d z c b z a w w j i i j j i j i ++++-++=
-)
)(())((d z c d z c bc ad z z j i j i ++--=
故定理成立。
定理7.9 设分式线性变换将扩充 z 平面上三个不同的点321,,z z z 指定变为扩充 w 平面上三个点321,,w w w ，则此分式线性变换能被唯一确定，并且可以写成
),,,(),,,(321321w w w w z z z z =.
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。 定理7.10 在扩充复平面上，分式线性变换把圆映射成圆。 证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及
z w 1
=型的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射
成圆，所以只用证明映射z
w 1
=也把圆映射为圆即可。
在圆的方程
,0)(22=++++d cy bx y x a
（如果a=0，这表示一条直线）中，代入
,2,2,22i
z
z y z z x z z y x -=+=
=+ 则得圆的复数表示：
,0=+++d z z z az ββ
其中a, b ,c, d 是实常数，)(2
1
ic b +=β是复常数。
函数z
w 1=把圆映射成为
,0=+++a w w w dw ββ
即w 平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w 平面上半径为无穷大的圆）。
设分式线性变换把扩充z 平面上的圆C 映射成扩充w 平面上的圆C'。于是，C 及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，21,D D 及','21D D ，其边界分别是C 及C'。则此分式线性变换把1D 映射成','21D D 之中的一个区域，但是，1D 的像是'1D 还是'2D ？我们可以通过检验1D 中某一个点的像来决定。
进一步，我们看到：扩充 z 平面上任何圆，可以用一个分式线性变换把它映射成扩充 w 平面上任何圆。
事实上，设C 是z 平面上的一个圆，C'是w 平面上的一个圆，在C 和C'上分别取三个不同的点321,,z z z 和321,,w w w ，由定理7.10，存在一个分式线性变换，把321,,z z z 映射成321,,w w w ，从而把圆C 映射成圆C'。
定义7.5 给定圆)0(||:0+∞<<=-R R z z C ，如果两个有限点1z 及2z 在过0z 的同一射线上，并且
20201||||R z z z z =--，
那么我们说1z 及2z 是关于圆C 的对称点。
容易得到：1z 及2z 是关于圆)0(||:0+∞<<=-R R z z C 的对称的充要条件是
12
02z z R z z -=-.
注解1、圆C 上的点是它本身关于圆C 的对称点. 注解2、规定0z 及∞是关于圆C 的对称点.
定理7.11 不同两点1z 及2z 是关于圆C 的对称点的必要与充分条件是：通过1z 及2z 的任何圆与圆C 直交.
证明：如果C 是直线（半径为无穷大的圆）；或者C 是半径为有限的圆，1z 及2z 之中有一个是无穷远点，则结论显然.
现在考虑圆C 为)0(||0+∞<<=-R R z z ，而1z 及2z 都是有限的情形.
（必要性）设1z 及2z 关于圆C 的对称，那么通过1z 及2z 的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C 直交。作过1z 及2z 的任何圆（半径为有限）C'。过0z 作圆C'的切线，设其切点是z'。于是
2020120|||||'|R z z z z z z =--=-，
从而R z z =-|'|0。这说明C z ∈'，而上述C'的切线恰好是圆C 的半径，因此C 与C'直交。
（充分性）过1z 及2z 作一个圆（半径为有限）C'，与C 交于一点z'。由于圆C 与C'直交，C'在z'的切线通过圆C 的心0z 。显然，1z 及
2z 在这切线的同一侧。又过1z 及2z 作一直线L ，由于L 与C 直交，它通过圆心0z .于是1z 及2z 在通过0z 的一条射线上。我们有
20201||||R z z z z =--
因此，1z 及2z 是关于圆C 的对称点。
定理7.12 如果分式线性变换把 z 平面上圆C 映射成 w 平面上的圆C'，那么它把关于圆C 的对称点1z 及2z 映射成关于圆C'的对称点1w 及
2w 。
证明：过1w 及2w 的任何圆是由过1z 及2z 的圆映射得来的。由定理7.11，过1z 及2z 的任何圆与圆C 直交，从而由分式线性变换的保形性，过1w 及2w 的任何圆与圆C'直交。再利用定理7.11，1w 及2w 是关于圆C'的
对称点。
例：考虑扩充w 平面上的一个圆|w|=R 。分式线性变换
2
1
z z z z w --=，
把1z 及2z 映射成关于圆|w|=R 的对称点0及∞，把扩充z 平面上的曲线
,2
1
R z z z z =-- 映射成为圆w|=R 。由定理7.11、7.12知，上式表示的一个圆，1z 及2z 是关于它对称点。
下面考察分式线性变换的一些应用。
(1) 把上半平面Im z >0保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性变换。
这种变换应当把Im z >0内某一点0z 映射成w =0，并且把Im z =0映射成|w|=1。根据分式线性变换的性质，它应把关于实轴Im z =0的对称点映射成为关于圆|w|=1的对称点，因此，所求变换不仅把0z 映射成w =0，而且把0z 映射成∞=w 。该变换可表为：
,0
z z z z w --=λ
其中λ是一个复常数。如果z 是实数，那么
,1||||||||0
==--=λλz z z z w
于是θλi e =，其中θ是一个实常数。因此所求的函数变换应是
,0
z z z z e w i --=θ
由于z 是实数时，|w|=1，因此它把直线Im z =0映射成圆|w|=1，从而把上半平面Im z >0映射成|w|<1或|w|>1，又因为当0z z =时，|w|=0<1，这个函数正是我们所要求的。
注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过0z 及0z 的圆在上半平面的弧映射成的；
2、以w=0为心的圆由以0z 及0z 为对称点的圆映射成的；
3、w=0是由0z z =映射成的。
(2)、把单位圆|z|<1保形映射成单位圆盘|w|<1的分式线性变换。 这种变换应当把 |z |<1内某一点0z 映射成w =0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不难看出，与0z 关于圆 |z|=1的对称点是0
1
z ，和上面一样，这种变换还应把
1
z 映射成∞=w ，因此所求的函数应是： ,1/10
100z z z z z z z z w --=--=λλ
其中1,λλ是一个复常数。其次，如果|z|=1时，那么
),(1000z z z z z z z z z -=-=-
于是
,1|||1|||||10
1==--=λλz z z z w
因此θλi e =1，其中θ是一个实常数。所求的变换应是
,10
z z z z e w i --=θ
由于当|z|=1时，|w|=1，因此它把圆|z|=1映射成圆|w|=1，从而把|z|<1映射成|w|<1或|w|>1，又因为当0z z =时，|w|=0，因此这个变换正是我们所要求的。
注解：1、圆盘|w|<1的直径是由通过0z 及0
1
z 的圆在|z|<1内的弧映射成的；
2、以w=0为心的圆由以0z 及0
1
z 为对称点的圆映射成的；
3、w=0是由0z z =映射成的。
在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我们往往要把有关解析函数的定义域共形映射成较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下面给出几个实例。
例1、求作一个单叶函数，把半圆盘|z|<1，Im z >0保形映射成上半平面。
解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式线性函数
1
1
'-+=
z z w ， 把-1及+1分别映射成w'平面上的0及∞两点，于是把|z|=1及Im z =0映射成w'平面上在原点互相直交上面的两条直线。
由于分式线性函数中的系数是实数，所以z 平面上的实轴映射成w'平面上的实轴；又由于z =0映射成w'=-1，半圆的直径AC 映射成
w'
平
平面-z O
)
1(-B )(i D -)
0(A C
平面-'w C
)1(-D )
1(B )0(A C
平面
-w
面上的负半实轴。
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z =i 映射成
i i i w -=-+=
1
1
'，半圆ADC 映射成w'平面上的下半虚轴。 根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关系，已给半圆盘映
射到w'平面上的的区域，应当在周界ABC 的左方，因此它是第三象限2
'arg π
π<
最后作映射
2'w w =，
当w'在第三象限中变化时，arg w'在π2及π3之间变化。因此w'平面上的第三象限就映照成w 平面上的上半平面。 因此，所求单叶函数为：
2
2)1
1(
'-+==z z w w 。 例2、求作一个单叶函数，把z 平面上的带形π<z e w ='，
把z 平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上半平面。
取w'
O
i
-i
平面-'
w 平面-
z
平面上关于实轴的对称点-i 及i ，那么函数
i
w i
w w +-='', 把的w'平面上的上半平面保形映射成w 平面上的单位圆|w|<1。
因此，我们得到
i
e i
e w z
z +-=. 例3、求作一个单叶函数，把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成扩充w 平面上去掉割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 而得的区域。 解：容易验证，分式线性函数
1
1
'-+=
w w w ， 把割线0Im ,1Re 1=≤≤-w w 保形映射成w'平面上的负实轴，把扩充w 平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负实轴（包括0）而得的区域。
另一方面，分式线性函数
平面
-z O
平面
-ζC
平面
-w 1
-1
平面
-'w O
1
1
-+=
z z ζ， 把圆|z |=1保形映射成ζ平面上的 虚轴。由于它把z=2映射成3=ζ，
可见它把扩充z 平面上单位圆的外部|z|>1保形映射成ζ平面上的右半平面。显然
2'ζ=w ，
把ζ平面上的这一部分保形映射成w'平面上除去负实轴而得的区域。
因此我们得到
2
1111??
?
??-+=-+z z w w 由此可得函数
)1(21z
z w +=
即为所求函数。
例4、求作一个单叶函数，把z 平面上半带域0,2/2/><<-y x ππ保形映射成w 平面上的上半平面，并且使得0)0(,1)2/(=±=±f f π。 解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应用指数函数做映射，我们求得函数
iz e w ='，
复变函数论文
复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
复变函数论第三版课后习题答案 2
第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
《复变函数论》试题(B)
得分评卷 人 上装订线 院（系）名：班级：姓名：学号：考生类别： 考试日期： 下装订线 复变函数论（B） 题号一二三四五六七八九十总分 分数 答卷注意事项： 1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests（ Points） 1. If ，then . 2. If denotes the circle centered at positively oriented and is a positive integer，then . 3. The radius of the power series is . 4. The singular points of the function are . 5. , where is a positive integer. 6. . 7. The main argument and the modulus of the number are . 8. The square roots of 1+ are . 9. The definition of is .
得分评卷人 得分评卷人 10. Log= . Ⅱ. True or False Questions ( Points) 1. If a function is differentiable at a point ，then it is continuous at .（） 2. If a point is a pole of order of ，then is a zero of order of .（） 3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be a constant.（） 4. A function is differentiable at a point if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at and the Cauchy Riemann conditions hold there.（） 5. If a function is continuous on the plane and 0 for every simple closed contour , then is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations ( Points) 1. Find . 2. Find the value of .
(完整版)《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容
复变函数习题答案第3章习题详解
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
复变函数第二章学习方法导学
第二章 解析函数 解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用． 本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质． 一、基本要求 1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性． 2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下： 复变函数()f z 在点集E ?￡上一致连续?对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．
复变函数试题与答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
复变函数论作业及答案
习题1 第一章 复数与复变函数 1.12z = =求|z|，Argz 解：123212 2 =??? ? ??+??? ??=z Argz=arctan 212-+2k π=23k π π+-, ,2,1,0±±=k 2．已知2 11i z += ,=2z i -3,试用指数形式表示2 1 21z z z z 及 解：2 11i z += i e 4 π = =2z i -3i e 6 2π -= 所以21z z =i e 6 2π -i e 4 πi e 12 2π - = 2 1z z i i i i e e e e 125)64(64 21212π π ππ π ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 则二次方程的根为 k w a = （k=0,1,2,3） =24k i e a ππ+? （k=0,1,2,3） 0w =4 i e a π? =234 4 1(1)2 i i a w e a e a i ππ π+?===-+
54 2(1)2i a w e a i π==-- 74 3(1)2 i a w e a i π==- 4 .设1z 、2z 是两个复数，求证： ),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=- 证明：()() 21212 21z z z z z z --=- () 2 12 22 121212 2211 2212 221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---= 5． 设123z ,z ,z 三点适合条件： 1230z z z ++=及1231z z z === 试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。 证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+ 因为1230z z z ++= ∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =-- 又因为1231z z z === ∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+ 而()()2 2 22112323x y x x y y +=+=+ ()()2 223231x x y y ∴+++= ()232321x x y y ∴+=- 同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=- 可知()()()()()()2 2 2 2 2 2 121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-
《复变函数论》试卷一
《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式.
五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π<复变函数论第四版答案钟玉泉
复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和
零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
第二学期 复变函数论期末试卷A
黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】
二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】
《复变函数论》试题库及答案
《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________.
《复变函数论》试题(A)
复变函数论（A ） 答卷注意事项： 、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。 2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。 3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。 4、本卷共 4 大题，总分为100分。 Ⅰ. Cloze Tests （20102=? Points ） 1. If n n n n i i z ?? ? ??++??? ??-=1173，then lim =+∞ →n n z . If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is a positive integer ，then ) (1 0=-?C n dz z z . The radius of convergence of ∑∞ =++1 3 )123(n n z n n is . The singular points of the function ) 3(cos )(22+=z z z z f are . 0 ,)ex p(s Re 2=?? ? ??n z z , where n is a positive integer. =)sin (3z e dz d z . The main argument and the modulus of the number i -1 are .
8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= . Ⅱ. True or False Questions (1553=? Points) 1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ） 2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k of f /1.（ ） 3. A bounded entire function must be a constant.（ ） 4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real and imaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ） 5. If f is continuous on the plane and =+?C dz z f z ))((cos 0 for every simple closed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( ) Ⅲ. Computations (3557=? Points) 1. Find ?=-+1||)2)(12(5z z z zdz . 2. Find the value of ??==-+22812 2) 1(sin z z z z dz z dz z z e .
复变函数论文
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系 专业：自动化 指导教师：秦志新 评阅人：
复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了
我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10 Ω ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得
10-11-1复变函数考试题A 2
2010-2011 第一 复变函数与积分变换 (A) 数理学院 自动化各专业 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一、 选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:
二、 填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1复变函数习题解答(第3章)
p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．
