试卷一至十四参考答案
《复变函数》考试试题（一）参考答案
一． 判断题
1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 21
01
i n n π=??
≠? ； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1
6. 整函数；
7. ξ；
8. 1
(1)!
n -； 9. 0； 10. ∞.
三．计算题.
1. 解 因为01,z << 所以01z <<
111()(1)(2)12(1)2
f z z z z z ==-
----001()22n
n n n z z ∞
∞===-∑∑. 2. 解 因为
2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z π
ππ
π
→
→=
+
===--, 2
2
2
12Re ()lim
lim 1cos sin z z z z s f z z z
π
ππ
π
→-
→-=-
-
===-. 所以
22
2
1
2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=
=+=?. 3. 解 令2
()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()
()2()c f z dz i z z ?λπ?λ=
=-?.
所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222
122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a b
w z z a b a b a b
-+-+=
=-=-=-+++++++++.
故 2212(1)Re(
)11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b
z a b
-=+++. 四. 证明题.
1. 证明 设在D 内()f z C =.
令2
222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)
0(2)x x y
y uu vv uu vv +=??
+=?
因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为
00
x x x x uu vv vu uv +=??
-=?. 消去x u 得, 22
()0x u v v +=. 1) 若2
2
0u v +=, 则 ()0f z = 为常数.
2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2.
证明()f z =
0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就
不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.
由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以
()f z =2
π
. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2
π
,
故2(1)i f e π-==.
《复变函数》考试试题（二）参考答案
一. 判断题.
1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题 1.1，2π
-
， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=??≠?
； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题
1. 解 3212163
3
00
(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞
∞==--==++∑∑.
2. 解 令i z re θ
=.
则22
(),(0,1)k i
f z k θπ+=
==.
又因为在正实轴去正实值，所以0k =.
所以4
()i
f i e
π=.
3. 单位圆的右半圆周为i z e θ
=, 2
2
π
π
θ-
≤≤
.
所以222
2
2i
i i i
z dz de e
i ππ
θ
θππ
---
===?
?.
4. 解
dz z z
z ?
=-2
2
)2
(sin π
2
)(sin 2ππ=
'
=z z i 2cos 2π
π=
=z z
i =0.
四. 证明题.
1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以
,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.
比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.
2. 即要证“任一 n 次方程 1
01100
(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有 n 个
根”.
证明 令1
011()0n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取10max ,1n a a R a ??+???+??
>?
?????
, 当z