题目：基于FICK 定律和高斯烟羽模型的放射性气体扩散研究
摘要
日本核污染扩散问题不仅对该国公众健康造成巨大危害，还对其对外政治关系、全球环境，乃至世界经济格局产生了深远的影响；因此，建立有效的模型模拟放射性气体的扩散，并预测放射性气体在不同地区的浓度变化情况可为决策者提供及时准确的信息，从而尽可能的减少核泄漏带来的损失。
对于问题一，我们对放射性气体的扩散过程进行合理的简化和抽象，在不考虑气体受到的重力、浮力和风速的影响时，气体呈放射状向四周扩散。我们首先考虑质量守恒定律，再由Fick 定律求出扩散系数D ，进而得出扩散的粒子流量与其浓度梯度的正比关系，得出描述扩散情况的偏微分方程。随后，用傅里叶变换求解得到扩散方程的解，并在MATLAB 中绘制此微分方程的图形，发现预测图形与东京市测得的实际数据的图形基本吻合，即离泄漏源越远浓度越低。
对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。风速的处理是此问题的核心，因此我们采用大气污染的经典高斯扩散模型。通过查阅相关资料，我们发现连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，因此污染物浓度在y 、z 轴上的分布为正态分布。取烟云轴线为x 方向（平均风向），得出无界情况下下风向空间某一点的浓度函数(,,,)C x y z H 。同时考虑到泄漏点的高度，对模型进行了修正，得出的浓度分布情况与实际情况相似 。
对于问题三，由问题二得到的浓度分布函数(,,,)C x y z H ，可以分上风和下风两种情况，根据当时的实际情况，假设自然风速大于泄露的自身扩散速度，则可将第二问中的风速u 替换成k 与s 的线性组合即可，即下风向的速度为k s +，上风向的速度为k s -。将平均风速u 分别代入浓度函数，得出了上风向和下风向L 处浓度分布函数。结果显示两个地点气体浓度变化情况与第二问得出的结果一致。
对于问题四，本文参考了大量地理、气象、专题报道等资料。假设风向不随时间变化而变化，即我国东海岸一直处于上风，美国一直处于下风，并且取大气稳定度均在D 时的扩散参数。中国取东海岸的上海为例，取纵向位移800y km =，美国取核电站到西海岸的直线距离为8000km ，带入第三问的模型可以得出我国东海岸山东半岛辐射浓度的预测值，由于题中的各个参数无法准确设置，所以我们将预测的浓度与东京的值相比得到一个相对值，得出了3月23日上海相对浓度为2510%-? ，美国西海岸的相对浓度为1.3%。预测结果要比实际结果大，但是与实际值相比可以接受，所以这个结果是合理的。
关键词：气体扩散，Fick 定律，高斯烟羽模型，扩散系数，浓度函数
一、问题重述
2011年3月11日, 日本近海发生9.0级地震并引发了大海啸，沿海的核电站受到破坏，开始释放出大量具有放射性的物质。由于放射性气体泄露事故的发生和发展都具有很大的不确定性，且不随人们的意志为转移，因此事故后果通常都比较严重，会造成人员伤亡并给生态环境带来毁灭性的后果。放射性气体与常规的大气污染物发生污染事故相比具有很多不同之处，正确地分析放射性气体的大气扩散过程，研究其扩散后造成的伤害时期和区域对实际的抢险救灾有很强的指导作用。
题目以日本福岛核泄漏为背景，假设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，给出的已知条件有：放射性气体的浓度为0p，扩散速度为m kg s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m s。
1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。
2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。
3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。
4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。
二、问题分析
2.1问题的重要性分析（社会背景）
3月11日发生在日本的特大地震成为全世界关注的焦点，大地震发生后，福岛第一核电站机组相继发生爆炸，使人们产生了对“核爆炸”的恐惧。对此，各国为预防日本核泄漏对环境和人类的影响采取积极措施：韩国100所学校因担心“辐射鱼”临时停课；印度全面禁止进口日本食品；巴西、俄罗斯、新加坡等国相继对部分日本食品采取了进口限制措施。由此可见，日本核已对各国的经济社会和人民生活均受到了不同程度的影响，为了尽量减轻核危机造成的不便和损失，及时准确的预测核辐射对不同地区的污染程度已成亟待解决的问题。
2.2有关方面在这个问题上做过的研究
张子波、李自立等人曾研究了一种适合计算天然气扩散的模型，考虑了初始喷射和浮力对扩散的影响，用流体计算软件FLUENT计算一个约700m*200m*300m 的扩散区域的浓度场，8核的计算机计算完毕用时24h。因此，用此类方法计算天然气泄露后扩散的浓度场时，达不到“实时”计算的效果，很容易厌恶应急指挥决策的时机，增大产生爆炸事故的[4]
机率。而我们建立的模型不仅具有实时性，更具有前瞻性，能较为准确的预测放射性气体在不同时间，不同地区的浓度。
有学者采用有限元方法数值模拟气体的泄露扩散过程，但此方法只能针对特定装置，缺乏[1]
通用性。我们组运用的高斯烟羽模型能推广到一般，用于描述不同背景下的气体扩散问题。
2.3问题分析
对于问题一，首先，确定此问题实际上是一个点源连续泄露的扩散问题，需要建立一个简单直观的模型对核电站周边不同地区、不同时段放射性气体浓度进行描述与预测。在无风的情况下，放射性气体以恒定的速率，在大气中匀速向各个方向呈放射状扩散。考虑到模型的一般性和简洁性，我们忽略了放射性气体在空气中受到的重力和浮力、核电站的高度、地面物体的高度以及地形的变化等因素，把放射性气体的影响范围假想成一个从球心不断向外各个方向均匀扩大的半球体，建立扩散模型，根据Fick定律和傅里叶变换求出放射性气体的浓度方程。
对于问题二，题目引入了风速变量对放射性气体浓度的影响，选取高斯连续点源扩散模型进行分析，这也是在考虑风速时，气体扩散模型中最为经典的模型之一。在不考虑垂直风速，假设空间放射性气体的浓度服从高斯分布的前提下，运用高斯模型可以合理的计算出核电站周边地区的放射性气体浓度。
对于问题三，本文直接用第二问的模型来预测上风和下风公里处，放射性物的浓度。
对于问题四，我们将第二问的模型应用于福岛核电站的泄漏，通过参考世界地图的距离，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。
三、基本假设
（1）连续泄露时放射性气体泄露的速率恒定；
（2）放射性气体在平整、无障碍的地面上空扩散；
（3）气体在空气中不发生化学反应，地面及地标地物对放射性气体无吸收；（4）风向水平，风速和风向恒定。
（5）污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻放射性气体内部的浓度、温度呈均匀分布。
（6）风速大于无风情况下放射性气体扩散的速度。
四、符号说明
4.1模型一符号说明
t 从释放污染物开始的时间（天）
u 放射性气体边缘经过的距离（公里）
x 放射性气体和核电站之间的距离
s 在时间t放射性气体的范围
P 核电站附近上空放射性气体的浓度
C(x,t) 时刻t在位置x污染物的相对浓度
q(x,t) 粒子流量
?在时间区间t?内物质的净减少量
M
C 放射性气体浓度
Q 源强
σ水平方向扩散参数
y
σ垂直方向扩散参数
Z
u平均风速
H泄漏源抬升的高度
s气云出口速度
d出口直径
k环境风速
五、模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型的建立
首先，我们使用扩散模型模拟放射性气体泄露后在空气中的扩散过程，用偏微分方程来描述不同时刻不同位置放射性气体的浓度。然后，考虑到模型的一般性和简洁性，我们忽略了放射性气体在空气中受到的重力和浮力、核电站的高度、地物的高程以及地形的变化，把放射性气体的影响范围简化为一个从球心不断向外各个方向均匀扩大的半球体（如图1所示）。最后，根据Fick定律列出扩散方程，再用傅里叶变换求解放射性气体浓度的表达式。
图1 放射性气体模拟扩散图
扩散是由于微小的随机游动使粒子产生的散布现象。时刻t在位置x污染物的相对浓度C(x,t)由扩散方程的偏微分方差来描述。这里所说的相对浓度是指已经规范化的浓度函数，所以粒子的总质量(,)1
C x t dx=
?。这将有利于强调它与概率论的联系。
扩散方程是基于如下两个考虑得到的：
首先，由质量守恒定律有，在位于x点宽度为x?的小区间内浓度的变化是由在小区间的左端点进入的粒子流量(,)
q x t（即单位时间通过点x的粒子的个
数），减去在其右端点流出的粒子流量(,)(,)/q x x t q x t x q x t +?≈+????。
如果/0q x ??>，则在右端流出的物质快于在左端进入的物质，浓度将是减少的。在时间区间t ?内物质的净减少量为/M x q x t ?≈-????，因此，浓度/C M x =?的改变量为C ?=//M x q x t ??≈-???，由此可得//C t q x ??≈-??。令0x ?→到取极限就得到方程（5-1-1）。
C q t
x
??=-
?? (5-1-1)
其次，考虑到Fick 定律，观测数据表明，扩散的粒子流量正比于其浓度的梯度（粒子一般是从高浓度区向低浓度区扩散），于是有：
2D C q x
?=-
? (5-1-2)
其中D>0是个常数，称为扩散系数，其大小取决于温度、流体黏度与分子大小，并与扩散分子流动的平均速度成正比。在很多情况下，为了方便起见，用下面经验表达式来代替上面的扩散系数计算式：
5
.10
00
???
?
???=T T
P P D D (5-1-3)
将（5-1-1）和（5-1-2）结合就得到扩散方程
2
22C D C t
x
??=
?? (5-1-4)
可以用以上方程预报放射性气体的扩散。由于偏微分方程不容易直接求解，因此先对扩散方程（5-1-4）作傅里叶变换。傅立叶变换的定义如下：
^
(,)(,)ikx
C k t e
C x t dx
∞--∞
=
?
(5-1-5)
有以上定义得到：
^
^
^
2
2
()2
2
d C D D ik C k C dt
=
=-
(5-1-6)
这是一个非常简单的常微分方程（'u au =）。对于所有的k ,给定初始条件
^
(,0)1C k =，这个微分方程的解为2
^
/2
(,)D tk C k t e
-=。这个初始条件意味着在时刻
t=0，污染物的云雾聚集在点x=0（0σ↓的极限情形）。然后做傅里叶逆变换，得到扩散方程（5-1-4）的解，也就是放射性气体浓度随距离和时间的表达式：
2
/(2)
(,)x D t C x t -=
(5-1-7)
5.1.2模型的求解
利用MATLAB软件绘制出（5-1-7）式，选定某一观测点，即x值不变，作出放射性气体浓度随时间变化的图像（如图2），竖轴表示放射性气体的浓度C，横轴表示核电站泄露后的时间。
图2 放射性元素预测浓度变化图
然后，选定距福岛核电站约280公里的东京市作为观测点，我们访问了日本东京市气象网站，[1]搜集到了在东京市检测到的三种主要放射性元素（碘131、铯134和铯137）的浓度在核泄漏后一个月内的变化数据，并作出放射性元素实际浓度变化图（如图3-5）。
图3 东京放射性碘131实际浓度变化图图4 东京放射性铯134实际浓度变化图
图5 东京放射性铯137实际浓度变化图
将图2分别与图3、图4、图5比较，不难发现我们预测的放射性气体浓度随时间推移的变化曲线与实际情况近似吻合，有一定的关联性。由于本模型是忽略了诸多因素（尤其是风速）后的简化模型，所以预测结果与实际结果有一定的差异。
5.2问题二 5.2.1模型的建立 5.2.1.1假设处理
通过查阅相关资料，我们发现在实验和理论中，连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，因此先由之前的假设得出以下结论：
1）污染物浓度在y 、z 轴上的分布为正态分布，即在y 轴和z 轴上分别有
2
0ay
C C e
-= 2
0bz
C C e
-=
2）风只在一个方面作稳定的水平运动，即u =常数。 3）放射性气体在扩散中没有发生化学变化和衰减，即
Q Cudydz ∞∞=
??
4）在X 轴方向上，风速大于扩散速度，即平流输送作用远大于扩散作用，在湍流扩散方程中：
()x
C C u K x
x x ??????
5）一定时间后，放射性气体覆盖的区域中气体浓度分布不随时间改变，即
C t
?=?
6）地表面足够平坦，不考虑地面物体对气体的扰动。 5.2.1.2浓度公式的确定
首先讨论无界空间（无地面影响）的情形，取烟云轴线为x 方向（平均风向）。由于湍流场在水平和垂直方向是均匀的，因此，可导出无界情况下的扩散模式。
由假设1可写出污染物浓度的分布函数
2
2
(,,)()ay
bz
C x y z A x e
e
--= (5-2-1)
由统计理论写出方差的表达式
2
2
y y C dy
C dy
σ∞
∞∞=
??
2
2
z z C dz
C dz
σ∞∞
=
?
?
(5-2-2)
由假设3的连续条件可以写出
Q uCdydz ∞∞-∞
-∞
=
??
(5-2-3)
由上述四个方程组组成一个方程组，其中可以测量及计算的量为源强Q ，平均风速u 及y σ，z σ 。未知量为：浓度C ，待定函数A （x ）,待定系数a,b 。故次方程组可以求解。
将（5-2-1）式代入（5-2-2）式 中，解之得
212y
a σ
=
2
12z
b σ=
将（5-2-1）式和（5-2-4）式代入（5-2-3） 式中，解得
()2y z Q A x u
πσσ=
将 （5-2-3）式，（5-2-4）式代入（5-2-1）式中，得
22
22
(,,)exp 222y z y z Q
y z
C x y z u πσσσσ??
=--?????
?
(5-2-4)
这个公式是无界情况下风向空间某一点的浓度，原点与放射性气体源重合。
考虑地面的影响时，原点取在核电站在地面的铅直投影点上，这时高斯扩散公式如下：
2
222
22
()()(,,,)exp exp exp 2222y z y z z Q
y z H z H C x y z H u πσσσσσ????????--+??
=-+-?????????
??????????
? (5-2-5)
式中H 为烟云有效高度，这个公式是无界情况高架连续点源下风向空间某一
点的浓度，原点与放射性气体源重合。如果地面对放射性气体完全吸收，公式中无反射项[2]。
5.2.1.3相关参数的确定
下面给出扩散系数y σ，z σ和有效高度H 的确定过程： 1）扩散系数y σ，z σ的确定过程：
中国国家标准规定的方法：根据时间、地理位置确定日倾角、太阳高度角，利用天气条件确定辐射等级，然后利用辐射等级和风速确定大气稳定度，最后查扩散参数幂函数表，确定扩散参数。
根据国家标准(GB/ T 13201 -- 1991) 制定地方大气污染物排放标准的技术方法的规定，划分大气稳定度的级别，共分为6级A - F ，A 为极不稳定；F 为极稳定。首先，根据释放源所在地的经度和纬度以及泄漏的日期和时间计算当时的太阳高度角h 0；然后，由太阳高度角h 0和云量查出太阳辐射等级；最后，再根据地面风速确定当时的大气稳定度，计算细节可参考文献。
有风时的扩散参数根据计算公式（5-2-2），并联合采用Briggs 给出一套扩散
参数，如表2和表3所示。
表2：Briggs 扩散参数（开阔平原田野）
2）有效高度H 的确定过程：
影响泄漏源抬升高度的因素很多，主要包括：扩散气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及风速随高度的变化率、环境温度以及大气温度。目前大多采用半经验公式计算抬升高度。此处采用20 世纪80 年代初W ilson 根据管道破裂泄漏
实验所得到的经验公式:
2.4d H s
k
= (5-2-6)
此公式适合于出口喷射方向竖直向上, 喷射路径上无障碍物的情况，这与我们的假设相同，所以在本题中可以用此方法确定放射源的有效高度。
5.2.3模型的求解
根据高斯扩散公式：
2
222
22
()()(,,,)exp exp exp 2222y z y z z Q
y z H z H C x y z H u πσσσσσ????????--+??
=-+-?????????
??????????
? 我们在MATLAB 中绘制出核电站周边放射性物质浓度的变化情况，如图6
所示，我们发现放射性气体的浓度从泄露中心开始向周围逐渐降低，沿顺风方向浓度降低的较慢，而沿逆风方向浓度迅速降低。
图6核电站周边放射性物质浓度的分布图
5.3问题三
本问可以直接套用问题二所建立的模型进行求解，由于假设中已经给出自然风速大于泄露的自身扩散速度，则可将第二问中的风速u 替换成k 与s 的线性组合即可，即下风向的速度为k s +，上风向的速度为k s -。 由此可以得到第三问的浓度计算表达式：
()()22222
2
222
222
()()exp exp exp 2222()()exp exp exp 2222y z y z z y z y z z Q y z H z H k s C Q y z H z H k s πσσσσσπσσσσσ?????????--+?
?
-+-?????????-????????????
?=?
????????--+???
-+-?????????
+??????????
???
上风处
下风处
(5-2-7)
研究上风和下风L 公里处，放射性物质浓度的预测模型。预测结果如下图7
和图8所示：
图7上风L 公里处浓度的预测结果 图 8上风L 公里处浓度的预测结果
由上图可知，上风向处，在距核电站的距离从10到22千米的过程中，放射性气体的浓度从0.02降低到0.006；下风向处，放射系气体浓度同样从0.02降低到0.006，但范围为距核电站50到270千米的区域。
5.4问题四 5.4.1问题四概述
对于此问题，分两步进行考虑，即核辐射对我国东海岸的影响以及对美国西海岸的影响。 对于这个问题，我们假设风向不随时间变化而变化，即我国东海岸一直处于上风，美国一直处于下风，并且取大气稳定度均在D 时的扩散参数。 1）对我国东海岸的影响
首先，我们找出了福岛核电站到我国东海岸各个城市的距离，如下图所示：
图9 福岛核电站到我国东海岸各个城市的距离
取东海岸的上海为例，取纵向位移800y km =进行求解，带入第三问的模型可以得出我国东海岸山东半岛辐射浓度的预测值，由于题中的各个参数无法准确设置，所以模型得到的浓度值与准确值没有可比性，所以我们又求解出了日本岛上的一个地区（东京，距离福岛大约280km ）的浓度值，将这两者相比得到
2
510%-? ，再由网上查得江苏23日检测到的放射性碘浓度为12/g b m ，而东京
当天的浓度为13000 2
/g b m ，两者相比得37.710%-?，这个数据与实际值相差较
大是因为我们在建模过程中将模型相对的理想化了，也就是说有很多因素没有考虑进去。
2）对美国西海岸的影响
对于美国，设定传播期间的风速为8/m s ，再由google 地球大致算出福岛到美国西海岸的距离为8000km ，忽略纵向位移，从而可以得到预测的美国西海岸的浓度值与东京的浓度值之比，为1.3%。
而根据美国《气象杂志》的分析，到达美国境内的放射性物质只有福岛核电站方圆80km 范围内的放射性强度的0.5%，由于本模型忽略了其他因素的影响，我们得到的结果要比实际结果大，但是与实际值相比可以接受，所以这个结果是合理的。
六、模型的分析
6.1假设的合理性分析
假设（1）由题目条件给出，在此不做和理性分析，下面对假设（2）、（3）、（4）、（5）进行分析：
日本第一福岛核电站高20米，其周围建筑物大都比它低，因此不会对放射性气体的扩散造成较大的阻碍；因此，我们假设放射性气体在平整、无障碍的地面上空扩散是十分合理的，而且还有利于模型的一般性，可推广到其它地方的气体扩散预测问题。
众所周知，放射性气体多为惰性气体，一般情况下化学性质稳定；因此，放射性气体在空气中不发生化学反应的假设是十分科学可靠的。同时，气体在空气中扩散的过程受气象影响明显，任何风向风速的变化都会对模型的建立和求解造成很到的困难；由此可知，假设风向水平，风速和风向恒定对于构建简单直观的模型是必不可少的。
除此之外，放射性气体的浓度一般不可能发生突变，故我们可以认为污染源的源强是连续且均匀的。初始时刻放射性气体聚集在一个范围极小的区域，没有必要研究其内部的浓度、温度的分布，于是我们假设它们呈均匀分布。
6.2原理误差分析
本文建立的模型没有考虑风向、风速、地形的变化以及周围建筑物对气体的阻滞作用，忽略了气体在空气中收到的重力和浮力；然而，常识告诉我们，气体在空气中扩散的速度和路径对于气象变化、地物的阻碍作用十分敏感。因此，根据本文的模型预测出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响与实际的扩散情况差距较大。由此可得，理想情况下的预测模型由于误差太大，并不能运用与实际的有害气体扩散的预测中，更不能根据预测的结果进行灾后抢险决策。
七、模型的检验
7.1模型一的检验
将模型一预测的浓度变化图形与根据实际数据在MATLAB绘出的图形相比较，我们发现两者近似吻合。说明我们建立的模型精度较高，具有极强的现实作用，可运用于有害气体泄露扩散问题的研究。
八，模型的推广
本文所建立的模型不仅针对放射性气体扩散模型，还可运用于其他气体的扩散问题。有如下几种不同的情况：第一，气体扩散的原因是多样的，不仅包括盛放气体的压力容器出现气象小孔，从而出现比爆炸相对缓慢的泄露事故，例如毒气罐破裂导致毒气的泄露、天然气管道老化出现的气体泄露的问题。第二，本题研究的气体扩散问题是气体的不断向外扩散，其扩散到空气中的总量不断增大；而实际的气体扩散问题可能出现气体一旦扩散后总量不变的情况
九、模型的评价与优化
9.1模型的优缺点分析
9.1.1模型的优点
本模型为理想模型，未考虑重力和地面的阻力以及建筑物等对扩散的阻滞，由于本模型主要用来预测事故发生后可能波及的危险范围，不考虑这些因素会使估计的范围扩大，相对安全性会提高。因此，使用此模型对核电站发生泄露事故后撤离范围的估计是合适的。
基于污染物的浓度分布符合正态分布这一假设的高斯模式是目前应用最广也最受欢迎的气体扩散模型之一，具有物理概念清晰、实验基础坚实、数学计算简单等优点[3]。我们通过一些数学方法对经典的高斯模型加以修正，以扩展它的应用范围。这一模型能够在风向变化的情况下计算扩散区域任一点的地面有害气体（包括放射性气体）的浓度[3]，具有通用性。不仅可以作为突发事件应急管理模拟系统的一个组成部分对各种气体瞬间扩散的范围进行估计和模拟，而且可以根据事故时的风力和风向判断危险范围的实时变化和维持时间，确定疏散范围的大小，在实际的事故救援中发挥重要的协助作用。
9.1.2模型的缺点
我们构建模型的时候没有注意到云内密度分层，大气湍流作用下的空气夹带明显减少，云团在上风向的距离扩散。另外，需要考虑某些放射性物质在常态条件下与水蒸气之间的物理和化学反应[4]。
高斯烟团气体扩散模型气体覆盖范围在二维平面上的投影为椭圆形，在城市建筑物密度较高的地区，这显然是不太符合实际的。所以高斯烟团模型比较适用于建筑物普遍较低或建筑物较少的平原地区或郊区。
9.2模型的优化
9.2.1模型的优化方案
本文运用的高斯烟团模式，成立的前提条件是在扩散过程中风向保持不变。但在实际应用中风向却是常常变化的。于是我们在已建立的模型的基础上引入坐标变换的数学方法，建立了一个能够应对风向变化条件的有害气体扩散模型。该模型包括网格化预处理、高斯模式选择和坐标变化三个主要环节。
9.2.2优化模型的建立、求解与分析
我们对经典的高斯模式进行改进，建立新的数学模型对有害气体扩散事故的地面浓度进行预测，通过坐标变换的思路，在经典的高斯模式上加入了对风向的考虑[5]。预测工作基于对有害气体扩散区域的网格化预处理，预测过程中的数据资料借助历史数据库和空间信息智能系统提供服务，预测结果将以数字和模型相结合的方式实时直观地显示在网格化的地图上。
十、参考文献
[1]吴笑，龙长江，安全评价中的气体扩散模型及应用，工业安全与环保，第31
卷：50～51,2005
[2]张启平，麻德贤，危险物泄露扩散过程的重气效应，北京化工大学学报，第
25卷：89～90，1998
[3]张梦瑶，崔晋川，适用于风向变化条件的毒气扩散模型研究，运筹与管理，
第17卷：79，2008
[4]张子波，李自立，等，用修正的高斯模型计算天然气稳态扩散，石油天然气
学报，第32卷：369，2010
[5]Mark M.Meerschaert,Mathematical Modeling,184～186,America:China
Machine Press,2009
十一、附录
附录一：
Q=1;%强源
u=2;%风速
d=1;%计算步长
Z=0.4;%地面粗糙度
x=10:d:100;%纵向距离
y=-100:d:100;%横风距离
[x,y]=meshgrid(x,y);
by0=0.08*x.*(1+0.0001*x).^(-1/2);%y方向扩散系数
bz0=0.06*x.*(1+0.0015*x).^(-1/2);%z方向扩散系数
by=by0.*(1+0.38*Z);%关于地面粗糙度的y修正系数
fz=(2.53-0.13*log(x)).*(0.55+0.042*log(x)).^(-1).*Z.^(0.35-0.03*log(x ));
bz=bz0.*fz;%关于地面粗糙度的z修正系数
tempy1=-y.*y./by./by./2;
tempy2=2.718282.^(tempy1);
c=Q/pi/u*((by.*bz).^(-1)).*tempy2%模拟函数
Cs=25;%求解条数
contour(x,y,c,Cs);
shading interp;
colorbar;
grid;
title('有风速时扩散模拟图')
附录二:
function f=func(t,i,j)
m=1000000;%强源
d1=1;%自定义x扩散系数
d2=1;%自定义y扩散系数
d3=1;%自定义z扩散系数
u=1;%风速
f=m*t./((4*pi*t).^1.5*d1*d2*d3).*exp(-(i-u*t).^2./(4*d1*t)).*exp(-j^2 ./(4*d2*t));%模拟函数
------------------------------------------------------------------------------------------
a=-50;
b=50;
num=101;
x=linspace(a,b,num);
y=linspace(a,b,num);
u=2;%风速
m=1000000;%强源
d1=1;%x轴的扩散系数
d2=1;%y轴的扩散系数
d3=1;%z轴的扩散系数
k=0;
n=0;
m=(a-b)/num;
for i=a:b
k=k+1;n=0;
for j=a:b
n=n+1;
C(k,n)=quadl(@(t)func(t,i,j),0,100);
end
end
surf(x,y,C);
附录三
中国东海岸的数据出处
https://www.doczj.com/doc/9911344915.html,/content/2011-03/29/content_1754090.htm
日本东京实际检测值的数据出处
http://monitoring.tokyo-eiken.go.jp/
图片出处
https://www.doczj.com/doc/9911344915.html,/
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于系统综合评价的城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文针对城市表层土壤重金属污染问题，首先对各重金属元素进行分析，然后对各种重金属元素的基本数据进行统计分析及无量纲化处理，再对各金属元素进行相关性分析，最后针对各个问题建立模型并求解。 针对问题一，我们首先利用EXCEL 和 SPSS 统计软件对各金属元素的数据进行处理，再利用Matlab 软件绘制出该城区内8种重金属元素的空间分布图最后通过内梅罗污染 模型：2 /12 max 22?? ? ? ??+=P P P 平均综，其中平均P 为所有单项污染指数的平均值，max P 为土壤环境中 针对问题二,我们首先利用EXCELL 软件画出8种元素在各个区内相对含量的柱状图，由图可以明显地看出各个区内各种元素的污染情况，然后再根据重金属元素污染来源及传播特征进行分析，可以得出工业区及生活区重金属的堆积和迁移是造成污染的主要原因，Cu 、Hg 、Zn 主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性，受人类活动的影响较大。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。 针对问题三，我们从两个方面考虑建模即以点为传染源和以线为传染源。针对以点为传染源我们建立了两个模型：无约束优化模型()[]()[]() 22y i y x i x m D -+-=，得到污染源的位置坐标()6782,5567；有衰减的扩散过程模型得位置坐标（8500,5500），模型为： u k z u c y u b x u a h u 222 2222222-??+??+??=??， 针对以线为传染源我们建立了l c be u Y ?-+=0模型，并通过线性拟合分析线性污染源的位置。 针对问题四，我们在已有信息的基础上，还应收集不同时间内的样点对应的浓度以及各污染源重金属的产生率。根据高斯浓度模型建立高斯修正模型，得到浓度关于时间和空间的表达式ut e C C -?=0。 在本题求解过程中，我们所建立的模型与实际紧密联系，有很好的通用性和推广性。但在求点污染源时，我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，从而使得误差增大，或者使污染源的位置够不准确。 关键词 内梅罗污染模型 无量纲化 相关性 回归模型 高斯浓度模型
垃圾焚烧厂的经济补偿问题 摘要 近年来由于生活垃圾的不断增多，出现了垃圾成堆的问题，而垃圾焚烧解决了这一问题，但却不可避免地带来了新的环境污染，对周围居民造成困扰。 首先，本文通过综合考虑焚烧厂位置周围一年的风向、地形、周围建筑物，以及相关数据，采用方程数学方法，引入高斯扩散模型的公式： ()()()??? ?????+-+???? ??--???? ? ?- =)21`exp(21`exp 2exp 2,,,22 2222Z Z y z y H z H z y u Q H z y x X σσσσσπ 在有风作为影响因素条件下，对垃圾焚烧厂周边污染物浓度进行了研究。然 后再根据分析计算，将得到的参数源强Q ，烟气有效高度H ，水平扩散参数y σ和垂直扩散参数z σ，代入“高斯烟羽扩散模型”公式。再结合地形地貌，人口密集程度等资料选出9个最佳监测点，进而求解各监测点的污染物最大落地浓度。由于所研究的三种污染物对各监测点的污染程度影响不同，利用层次分析法根据所测定各监测点的每种污染物浓度对颗粒物、2SO x NO 进行赋权处理，得到污染物对于各监测点污染程度的综合影响指数，从而对监测点污染程度进行综合排名。最后，利用按垃圾处理量补偿方法依据各监测点污染程度的权重系数确立出一套合理的周围居民风险承担资金补偿方案。 对于问题二，我们在问题一的基础上，通过建立故障发生概率的正态分布模型，对高斯烟羽扩散模型进行进一步的修改和优化，调整源强Q ，烟气有效高度H ，及水平扩散参数y σ和垂直扩散参数z σ的数值，并加入故障发生的概率J 这个系数对模型进行分析和修改，从而对问题一中的环境动态监测方案和经济补偿方案进一步完善和优化。 关键词：高斯烟羽扩散模型 层次分析法 污染指数 故障概率 正态分布模型
模型假设： 1、 坐标系 高斯模型的坐标系如图2.1所示，原点为排放点（若为高架源，原点为排放点在地面的投影），x 轴正向为风速方向，y 轴在水平面上垂直于x 轴，正向在x 轴的左侧，z 轴垂直于水平面xoy ，向上为正向。在此坐标系下烟流中心线或烟流中心线在xoy 面的投影与x 轴重合。 2、模型假设 (1)污染物的浓度在y 、z 轴上的分布是高斯分布（正态分布）的； (2)污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布； (3)扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射； (4)泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程； (5)在水平方向，大气扩散系数呈各向同性； (6)取x 轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随地点、时间变化而变化； (7)地面对泄漏气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用； (8)整个过程中，泄漏气体不发生沉降、分解，不发生任何化学反应等。 3、模型公式推导 由正态分布假设可以导出下风向任意一点X （x,y,z ）处泄漏气体浓度的函数为： 2 2)(),,(bz ay e e x A z y x X --= （1） 由概率统计理论可以写出方差的表达式为：
???? ?????==????∞∞∞∞00220022Xdz Xdz z Xdy Xdy y z y σσ （2） 由假设可以写出源强的积分公式： ??∞∞-∞∞-=uXdydz Q （3） 式中：y σ、z σ为泄漏气体在y 、z 方向分布的标准差，单位为 m ；X （x,y,z ）为任一点处泄漏气体的浓度，单位为 kg/m 3；u 为平均风速，单位为 m/s ；Q 为源强（即泄漏速度），单位为 kg/s ； 将（1）式代入（2）式，积分可得： ??? ????==2221 21z y b a σσ （4） 将（1）式和（4）式代入（3）式，积分可得： z y u Q x A σσπ2=）（ （5） 再将（4）式和（5）式代入（1）式，可得： ???????????? ??+-=222222exp 2,,z y z y z y u Q z y x X σσσσπ）（ （6） 上式为无界空间连续点源扩散的高斯模型公式，然而在实际中，由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图2.2所示。可以把任一点p 处的浓度看做两部分的贡献之和：一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的泄漏物浓度。该处的泄漏物浓度即相当于不存在地面时由位于（0,0,H ）的实源和位于（0,0,-H ）的像源在P 点处所造成的泄漏物浓度之和。
大气污染扩散 第一节大气结构与气象 有效地防止大气污染的途径，除了采用除尘及废气净化装置等各种工程技术手段外，还需充分利用大气的湍流混合作用对污染物的扩散稀释能力，即大气的自净能力。污染物从污染源排放到大气中的扩散过程及其危害程度，主要决定于气象因素，此外还与污染物的特征和排放特性，以及排放区的地形地貌状况有关。下面简要介绍大气结构以及气象条件的一些基本概念。 一、大气的结构 气象学中的大气是指地球引力作用下包围地球的空气层，其最外层的界限难以确定。通常把自地面至1200 km左右范围内的空气层称做大气圈或大气层，而空气总质量的98．2％集中在距离地球表面30 km以下。超过1200 km的范围，由于空气极其稀薄，一般视为宇宙空间。 自然状态的大气由多种气体的混合物、水蒸气和悬浮微粒组成。其中，纯净干空气中的氧气、氮气和氩气三种主要成分的总和占空气体积的99.97％，它们之间的比例从地面直到90km高空基本不变，为大气的恒定的组分；二氧化碳由于燃料燃烧和动物的呼吸，陆地的含量比海上多，臭氧主要集中在55～60km高空，水蒸气含量在4％以下，在极地或沙漠区的体积分数接近于零，这些为大气的可变的组分；而来源于人类社会生产和火山爆发、森林火灾、海啸、地震等暂时性的灾害排放的煤烟、粉尘、氯化氢、硫化氢、硫氧化物、氮氧化物、碳氧化物为大气的不定的组分。 大气的结构是指垂直（即竖直）方向上大气的 密度、温度及其组成的分布状况。根据大气温度在 垂直方向上的分布规律，可将大气划分为四层：对 流层、平流层、中间层和暖层，如图5－1所示。 1. 对流层 对流层是大气圈最靠近地面的一层，集中了大 气质量的75％和几乎全部的水蒸气、微尘杂质。受 太阳辐射与大气环流的影响，对流层中空气的湍流 运动和垂直方向混合比较强烈，主要的天气现象云 雨风雪等都发生在这一层，有可能形成污染物易于 扩散的气象条件，也可能生成对环境产生有危害的 逆温气象条件。因此，该层对大气污染物的扩散、输送和转化影响最大。 大气对流层的厚度不恒定，随地球纬度增高而降低，且与季节的变化有关，赤道附近约
关于金属汞扩散的问题 引言： 我们都知道，重金属丢弃到土地后会严重污染环境，同时对人体健康造成危害。著名的秦始皇陵墓，据专家在陵墓周围取数据观测，周围的汞含量呈现出外渗的趋势。也就是说，随着外围半径的扩大，汞含量浓度递减，并且随着时间的增加，汞渗透的半径越来越大。这就证明了汞金属在泥土中会发生扩散。因此，我们就提出，能否通过在外部取样的观察数据，建立一个数学模型，来判断陵墓中心处汞的浓度呢？ 模型的提出： 由于汞的扩散快慢跟本身的化学性质,物理性质有关。还有，由于在土堆里头，在各个方向上受到的力不相同和各种因素的影响，因此扩散的速度也会有差异。例如东西方向和南北方向会因为地球的自传而扩散速度会不一样。另一方面，汞在扩散的过程，由于泥土的吸收，化学反应等因数的影响，也会影响到汞的扩散。 为此我们引入一个函数u(x, y, z, t)，它表示t时刻在（x,y,z）处汞的浓度。我们的目标就是利用所观测到的数据，来推断出这个函数的表达式。 模型符号的引入： 为了表示汞在想x,y,z 方向上的扩散速度，我们在此引
入扩散系数： 2 a ：x 方向上的扩散系数 2 b ：y 方向上的扩散系数 2 c ：z 方向上的扩散系数 2 k ：由于泥土吸收，化学反应而引起的衰减系数 M ：扩散源汞的质量 模型假设： 1。假设有一汞扩散源，汞从扩散源沿 x ，y ，z 三个方向向四周扩散。 2。扩散前周围空间此物质的浓度为零。 3。扩散过程中没有人为因素的影响。 模型建立： u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y , z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲面 S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从 t 到 t t +? 时刻这段时间内，通过 S 流入Ω的质量为 1 M 2 2 2 1(cos cos cos )d d t t t S u u u M a b c S t x y z αβγ+????= ++???? ?? 其中 2 a ,2 b ,2 c 分别是沿 x ，y ，z 方向的扩散系数。 由高斯公式 ： ? ??? ?+Ω ??+??+??= t t t t z y x z u c y u b x u a M d d d d )(2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1 云团扩散模型 根据物质泄漏后所形成的气云的物理性质的不同，可以将描述气云扩散的模型分为非重气云模型和重气云模型两种[5-13]。 1.1 非重气云模型 高斯模型是一种常用的非重气扩散模型，高斯烟羽(Plume model)模型又称高架点连续点源扩散模型，适用于连续源的扩散，即连续源或泄放时间大于或等于扩散时间的扩散。 高斯烟团(Puff model)模型适用于短时间泄漏的扩散，即泄放时间相对于扩散时间比较短的情形，如突发性泄放等。若假设气体云内空间上的分布为高斯分布，则地面地处风向的烟团浓度分布算式为 式中， c(x，y，H)——点(x，y，H)处浓度值，mg/m3； Q——源强，即单位时问的排放量，mg/s； u——环境平均风速，m/s； σx，σy，σz——扩散参数； H——源高(烟团高度)，m； x——下方向到泄漏原点的距离，m； y，z——侧风方向、垂直向上方向离泄漏原点的距离，m。 高斯模式的实际应用效果很大程度上依赖于如何给定模式中的一些参数，尤其要注意源强、扩散参数等的确定。 源强与污染物的物理化学属性、扩散方式、释放点的地理环境等有关。扩散参数表征大气边界层内
湍流扩散的强弱，是高斯模式的一项重要数据。高斯扩散模式所描述的扩散过程(实质上也包含了在实际应用中对高斯模式的一些限制)主要有： 1)下垫面平坦、开阔、性质均匀，平均流场稳定，不考虑风场的切变。 2)扩散过程中，污染物本身是被动、保守的，即污染物和空气无相对运动，且扩散过程中污染物无损失、无转化，污染物在地面被反射。 3)扩散在同一温度层结中发生，平均风速大于1.0 m/s。 4)适用范围一般小于10～20 km。 1.2 重气云模型 由于重气本身的特殊性，在重气扩散领域也有大量基于不同理论的模型。鉴于重气扩散与中性或浮性气体扩散有着明显的区别，目前国内外已开发大量的不同复杂程度的重气扩散模型，如箱模型、相似模型、LTA－HGDM模型、CFD模型等。 1.2.1 箱(BOX)模型 箱模型是指假定浓度、温度和其他场，在任何下风横截面处为矩形分布等简单形状，这里的矩形分布是指在某些空间范围内场是均匀的，而在其他地方为零。该类模型预报气云的总体特征，如平均半径、平均高度和平均气云温度，而不考虑其在空间上的细节特征。重气效应消失后其行为表现为被动气体扩散，所以该类模型还包括被动扩散的高斯模型及对它的修正。 1.2.2 层流及湍流大气环境中的重气扩散(LTA－HGDM)模型 LTA－HGDM模型(Heavy Gas Dispersion Model in Lsaminar and Turbulent Atmosphere层流及湍流大气环境中的重气扩散模型)以箱模型为基础，结合虚点源模型，能描述重气泄漏扩散整个过程。模型同三维有限元模型相比，具有形式简单、原始输入数据运算速度快等优点。 LTA－HGDM模型的建立基于以下几点假设： 1)危险性气体初时泄漏时，其外形呈正圆柱形(H=2R)。 2)初始时刻泄漏源即此核电站内部的浓度、温度呈均匀分布。 3)扩散过程不考虑泄漏源即此核电站内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。
关于核电站泄漏放射性气体扩散的预估模型 摘要 由于核泄漏导致放射性气体扩散对经济和人身造成巨大损失的报道在国内外屡见不鲜，本文中日本福岛核泄漏事件更加使我们认识到对放射性气体扩散进行合理性的预估从而为以后类似于此的突发性事件作积极有效的补救措施的重要性。 对于问题一我们运用了点源烟羽扩散模型，用抛物型二阶偏微分方程解出理 想状态下的不同时刻、不同地点的浓度表达式： 222 4 32 (,,,) (4) x y z kt Q C x y z t e kt π ++ - =。 此模型是建立在以泄漏点为圆心的一个无界球形区域内的。为了使模型更符合实际情况，能够被应用于现实生活中，我们在泄漏源有效高度的确定和考虑地面反射与吸收作用下对此模型进行了修正，最终得到问题一浓度的确定公式 (14)(,,,) C x y z t的表达式。 对于问题二，我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，其扩散服从正态分布，并根据概率论的相关知识通过数学公式推导，得到理想状态下的高斯模型，由泄漏源有效高度，地面反射等因素的影响对其进行修正，又由于重力干沉积，雨洗湿沉积以及核衰变等因素对源强的影响，对高斯烟羽模型再次进行修正，最终得到泄漏源周边浓度变化情况即公式(32)，在风速为k m/s的条件下浓度为(,,,) C x y z H。 对于问题三，我们在第二问建立的模型的基础上，引入时间变量 r t和t，和 扩散速度变量s，在风速和扩散速度的共同影响下，可分别求出上风向和下风向浓度预估模型即公式(40)和(41)。 对于问题四，本文参阅整理大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域---山东半岛和美国西海岸典型地域---加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机模拟，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度预测值为：0.1053 mBq m- ?,，经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。 关键词点源烟羽扩散模式偏微分方程 P-G曲线高斯修正模型仿真
放射性气体扩散浓度预估模型 【摘要】本文是以日本地震引起的福岛核电站的核泄漏为背景，并以给出的数据为基础，研究某一假设核电站的核泄漏问题。我们通过收集相关的资料，并结合题目给出的数据，建立了高斯模型、连续点源高斯扩散模型解决了题目提出的四个问题。 针对问题一：考虑到泄漏源是连续、均匀和稳定的，我们运用散度、梯度、流量等数学概念，通过“泄漏放射性物质质量守恒”、“气体泄漏连续性定理”、 Guass 公式及积分中值定理得到了无界区域的抛物线型偏微分方程，然后再通过电源函数解出空间任意一点的放射性物质浓度的表达式，把此表达式定为模型一的前身。鉴于放射性物质的扩散受到诸多因素的影响，如：泄漏源的实际高度、地面反射等。我们以泄漏口为坐标原点建立三维坐标系，通过“像源法”处理地面反射对放射性物质浓度的影响，并由此对模型一的前身进行修正完善，得到模型一：高斯模型，即放射性物质浓度的预测模型。最后我们模拟了放射性物质无风扩散仿真图。 针对问题二：当风速为k m/s 时，我们根据放射性核素云团在大气中迁移和扩散的数值计算的基本方法和步骤，并以泄漏点源在地面的投影点为坐标原点，以风向方向为x 轴，铅直方向为z 轴，与x 轴水平面垂直方向为y 轴建立三维坐标系，地面的反射作用同样利用“像源法”进行处理，得到连续点源高斯扩散模型。考虑到地面反射、烟云抬升、放射性物质自身的沉降及雨水的吸附等对浓度的影响，我们对连续点源高斯扩散模型进行了修正，建立了修正的连续点源高斯扩散模型。最后利用大气稳定度确定了扩散参数，进而求解了模型。 针对问题三：经分析，问题三的提出是以问题二为基础的，模型三的建立只需要将模型二加以调整即可。我们以风速方向为x 轴正方向，将风速与放射性物质的扩散速度进行矢量运算，此问题则转化为求(,0,)L z 和(,0,)L z -两点处的放射性物质浓度，由此建立模型三，即上风和下风L 公里处放射性物质浓度浓度的预测模型。 针对问题四：首先，我们通过网络收集了相关数据，然后，我们结合模型二、模型三对数据进行整理代入，算出了日本福岛核电站泄漏的放射性物质扩散到中国东海岸和美国西海岸的浓度分别为334.242910/g m -?、432.385410/g m -?。 关键词：高斯模型 连续点源高斯扩散模型 核泄漏
大气污染物扩散的高斯模型模拟：可视化模拟点源大气污染的扩散Gaussian Atmospheric Dispersion Model 突发性大气污染事故时有发生，对大气污染扩散进行模拟和分析，有利于减小事故的危害，减轻人员伤亡和财产损失。高斯扩散模型是国际原子能机构(IAEA)推荐使用于重气云扩散模拟的数学模型,该模型在非重气云扩散的应用日益广泛。高斯扩散模型是描述大气对有害气体的输移、扩散和稀释作用的物理或数学模型,是进行灾害预测和救援指挥的有力手段之一。 高斯扩散模型 高斯模型又分为高斯烟团模型和高斯烟羽模型。大气污染物泄漏分为瞬时泄漏和连续泄漏，瞬时泄漏是指污染物泄放的时间相对于污染物扩散的时间较短如突发泄漏等的情形，连续泄漏则是指污染物泄放的时间较长的情形。瞬时泄漏采用高斯烟团模型模拟，而连续泄漏采用高斯模型烟羽模型模拟。高斯模型适用于非重气云气体，包括轻气云和中性气云气体。要求气体在扩散过程中，风速均匀稳定。 在高斯烟团模型中，选择风向建立坐标系统，即取泄漏源为坐标原点，x轴指向风向，y轴表示在水平面内与风向垂直的方向，z轴则指向与水平面垂直的方向，具体公式见式: (mg/s); x、y、z轴上的扩散系数，需根据大气稳定度选择参数计算得到(m)；x、y、z表示x、y、z上的坐标值(m)；u 表示平均风速(m/s)；t表示扩散时间(s)；H 表示泄漏源的高度(m)。 同理，高斯烟羽模型的表达式如： 技术方法 若用高斯模型算出空间每一个点在一个时刻的污染浓度，这个计算量是很大的。因此所设计的系统一般都是采用先进行图层网格化，由高斯模型计算出有限个网格点的上的污染物浓度，在进行空间内插得到面上每一个点的污染物浓度，并由此得到污染物浓度的等值线。整个过程的示意图如图所示
2 扩散模型 2.1 高斯模型 燃气泄漏后会在泄漏源附近形成气团，气团在大气中的扩散计算通常采用高斯模型。高斯模型的基本形式是在如下的假设条件下推导出来的[1、9]：假定燃气在扩散的过程中没有沉降、化合、分解及地面吸收的发生；燃气连续均匀地排放；扩散空间的风速、大气稳定度都均匀、稳定；在水平和垂直方向上都服从正态分布。 泄漏燃气相对密度小于或接近1的连续泄漏采用高斯烟羽模型。以泄漏点为原点，风向方向为x轴的空间坐标系中的某一点(x，y，z)处的质量浓度计算公式如下[9]： 平均风速＞1m/s时： 平均风速=0.5～1m/s时： 平均风速＜0.5m/s时，假设气团围绕泄漏点浓度均匀分布，则距离泄漏点r 处的燃气质量浓度为： 式中ρ d (x，y，z)——扩散燃气在点(x，y，z)处的质量浓度，kg/m3 x、y、z——x、y、z方向上距泄漏点的距离，m u a ——平均风速，m/s δ x 、δ y 、δ z ——x、y、z方向的扩散系数，m
h——泄漏点高度，m ρ (r)——距离泄漏点r处的燃气质量浓度，kg/m3 d r——空间内任意一点到泄漏点的距离，m a、b——扩散系数，m t——静风持续时间，s，取3600的整数倍 扩散系数可查HJ/T 2.2—93《环境影响评价技术导则大气环境》得到。2.2 重气扩散模型 液化石油气密度比空气密度大，属于重气。该类气体泄漏时在重力的作用下会下沉，这时使用高斯模型计算的结果会使泄漏燃气扩散速度偏大，泄漏源附近的浓度偏小。为了解决这个问题，可以引入最早由Van Ulden提出，并由Manju Mohan等发展的箱式模型[1]。箱式模型分为两个阶段：泄漏后的重气扩散阶段和重气效应消失后的被动气体扩散阶段。 重气泄漏后首先是重气扩散阶段。在这个阶段，重气云团由于重力作用逐渐下沉并不断卷吸周围的空气，在卷吸空气的同时，气云受热，最终当重气云团与空气的密度差＜0.001kg/m3时，可认为气云转变成中性状态。 随着重气的继续扩散，气云所受的重力不再是影响扩散的主要因素，而大气湍流扩散逐渐占主要地位，这时便是被动气体扩散阶段，可以应用高斯模型计算泄漏燃气的扩散。 3 结论 使用泄漏模型可以计算出燃气泄漏的理论量，此量为扩散计算提供基础数据，可以依据此量分析泄漏后的扩散范围以及预测评价事故后果。使用扩散模型可以对燃气泄漏后的危险区域进行预测。泄漏模型和扩散模型都有各自的适用条件和范围，应该根据泄漏扩散的具体情况分析选择相应模型。
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的报名参赛队号（12位数字全国统一编号）： 参赛学校（完整的学校全称，不含院系名）：温州医科大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 章成俊 2. 杨超 3. 谢锦 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日
赛区评阅编号（由赛区组委会填写）： 2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 送全国评阅统一编号（由赛区组委会填写）： 全国评阅随机编号（由全国组委会填写）：
对垃圾处理厂污染的动态监控及居民补偿 摘要 城市垃圾处理问题是一个世界性难题。目前垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。本论文构根据题目设置的垃圾处理厂规模，建立了环境动态监控体系，并根据潜在污染风险对周围居民进行了合理经济补偿的设计。 对于问题（1），为了实现对垃圾焚烧厂烟气排放及相关环境影响状况的动态监控，本论文在高斯烟羽模型的基础上进行改进，引入温度、降雨对污染物扩散的影响，建立了新的污染物扩散模型。本论文创新性的提出了风雨影响指数M,用来衡量风向、降雨对颗粒物扩散的影响。本论文将抽象的污染物含量形象化，利用空气污染指数API描述具体的污染程度及其给周围居民带来的影响。并且从不同角度给出了模型检验，验证了所建模型的准确性。 对于问题（1）具体赔偿方案的制定，在综合考虑了不同方位风向频率、受污染时间、受污染程度的基础上，本论文使用了层次分析法，并且进行了一致性检验，使得赔偿方案具有说服力。通过MATLAB编程，计算出当政府和垃圾处理厂共支付风险赔偿金为N时，得出居住地的每位居民应得的赔偿金额计算公式。对于监测点的设置，经计算共需21个，具体布置情况见后文。 对于问题（2），在题目所述的发生事故的情况下，对污染物的具体含量进行了合理的预测与假设。模拟出酸性物质与颗粒物的影响范围，并根据具体的污染程度设置不同的污染区。对每个污染区的不同情况设置更改监测点的设置，并且在问题（1）的基础上对居民的经济补偿进行合理修改。 关键词：高斯烟羽模型，层次分析法，空气污染指数，烟气抬升公式 一、问题重述 “垃圾围城”是世界性难题，在今天的中国显得尤为突出。数据显示，目前全国三分之二以上的城市面临“垃圾围城”问题，垃圾堆放累计侵占土地75万亩。因此，垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。然而，由于政府监管不力、投资者目光短浅等多方面的原因，致使前些年各地建设的垃圾焚烧电厂在运营中出现了环境污染问题，给垃圾焚烧技术在我国的推广造成了很大阻力，许多城市的新建垃圾焚烧厂选址都出现因居民反对而难以落地的局面。在垃圾焚烧厂运行监管方面，目前主要是在垃圾焚烧厂内进行测量监控，缺少从周边环境视角出发的外围动态监控，因而难以形成为民众所信服的全方位垃圾焚烧厂环境监控体系。 深圳市某地点计划建立一个中型的垃圾焚烧厂，计划处理垃圾量1950吨/天（设置三台可处理垃圾650吨/天的焚烧炉，排烟口高度80米，每天24小时运转）。从构建环境动态监控体系、并根据潜在污染风险对周围居民进行合理经济补偿的需求出发，有关部门希望能综合考虑垃圾焚烧厂对周围带来环境污染以及其他危害的多种因素（例如，焚烧炉的污染物排放量、居住点离开垃圾焚烧厂的距离、风力和风向及降雨等气象条件、地形地貌以及建筑物的遮挡程度等等），在进行科学定量分析的基础
模型一 假设 （1）瞬时泄漏假定瞬时完成，连续泄漏假定泄漏速率恒定。 （2）污染源的源强是连续且均匀的。 （3）污染物的浓度在y、z轴上的分布是高斯分布 （4）X轴为水平风向，风速和风向不随时间和地点变化。 （5）地面对泄露气体起全反射作用。 （6）整个过程中，泄露气体不发生沉降 模型一的建立与求解 5.1.1模型一的建立 以核泄漏点正下方的地面为坐标原点(0,0,0)，平均风向为X轴、指向下风方向，铅直方向为Z轴，水平垂直于风向轴（X轴）为Y向，建立空间坐标系，则核电站泄漏点O距有效地面的高度为H，则泄漏点位置坐标为(0,0,) O H。 图1 空间坐标系示意图 3、模型公式推导 由正态分布假设可以导出下风向任意一点X（x,y,z）处泄漏气体浓度的函 数为： （1）由概率统计论可以写出方差的表达式为： （2）由假设可以写出源强的积分公式： 式中为泄露气体在y、z 方向分布的标准差，单位为m，X（x,y,z）为任意一点处泄漏气体的浓度，单位为kg/m2;u为平均风速，单位为m/s；Q为源强（即泄露速度），单位为kg/s. 将（1）带入（2）式，积分可得的； 将（1）式和（4）式带入（3）式可得： 将（4）式和（5）式带入（1）式可得： （3）
上式为无界空间连续点源扩散的高斯模型公式，然而在实际中，由于地面的 存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图2.2所示。可以把任一点p处的浓度看 做两部分的贡献之和：一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的泄漏物浓度。该处的泄漏物浓度即相当于不存在地面时由位于（0,0,H）的实源和位于（0,0,-H）的像源在P点处所造成的泄漏物浓度之 和。 其中，实源的贡献为： 其中，像源的贡献为： 则该处的实际浓度为： 由以上条件公式可得到高架连续点源扩散的高斯烟羽模型公式为： 其中：X（x,y,z）为下风向x米、横向y米、地面上方z米处的扩散的气体 浓度，单位为kg/m3；Q为源强（即源释放速率），单位为kg/s；u为平均风速， 单位为m/s；yσ为水平扩散参数，单位为m；zσ为垂直扩散参数，单位为m； c为泄漏后是时间，单位为s；H为泄漏源有效高度，单位为m；y为横向距离，单位为m；z为垂直方向距离，单位为m。 如：式中，令z=0，即可得到地面气体浓度计算公式： 令y=z=0，即可得到地面轴线气体浓度计算公式： 其中，X（x,y,0）为下风向x米、横向y米处的地面扩散气体浓度，单位为 kg/m3；若令y=0，则可以得到下风向中心线上的浓度分布。 4、泄漏源有效高度（烟云抬升高度的计算）： 以上式中的泄漏源有效高度是指泄漏气体形成的气云基本上变成水平状的 时候气云中心的离地高度。实际上，泄漏源有效高度就等于泄漏源几何高度加泄漏烟云抬升高度。 影响烟云抬升高度的因素有很多，主要包括：泄漏气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及风速岁高度的变化率、环境温度及大气稳定度。 有效源高： 其中，为泄漏源几何架高，H为烟云抬升高度。
污染源扩散模拟的实现及应用 突发性环境污染事故是一种威胁人类安全和健康、破坏生态环境、危害性大的污染事故。近年来，随着经济的发展，越来越多的突发环境事故爆发，造成严重的环境污染，不仅给国家人民财产造成了损失，同时还严重的危害了周边人民的健康。因此，加强突发性环境污染事故应急监测，研究其处理技术，对污染物的扩散进行预报是环境监测和环境保护领域中一项非常重要的工作。 1 大气扩散模型研究的意义 突发性环境污染事故主要是由于高压容器、储罐、输送管道节门的破裂等诸多原因引起的，它可导致有毒有害气体外泄。其特点是没有固定的排放方式和排放途径，突然发生、来势凶猛，在短时间内排放大量有毒有害的污染物，有毒气体外泄后，随大气弥散，中心位置浓度最高，向外逐步扩散稀释，下风向形成相应的时空浓度分布。 对于重大突发事故分析，目前国内外普遍采用仿真技术，通过建立数学模型进行分析，而且已建立了很多适用于不同条件的数学模型。当前应用较为广泛的应急大气扩散模型有：SLAB，DEGADIS，ALOHA，ARCHIE，DEMRA和LPDM,其中比较著名的有RADM、ADOM、STEMD等模型、美国Sigma公司于八十年代中期建立的HPDM模型以及英国剑桥研究院开发的ADMS模型。这些模型通过对早期的CRSTER的法规式模式做了一些改进和发展，从而产生新一代扩散模型。 这些算法以扩散统计理论为出发点，假设污染物的浓度分布在一定程度上服从高斯分布。模式系统可用于多种排放源（包括点源、面源和体源）的排放，也适用于乡村环境和城市环境、平坦地形和复杂地形、地面污染物排放模拟、区域环境容量计算与总量控制等多种功能。 这些扩散模型的特点是基于专有平台实现，自成系统。并且在这些系统中大多考虑了扩散模型源排放、平流输送、湍流扩散、干沉积、湿沉积、气象化学等众多因素，系统功能庞大。但同时它们基于专有平台，自成系统，所以很难同环保局具体的业务系统进行整合。考虑到天津某区环保监控与应急指挥系统的实际情况和具体需求，我们基于高斯扩散模型，并根据实际情况加以改造，最终在GIS系统中进行了展现。 2基于高斯的实用性大气扩散模型的算法实现 高斯扩散模型是高斯应用湍流统计理论，在大量实验数据资料分析以及正态分布假设的基础上，得到的污染物在大气中扩散的数学模型。经过多年的研究试验，国内外建立了多种高斯扩散模型，包括高斯点源扩散模式、点源封闭式扩散模型、高斯面源(虚拟点源)扩散模式以及多种特殊气象条件和复杂地形条件下的高斯扩散模式。高斯扩散模型是目前运用得最普遍的大气扩散的数学模型。例如UK一ADMS模型的Urban部分中就直接采用的模型是一个三维高斯模型，以高斯分布公式为主计算污染物浓度，在非稳定条件下的垂直扩散使用了倾斜式的高斯模型烟羽扩散。 3、基于Supermap的扩散模型图形化显示 SuperMap GIS是国内具有完全自主知识产权的大型地理信息系统软件平台。包括组件式GIS开发平台、服务式GIS开发平台等应用开发平台，同时具备相关的空间数据生产、加工和管理工具。其中B/S开发的组件SuperMap IS .NET采用面向Internet的分布式计算技术，支持跨区域、跨网络的复杂大型网络应用系统集成，提供可伸缩、多种层次的WebGIS 解决方案，全面满足网络GIS应用系统建设的需要。
高斯烟羽模型 模型假设： 1、坐标系 高斯模型的坐标系如图2.1所示，原点为排放点（若为高架源，原点为排放点在地面的投影），x轴正向为风速方向，y轴在水平面上垂直于x轴，正向在x 轴的左侧，z轴垂直于水平面xoy，向上为正向。在此坐标系下烟流中心线或烟流中心线在xoy面的投影与x轴重合。 2、模型假设 (1)污染物的浓度在y、z轴上的分布是高斯分布（正态分布）的； (2)污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布； (3)扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射； (4)泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程； (5)在水平方向，大气扩散系数呈各向同性； (6)取x轴为平均风速方向，整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变，不随地点、时间变化而变化； (7)地面对泄漏气体起全反射作用，不发生吸收或吸附作用； (8)整个过程中，泄漏气体不发生沉降、分解，不发生任何化学反应等。 3、模型公式推导 由正态分布假设可以导出下风向任意一点X（x,y,z）处泄漏气体浓度的函数为：
2 2 (,,)()ay bz X x y z A x e e --= （1） 由概率统计理论可以写出方差的表达式为： 2 20 2 2 y z y Xdy Xdy z Xdz Xdz σσ∞ ∞ ∞ ∞ ==? ????????? ?? ? （2） 由假设可以写出源强的积分公式： ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -=uXdydz Q （3） 式中：y σ、z σ为泄漏气体在y 、z 方向分布的标准差，单位为 m ；X （x,y,z ）为任一点处泄漏气体的浓度，单位为 kg/m 3；u 为平均风速，单位为 m/s ；Q 为源强（即泄漏速度），单位为 kg/s ； 将（1）式代入（2）式，积分可得： 22 121 2y z a b σσ==???? ??? （4） 将（1）式和（4）式代入（3）式，积分可得： z y u Q x A σσπ2= ）（ （5） 再将（4）式和（5）式代入（1）式，可得： ??? ? ???????? ??+-=2222 22exp 2,,z y z y z y u Q z y x X σσσσπ）（ （6） 上式为无界空间连续点源扩散的高斯模型公式，然而在实际中，由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的。根据假设可以把地面看做一镜面，对泄漏气体起全反射作用，并采用像源法处理，原理如图2.2所示。可以把任一点p 处的浓度看做两部分的贡献之和：一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度；一部分是由于地面反射作用增加的泄漏物浓度。该处的泄漏物浓度即相当于不存在地面时由
高斯扩散模式在瞬间排放空气污染物模拟中的应用 摘要：在文章中提出应用高斯模式模拟和预测在瞬间排放状况下空气污染等级，用FORTRAN 语言编写的高斯模式程序还可应用于区域污染影响评价中，模式不仅可以从GIS 中输入数据而且还可以应用GIS 格式输出结果。 关键词：高斯模式 空气污染 地理信息系统 瞬时污染源 浓度场 瞬间排放是指工业企业或电厂的事故性污染物排放，如贮油罐或输油管道发生事故等。排放的污染物污染了空气、土壤、地面及地下水，影响植被和影响环境。 模拟瞬间空气污染要求得到污染区域面积、污染浓度和等级、污染预测等。 本文提出用高斯模式的解析解来模拟和预测瞬间排放空气污染状况。基于烟羽扩散上的解析公式求解的高斯模式非常广泛的应用于评价区域污染状况。高斯数学模式作为一个污染物扩散的基础模式被国际原子能机构广泛推广。 从瞬间点源污染源排放的污染物，其转换和扩散可以用以下的扩散方程来表示： t C ??+div(CV )=?(K ?C )+Ri +Q δ(t ?t 0)δ(x ?x 0)δ(y ?y 0)δ(z ?z 0) (1) 式中：C(x, y, z, t)为污染物浓度 V 为风速 K 为扩散系数 R 为污染物光化学转化率 Q 为污染物排放量
x 0, y 0, z 0为污染源相对坐标 在一定的风速和扩散系数条件下，公式（1）有其高斯扩散模式的解析解。 因此，污染物浓度值C 由点源污染源的高度H 决定。H 在高斯扩散模式中由下述公式计算： C （x,y,z,t ）= )() 2(22 22 2 22 2 2/) 2(2/) (2/)(2/) (2 /3z z y x wt h H z wt h z vt y ut x z y x e e e e Q σσσσσσσπ-++--------+ (2) 式中：t 为时间 Q 为排放量 u ，v ，w 为风速分别在x ，y ，z 方向的分量 σx , σy , σz 分别在x ，y ，z 方向的扩散系数 h 为点源高度 H 为混合层高度 高斯模式中，假设X 轴与风向方向一致，Z 轴铅直向上，V=W=0。公式（2）可以转化为以下形式。 C （x,y,z,t ）= )() 2(22 22 2 22 2 2/) (2/) (2/2/) (2 /3z z y x H z H z y ut x z y x e e e e Q σσσσσσσπ+------+ (3) 从公式(3)我们可以看出，每一个烟团需要用不同的坐标系进行计算，当我们计算多源的污染浓度时，我们需要用到几个坐标系，这样计算起来很复杂。因此，公式（3）必须做相应的转化到同一个坐标系中。 我们建立一个相对的坐标系，I 表示原点，坐标轴为ξ和η（见1）。并以I 为原点建立第二个坐标系，LX 表示X 轴，其方向与风向
放射性气体扩散的预估模型 摘要：由于放射性气体泄漏造成惨重损失的报道在国际屡见不鲜，近日日本福岛核电站的放射性气体的泄漏事件更让我们关注放射性气体泄漏时在环境中的浓度问题，为了今后事故发生后提供积极的补救措施, 所以对放射性气体的扩散作深入的研究是很有必要的。本文结合高斯烟羽模型、线性拟合，以及微分方程模型，运用MA TLAB软件，分析了泄漏源强度、风速、大气稳定度参数、地面粗糙度参数和计算精确度等的因素对放射性气体扩散的影响，预测了放射性气体浓度在不同时间，不同地区的浓度变化，并且本文模型中的数据可以根据不同的实际情况而加以改变，因而使本文的应用范围大大增加，可以适用于具有较强的应用性。文章首先在第一问中利用MA TLAB软件对数据进行线性拟合，采用微分方程模型得到核电站周边放射性气体在不同地区，不同时间段的浓度变化，得出随着离泄漏源距离的延伸，最终放射性物质的浓度越来越小，趋近于零，即当L趋向无穷是，C(x,y,z,t)趋向于零；当时间趋于无穷时,C（x,y,z,t）也趋于无穷。问题二，问题三中，建立以核电站周边不同地区得距离以及风速为因变量，设置各个主要因素的参考数据，同时，利用高斯烟羽模型对核电站周边地区的浓度进行预测，然后，利用MATLAB软件，将相关数据代入程序，我们得到核电站周边地区的浓度分布的等高曲线。问题四中，通过实际收集数据，集合核电站周边地区的浓度等高曲线，可以直观的看出日本福岛核电站对我国东海岸以及美国西海岸的影响。 一．问题的提出 1.1背景的介绍 目前，核电的发展给国家带来了巨大的经济效益和社会效益，但核电正常运行以及发生泄露时不可避免的会有气载放射性核素排出，这样就给周围的环境产生了一定的影响，因此，正确的测出大气中放射性物质的浓度在环境检测以及安全评估中具有重要意义。 1.2需要解决的问题 的放射性气体以匀速排出，设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，浓度为p 速度为m kg/s，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散, 速度为s m/s. （1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。 （2）当风速为k m/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。 （3）当风速为k m/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。