§1.2 概率的定义及其确定方法 在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。 随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。这个数字就称为事件的概率。 然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展. 1. 概率的公理化定义 定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足: (1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ; (2) 正则性公理 1)(=ΩP ; (3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则 则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间. 概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在 事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。 这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具
第一章测试题 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 6．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 7．设A 、B 、C 为三个事件，已知()()0.6,0.4P B A P C AB ==，则()P BC A =（ ） .A 0.3 .B 0.24 .C 0.5 .D 0.21 8．设A ，B 是两个随机事件，且0
1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃｔ露ｉｏｎｓ计算机工程与应用２０１０。４雠１１）１◎博士论坛。 逻辑伪度量空间中的孤立点 李璧镜Ｌ２，王国俊? ＬＩＢｉ＿ｊｉｎｇｌ，２，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕｎｌ １．陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７１００６２ ２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１００７ １．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａａｎｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００６２，Ｃｈｉｎａ ２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｊｉＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ，Ｓｈａａｎｘｉ７２１００７，Ｃｈｉｎａ Ｅ?—ｍａｉｌ：ｌｂｊ２００７＠１６３．ｃｏｒｎ ＬＩＢｉ－ｊｉｎｇ，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕ儿ｂ恻ｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０．４６（１１）：１－２． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｉｎｄｕｃｅｄｂｙｉｎｔｅｇｒａｌｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｉｎＭＴＬａｒｅｄｉｓｓｅｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓａ∞ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙｎｏｔｔｈｅｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｃｏｒｒｅｓｐｏｎｇｄｉｎｇ８ｐ骶：髓ｗｈｅｎｔｈｅｉｒｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓａｌｅｎｏｔｅｑｕａｌｔｏｚｅｒｏｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｆｏｒｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓｗｈｏｓｅｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｅｑＩｌａｌＺｅｒＯ，ｔｈｅｅｏｎｃｌｕｓｉｏｍａ托ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｈｅｎｅｖｅｒｔｈｅｃｈａｒａｅｔｅｒｉｓ－在ｃｏｆｌｏｇｉｃｓｙｓｔｅｍｓａ１１ｅｃｈａｎｇｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌｔ／ｕｔｈｄｅｇｒｅｅ；ｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅ；ｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔ 摘要：在逻辑系统ＭＴＬ中，对全体逻辑公式集上建立的逻辑伪度量空同进行研究，讨论了孤立点的情形，指出积务真度不为零的公式一定不是对应空间中的孤立点，而对于积分真度为零的公式，则要分不同性质类型的系统讨论，得到的情形也完全不同。 关键词：积分真度；逻辑伪度量空间；孤立点 ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２０１０．１１．００１文章编号：１００２－８３３１（２０１０）１１－０００１－．０２文献标识码：Ａ中图分类号：０１４２ １引言 逻辑系统的建立最终是为了推理【煳，而进行推理的角度有很多，可以从逻辑公式间固有的蕴含关系出发借助推理规则得到结论，也就是所说的语构理论；也可以借助赋值，刻画出公式之间的距离大小，从而形成—个公式集上的度量空间，进而在空间内进行推理，甚至近似推理。由于公式间的距离有多种不同形式的定义方法，从而可以诱导出不同的空间，例如概率伪度量空间昀，Ｄ—逻辑空间［７－８１，逻辑伪度量空间卿等等，而文献［９】中所定义的方式被更多的人接受，应用也最广泛。针对由左连续的三角模对应的逻辑系统（ＭｒｒＬ），讨论了赋值格是单位闭区间时生成的逻辑伪度量空间中孤立点的情形，以明确具有什么性质的公式是对应空间中的孤立点，从而为进一步讨论此类空间的其他性质，为在此类逻辑系统中进行近似推理打下基础。 ２预备知识 定义１闭设＠：［ｏ，１】叫ｏ，１】是二元函数，如果当口，ｂ，ｃ∈【０，ｌ】时 （１）固６：６＠Ｄ； （２）（国６）＠ｃ－－ａ＠（ｂ＠ｅ）； （３）囝１铷； （４）若６≤ｃ，则ａ＠６≤◇。 则称。为【０，ｌ止的三角模，简称ｔ一模。 定义２阁三角模＠叫左连续的，如果对于每个ａＥ［ｏ，１】，有工（Ｖｂｉ）＝ＶＡ（６；）。这里Ａ（ｘ）－－－ａ＠。 ｆＥ，ＩＥｆ 命题ｌ圈设。是［０，１】上的左连续的三角模，在［０，ｌ】上定义二元运算一如下： ６‘一ｃ＝Ｖ协ｋ＠６≤ｃ｝，茹，ｂ，Ｃ∈【０，ｌ】 则 （１）国６≤ｃ当且仅当ｎ≤６一ｃ，即—是与＠互为伴随对； （２）ｂ－－＊ｃ＝ｌ当且仅当ｂ≤ｃ； （３）口≤６—呛当且仅当ｂ≤旷＋ｃ； （４）口－＋（６—圮）＝６—＋（旷～）； （５）１飞：ｃ； （６）卜Ａｃ＿ＦＡ（６飞；），（Ａｂｉ）飞＝＾（６一）； ｉＥｌｉＥｌｌＥｌｌｔｌ （７）６一ｃ关于ｅ单调递增，关于ｂ耸ｔｉｇｌ递减。 定义３嘲设—是ｆ０，ｌ】上的二元运算，如果—满足上述命题中的性质（２）一（７），则称为［０，１止的正则蕴涵算子。 基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．１０７７１１２９）；宝鸡文理学院重点科研项目（Ｎｏｚｌ（２５１９）。作者筒介：李壁镜（１９８１一），女，博士研究生，讲师，研究方向：不确定性推理。模态逻辑；王国俊（１９３５一），男，博士生导师，教授，研究方向：不确定性推理，非经典数理逻辑等。 收稿日期：２０１０－０１—２０修囿日期：２０１０－０３一０１ 万方数据
第一章 随机事件与概率 1．从0,1,2,,9十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间： (1)放回时的样本空间1Ω (2)不放回时的样本空间2Ω 解： (1) 100 01 02 0910 11 12 1990 91 92 99??????Ω=????????，(2)2 01 02 03 0910 12 13 1990 91 92 98??????Ω=???????? 2.一个袋内装有４个白球和５个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间： (1)不放回时的样本空间1Ω (2)放回时的样本空间2Ω 解：(1)Ω１＝{红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝ (2)Ωn 个 ２＝｛红，白红，，白白白红｝ 5.设样本空间{0,1,2,,9},A Ω=事件＝{2,3,4},B={3,4,5},C={4,5,6}，求： (1)A B (2) ()A B C 解：(1) {2,3,4,5}A B A B A B === (2) ()(){4,5} {0,1,5,6,7,8,9}{4,5} {0,1,4,5,6,7,8,9}A B C A BC A ==== 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。 解： 214!12P == 15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。 解：4105040n A ==， 3112 94882296k A C C A =+= 22960.465040k p n ∴= == 14. 设n 个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n 个人的任意排列中，甲
第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。
§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发
生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件
样本空间、概率空间及概率的公理化定义 一、样本空间 在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用E 表示随机试验。随机试验E 的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件（样本点）。随机试验E 的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。 例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。 例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。 例3 向实数轴的(0,1)区间上随意地投掷一个点。在(0,1)区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即(0,1)区间）构成一个样本空间。 抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为()ωΩ=，其中ω表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。 定义 设样本空间()ωΩ=的某些子集构成的集合记为F ，如果F 满足下列性质： （1）Ω∈F ； （2）若A ∈F ，则A A =Ω-∈F ； （3）若,1,2,k A k ∈= F ，则1k k A ∞=∈ F 那么称F 是一个波雷尔（Borel 事件域），或σ事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间Ω的子集称为一个事件。 特别指出，样本空间Ω称为必然事件，而空集φ称为不可能事件。 在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。 在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作{=F 正面或反面，正面，反面，空集}，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，F 表达式中的花括号。是指事件的集合。 在例2中共有六个样本点，记i ω为出现“i 点”的样本点，1,2,3,4,5,6i =。作{),,(,),,(),,,(),,(,),,(),,(,,,65442132165312161ωωωωωωωωωωωωωωωωω?????????=F 123434561234523456(,,,),,(,,,),(,,,,),,(,,,,),ωωωωωωωωωωωωωωωωωω 123456(,,,,,)}ωωωωωω，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。123456(,,,,,)}ωωωωωω中一元素（即126(,,,ωωω ）或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。 在例3中，作1{(0,1)=F 区间中任意子集}。1F 构成一个波雷尔事件域，其中每一个元
概率论综述
第一章 事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性 一.随机现象 概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。 另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。 二.频率稳定性 对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称 N n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。 对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。 三.频率与概率 首先，概率具有非负性 0)(≥A F N 其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。若以Ω记必然事件，则应有 1)(=ΩN F 还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有
习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式 B C B C =I U , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观 察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为 {10}. |0,1,2,n n +=L 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事 件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) ; (3) A B C U U ABC ABC ABC U U ; (4) ABC ABC ABC ABC U U U ; (5) ABC ; (6) ()A B C U . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2A A U 3； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目 标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击 中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没 有击中目标. 习题1-3
第一章 随机事件及其概率 1．填空题 （1）若，则 }9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ；=∩B A 。 （2）若是四个事件，则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,； 四个事件恰好发生两个可表示为 。 （3）有三个人，每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中，则某指定房间中 恰有两人的概率是 ； （4）十件产品中有3件次品，从中随机抽取2件，至少抽到一件次品的概率 是 。 2．选择题 （1）某公司电话号码有五位，若第一位数字必须是5，其余各位可以是0到9中的 任意一个，则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是（ ） （A ）126 （B ）1260 （C ）3024 （D ）5040 （2）若8.0)( ,9.0)(,,=∪=??C B P A P C A B A ，则=?)(BC A P （ ） （A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.8 （D ）0.7 （3）在书架上任意放置10本不同的书，其中指定的三本书放在一起的概率为（ ） （A ）1/15 （B ）3/15 （C ）4/5 （D ）3/5 （4）若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=?==B A P B P A P ，则为（ ） )(B A P ∪（A ）0.6 （B ）0.7 （C ）0.8 （D ）0.5 3．化简下列各式 （1）； A B A ?∪)(（3）； ))((C B B A ∪∪（2）))((B A B A ∪∪； （4）))()((B A B A B A ∪∪∪ 4．指出下列各式成立的条件并说明条件的意义 （1）； A ABC =（3）A B B A =∪； （2）A B A =∪； （4）A C B A =∪∪；
习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （AB ）。 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 ABC AB ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;
第一章概率论的补充知识 本章扼要地复习概率论中某些基本概念，并补充条件期望和为学习 n维正态分布等内容, 随机过程作准备? § 1概率空间 设I I是某随机试验的所有可能结果组成的集合?I称为样本空间或基本事件空间，「■■中的元素「称为样本点或基本事件，门的子集A称为事件，样本空间门也是一个事件，称为必然事件，空集??称为不可能事件? 因为事件是集合，所以集合的运算（并、交、差、上极限、下极限?极限等）都适用于事件? 在实际问题中，我们不是对所有的事件（样本空间的所有子集）都感兴趣，而是 关心某些事件（门的某些子集）及其发生的可能性大小（概率）?这样，便导致波雷尔（Borel）域F和F上的概率的概念. 定义1设“是一个集合，F是由「的某些子集组成的集合族.如果 1）：：三F 2）若A F，则A F O0 3）若代? F, n =1,2,…，则A n? F n A 则称F为Borel域或厂-代数.（'「F）称为可测空间.F中的集合称为随机事件，简称事 件? 由定义易知： 4） F 5 ）若A, B F，则A B F n n 6）若A F, i =1,2,，则A, A, A F i =1 i=1 i T 定义2设C」,F）是可测空间，P（）是定义在F上的实值函数?如果 1）_A F , P（A） _0, P（「）=1 2）一A F, A Aj = , i = j, j =1,2,，则 / oC 、oO P u A =瓦P（A） liT 丿im 则称P是（J F）上的概率，（J F,P）称为概率空间，P（A）为A的概率.
P（A）的直观意义表示事件A发生的可能性大小?为方便起见，今后总假设P（）是完
概率论与数理统计习题及答案 习题一 1.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C （1）A发生，B，C都不发生； （2）A与B发生，C （3）A，B，C都发生； （4）A，B，C （5）A，B，C都不发生； （6）A，B，C （7）A，B，C至多有2个发生； （8）A，B，C至少有2个发生. 【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC （4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C(6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3.. 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）. 【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7, （1）在什么条件下P（AB （2）在什么条件下P（AB 【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1 4 + 1 4 + 1 3 - 1 12 = 3 4
概率论第一章习题解答
概率论第一章习题解答 一、填空题: 1. 设 ,()0.1,()0.5, A B P A P B ?==则 ()P AB = ,()P A B =U , ()P A B = U 。 分析：()(,)0.1;A P B P AB A ==?()()0.5;P A B P B ==U ()()()1()0.9 P A B P A B P AB P AB ===-=U I 2.设在全部产品中有2%是废品,而合格品中有85%是一级品,则任抽出一个产品是一级品的概率为 。 分析：设A 为抽正品事件，B 为抽一级品事件，则条件知 ()1()0.98 P A P A =-=， ()0.85 P B A =，所求为 ()()()0.980.850.833 P B P A P B A ==?=； 3.设A ，B ，C 为三事件且 P(A)=P(B)=P(C)=41,8 1 )(,0)()(===AC P BC P AB P ,则A,B,C 中至少有一个发生的概率为 . 分析：,()()0,()0ABC AB P ABC P AB P ABC ?≤=∴=Q
2.每次试验成功的概率为p (0< p <1),进行重复试验,直到第10次试验才取得4次成功的概率为( )。 分析：第10次试验才取得4次成功说明第10次是成功的，而前9次里恰有3次是成功的，因此为（B ）3 46 9 (1)C p p - 3.（C ）()=()()P A B P A P AB -- 4.关于独立性,下列说法错误的是( )。 (A) 若1 2 ,,,n A A A L 相互独立，则其中任意多个事件 12,,,) k i i i A A A k n ≤L (仍相互独立; （B ）若1 2 ,,,n A A A L 相互独立，若则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立 （C ） 若A 与 B 相互独立, B 与 C 相互独立, A 与C 相互独立, 则A,B,C 相互独立; （D ） 若A,B,C 相互独立,则A B U 与C 相互独立 分析：两两独立不一定相互独立； 5. n 张奖券中含有m 张有奖的, k 个人购买,每人一张,其中至少有一人中奖的概率是
典型例题： 一．排列 1．特殊排列 相邻、彼此隔开、顺序一定和不可分辨 例1．晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例2．4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例3．5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ 2．重复排列和非重复排列（有序） 例4．5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 3．对立事件 例5．七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例6．15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例7．有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？ 4．顺序问题 例8．3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例9．3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例10．3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序） 二．概率 1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大. 2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的
概率；(3)目标被命中的概率. 3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大. 1.7 一个小孩用13个字母T T N M M I I H E C A A A ,,,,,,,,,,,,作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN ”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为!13，事件A “恰好组成“MATHEMATICIAN ”包含 !2!2!2!3个样本点。所以! 1348!13!2!2!2!3)(==A P 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-?个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 89 17)(=A P 1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79。事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于 “从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含79A 个样本点，于是 7799 )(A A P =。 1.13 把n 个完全相同的球随机地放入N 个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k 个球的概
概率论与数理统计第一章总结 1.随机事件 在试验的结果中，可能发生也可能不发生的事件成为随机事件，通常用字母A ，B ，C 等表示。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件。相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。 2.样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间。 任一随机事件A 都是样本空间的一个子集，必然事件A 就等于样本空间，不可能事件是不包含任何样本点的空集，基本事件就是仅包含单个样本点的子集。 3.事件的关系及运算 （1）事件的包含与相等： （2）事件的和(或并)： （3）事件的积(或交)： （4）事件的差： （5）互不相容事件： （6）对立事件： （7）事件满足以下运算规律：交换律，结合律，分配率，德摩根定律 4.随机事件的频率与概率的定义及性质 设随机事件A 在n 次试验中发生了a 次，则a/n 称为随机事件A 发生的频率。 概率的公理化定义： （1） 非负性 （2） 规范性 （3） 有限可加性 （4） 可列可加性 概率的重要性质： （1） （2）P (Φ)=0 （3）若A 、B 互斥， 则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) （4）A ? B ，则 P (B －A )＝P (B )－P (A ) （5）加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P(AB ) 5.古典概型 两个特征：有限性，等可能性。 设在古典概型中，试验的基本事件的总数为N ，随机事件A 包含其中的M 个基本事件，则随机事件A 的概率为：P （A ）=M/N （生日模型，抽签模型，分配模型） 6. 几何概型 两个特征：无限性，等可能性。 （蒙特卡罗法） 7. 条件概率与乘法公式 A B 或B A ?? A B A B 或+ AB A B 或 A B -Φ AB = A A 与()1() P A P A =-
第1讲样本空间随机事件概率的定义及性质 教学目的：1．使学生理解随机试验，样本空间，随机事件, 频率及概率的概念。 2．使学生掌握并会运用概率的性质。 教学重点：随机事件，概率的概念和性质。 教学难点：概率的概念及性质。 教学时数：2学时。 教学过程： 第一章随机事件及其概率 §1.1 样本空间随机事件 1．随机试验与随机事件 确定性现象：在一定的条件下，必然会出现的某种确定的结果。 随机现象：在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果。 随机现象，从表面上看，由于人们事先不知道会出现哪种结果，似乎不可捉摸。其实不然，人们通过实践观察证明，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性，我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性。 为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学试验和对某一事物的观测统称为试验。如果试验具有下述特点： （1）试验可在相同条件下重复进行； （2）每次试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果； （3）每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 则称这种试验为随机试验，通常用字母E或E1， E2，…表示。例1试验E1: 抛一枚 硬币，分别用“H” 和“T” 表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H” 也可能是“T”。 例2试验E2: 从一批产品中任意取10个样品，观察其中的次品数，可能是0，1，
2， (10) 例3 试验E 3: 记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，…。 例4 试验E 4: 掷一颗骰子，观察可能出现的点数。 我们把试验的结果中发生的现象称为事件。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生, 则称为必然事件；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件, 简称事件，通常记作A ，B ，C 等。 例5 在试验E 1中: H —“正面朝上”，T —“反面朝上”，都是随机事件。 例6 在试验E 2中: B —“取出10个样品有1至3个次品” 是随机事件。 例7 在试验E 3中: C —“在该段时间内电话交换台接到的呼唤次数不超过8次” 是随机事件。 例8 在试验E 4中:D —“出现的点数是6”是随机事件。 定义1 设随机事件A 在n 次试验中发生了A n 次，则比值n n A 称为随机事件A 的频 率，记作()A f n ，即 ()n n A f A n = 实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性。 2．样本空间 随机试验的每一个可能的结果称为样本点,记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω。 任一随机事件A 都是样本空间Ω的一个子集，称事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。 几个特殊的事件: 基本事件：只包括一个样本点的子集。 必然事件：样本空间Ω 所表示的事件,每次试验必然发生。 不可能事件：不含任何样本点的空集,用Φ 表示。