高数习题册答案1-1

习题1.1A （P15）提示（仅供参考）

1．用定义（0n ε-语言）证明： （1）1

lim 1n n

+= 证明：

111n n n +-=，故对0ε?>，欲使11n n ε+-<，只需1n ε<，即1

n ε

>。 故对0ε?>，取01max ,1n ε????=????????（注意：不能写成01max ,1n ε??

=????，以下几个

类似），当0n n >时有

1

1n n

ε+-< 故1

lim

1n n += （2）sin

lim 0n

=

证明：

sin 10n n -<，故对0ε?>，欲使sin 0n ε-<，只需1n ε<，即1

n ε

>。 故对0ε?>，取01max ,1n ε??

??=????????

，当0n n >时有

sin

0n

ε-< 故sin

lim

0n

= （3）22

11

lim 22

n n += 证明：222111222n n n +-=，故对0ε?>，欲使221122n n ε+-<，只需2

12n ε<，

即n >

0ε?>，取0max ,1n ????

=??????

当0n n >时有 22

11

22

n n ε+-<

故2211

lim 22

n n += （4）0

=

证明：

-<，故对0ε?>0ε-<，只需ε<， 即21

n ε>

。故对0ε?>，取021max ,1n ε??

??=????????

当0n n >时有

0ε<

故0

=

（5）!

lim

0n

n n = 证明：!1210n n n n n n n n -=，欲使!0n n n ε-<，只需1n ε<，即1

n ε

>。

故对0ε?>，取01max ,1n ε??

??=????????

当0n n >时有

!

0n n n

ε-< 故!

lim

0n n n

= （注意：若用夹逼法：!10n n n n

<

<） （6）()lim 00!

n

a a n =>

证明：[][]0!1211n a a a a a a a

n a a n n ??-= ? ?+-??

L L ，注意到[]1,111a a a n <<+-L ，故 []1

0!a n a a n n +-<，，欲使0!

n a n ε-<，只需[]1a a n ε+<，即[]

1

a a n ε+>。

故对0ε?>，取[]10max ,1a a n ε+??????

=??????????

当0n n >时有

0!

n

a n ε-< 故()lim 00!

n

a a n =>

（注意：若用夹逼法：[]

1

0!a n a a n n

+<<） 2．证明：lim n a a =的充分必要条件是对0ε?>，只有{}n a 的有限多项不在

(),a a εε-+中。

证明：（必要性）若lim n a a =，则0ε?>，0n N ?∈， 0n n >时有n a a ε-<，故至多有0n 项在不再(),a a εε-+中。

（充分性）对0ε?>，只有{}n a 的有限多项不在(),a a εε-+中，不妨设不在

(),a a εε-+中项为12,,k

n n n a a a L ，取{}012max ,,k n n n n =（即取不在

(),a a εε-+中项脚标的最大者，故当0n n >时有n a a

ε-<，即lim n a a =。

4.证明若lim n a a =，则lim n a a =。反之不一定，举例说明。但若lim 0n a =，则有lim 0n a =

证明：由 lim n a a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有n a a ε-<， 故对0ε?>，取01n n = 0n n >时有n n a a a a ε-<-<，故lim n a a =。 反之不一定，例数列{}(1)n -。

由lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有0n a ε-<。 故对0ε?>，取01n n = 0n n >时有00n n a a ε-=-<，故lim 0n a =

5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=

5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=

证明 若0a =，

由 lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有

20n a ε-<

故对0ε?>，取01n n = ，当0n n >时有

0ε<

故

0==若0a ≠，则由极限的保号性得0a >。

由 lim n a a =，有对0ε?>，2n N ?∈，2n n >

时有n a a -< 故对0ε?>，取02n n = ，当0n n >时有

ε=

<

<

故

=6证明：若lim 0n a =，{}n b 有界，则lim 0n n a b = 证明：{}n b 有界，故可设n b M <

由lim 0n a =，有对0ε?>，1n N ?∈，1n n >时有0n n a a M

ε

-=<

故对0ε?>，取01n n = 当0n n >时有0n n n a b M a ε-≤<，故lim 0n n a b =。 7．若lim 0n n a b =是否一定有lim 0n a =或lim 0n b =。 解：否。例sin

2n n a π=，cos 2

n n b π= 8（1）设{}2k a ，{}21k a +均收敛，问{}n a 是否必然收敛。 解：否，例{}(1)n -。

（2）设{}2k a ，{}21k a +满足221lim lim k k k k a a a +→∞

→∞

==，则lim n n a a →∞

=。

证明：由2lim k k a a →∞

=，则有对0ε?>，1k N ?∈，1k k >时有2k a a ε-<

21lim k k a a +→∞

=，则有对0ε?>，2k N ?∈，2k k >时有21k a a ε+-<

故对0ε?>，取{}012max 221n k k =+，（注意0n 不能取{}12max k k ，，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞

=。

（3）设()1lim 0n n n a a +→∞

-=，{}2k a ，{}21k a -收敛，这时能否保证{}n a 一定收敛？

解：能。不妨设21lim k k a a -→∞

=，由()1lim 0n n n a a +→∞-=有()212lim 0k k n a a +→∞

-=，故

()221212lim lim k k k k k k a a a a ++→∞

→∞

=--????()21212lim lim k k k k k a a a a ++→∞→∞

=--=

即221lim lim k k k k a a a +→∞

→∞

==，故由8（2）{}n a 一定收敛.

9证明：若单调数列{}n a 有收敛子列，则{}n a 证明：不妨设{}n a 是单调增的。设子列{}k

n a （也是单调增的）收敛于a ，

从而对0ε?>，0k N ?∈，0k k >时有

k n a a ε

-<

对0ε?>，取00k n n =，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞

= 10.求极限

（1）22452lim 322

n n n n ++++

解2

2452lim 321

n n n n ++++2

25244lim

2133n n n n

+

+==++ (2)

lim

解

lim

=

1

2==

(3) lim 1n ?

???

解：lim 1n ???

?

1lim 1n

????=

32

32

11lim 11n ?????++??????=????++????

（公式1

221()()n n n n n n a b a b a

a b ab b -----=-++++L

4

32

1

lim

11n -??

=????+???

?

32

1

1

lim

4

1==

????

++????

(4) 222

333

13(21)lim n n n n -+++L

解：6)12)(1(21222++=

+++n n n n Λ ， 6

)

14)(12(2)2(21222++=+++n n n n Λ

6

)

12)(1(4

)21(4)2(42222222++=+++=+++n n n n n ΛΛ

222222222)2(42()2(21)12(31n n n +++-+++=-+++ΛΛΛ

6

)

12)(1(46)14)(12(2++-

++=n n n n n n 故222

33313(21)lim n n n n -+++L 32(21)(41)4(1)(21)

466lim 3

n n n n n n n ++++-== （5）112

lim(1)(1)(1)36(1)

n n ---

+L

解 由 )1()

2)(1()1(21++-=+-

n n n n n n ，有112(1)(1)(1)36(1)

n a n n =---

+L

142536(2)(1)(1)(2)2

233445(1)(1)3n n n n n n n n n n

???-+-++=

?????=???-+L 11221

lim(1)(1)(1)lim 36(1)33

n n n n +---==+L

（6）222111lim 11123n ????

?

?--- ??? ???????

L 解 由2

2)

1)(1(11n

n n n +-=-

，有22222222

111132435(2)(1)(1)111123234(1)2n n n n n n a n n n n ???--++?

????

?=---=?????= ??? ?-????

??

L

L 22211111lim 111lim 2322n n n +?

?????---== ??? ?????

??

L （7）11

lim

123(1)n n n

--+-+-L 解1

1lim 123(1)n n n --+-+-L 1(1)lim 2n n n +-= 1(1)1lim

222

n n -=+= 11求下列极限（夹逼法）

(1)

解

1

，又1==

，故

1=

（2）见学习辅导“例12（2）” （3

） 解

，又1==

1=

（4）222

12lim 12n n n n n n n n ??

+++

?++++++??

L 解22222

11(1)(1)

1222121

n n n n n

n n n n n n n n n n n n ++<+++<++++++++++L ，

又22

11(1)(1)

1

22lim im 21

n n n n n n n n n ++==++++，故222121lim 122

n n n n n n n n ??+++= ?++++++??L

12 设令12,,,m a a a L

都是非负实数，证{}12max ,,,m a a a =L

解：不妨设{}112max ,,,m a a a a =L

=

≤

1a ===，

故{}112max ,,,m a a a a ==L

13 求lim n a （必须先证明lim n a 存在性再设），其中 （1）见学习辅导“例22” (2) 01a =,1

1

11n n n a a a --=+

+

解：有界性：221

11<+

=a ，设2

<+≤++=+k

k k k k a a a a a 单调性：显然001>-a a ，设01>--k k a a ，则0)

1)(1(11

1>++-=

---+k k k k k k a a a a a a

求极限：设lim n a a =，由1111--++=n n n a a a 取极限得11a

a a

=++

，解出a =

（3）见学习辅导“例25” （4）10a c =>，13(1)3n n n

a a a ++=

+

解 有界性：33)

3(33)1(3011=++=<++=

<++n

n n n n n a a a a a a

单调性：)

3)(3()

(63)1(33)1(311111----+++-=++-++=

-n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a

)

3()3)(3()

(621231a a a a a n n n +++-==--ΛΛ

)

3)(2(32

23c c c a a ++-=-，若33

求极限：设lim n a a =，由13(1)3n n n a a a ++=+得3(1)

3a a a

+=+

，故a =

15 试判断数列{}n a 的敛散性：

（1）01n

n n a q q ααα=+++L ，其中()1,2,,1k M k q α≤=

解 1212n n n p n p n n n n p a a q q q ααα+++++++-=+++L

()1

1

1

2

111n p

n n n n p

q

q q

M q M q M q M

M

q

q

+++++-≤++++=≤--L 欲使1

1n q M

q

ε+<-，只需()ln 11ln q M n n ε??-??

??>-

故对0ε?>，取()0ln 1max 11ln q M n n ε??????-????????????=-???

???????????

，，当0n n >时，对p N ?∈都有

n p n a a ε+-<

即{}n a 是基本列，故收敛。

（2）1

11(1)123n n a n

--=-+++L

证明: 21211(1)1232k k a k --=-+++L 1111

11234212k k ??????=-+-++- ? ? ?-??????L

()22111

02122

k k a a k k +-=

->++ 故{}2k a 是单调增的。又21111111()12345212k a k k ????

=------<

? ?-????

L

故{}2k a 也是有界的，故2lim k a 存在，设为2lim k a a =。

212121k k a a k +=+

+，故212001lim lim 21k k k k a a k +→→?

?=+ ?+?

?200

1lim lim 21k k k a a k →→=+=+

由习题1.1（A ）8(2)知道{}n a 收敛。 （3

）1n a =+++L 证明:01

,3

ε?=

，对n N ?∈，取p n =，则有

2n n a a -=

L 01111

2222n n

n ε>+++=>L 故{}n a 不是基本列，则{}n a 发散。 （4）cos n a n =

解 ()11cos 1cos 2sin sin 22

n n n ?

?+-=+ ??? 取2

01

sin 2ε?=，对n N ?∈，存在0n n >，且满足()00.120.9n k k Z π<+<∈ 故()0111

0.120.9222

n k k Z π+<++<+∈

从而()2000111cos 1cos 2sin sin sin 222

n n n ?

?+-=+

> ?

?? 这说明{}cos n 不是基本列，故{}cos n 发散。

16 设lim n a =∞，且()01,2,n b b n ≥>=L ，则lim n n a b =∞ 证明：对0M ?>，由lim n a =∞知1n N ?∈使得当1n n >时n M

a b

>

， 故对0M ?>，取01n n =，当0n n >时n n n a b b a M ≥>，故lim n n a b =∞ 17．求极限

（1）e e n n n n n

==++++

=++

+1)

1

211()

1211(lim )1

211lim(1

22

（2）e n

n n n

n n n n n n 1)

211()

211(lim )211(1lim )211lim()21lim(

)2(2

=+-+-

=+-=+-=+++--- (3) 11lim(1)2n n +-=+11lim()2n n n ++=+112lim()1n n n +++111

1lim(1)1

n e n +==++

(4)1lim(1)21

n

n +

=-

=习题1.1（B ）

1 O.Stolz 公式

（1）设lim lim 0n n a b ==，且{}n b 严格减。若11lim

n n n n a a a b b ++?-?=+∞?-?-∞?，则lim n n a

a b ??

=+∞??

-∞

? 证明：（A ）若11lim

n n

n n

a a a

b b ++-=-，对0ε?>，则存在1n N ?∈使得当1n n >时

112

n n n n a a a b b ε

++--<-，即

()()11122n n n n n n a b b a a a b b εε+++???

?--<-<+- ? ?????

从而当1n n >时

()()11122n n n n n n a b b a a a b b εε+++???

?--<-<+- ? ????

?

()()12121222n n n n n n a b b a a a b b εε++++++????--<-<+- ? ?????

·

····· ()()11122n p n p n p n p n p n p a b b a a a b b εε+-++-++-+????--<-<+- ? ????

?

把上式不等式相加的

()()()22n n p n n p n n p a b b a a a b b εε+++????--<-<+-* ? ?????

其对p N ?∈成立

又lim lim 0n n a b ==，故当p →∞时由()*得当1n n >时有

22n n n a b a a b εε???

?-≤≤+ ? ?????

故对0ε?>，取01n n =，当0n n >时有

()()n n n

a b a a b εε-<<+即n

n

a a a

b εε-<

<+

从而lim

n

n

a a

b =。 （B ）若11lim

n n n n a a b b ++-=+∞-，则11lim 0n n n n b b a a ++-=-。由11lim n n n n

a a

b b ++-=+∞-，故对

0M >，存在0n N ∈，当0n n >时有

11n n n n a a M b b ++->-，即1

1

n n n n a a M b b ++->-，

从而存在0n N ∈，当0n n >时有()110n n n n a a M b b ++->->，即{}n a 严格递减的， 故由11lim

0n n n n b b a a ++-=-可得lim 0n n b a =，即lim n n

a

b =+∞

（C ）若11lim

n n

n n

a a

b b ++-=-∞-，令n n

c b =-,利用（B ）可证明。

（2）{}n b 严格增，且lim n b =+∞，若1

1lim n n n n a a a b b ++?-?=+∞?-?-∞?，则lim n n a

a b ??

=+∞??

-∞

? 证明：（A ）若11lim

n n

n n a a a b b ++-=-，则11lim 0n n n n

a a a

b b ++--=-，

令1

1

n n n n n a a x a b b ---=

--，即lim 0n x =，故对0ε?>，则存在1n N ?∈使得当1n n >时

2

n x ε

<

由得1

1

n n n n n a a x a b b ---=

--得()()11n n n n n a a x a b b --=++-（使用迭代）

()()()()21121n n n n n n n a x a b b x a b b -----=++-++-=L

()()

()()1111111n n n n n n n a x a b b x a b b ++-=++-+++-L ()()()

11111111n n n n n n n n n a x b b x b b a b b ++-=+-++-+-L

即(

)()()()11111

111n n n n n n n n n n a a x b b x b b a b b ++-=+-++-+-*L

()*两边除以n b ，再同时减去a 得

11111111n n n n n n n n n

n n n

x b b x b b a ab a a b b b ++--++---≤+L 故当1n n >时

1111122

n n n n n n n

n n n n a ab b b a ab a a b b b b εε----<+<+ 又lim n b =+∞，则存在2n N ?∈使得当2n n >时

11

2

n n n

a a

b b ε

-<

对0ε?>，取{}012max ,n n n =使得当0n n >时

n

n

a a

b ε-< 故lim

n

n

a a

b = （B ）若11lim

n n n n a a b b ++-=+∞-，则11lim 0n n n n b b a a ++-=-。由11lim n n n n

a a

b b ++-=+∞-，故对

10M =>，存在0n N ∈，当0n n >时有

111n n

n n

a a

b b ++->-，即()11n n n n

a a

b b ++->-*

故{}n a 严格增的，再由()*得0

n n

n n a a b b ->-，从而n →+∞时，lim n a =+∞，从

而由（A ）得11lim

0n n n n b b a a ++-=-，故11lim n n n n

a a

b b ++-=+∞-

（C ）若11lim

n n

n n

a a

b b ++-=-∞-，令n n

c b =-,利用（B ）可证明。

2设lim n a a R =∈证明 （1）1lim

n

a a a n

++=L

证明 利用O.Stolz 公式（2）只需令1n n c a a =++L ，n b n =，则

1

1

lim

lim n n n n n c c a a b b ---==-

故1lim

lim n n

n c a a a b n

++==L 。 或利用定义直接证明。

（2）讨论,,a =+∞-∞∞时(1)中的结论。

证明：利用O.Stolz 公式可得a =-∞，或a =+∞均成立。

但a =∞，不成立，例1

(1)n n a n -=-，故a =∞时O.Stolz 公式也不成立。

（3）1lim

11n

n a a a =++L ，其中0n a >

证明：0n a >，由保号性可得lim 0n a a =≥ 故11lim

n a a =（当lim 0n a a ==，时1

lim n

a =+∞） 故11111lim lim n n a a n a a

++==L ，

故1lim

11n

n a a a =++L

（4

）a =，其中0n a > 证明：见附录参考答案及提示。 3 设0n a >，1

lim

,n n

a a a +=

证明a = 证明：设1

n n n

a b a +=

，故利用习题1.1（B ）2(4)可得

a =

=

a =

，注意到1=，可得

a ===

4.设1

{}n

n k k S a ==∑收敛，证明11lim 0n

k k ka n ==∑

证明：（微积分学习辅导P6例11（4）） 设lim n S s =，则有11

lim

1

n S S s n -++=-L

[]11111

lim lim n k n n k ka nS S S n n -==-++∑L 11lim n n S S S n

-++=-L

111

lim lim

01n n S S n S s s n n

-++-=-=-=-L

5.若()2lim 0n n a a --=，证明lim

0n

a n

= 证明 令120b b ==，2n n n b a a -=-， 则2lim 0n b =，21lim 0n b +=， 利用故利用习题1.1（B ）2(1)可得

2422lim

lim 0n

n b b b b n

+++==L

又24222n n b b b a a n n +++-=L ，故22lim 0n a a n -=，

从而222222211lim

lim lim lim 0222n n n a a a a a a a n n

n n n --????=+=+= ??????? 同理利用习题1.1（B ）2(1)可得

1321

21lim

lim 01

n n b b b b n +++++==+L

又

132121111n n b b b a a n n +++++-=++L ，故211lim 01

n a a

n +-=+。

易知21lim 021

n a

n +=+，故

lim

0n

a n

=。 6.若lim ,n a a =证明1222lim 2

n a a na a

n +++=L

证明 见（微积分学习辅导P6例11（2））即

令11b a =，232b b a ==，4563b b b a ===，,L (1)

(1)

(1)1

2

2

2

2

n n n n n n n b b b a --+++====L

对{}n b 前

()

12n n +项应用题1.1（B ）2(1). 7.

证明e =

证明：见（微积分学习辅导P17例19（2））令11n

n a n ??

=+ ???

，再利用习题1.1（B ）2(4)

可证明。 8.求下列极限：

（1）1321

lim 242n n -g L

解：注意到212221

n n

n n -<

+，故 2

1321132124

224

22423521n n n n n n --??????< ? ???+??????g L g L g L

12342121

234522121

n n n n n -==

++g g g L g ，即

13210242n n -<

又lim

0=，故1321

lim 0242n n

-=g L （2）limsinsin sin n n L 1442443重

解 显然1sin 1n -<<，又sin x 在,22ππ??

- ??

?是单增的，故()sin 1sinsin sin1n -<<，故进一步有

11sinsin sin 1sinsin sin sinsin sin1n n n n ---<

重

重

显然数列11sinsin sin1n n b --=L 1442443重

是单减有界的。故1limsinsin sin1n -L 1442443重

存在设为a ，易知

01a ≤<，注意到1sin n n b b -=，故有sin a a =，从而得0.a =

同理可得1limsinsin sin 10n --=L 1442443重

，故limsinsin sin 0n n =L 1442443重

。

（3

）1

lim

1)n

k =∑ 解

∑∑==++=-+

n

k n

k n

k n k

n k

1

22

1

211)11(，故

22

111

1)

2

n n n

k k k

k k

n

===

≤≤

∑∑

又

2

1

1

lim

24

n

k

k

n

=

=

∑

，

1

1

4

n

k

k

=

=

，故

1

1

lim1)

4

n

k=

=

∑

9.设

01

1

1,

n n

n

a a a

a

+

==+

，求证1

=

证明显然0

n

a>且{}n a是单调增的，若{}n a有界，则lim n a存在，故可设lim n a a=，且0

a≥，但由

1

1

n n

n

a a

a

+

=+可得

1

a a

a

=+，这不可能，故{}n a无界，从而lim n a=+∞。

由

1

1

n n

n

a a

a

+

=+可得22

12

1

2

n

n

n

a a

a

+

-=+，故令22

111

0,

n

n n

b b a a

++

==-，则有

()

1

1

22

2

1

lim lim lim22

n

n

n n

b a a

a

-

-

=-=+=

对{}n b运用习题1.1（B）2(1)可得

1

22

11

lim lim2

n

n

a a

b b b

n n

-

+++

==

L

故

2

lim2

n

a

n

=

，故1

=。

10.求lim n a，其中

（1）

11

1

3,

1

n

n

a a

a

+

==

+

；

解参照微积分学习辅导“P23例28”

(2)01

n

a

<<,且()

1

1

1

4

n n

a a

+

-≥

参见微积分学习辅导P22例26

11 若数列{}n a满足：存在常数M，使得对一切n，有

21321n n n A a a a a a a M -=-+-++-≤L

证明

（1） 数列{}n A 收敛。 （2） 数列{}n a 收敛

证明（1）因为数列{}n A 是单调增加的，且有上界，故数列{}n A 收敛。 （2）设n m >，则 n n m m m m n m a a a a a a a a -++-+-=-+---1211Λ

n m n n m m m m A A a a a a a a -=-++-+-≤+---1211Λ

因为{}n A 收敛，所以{}n A 是Cauchy 数列，即对0ε?>，存在1n N ∈ 当1,m n n >时m n A A ε-<。

故数列{}n a 有对0ε?>，取01n n =，当0,m n n >时m n a a ε-<，即{}n a 也是Cauchy 数列，所以{}n a 收敛。 12.证明下列不等式

（1）111(1)(1)n n e n n

++<<+ （1）由n n )11(+

是单调增加且e n n =+)11lim(，所以e n

n <+)1

1(； 由于e n n =++1)11lim(，若数列1)11(++n n 单调减小，则e n

n >++1)1

1(。

数列1

)11(++

=n n n

a 单调减小等价于数列1)

11(1

1++=n n n

a 单调增加。 1

22

1

11

)21(

21)1)(1()1

(1)1(1+++++=++=?????

?

??++++<+?=+=n n n n n n a n n n n n n n n n n a 所以 数列1

)11(++

=n n n

a 单调减小。 （2）利用（1）的结果，由e n n <+)11(，两边取对数得1)1

1ln(<+n n

由e n n >++1)11(，两边取对数得1)1

1ln()1(>++n

n

（3）根据（1）的结果，分别取n n , , 3 , 2 , 1Λ=有：

第二行各项相乘得：

n

n e n n <+! )1(，即! )1(n e n n n <+ 第三行各项相乘得：n

n e n n >++! )1(1，即! )1(1n e

n n

n >++

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

2019年大一高数试题及答案.doc

x 1 ②1 - - ④x 大一高数试题及答案 、填空题（每小题1分，共10分） ----- 2 1 1?函数 v =arcsi nJ 1 — x + _______ 的定义域为 Jl —x 2 2 2 ?函数 y = x ? e 上点（0,1 ）处的切线方程是 ________________ 4 ?设曲线过（0,1）,且其上任意点（ x , y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 3 .设f （X ）在X 。可导, 且f （x ） = A ，则怛。 f(X o 2h)- f(X o - 3h) h 5. x ”dx 6. lim x sin 1 X )二 x 设 f(x,y)=sin(xy) ,则 fx(x,y)= 9.微分方程 3 dx 3 Jh 2的阶数为 dx OO 10 .设级数 n=1 OO 刀 a n 发散，则级数刀 n=1000 二、单项选择题。 （1?10每小题1分，1 1?2 0每小题2分，共3 0分） 1.设函数 1 f (x) , g(x)二 1 -x 则f [g(x)]= ()

① tf ( x, y ) ② t 2 f (x, y ) 2. x sin 丄 1 是() x ① 无穷大量 ② 无穷小量 ③ 有界变量 ④ 无界变量 3 .下列说法正确的是 ① F (X) +G (X)为常数 ② F (X) -G (X)为常数 ③ F (X) -G (X) =0 ④ d ! F (x)dx d I G ( x ) dx 1 dx dx 6. 1 -1 x |dx =( ) i ① 0 ②i ③2 ④3 7 .方程2x + 3y =1在空间表示的图形是 () ① 平行于xoy 面的平面 ② 平行于oz 轴的平面 ③ 过oz 轴的平面 ④ 直线 ① 若f ( X )在X = Xo 连续, 则f( X )在X = Xo 可导 ② 若f ( X )在X = Xo 不可导，则f( ③ 若f ( X )在X = Xo 不可微，则f( ④ 若f ( X )在X = Xo 不连续，则f( X )在X = Xo 不连续 X )在X = Xo 极限不存在 X )在X = Xo 不可导 4 .若在区间(a,b )内恒有 f ' ( X ) b)内曲线弧『=f(x )为 () 0 , f " ( X ) 0，则在(a. ① 上升的凸弧 ② 下降的凸弧 ③ 上升的凹弧 ④ 下降的凹弧 '.设 F '(x) G '( x)，则() 8.设 f(x,y)= x 3 y 3 x 2 y t a n ，则 f(tx,ty)=

大一高等数学复习题含答案

复 习 题 一、 单项选择题： 1、5 lg 1 )(-= x x f 的定义域是（ D ） A 、()),5(5,+∞∞-Y B 、()),6(6,+∞∞-Y C 、()),4(4,+∞∞-Y D 、())5,4(4,Y ∞-Y ()),6(6,5+∞Y 2、如果函数f(x)的定义域为[1，2]，则函数f(x)+f(x 2 )的定义域是（ B ） A 、[1，2] B 、[1，2] C 、]2,2[- D 、]2,1[]1,2[Y -- 3、函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ) A 、是奇函数，非偶函数 B 、是偶函数，非奇函数 C 、既非奇函数，又非偶函数 D 、既是奇函数，又是偶函数 解：定义域为R ，且原式=lg(x 2+1-x 2 )=lg1=0 4、函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1 x f （ C ） A 、21x - B 、21x -- C 、)01(12≤≤--x x D 、)01(12≤≤---x x 5、下列数列收敛的是（ C ） A 、1)1()(1 +-=+n n n f n B 、?????-+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,11 )( C 、?????+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1 )( D 、???????-+=为偶数为奇数n n n f n n n n ,2 21,221)( 解：选项A 、B 、D 中的数列奇数项趋向于1，偶数项趋向于-1，选项C 的数列极限为0 6、设1 111.0个n n y Λ=，则当∞→n 时，该数列（ C ） A 、收敛于0.1 B 、收敛于0.2 C 、收敛于 9 1 D 、发散 解：)10 11(91101101101111.02n n n y -=+++= =ΛΛ 7、“f(x)在点x=x 0处有定义”是当x →x 0时f(x)有极限的（ D ） A 、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 D 、无关条件

高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册

42 / 9 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、填空题： 在 ? +10 3 1dx x 与? +1 41dx x 中值比较大的是 ． 二、选择题(单选)： 1．积分中值定理 ? -=b a a b f dx x f ))(()(ξ，其中： (A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点． 答：( ) 2．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ?-10)(dx ex e x ； (B) ?-e dy y y y 1 )ln (ln ； (C) ? -e x x dx xe e 1 )(； (D) ?-1 )ln (ln dy y y y ． 答：( ) 第二节 微积分基本公式 一、填空题： 1．=-? -212 12 11dx x ． 2． 0)32(0 2=-? k dx x x )0(>k ，则=k ． 二、选择题(单选)： 若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则 2 )(lim x dt t f x x ?→ (A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在． 答：( ) 三、试解下列各题： 1．设??? ??>≤+=1,2 11 ,1)(32x x x x x f ，求?20 )(dx x f ．

43 / 9 2．设?? ???><≤≤=ππ x x x x x f ,0,00,sin 21 )(，求?=x dt t f x 0 )()(?在),(∞+-∞上的表达式． 四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，? ? += x a x b t f dt dt t f x F ) ()()(．证明： (1)2)('≥x F ； (2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根． 第三节 定积分的换元法和分部积分法

大一高数试题及答案.doc

大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x

２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('>

【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)

【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数

大一高等数学试题及答案

期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ）

A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7

高等数学上册练习题

高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值

（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设

高数A1习题册答案

习题一 一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二 一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=

lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三 一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++

同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)

学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学习题册参考答案

《高等数学》习题册参考答案 说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错. 第一册参考答案 第一章 §1.1 1.??? ????+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , , 0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a v a v v a v v 图形为： 2.B. 3.)]()([)]()([)(2 121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(2 1x f x f x G --=为奇函数. 4.??? ????=<≤-<≤-<≤=.6 ,0, 64 ,)4(, 42 ,)2(, 20 ,)(22 2x x x x x x x x f 5.???.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f 6.无界. 7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同. §1.2 1.（1）)1 ,0()0 ,1(?-=D ；（2）} , ,{2 Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.?????>-=<=,0 ,1,0 ,0 , 0 ,1 )]([x x x x g f ???? ???>=<=-. 1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g 4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2 =-=D x y ； （2）Y ∞ =+=+=0 2 2),( , )(tan log 1k a k k D x y πππ. 5.（1）x x x f f 1 )]([-= ； （2）x x f f 1 )(1][=. 6.+∞<<=-h r V r h h r 2 ,2312 2π. 7.（1）a x =)(?； （2）h x x +=2)(?； （3）h a a h x x ) 1()(-= ?. §1.9 1.1-=e a . 2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类） （注意：+∞==∞ +-→- e e x x x 11 lim ，而0lim 11 ==∞--→+ e e x x x ）；

高等数学练习册

高等数学（下）练习册 专业班级：___________________________________________ 姓名：___________________________________________ 学号：___________________________________________ 西南科技大学城市学院数学教研室编

第七、八章 向量、空间解析几何、多元微分法 一、填空题 1、从点)7,1,2(-A 沿向量k j i a 1298-+=的方向取一段长34||=，则点B （_______）. 2、已知两个力)3,2,1(1=，)4,3,2(2--=F ，则合力的大小||F =________，合力的方向为___________________． 3、设向量+=2，b a k B +=，其中1||=，2||=，且⊥，若⊥，则k =_____． 4、已知3+=，3+=，则ABC ?得面积是________． 5、已知平面π过点)21,3(-且过直线1 2354z y x =+=-，则平面π的方程为_____________． 二、选择题 1、方程0242222=++-++z y x z y x 表示的曲面是（ ） A 、球面 B 、椭球面 C 、柱面 D 、锥面 2、若直线l ：3 7423z y x =-+=-+，平面π：3224=--z y x ，则l 与π（ ） A 、平行 B 、垂直 C 、相交而不垂直 D 、l 在平面π内 3、设直线l 为?? ?=+--=+++0 31020 123z y x z y x 平面π为0224=-+-z y x ，则（ ） A 、l ∥π B 、l ?π C 、l ⊥π D 、l π但l 与π不垂直 4、已知向量)1,1,2(-=a ，)1,3,1(-=，求，b 所确定的平面方程为（ ） A 、02=+-z y x B 、03=-+z y x C 、01632=---z y x D 、a ，b 不共面无法确定平面 5、球面92 22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影方程是（ ） A 、082222=--+x y x B 、082222=--+z z y C 、92 2 =+y x D 、? ??==--+00 82222z x y x 三、设)4,1,1(=a ，)2,2,1(-=b ，求b 在方向上的投影向量．

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学(大一)题库

（一）函数、极限、连续 一、选择题： 1、 在区间(-1,0)内，由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B);2x x y -= (C)34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( ) （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C ）无界函数 （D ）有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x x x x f -=+-= ?都是无穷小，则f (x )是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）等阶无穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) （A ）可去间断点 （B ）跳跃间断点； （C ）振荡间断点 （D ）无穷间断点 5、 下列的正确结论是（ ） （A ）)(lim x f x x →若存在，则f (x )有界； （B ）若在 0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在， 则),(lim 0 x f x x →也 存在； （C ）若f(x)在闭区间[a , b ]上连续，且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; （D ） 当∞→x 时，x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题： 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，则n = ； 三、 计算题: 1、计算下列各式极限： （1）x x x x sin 2cos 1lim 0-→； （2）x x x x -+→11ln 1lim 0；

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .