微积分期末试卷及详细答案2
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2
3
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知2
)(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ?)1ln(x -
解x e
u f u -==1)(2
,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.
2、已知a 为常数,1)12
(
lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a 1 . 解：a x
b
a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(
1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x
x f x f x )
1()31(lim
0 4 .
解：4)]
1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x
f x f f x f x
4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 2 . 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,
)(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,
))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.
5、
=?x x dx
22cos sin C x x +-cot tan .
解：C x x x
dx
x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222. 二、选择题(每小题3分,共15分)
1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是A
(A) 偶函数； (B) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.
2、0=x 是函数???
??=≠-=.0 ,0
,0 ,cos 1)(2x x x x
x f 的 D
(A) 跳跃间断点； (B) 连续点；
4
(C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.
3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是 B
(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；
(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在. 4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是： D
(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='. 5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： B
(A)
)()(x f dx x f dx d
?
=； (B) )()(x f dx x f ?='； (C) dx x f dx x f d )()(?
=； (D) C x f x df +=?)()(.
三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f x
x -=--42
2)2(,求)2(+x f . 答案：42)2(42
--=++x x f x
x
解：令2-=x t ,则
2222)2(2)(4
8
444)
2(4)
2(2
2
2
--=+-=+-=---+++-+t t t t f t
t t t
t t ,(3分)于是
42422)2(2)2(44
444
)
2(2
2
2
--=--=-+-=++-++-+x x x x f x
x
x x
x . (6分)
2、计算)1cos(lim n n n -+∞
→. 答案：1
解：n
n n n n n ++=-+∞
→∞
→11
cos
lim )1cos(lim (3分)
5
11
010cos 1
111
cos lim =++=++=∞→n
n n . (6分)
3、求极限)21(
lim 222n
n n
n n n n n ++++++∞
→Λ.答案：1 解：由于1
)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n Λ， (3分)
而1111lim lim 2
2=+=+∞→∞→n n n n n n , 11
11
lim 1lim 2
22=+=+∞→∞→n
n n n n , 所以1)21(
lim 222=++++++∞
→n
n n n n n n n Λ. (6分) 4、求极限x
x x x cos sec )
1ln(lim 20-+→.
解：x
x x x
x x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 2
0220020+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim
020=+=→→x
x
x x x x . (6分)
5、求函数x
x
y 1sin =的导数. 答案：)1sin 1ln 1cos 1(21sin
x
x x x x x
y x
+-
=' 解：)(ln 1
sin
'='x x
e
y (2分)
]1sin 1ln )1(1[cos 2ln 1
sin x x x x x e
x x
+-=)1
sin 1ln 1cos 1(21
sin x
x x x x x x +-=. (6
分)
6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x
6
解： 方程两边对x 求导得：02ln =-'+'
+y y
y x
y , 将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)
1(1
-='-
=y k , (3分) 从而法线方程为：)1(11-?-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分) 7、求曲线12
134
+-=
x x y 的凹凸区间和拐点. 答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的拐点为)1,0(,)3
4,1(． 解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,
(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2
-=-=''x x x x x f ,
(3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,34
)1(=f ． (3分) (4) 列表如下：
x )0,(-∞
)1,0(
1
),1(+∞
)(x f '' + 0 - 0 + )(x f
凹
拐点
凸
拐点
凹
(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3
4,1(．
(6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6分)
8、计算
?+x x dx )1(3． 答案：C x x +-6
6arctan 66
解：???+===+=+==)1(6 ]
)(1[)()1(23526
3636
6t t dt
t x x dx x x dx x
t t x (3分) ???+=-=+-+=22
21 6 611)1( 6t dt
dt dt t t ．
7
C x x C t t +-=+-=66arctan 66arctan 66． (6分)
9、计算?xdx e x 2sin ． 答案：
C x x e x +-)2cos 2sin 2
1
(104 解：???+-=-=xdx e x e x d e xdx e x x x x 2cos 2
1
2cos 212cos 212sin (3分)
??-+-=+-=xdx e x e x e x d e x e x x x x x 2sin 4
1
2sin 412cos 212sin 412cos 21,
∴C x x e xdx e x x +-=?)2cos 2sin 2
1
(1042cos ． (6分)
10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋
解：总收益函数为2
5100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,
令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,
可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(10
10=-=-
===P P P P
dP dQ Q P η, (5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分) 四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程1=x
xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x
∈-=,由于01)0(<-=f ,01)1(>-=e f ,
由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξ
ξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x
e x x
f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,
所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)
2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在
8
一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=.
证明: 令3
)
()(x
x f x F =,623)(3)()(x x f x x f x x F -'=', 显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)2(8
)
2()1()1(F f f F ==
=, 由罗尔定理知：)2,1(∈?ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.