微积分下册期末试卷及答案[1]

1、已知22

(,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.

2、已知,则=

?∞

+--dx e x x

21

___________.

π

=?

∞

+∞

--dx e x 2

3、函数

22

(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.

5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________. 6 知dx

e

x

p ?∞

+- 0

)1(与

?

-e

p x x dx

1

1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数

??

??

?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222

22

2y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( b ).

(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值

8

、若2

211

x y I +≤=

??

,2

2

212x y I ≤+≤=

??

,

2

2

324x y I ≤+≤=

??

,则下列关

系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<

9、方程x

e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=

(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x

e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=12n n

a

收敛，则∑∞

=-1)

1(n n

n

a ( d ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)

1、2(1)1x y y -+. 2

3、)

32

,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：

32

y x =的函数为

2

3,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是)6()

3(分分8

8

2

2

33

8

37

730

(4)16(80)33

128128(80)

775127

V y dy y dy

y ππππππππ

=-=--??=-?=-?-????=??

12、求二重极限

1

1lim

22220

-+++→→y x y x y x .

解：原式

11)11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)

2

)11(lim 220

=+++=→→y x y x (6分)

13、),(y x z z =由xy e z z

=+确定，求y x z

???2.

解：设(,,)z

F x y z z e xy =+-，则

x F y

=-， y F x =- ，1z z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++， 11y z z z F z x x

y F e e ?-=-=-=?++ (3分)

222

111(1)1(1)z z z z z z z z e y e z y e xy y

x y y e e e e ?+-??

?????===- ????++++?? (6分)

14、用拉格朗日乘数法求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得

12x =

,"40z =>,1

2x =

为极小值点. (3分) 故22

1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11

(,)22,极小值为32

(6分) 15、计算

?

?1 2

1

2dx

e dy y

y

y

x .

解：

21

1

2

123182x y

y

y I dy e dx e e ==-?? (6分) 6、计算二重积分22()D x y dxdy +??，其中D 是由y 轴及圆周

22

1x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解：22()D x y dxdy +??＝13200d r dr πθ??＝8π (6分)

17、解微分方程x y y +'=''.

解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +='

,于是

)(1)1()1(C dx e x e p dx

dx +??=---?)

(1C dx e x e x x +=-?

])1([1C e x e x

x

++-=-x

e C x 1)1(++-= (3分)

?2121)1(21

])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==?? (6分)

18、判别级数)

11(

133∑∞

=--+n n n 的敛散性.

解：

=

(3分)

因为lim 1

1n n →∞-== 19、将函数x -31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

解：由于

311

3131x x -?=-,已知 ∑∞

==-011n n

x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n

n n n x x x ,33<<-x . (6分

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)

与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

2

2121211028321415x x x x x x R ---++=，

求最优广告策略 解：公司利润为2

2212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=

令????

?=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即???=+=+,31208,13842121x x x x

得驻点)

25.1,75.0()45

,43(),(21==x x ,而 (3分)

0411<-=''=x x

L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,

064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：

电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)

四、证明题(每小题5分,共10分)

21、设11

33

ln()z x y =+，证明：

13z z x y x y ??+=??. 证：

2

2

3

3

113311113

3

3

3

,

x y z z x

y

x y

x y -

-

??==??++

22、若∑∞

=12n n

u 与∑∞

=12n n

v

都收敛,则∑∞

=+12

)(n n n

v u

收敛.

证：由于

)(22)(02

2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)

并由题设知∑=12n n

u

与∑=1

2n n

v

都收敛,则)

(221

2n n n v u

∑=+收敛,

从而∑∞

=+1

2

)(n n n

v u

收敛。 (6分)

1、设22

(,)y

f x y x y x -=-，则

=),(y x f _____________.

2、已1()2Γ=5()2Γ＝___________.

3、设函数

22

(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值，则常数 ________a =

4、已知)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________

5、以x

x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

__________________.

6、已知dx e p x

?∞

+- 0 与

?e

p x x dx

1

ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ).

(A) 0>p (B) 0

7、对于函数22

(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).

(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点

(C) 是极大值点 (D) 是极小值

8、已知21()D I x y d σ=+??,32()D I x y d σ=+??,其中D 为

22

(2)(1)1x y -+-≤,则( ). (A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12

I I < (D) 2212I I =

9、方程x

xe y y y 265=+'-''具有特解( ).

(A) b ax y += (B) x

e b ax y 2)(+=

(C) x e bx ax y 22)(+= (D)

x

e bx ax y 223)(+=

10、级数∑∞

=-1

2)1(n n

n n a 收敛，则级数∑∞

=1

n n

a

( ). (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定

11、求3

x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.

12、求二重极限

)1sin 1sin

(lim 0

x

y y x y x +→→.

13、设

xy y x z -+=1arctan

,求22x z ??. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.

15、计算

?

?10

1

d e d y

x x xy .

D

区域.

17、解微分方程0='+''y y x .

18、判别级数∑

∞

=???

??12!n n

n n 的敛散性.

19、将函数

x x f 1)(=

展开成)3(-x 的幂级数. 20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙产品的总费用为22

20300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润. 21、设

2

22ln z y x u ++=,证明

222222z u

y u x u ??+

??+??=2221x y z ++.

22、若∑∞

=1

2n n a 与∑∞

=1

2n n

b

都收敛,则∑∞

=1

n n

n b

a 收敛. （可能会有错误大家一定要自己核对）

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2

x z =，则=z 。 （2222x xy y y -++）

2、计算广义积分

?

+∞

1

3x dx = 。（1

2）

3、设xy

e z =，则=)1,1(dz 。（)(dy dx e +）

4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.（x

e bx ax 22)(+）

5、设1

4

n n u ∞

==∑，则

11122n n n u ∞

=??

-=

???∑_________。（1）

二、选择题(每小题3分,共15分)

1、222200

3sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ A ）

A.3

B.0

C.2

D.不存在

2、)

,(00y x f x 和)

,(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点)

,(00y x 可微的 （ A ）。 A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面z x y =--422

和z =0及柱面x y 22

1+=所围的体积是 （D ）。

A.

d d θπr r r

42

2

02-

??

； B.

20

4d r

π

θ??

；

C 、

20

d r

πθ??

； D.

4420

1

2

d d θπ

r r r

-??

4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，x

e y =2，x e y 23=，则其

A.x

x e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；

C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；

D.)()(2221

x e C e e C x

x x -+- 5、无穷级数∑∞

=--11

)1(n p

n n (p 为任意实数) （D ）

A 、收敛

B 、绝对收敛

C 、发散

D 、无法判断

三、计算题(每小题6分,共60分)

1

、求下列极限：

0x y →→。

解：

0x y →→

00

x y →→= …（3分）

00

1)112

x y →→==+= …（6分）

2、求由x y =

与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。

解：

4

21

d x V x

π=? …（4分）

7.5π= …（6分）

3、求由xyz e z

=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数

,z z x y ????。 解：方程两边对x 求导得:

x z xy

yz x z e z ??+=??,有)1(-=-=??z x z xy e yz x z z …（3分） 方程两边对y 求导得: y z xy xz y z e z

??+=??,有)1(-=-=??z y z xy e xz y z z …（6分）

4、求函数322

(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。

解：322

(,)42f x y x x xy y =-+-，则

2(,)382x f x y x x y

=-+，

(,)22y f x y x y

=-，

(,)68

xx f x y x =-，

(,)2xy f x y =，

(,)2yy f x y =-，

求驻点，解方程组2

3820220x x y x y ?-+=?

-=?，

，得

)0,0(和(2,2). …（2分）

对

)0,0(有

(0,0)80xx f =-<，

(0,0)2xy f =，

(0,0)2

yy f =-，

于是2120B AC -=-<，所以

)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分） 对(2,2)有

(2,2)4

xx f =，

(2,2)2

xy f =，

(2,2)2

yy f =-，

于是2

120B AC -=>， (2,2)不是函数的极值点。

6、计算积分??D d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域；

解：

221x x D

y

y d dx dy

x

x σ=??

??. …（4分）

2124xdx =

=? …（6分）

7、已知连续函数)(x f 满足?+=x

x x xf dt t f 0

)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f 。 解：关系式两端关于x 求导得：

1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即x x f x x f 21)(21)(-

=+' …（2分） 这是关于f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：

)

)21(()(22?+?

-?=-

c e x e x f x

d x

x

d x

=1

)(1-=+-x c c x x …（5分）

又0)1(=f ，即01=-c ，故1=c ，所以1

1

)(-=x x f …（6分）

8、求解微分方程2

12y y y '-+''=0 。

解：令y p '=，则

dp y p

dy ''=，于是原方程可化为：22

1dp p p dy y +=- …（3分）

即201dp p dy y +=-，其通解为2

2111(1)dy y

p c e c y --?==- …（5分）

21)1(-=∴y c dx dy 即dx c y dy 12

)1(=-

故原方程通解为：

211

1c x c y +-

= …（6分）

9

、求级数n n ∞

=的收敛区间。 解：令2t x =-,

幂级数变形为1

n n ∞

=

1lim 1

n t n n n a R a →∞+===. …（3分）

当1-=t 时,

级数为0(1)n

n ∞

=-∑收敛；

当1=t 时,

级数为1

n ∞

=.

故1

n n ∞

=)1,1[-=t I , …（5分）

那么n n ∞

=的收敛区间为[1,3)x I =. …（6分） 10、 判定级数∑∞

=?1!)2sin(n n n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。

解：因为

sin(2)1

!!

n x n n ?≤ …（2分）

由比值判别法知11!n n ∞

=∑

收敛(

(1)!lim 01

!n n n →∞+=)， …（4分）

从而由比较判别法知1

sin(2)

!

n n x n ∞

=?∑

收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞

=?∑绝对收敛. …（6分）

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、设正项级数1

n

n u

∞

=∑收敛,

证明级数1

n ∞

=也收敛。

证：)

(21

11+++≤n n n n u u u u ， …（3分） 而由已知∑++)(21

1n n u u 收敛，故由比较原则，∑+1n n u u 也收敛。 …（5分） 2、设)(22y x f y z -=,其中)(u f 为可导函数, 证明2

11y z

y z y x z x =??+??.

证明：因为22f f xy x z '

-=??, …（2分）

2

22f f y f y z '+=?? …（4分）

所以2

22212211y z

yf yf f y f f f y y z y x z x =='++'-=??+??. …（5分）

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、设()z x y f y x =++-，且当0x =时，2

z y =，则=z 。

（2222x xy x y -++）

2、计算广义积分

21

dx

x +∞

?

= 。（1）

3、设)1ln(22y x z ++=，则(1,2)dz = 。（12

3

3dx dy +） 4、微分方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有 形式的特解.（x

e bx ax 323)(+） 5、级数∑∞

=+1913n n

n 的和为 。（58）

二、选择题(每小题3分,共15分)

1、222200

3sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ B ）

A 、0

B 、3

C 、2

D 、不存在 2、)

,(y x f x 和)

,(y x f y 在),(00y x 存在且连续是函数)

,(y x f 在点),(00y x 可微的 （ B ）

A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。 3、由曲面

z x y =--422

和z =0及柱面

224x y +=所围的体积是 （ B ）

A.

24

00

d r

πθ?

?；

B.

2

20

4d r

θ??；

C

、

20

d r

πθ??

；

D.

20

4d r

π

θ??

4、设二阶常系数非齐次微分方程()y py qy f x '''++=有三个特解21y x =，x e y =2，x e y 23=，则其

通解为 （D ）

A 、22212()()x x x C e e C e x -+-；

B 、22123x x

C x C e C e ++；

C 、 2212x x x C e C e ++；

D 、

)()(22212x

x x e x C e e C x -+-+ 5、无穷级数121(1)n p

n n -∞

=-∑(p 为任意实数) （A ）

A 、无法判断

B 、绝对收敛

C 、收敛

D 、发散

三、计算题(每小题6分,共60分)

1

、求下列极限：

00

x y →→。

解：

0000

x x y y →→→→= …（3分）

00

11

224x y →→-===-

+ …（6分）

2、求由在区间]2,0[π上,曲线x y sin =与直线

2π

=

x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。 解：

220

sin d x V x x

π

π=? …（4分）

2

1

4π= …（6分）

3、求由xy xyz z

=-e 所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ????。

解：（一）令

=),,(z y x F xy xyz z

--e 则 y yz x F --=??， x xz y F --=??， xy

z F z -=??e

利用公式，得

xy y

yz xy y yz z F x F

x

z

z

z -+=----=????-=??e e …（3分） xy x xz xy x xz z F y

F

y

z z

z -+=----=????-=??e e …（6分）

（二）在方程两边同时对x 求导，得

y x z xy yz x z z

=??--??e

解出

xy y yz x z z

-+=??e ， …（3分） 同理解出xy x xz y z z

-+=??e …（6分）

4、求函数3

3812),(y xy x y x f +-=的极值。

解：3

3812),(y xy x y x f +-=，则

y

x y x f x 123),(2-=，

x

y y x f y 1224),(2-=，

x y x f xx 6),(=，12),(-=y x f xy ，，

y y x f yy 48),(=

求驻点，解方程组?????=-=-，，

01224012322

x y y x 得)0,0(和)1,2(. …（2分）

对

)0,0(有

0)0,0(=xx f ，

12)0,0(-=xy f ，

)0,0(=yy f ，

于是01442

>=-AC B ，所以)0,0(点不是函数的极值点. …（4分）

对)1,2(有

12)1,2(=xx f ，12)1,2(-=xy f ，48)1,2(=yy f ，

于是

048121442=A ，所以函数在)1,2(点取得极小值,

33

(2,1)21221818f =-??+?=- …（6分） …（5分）

6、计算二重积分??+D d y x σ

)2(,其中D 是由x y x y 1

,=

=及2=y 所围成的闭区域；

解：

2

11

(2)(2)y

y

D

x y d dy x y dx

σ+=+???? …（4分）

2

221

119(21)6y dy y =--

=? …（6分）

7、已知连续函数)(x f 满足0)(2)(0

=++?x

x x f dt t f ，求)(x f 。 解：关系式两端关于x 求导得：

01)(2)(=+'+x f x f 即

21)(21)(-=+

'x f x f …（2分）

这是关于f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：

)

)21(()(22

?+?

-?=-

c e e

x f d x

d x

2

2

2

1)(x x x ce c e e -

-

+-=+-= …（5分）

又

0)0(=f ，即c +-=10，故1=c ，所以1)(2

-=-x

e x

f …（6分）

8、求微分方程

02)1(2

='-''+y x y x 的通解。 解 这是一个不明显含有未知函数y 的方程

作变换 令 dy

p dx =，则

22

d y dp dx dx =，于是原方程降阶为2(1)

20dp

x px dx +-=

…（3分）

， 分离变量2

21dp x dx p x

=+，积分得

21

ln ln(1)ln p x C =++

即

2

1(1)

p C x =+，从而 21(1)

dy

C x dx =+ …（5分）

再积分一次得原方程的通解

y ＝

3

12

()3x C x C ++ …（6分）

9、求级数∑∞

=-1

)3(n n

n x 的收敛区间。 解：令3-=x t ,幂级数变形为∑

∞

=1

n n n t ,11lim 1

n t

n n n a n R a n →∞++===. …（3分）

当1-=t 时,级数为∑∞

=-01

)1(n n

n 收敛；

当1=t 时,级数为∑

∞

=1

1

n n 发散.

故∑∞

=1n n n t 的收敛区间是)1,1[-=t

I , …（5分） 那么∑∞

=-1

)3(n n n x 的收敛区间为)4,2[=x I . …（6分） 10、 判定级数1cos()

!n n x n ∞

=?∑是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛： 解：因为

cos()1

!!n x n n ?≤ …（2分） 由比值判别法知11!n n ∞

=∑收敛(1(1)!lim 01!n n n →∞+=)， …（4分）

从而由比较判别法知1

cos()!n n x n ∞

=?∑

收敛，所以级数1cos()

!n n x n ∞

=?∑绝对收敛. …（6分）

四、证明题(每小题5分,共10分)

1、设级数2

1

n

n a

∞

=∑收敛，证明1(0)n

n n a a n ∞

=>∑也收敛。

证：由于

)1

(21||

22n a n a n n +≤， …（3分） 而∑2n a ,

∑21

n 都收敛，故∑+)1(2122n a n 收敛，由比较原则知 n a n ∑收敛.。…（5分） 2、设)

2(cos 22

t

x z -=,证明:02222=???+??t x z t z 。

证明： 因为

)2sin()21

()2sin()2cos(22t x t x t x t z -=-?--?-=??, …（2分）

)2cos(2t x t z --=??, 22)2cos(2t z

t x x

t z t x z ??-=-=???=???, …（4分） 所以02222=???+??t x z t z …（5分） 高考是我们人生中

重要的阶段，我们要学会给高三的自己加油打气