遂宁市高中2020级第二学期期末教学水平监测
数 学 试 题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. sin
cos
12
12
π
π
的值是
A ．1
B ．
12 C ．14 D ．18
2. 已知0a b <<，则下列不等式正确的是
A ．22a b <
B ．22a b <
C ．
11
a b
< D ．2ab b <
3. 已知等比数列{}n a 中，51a =，916a =，则7a =
A ．4
B ．－4
C ．4±
D ．16
4. 若向量(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r
，则c r 等于
A. 1322a b -+r r
B. 3122a b -+r r
C. 3122a b -r r D ．1322
a b -r r
5. 在ABC ?中，A ＝60°，a =b =，则B 等于
A ．45°或135°
B ．135°
C ．45°
D ．30°
6. 在ABC ?中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ?一定是
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D ．正三角形 7. 不等式2
3
208
kx
kx +-<对任何实数x 恒成立，则k 的取值范围是
A. (﹣3，0 )
B. (﹣3，0]
C. [﹣3，0 )
D. [﹣3，0]
8. 《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，
书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的1
2
是较小的三份之和，则最小的1份为 A.
53磅 B. 119磅 C. 103磅 D. 209
磅 9. 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔
底B 的正东方向上，此时测得点A 的仰角为45?再由点C 沿北偏东
15?方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=?，则塔AB 的高是
A. 10m
B. 102m
C. 103m
D. 106m
10. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
7453n n A n B n +=+，则使得n n
a b 为质数的正整数n 的个数是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 11. 如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=o
为DC 中点，若N 为
菱形内任意一点（含边界），则AM AN ?uuu r uuu r
的最大值为
A. 3
B. 23
C. 6
D. 9
12．对于数列{}n a ，定义11222n n
n a a a A n
-+++=L 为数列{}n a 的“诚
信”值，已知某数列{}n a 的“诚信”值1
2
n n A +=,记数列{}n a kn -的
前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n N +∈恒成立，则实数k 的取值范围为 A. 916[,]47 B. 167
[,]73 C. 712[,]35 D. 125
[,]52
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式
2
01
x x +<-的解集为 ▲ . 14. 化简tan 20tan 25tan 20tan 25?+?+??=g ▲ . 15. 已知0,0a b >>，并且
1a ，12，1
b
成等差数列，则4a b +的最小值为 ▲ .
16. 已知函数()f x 的定义域为D ,若对于,,,a b c D ?∈()f a 、()f b 、
()f c 分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”。给
出下列四个函数：
①()4sin f x x =-； ②23
()cos 2sin 8
f x x x =++
； ③3sin ()2sin x
f x x
-=
+；④(1sin )(1cos )(),(0,)sin cos 2x x f x x x x π+?+=
∈+. 其中为“三角形函数”的数是 ▲ .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤。） 17．（本题满分10分）
已知i v ,j v
是互相垂直的两个单位向量，2a i j =+v v
v
，
32b i j =-+v v v
.
（Ⅰ）求|2|a b -r r
的值；
（Ⅱ）当k 为何值时，ka b +r r 与2a b -r r
共线.
18．（本题满分12分）
已知{}n a 是等比数列，12a =，且1a ，31a +，4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．（本题满分12分）
已知函数()21
cos()sin 2
2
f x x x x π
=-+-
. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若04x π?
?∈
????
，，()f x =，求cos2x 的值
.
20．（本题满分12分）
建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”。某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量w （单位：千克）与肥料费用10x （单位：元）满足如下关系：
()2510(02)30
40(25)1x x x x x ω?+≤≤?=?-<≤?
+?
。此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）20x 元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求。记该棵水果树获得的利润为()f x （单位：元）。 （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；
（Ⅱ）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？
▲
21．（本题满分12分）
如图：在ABC ?中，2
2
2
2
3
b a
c ac =+-
，点D 在线段AC 上，且2AD DC =.
（Ⅰ）若2AB =，3
3
BD =
．求BC 的长； （Ⅱ）若2AC =，求△DBC 的面积最大值．
▲
22．（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且3
2,2
n n n S a =- *n N ∈. （Ⅰ）求证12n n a ??
-
????
为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1n S ??
?
???
的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*,m n N ∈，不等式m n 0T S λ-<恒成立？若存在，求出λ的最小值，
若不存在，请说明理由.
▲
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数学试题参考答案及评分意见
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.(2,1)- 14.1 15.9 16.①④
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（10分）
解：（1）因为i r ,j r 是互相垂直的单位向量，所以221i j ==r r ,0
i j ?=r r
272a b i j -=-v r v
r ;
…………2分
∴
|2|a b -===r r …5分
（2） ∵ka b +r r 与2a b -r r
共线，
∴
(2)
ka b a b λ+=-r r r r
，
又
,a b
r r 不共
线； …………8分
∴
,21k λλ=-=
1
2
k =- …………10分
【解法二】
解：设a r 与b r
的夹角为θ，则由i r ， j r 是互相垂直的单位向量，不妨
设i r ,j r
分别为平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，则
()()1,2,3,2a b ==-r r
…………1分 （1）()()()
21,223,27,2a b -=--=-r r
∴
|2|a b -==r r
……
……5分
（2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+r
r ，
()()()21,223,27,2a b -=--=-r r
∵
ka b
+r r 与
2a b
-r r 共线，
∴()()72223k k +=-- …………8分
∴
1
2
k =-
…………10分 18．（12分）
（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由1a ，31a +，4a 成等差数列
∴
3142(1)a a a +=+， ……
……2分
即342a a = ∴4
3
2a q a =
= ∴
112n n n a a q -==. ……
……6分
（2）由2n
n b n =?
211222(1)22n n n S n n -=?+?++-?+?L
231
212 22(1)22n n n S n n +=?+?++-?+?L
…………8分
两式作差：2
3
1
222 222
n
n n n S S n +-=++++-?L
1
2(12)212
n n n +-=--
…………10分
∴
1(1)22n n S n +=-+ …………
12分
19．（12分）
解
:
（
1
）
()21
cos()sin 22
f x x x x π=-+-
212sin
cos 2
x
x x -=-
1
cos 22
x x =
-
sin(2)
6
x π
=-
……………3分 令
2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，
6
3k x k π
π
ππ-
≤≤+
……………5分
所以，()f x 的单调递增区间为63k k ππππ?
?
-+???
?，， k Z ∈.
……………6分
（2）()sin 263
f x x π?
?
=-
= ?
?
?，
∵04x π?
?∈????，∴2663x πππ
-≤-≤∴cos 26x π?
?-= ??
?
……………9分 ∴
cos2cos 266x x ππ??
??=-+ ????
???
……………10分
31cos 2sin 26262x x ππ???
?=-?--?
? ?????
63132=
?-?
323232-=
=-. ……………12分 20．（12分） （
1
）
()()162f x w x x x =--()
()2803016002480
64030251=x x x x x x -+≤≤-?-<≤+?
???
……………6分 （
2
）
当
02x ≤≤时
()()max 2420f x f == ……………8分
当
25x <≤时
()()166703011f x x x ??
=-++??+??
()166706014301x x ≤-?+=+ 当且仅当
()11
16
x x =++时，即3x =时等号成立 ……………11分
答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. …12分 21．（12分）
∵
2222
2
2
21
cos 323
a c
b b a
c ac B ac +-=+-?== ………
……1分
(1)法一、在ABC ?中,设BC a =,3AC m =由余弦定理可得：
224
943
m a a =+- ①
……………2分
在ABD ?和DBC ?中，由余弦定理可得：
222161644cos m m a ADB BDC +
-+-∠=
∠=又因为cos cos 0ADB BDC ∠+∠=
∴
2221616440m m a +
-+-=得
2236
m a -=-② ……………4分
由①②得3,1a m == ∴
3BC =. ……………6分
法二、向量法：2AD DC =得
12233
AD DC BD BA BC =?=+uuu r uuu r uu u r uu r uu u r
……………3分
22
12()()33
BD BA BC =+uu u r uu r uu u r
得
22214412||2||9993
BC BC =?++???uu u r uu u
r ……5分
11
|| 3 (||3
BC BC 舍）==-uu u r uu u r ……………6分 （2）
1cos ,(0,)sin 33
B B B π=∈∴==Q …
…………7分
由2
2
2
222224
423333
b a
c ac a c ac ac ac ac =+-
?=+-≥-= ∴3ac ≤ （当且仅当a c =取等
号） ……………10分
由
2AD DC
=，可得
11111sin 333232BDC ABC S S ac B ??==?≤?=∴DBC ?的面积最大值为
3
. ……………12分 22．（12分）
解析：（1)证明：当1n =时，
11133
222
S a a ∴=-∴= ……………1分
当2n ≥时，
n 11133 S =2 222
n n n n n a S a ----
∴=-Q ……………2分 两式作差：n 111
33
S =(2)(2)22n n n n n S a a ----=-
--
111
31122()222n n n n n n n a a a a ---=-
?-=-， ……………4分
1
{}2
n n a ∴-以1为首项，公比为2的等比数列; 11
2+
2n n n
a -∴= ……………5分 （2）
112+
2n n n
a -=Q 代
入
n 3S =2 2
n n a -
得
n 1
S =2 2n n
-
……………6分 由11
n n-111111S -S =(2)(2)=20222
n
n n n n n -------+> ∴
{}
n S 为
递
增
数
列
，
min 13
()2
n S S ==
……………7分 n
n 2n 12b ==1
2-n S 令 ∴n n n 2n n
n 2(22b =-1-12(2)+1)=?
()n n-1n n n n n-1n-1n 2211
b 22-1222-1212-12-1
n （）（）（）（）∴<==-≥?-?- …
……9分
当1n =时，112
3
T b ==
； 当2n =时，2122414
31515
T b b =+=+
=；
当
3
n ≥时，
n-1n 12241111()()(315377111)2-512-1
n n T b b b =+++≤
++-+-++-L L
19119
152115
n =
-<-； ∵
19
381513452
m n
T S <=< ……………11分 ∴存在正整数λ对任意*
,m n N ∈，不等式m n 0T S λ-<恒成立，
正整数λ
的最小值为
1 ……………12分