北京2013届高三最新文科模拟试题分类汇编5：数列
一、选择题
错误！未指定书签。 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于
任意正整数n 都有n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足
1(0)a m m =>,11, 1=1
, 0 1.n n n n n
a a a a a
+->???<≤??，
则下列结论中错误．．
的是
（ ）
A ．若45
m =
,则53a =
B ．若32a =,则m 可以取3个不同的值 C
．若m =
则数列{}n a 是周期为3的数列
D ．Q m ?∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数列
【答案】
D ．
错误！未指定书签。 ．（2013届北京丰台区一模文科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,
则
31
S a
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
错误！未指定书签。 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知数列{}n a 中,45n a n =-+,等比
数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =,则12n b b b +++=L
（ ）
A ．14n
- B ．41n
- C ．
143
n
- D ．
413
n
-
【答案】
B ．
错误！未指定书签。 ．（2013届房山区一模文科数学）设集合M 是R 的子集,如果点0x ∈R 满
足:00,,0a x M x x a ?>?∈<-<,称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以0为聚点的有:①{
|}
1
n n n ∈+N ; ②{|,0}x x x ∈≠R ; ③*2
{|}n n
∈N ; ④Z
（ ）
A ．②③
B ．②④
C ．①③
D ．①③④
【答案】A
错误！未指定书签。 ．（2013届北京西城区一模文科）设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且
10a >.若232S a >,则q 的取值范围是
（ ）
A ．1(1,0)(0,)2
- B ．1(,0)(0,1)2
-
C ．
1(,1)(
,)
2-∞-+∞
D ．1(,)(1,)2
-∞-
+∞
【答案】B;
错误！未指定书签。 ．（2013届北京海滨一模文）等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为
（ ）
A ．14
B ．18
C ．21
D ．27
【答案】A
错误！未指定书签。 ．（2013北京东城高三二模数学文科）在数列{}n a 中,若对任意的*n ∈N ,都有
211
n n n n
a a t
a a +++-=(t 为常数),则称数列{}n a 为比等差数列,t 称为比公差.现给出以下命题:
①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ②若数列{}n a 满足12
2
n n a n
-=,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差12
t
=
;
③若数列{}n c 满足1
1c =,21c =,12n n n c c c --=+(3n
≥),则该数列不是比等差数列;④若{}
n a 是等差数
列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①③
【答案】 D ．
错误！未指定书签。 ．（2013届北京东城区一模数学文科）对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系
如下表:
数列}{n x 满足21=x ,且对任意*n ∈N ,点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上,则
201320124321x x x x x x ++++++ 的值为
（ ）
A ．9394
B ．9380
C ．9396
D ．9400
【答案】A
错误！未指定书签。．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,
则该等差数列的公差为
（ ）
A ．3或3-
B ．3或1-
C ．3
D ．3-
【答案】C
错误！未指定书签。．（2013届北京门头沟区一模文科数学）在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则
12a 的值是
（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
【答案】A 二、填空题
错误！未指定书签。．（2013届北京大兴区一模文科）已知数列{}n a ,1
+2n n a a +=,1=1a ,数列11
n n a a +禳镲镲睚
镲镲铪
的
前n 项和为1837
,则n =_______.
【答案】
18
错误！未指定书签。．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）在等比数列{}
n a 中,32420a a a -=,则3a =___,若{}n b 为等差数列,且33b a =,则数列{}n b 的前5项和等于________ .
【答案】2;10 错误！未指定书签。．（2013届北京大兴区一模文科）已知函数()f x 是定义在(0,)+ 上的单调递增函数,
且*?N x 时,()*?N f x ,若[()]3f f n n =,则(2)=f ________;(4)(5)f f +=_________ 【答案】
3,15
错误！未指定书签。．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）观察下列算式:
l 3
=1, 23
=3+5, 33
= 7+9+11, 43
=13 +15 +17 +19 ,
若某数n 3
按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则n=____________. 【答案】45 错误！未指定书签。．（2013届北京东城区一模数学文科）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状,其
中每一行比上一行增加两项,若n
n a a =(0)a ≠, 则位于第10行的第8列的项等于___,2013a 在图中位于___.(填第几行的第几列)
【答案】89
a 第45行的第77列
注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
错误！未指定书签。．（2013届北京市延庆县一模数学文）已知定义在正整数集上的函数)(n f 满足以下条
件:
(1)()()()f m n f m f n mn +=++,其中,m n 为正整数;(2)6)3(=f .则=)2013(f ______. 【答案】2027091
错误！未指定书签。．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知等差数列{}n a 的公差为2-,3a 是1a 与4
a 的等比中项,则首项=1a _,前n 项和=n S __. 【答案】 8;n n 92+- n *
∈N
错误！未指定书签。．（2013北京朝阳二模数学文科试题）数列{21}n
-的前n 项1,3,7,,21n
- 组成集合
{1,3,7,,21}()n
n A n *
=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数,其所有可能的k 个数的
乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++ .例如当1n =时,1{1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =?,213137S =++?=.则当
3n =时,3S =______;试写出n S =______.
【答案】 63,(1)
2
2
1n n +-
(注:两空的填空,第一空3分,第二空2分)
错误！未指定书签。．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）等差数列{n a }中,35a =,53a =,则该数列的前10项和S 10的值是_______.
【答案】 25; 错误！未指定书签。．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）在等差数列{a n }中,a l =-2013,其前
n 项和为S n ,若
101212
10
S S -=2,则2013S 的值等于___________.
【答案】2013-
错误！未指定书签。．（2013届北京西城区一模文科）已知数列{}n a 的各项均为正整数,其前n 项和为n S .
若1
, ,231, ,
n
n n n
n a a a a a +??
=??+?是偶数是奇数且329S =, 则1a =______;3n S =______. 【答案】5,722n +.
三、解答题
错误！未指定书签。．（2013届北京门头沟区一模文科数学）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,满
足下列条件
①0≠∈?n a N n ,*
;②点),(n n n S a P 在函数2
2
x x x f +=
)(的图象上;
(I)求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ; (II)求证:10121<-≤+++||||n n n n P P P P .
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效 【答案】解:(I)由题意
2
2
n
n n a a S +=
当2≥n 时
2
2
1
2
12
1---+-
+=
-=n n n
n n n n a a a a S S a
整理,得
0111=--+--))((n n n n a a a a
又0≠∈?n a N n ,*,所以01=+-n n a a 或011=---n n a a
01=+-n n a a 时,11=a ,
11
-=-n n a a ,
得
1
1--=n n a )
(,2
11n
n S )
(--=
011=---n n a a 时,11=a ,11=--n n a a ,
得
n a n =,2
2
n n
S n +=
(II)证明:01=+-n n a a 时,))
(,
)
((2
1111
n
n n P ----
5121=
=+++||||n n n n P P P P ,所以0121=-+++||||n n n n P P P P 011=---n n a a 时,),
(2
2
n n
n P n +
2
2121)
(||++=
++n P P n n ,2
111)
(||++=
+n P P n n
2
2
2
22
2
121112*********)
()
()()()()(||||++++++--++=
++-++=
-+++n n n n n n P P P P n n n n
2
2
11213
2)
()
(+++
+++=
n n n
因为 1112212
2
+>+++>++n n n n )
(,)(
所以
111213
202
2
<++++++<
)
()
(n n n
综上
10121<-≤+++||||n n n n P P P P
注:不同解法请教师参照评标酌情给分.
错误！未指定书签。．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (I)若11a =,10100S =,求{}n a 的通项公式;
(II)若2
6n S n n =-,解关于n 的不等式2n n S a n +>. 【答案】解:(I)设{}n a 的公差为d
因为
11
a =,
110
1010100
2
a a S +=
?= 所以1101,19a a == 所以2d = 所以 21n a n =-
(II)因为2
6n S n n
=-
当2
n ≥时,
2
1(1)6(1)
n S n n -=--- 所以27n a n =-,2n ≥
又1n =时,11527a S ==-=- 所以 27n a n =- 所以
2
47
n n S a n n +=-- 所以2472n n n -->,即2
670n n -->
所以7n >或1n <-,所以7n >,N n ∈
错误！未指定书签。．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分13分)
设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次“操作”后所得
的数表(写出一种方法即可
(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若经过任意一次“操作”以后,便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数a 的值; (Ⅲ)对由m n ?个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ,
能否经过有限次“操作”以后,使得得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 【答案】解:(I) 法1:
421237123712372
1
1
2
1
1
2
1
1
-?????→
?????→
----改变第列
改变第行
法2:
2
2
22
1212
2a
a a a a
a
a a
------表
241237123712372
1
1
2
1
1
2
1
1
--?????→
?????→
----改变第行
改变第列
法3:
141237123712372
1
1
2
1
1
2
1
1
----?????→
?????→
--改变第列
改变第列
(写出一种即可)
(II) 每一列所有数之和分别为2,0,2-,0,每一行所有数之和分别为1-,1; ①如果操作第三列,则
2
2
22
1212a a a a a
a
a
a
-----
则第一行之和为21a -,第二行之和为52a -,
210520
a a -≥??
-≥?,解得1,2a a ==
② 如果操作第一行
222
2
1212
a a a a a
a
a a
-----
则每一列之和分别为22a -,222a -,22a -,22a 解得1a = 综上1a =
(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中m n 个数之和增加,且增加的幅度大于等于1(1)2--=,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中m n
个数之和必然小于等于
1
1
||
m
n
ij
i j a
==∑∑,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立
错误！未指定书签。．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且
51630,14S a a =+=.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}2
n
a 的前n 项和公式.
【答案】解(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d , 因为51630,14S a a =+=
所以11
545302
2514a d a d ??
+
=???+=?解得12, 2.a d ==
所以1(1)2(1)22.n a a n d n n =+-=+-?= (Ⅱ)由(Ⅰ)可知2n a n =,令2
n
a n
b = 则4n
n b =, 又
114
4()4
n n n
n
b n N b +*
+=
=∈
所以{}n b 是以4为首项,4为公比的等比数列, 设数列{}n b 的前n 项和为n T
则1
2
3
124(14)4
4444414
3
3
n
n n
n n T b b b +-=+++=++++=
=
-
-
错误！未指定书签。．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）给定有限单调递增数列
{x n }(n ∈N *,n≥2)且x i ≠0(1≤ i ≤n),定义集合A={(x i ,x j )|1≤i,j≤n,且i,j ∈N *
}.若对任意点A 1∈A,存在点A 2∈A 使得OA 1⊥OA 2(O 为坐标原点),则称数列{x n }具有性质P. (I)判断数列{x n }:-2,2和数列{y n }:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由. (II)若数列{x n }具有性质P,求证:
①数列{x n }中一定存在两项x i ,x j 使得x i +x j =0: ②若x 1=-1, x n >0且x n >1,则x 2=l. 【答案】
错误！未指定书签。．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2,
等比数列{}n b 中,1
143,1b a b a ==+.记集合{},*,
n A x x a n N ==∈ {}
,*n B
x x b n N ==∈,U
A B
=?,
把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c . (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)求数列{}n c 的前50项和50S ;
(Ⅲ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,写出数列{}n d 的通项公式,并说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n b 的公比为q,
11431,18b a b a ===+=,则q 3
=8,∴q=2,∴b n =2n-1
,
(Ⅱ)根据数列{a n }和数列{}n b 的增长速度,数列{}n c 的前50项至多在数列{a n }中选50项,数列{a n }的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,,148},由2n-1
<148得,n≤8,数列{b n }的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{a n }中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a 46=136>128,故数列{c n }的前50项应包含数列{a n }的前46项和数列{b n }中的2,8,32,128这4项 所以S 50=
14646()
2832128
2
a a +++++=3321;
(Ⅲ)据集合B 中元素2,8,32,128?A,猜测数列{}n d 的通项公式为d n =2
2n-1
d n =b 2n ,∴只需证明数列{b n }中,b 2n-1∈A,b 2n ?A(n N *
∈)
证明如下:
b 2n+1-b 2n-1=22n -22n-2=4n -4n-1=3×4n-1,即b 2n+1=b 2n-1+3×4n-1
,
若?m∈N *,使b 2n-1=3m-2,那么b 2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1
)-2,所以,若b 2n-1∈A,则b 2n+1∈A.因为b 1∈A,重复使用上述结论,即得b 2n-1∈A(n N *∈). 同理,b 2n+2-b 2n =2
2n+1
-2
2n-1
=2×4n -2×4n-1=3×2×4n-1,即b 2n+2=b 2n +3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1
” 数列{}
n a 的公差3的整数倍,所以说明b 2n 与b 2n+2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A, 当n=1时,显然b 2=2?A,即有b 4=2?A,重复使用上述结论,
即得b 2n ?A,∴d n =22n-1
;
错误！未指定书签。．（2013届北京大兴区一模文科）已知数列}{n a 的各项均为正整数,且
12 n a a a <<<,
设集合1
{|101}1，，或，或（≤≤）n
k i
i
i
i i i A x x a k n λλ
λλ===
=-==∑.
性质1 若对于k x A ?∈,存在唯一一组i λ(1,2,，i k =???)使1
k
i
i
i x a λ==∑成立,则称数列}{n a 为完备数列,
当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列.
性质2 若记1
（1≤≤）k
k i
i m a
k n ==
∑,且对于任意≤k
x m ,x ∈Z ,都有k x A ∈成立,则称数列}{n a 为完
整数列,当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列.
性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2,则称此数列}{n a 为完美数列,当k 取最大值时}{n a 称为
k 阶完美数列;
(Ⅰ)若数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ,求集合2A ,并指出}{n a 分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;
(Ⅱ)若数列}{n a 的通项公式为1
10-=n n a ,求证:数列}{n a 为n 阶完备数列,并求出集合n A 中所有元
素的和n S .
(Ⅲ)若数列}{n a 为n 阶完美数列,试写出集合n A ,并求数列}{n a 通项公式. 2013年高三统一练
【答案】解:(Ⅰ)}4,3,2,1,0,1,2,3,4{2----=A ;
}{n a 为2阶完备数列,n 阶完整数列,2阶完美数列;
(Ⅱ)若对于∈?x n A ,假设存在2组i λ及i μ(n i ,2,1 =)使∑
==
n
i i i a x 1
λ成立,则有
1
2
20
11
2
20
110
10101010
10--+++=+++n n n n μμμλλλ ,即
010
)(10)(10)(1
1
220
11=-++-+--n n n μλμλμλ ,其中}
1,0,1{,-∈i i μλ,必有
n n μλμλμλ=== 2211,,
所以仅存在唯一一组i λ(n i ,2,1 =)使∑
==
n
i i i a x 1
λ成立,
即数列}{n a 为n 阶完备数列;
0=n S ,对∈?x n A ,∑
==
n
i i i a x 1
λ,则∑∑==-=-=-n
i i i n i i i a a x 1
1
)(λλ,因为}1,0,1{-∈i λ,则
}1,0,1{-∈-i λ,所以n A x ∈-,即0=n S
(Ⅲ)若存在n 阶完美数列,则由性质1易知n A 中必有n
3个元素,由(Ⅱ)知n A 中元素成对出现(互为相反数),且n A ∈0,又}{n a 具有性质2,则n A 中n
3个元素必为
31333331
{,,1,0,1,,}2
2
22
n
n
n n
n A ----=-
-
- .
1
3
n n a -=
错误！未指定书签。．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知实数12,,,n x x x (n *
∈N 且2n ≥)满足
||1i x ≤ ()1,2,,i n =???,记121(,,,)n i j i j n
S x x x x x ≤<≤=
∑
.
(Ⅰ)求2(1,1,)3
S --
及(1,1,1,1)S --的值;
(Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值; (Ⅲ)当n 为奇数时,求12(,,,)n S x x x 的最小值. 注:
1i j i j n
x x ≤<≤∑
表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<≤)的乘积之
【答案】解:(Ⅰ)由已知得222(1,1,)11333
S --
=-+
-=-.
(1,1,1,1)1111112S --=----+=-
(Ⅱ)3n =时,12312132313
(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤==
=++∑
.
固定23,x x ,仅让1x 变动,那么S 是1x 的一次函数或常函数, 因此2323m in{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-. 同理2333(1,,)m in{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-.
2333(1,,)m in{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---.
以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可以被某一组取值1±的123,,x x x 所达到,于是
12
3
1
1,2,3
m i n {(,,)}k x k S S x x x =±=≥.
当1k x =±(1,2,3k =)时,
2
2
2
2
1231231[()()]2
S x x x x x x =
++-++2
12313()2
2
x x x =
++-
.
因为123||1x x x ++≥,所以13122
S ≥-=-,且当121x x ==,31x =-,时1S =-,
因此m in 1S =- (Ⅲ)121(,,,)n i j i j n
S S x x x x x ≤<≤==
∑
121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++ .
固定23,,,n x x x ,仅让1x 变动,那么S 是1x 的一次函数或常函数, 因此2323m in{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥- .
同理2333(1,,,,)m in{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥- .
2333(1,,,,)m in{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥--- .
以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可以被某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到,于是
121
1,2,,m in {(,,,)}k n x k n
S S x x x =±=≥
.
当1k x =±(1,2,,k n = )时,
2
2
2
2
12121[()()]2
n n S x x x x x x =
+++-+++ 2
121()2
2
n n x x x =
+++-
.
当n 为奇数时,因为12||1n x x x +++≥ , 所以1(1)2
S n ≥-
-,另一方面,若取1212
1n x x x -==== ,
1
1
1
2
2
2
1n n n x x x --++====- ,那么1(1)2
S n =-
-,因此m in 1(1)2
S n =-
-
错误！未指定书签。．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习文科数学）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按
任意顺序组成的没有重复数字的数组,记为1210(,,,)x x x τ= ,设10
11
()|23|k k k S x x τ+==-∑,其中
111x x =.
(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值; (Ⅱ)求证:()55S τ≥; (Ⅲ)求()S τ的最大值.
(注:对任意,a b ∈R ,a b a b a b -≤±≤+都成立.)
【答案】解:(Ⅰ)10
11
()|23|7654321012857k k k S x x τ+==-=+++++++++=∑
(Ⅱ)证明:由a b a b +≥+及其推广可得,
12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++- 121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++
=121010(110)
552
x x x ++++=
=
(Ⅲ)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下:
20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3
其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=,所以()131S τ≤, 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=,0()131S τ=, 所以()S τ的最大值为131
注:使得()S τ取得最大值的有序数组中,只要保证数字1,2,3,4互不相邻,数字7,8,9,10也互不相邻,而数字5和6既不在7,8,9,10之一的后面,又不在1,2,3,4之一的前面都符合要求.
错误！未指定书签。．（2013届北京西城区一模文科）已知集合
*
12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N .
对于12(,,,)n A a a a = ,12(,,,)n n B b b b S =∈ ,定义1122(,,,)n n A B b a b a b a =---
;
1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ;A 与B 之间的距离为1
(,)||n
i
i i d A B a
b ==
-∑.
(Ⅰ)当5n =时,设(1,2,1,2,5)A =,(2,4,2,1,3)B =,求(,)d A B ;
(Ⅱ)证明:若,,n A B C S ∈,且0?>λ,使A B B C λ=
,则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=;
(Ⅲ)记20(1,1,,1)I S =∈ .若A ,20B S ∈,且(,)(,)13d I A d I B ==,求(,)d A B 的最大值. 北京市西城区2013年高三一模试
【答案】(Ⅰ)解:当5n =时,由5
1
(,)||i
i i d A B a
b ==
-∑, [
得 (,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=, 所以 (,)7d A B =
(Ⅱ)证明:设12(,,,)n A a a a = ,12(,,,)n B b b b = ,12(,,,)n C c c c = .
因为 0?>λ,使A B B C λ=
,
所以 0?>λ,使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,, 所以 0?>λ,使得 ()i i i i b a c b λ-=-,其中1,2,,i n = .
所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数
所以 1
1
(,)(,)||||n
n
i
i i i i i d A B d B C a
b b
c ==+=
-+-∑∑
1(||||)n
i
i i i i b
a c
b ==
-+-∑
1
||(,)n
i
i i c
a d A C ==
-=∑
(Ⅲ)解法一:20
1
(,)||i
i i d A B b
a ==
-∑.
设(1,2,,20)i i b a i -= 中有(20)m m ≤项为非负数,20m -项为负数.不妨设1,2,,i m = 时
0i i b a -≥;1,2,,20i m m =++ 时,0i i b a -<.
所以 20
1
(,)||i
i i d A B b
a ==
-∑
121212201220[()()][()()]m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++
因为 (,)(,)13d I A d I B ==,
所以 20
20
1
1
(1)(1)i i
i i a b
==-=
-∑∑, 整理得 20
20
1
1
i i
i i a b
===
∑∑.
所以 20
12121
(,)||2[()]i
i m m i d A B b
a b b b a a a ==
-=+++-+++∑
因为 1212201220()()m m m b b b b b b b b b +++++=+++-+++
(1320)(20)113m m ≤+--?=+;
又 121m a a a m m +++≥?= ,
所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++
2[(13)]26m m ≤+-=.
即 (,)26d A B ≤ 对
于
(1,1,,1,14)
A = ,(14,1,1,,1)
B = ,有 A ,
20
B S ∈,且
(,)(,)13d I A d I B ==,(,)26d A B =.
综上,(,)d A B 的最大值为26
解法二:首先证明如下引理:设,x y ∈R ,则有||||||x y x y +≤+. 证明:因为 ||||x x x -≤≤,||||y y y -≤≤, 所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+,
即 ||||||x y x y +≤+.
所以 20
20
1
1
(,)|||(1)(1)|i
i i
i i i d A B b
a b
a ===
-=
-+-∑∑
20
1(|1||1|)i
i i b
a =≤
-+-∑
20
20
1
1
|1||1|26i
i
i i a
b
===
-+
-=∑∑
上式等号成立的条件为1i a =,或1i b =,所以 (,)26d A B ≤ 对
于
(1,1,,1,14)
A = ,(14,1,1,,1)
B = ,有 A ,
20
B S ∈,且
(,)(,)13d I A d I B ==,(,)26d A B =.
综上,(,)d A B 的最大值为26
错误！未指定书签。．（2013北京西城高三二模数学文科）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x = 是
正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥,函数
1,
0,()1,0.
x g x x >?=?-
对于12(,,)n n a a a S ∈…,定义:121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈ ,10b =,称i b 为i a 的满意指数.排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列. (Ⅰ)当6n =时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列;
(Ⅱ)证明:若12,,,n a a a 和12
,,,n a a a ''' 为n S 中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅲ)对于n S 中的排列12,,,n a a a ,进行如下操作:将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各项满意指数之和比原
排列的各项满意指数之和至少增加2.
【答案】(Ⅰ)解:当6n =时,排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-
(Ⅱ)证明:设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ;12
,,,n a a a ''' 的生成列是与12,,,n b b b ''' .
从右往左数,设排列12,,,n a a a 与12,,,n a a a ''' 第一个不同的项为k a 与k a ',即:n n
a a '=,11n n a a --'=, ,11k k a a ++'=,k k a a '≠. 显然 n n
b b '=,11n n b b --'=, ,11k k b b ++'=,下面证明:k k b b '≠ 由满意指数的定义知,i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数.
由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同,设这k 项中有l 项比k a 小,则有1k l --项比k a 大,从而
(1)21k b l k l l k =---=-+.
同理,设排列12
,,,n a a a ''' 中有l '项比k a '小,则有1k l '--项比k a '大,从而21k b l k ''=-+. 因为 12,,,k a a a 与12
,,,k a a a ''' 是k 个不同数的两个不同排列,且k k a a '≠, 所以 l l '≠, 从而 k k b b '≠.
所以排列12,,,n a a a 和12
,,,n a a a ''' 的生成列也不同 (Ⅲ)证明:设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ,且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-
依题意进行操作,排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+ ,设该排列的生成列为
12
,,,n b b b ''' 所以 12
12()()n n b b b b b b '''+++-+++ 121121[()()()][()()()]
k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-++---+-++-
1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++- 22k b =-≥.
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2
错误！未指定书签。．（2013届房山区一模文科数学）对于实数x ,将满足“10<≤y 且y x -为整数”的
实数y 称为实数x 的小数部分,用记号x 表示.
例如811.20.2 1.20.87
7
=-==,,.对于实数a ,
无穷数列{}n a 满足如下条件:1a a =,1
1
00
0n n n
n a a a a +?≠?=??=?,,
其中123n = ,,,.
(Ⅰ)若311a =,求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)当12
a >时,对任意的n ∈*N ,都有a a n =,求符合要求的实数a 构成的集合A ;
(Ⅲ)设2013
p
a =
(p 是正整数,p 与2013互质),对于大于2013的任意正整数n ,是否都有0=n a 成
立,证明你的结论. 【答案】(Ⅰ)13311
11
a =
= ,21
11123
3
a a =
=
=
,32
1312
2
a a =
=
=
43
120
a a =
==,
所以 123321,,,0(4)11
3
2n a a a a n =
==
=≥
(Ⅱ)1a a a == ,12
a > 则
112
a << ,从而112
a
<
<
则 21
1111a a
a a
a
=
==-= 所以210a a +-=
解得
:2
a =
(1,12
2a ??=
???
,舍去)
所以集合 A =
{2
a
=}
(Ⅲ)结论成立
易知a 是有理数,所以对一切正整数n ,n a 为0或正有理数,
设
n n n
p a q =
(
n
p 是非负整数,
n
q 是正整数,且,n n p q 互质)
由111
2013
p p
a q =
=,可得102013p ≤<;
若
≠n p ,设n n q p αβ=+(n p <≤β0,βα,是非负整数)
则
n
n
n
p p q β
α+
= ,而由
n
n n q p a =
得
n
n n
p q a =
1
11n n n
n
n
q a a p p β+=
=
=
,故
β
=+1n p ,
n
n p q =+1,可得
n
n p p <≤+10
若0
=n p 则
1=+n p , 若
1232013
,,,,a a a a ???均不为0,则这2013个正整数
(1,2,3,,2013)
n p n = 互不相同且都小于
2013,但小于2013的正整数共有2012个,矛盾.
故
1232013
,,,,a a a a ???中至少有一个为0,即存在(12013)m m ≤≤,使得0
=m a .
从而数列
{}n a 中m a 以及它之后的项均为0,
所以对于大于2013的自然数n ,都有
=n a
错误！未指定书签。．（2013北京西城高三二模数学文科）已知等比数列{}n a 的各项均为正
数,28a =,3448a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设4lo g n n b a =.证明:{}n b 为等差数列,并求{}n b 的前n 项和n S . 【答案】
(Ⅰ)解:设等比数列{}n a 的公比为q ,依题意 0q > 因为 28a =,3448a a +=, 两式相除得 2
60q q +-=, 解得 2q =, 舍去 3q =- 所以
214a a q
=
=
所以数列{}n a 的通项公式为 1
1
12
n n n a a q -+=?=
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 41lo g 2n n n b a +==
因为 12112
2
2
n n n n b b +++-=-=,
所以数列{}n b 是首项为1,公差为12
d =
的等差数列
所以 2
1(1)
32
4
n n n n n S n b d -+=+
=
错误！未指定书签。．（2013
北京东城高三二模数学文科）已知数列
{}n a ,11a =,2n n a a =,410n a -=,411n a +=(*)n ∈N .
(Ⅰ)求4a ,7a ;
(Ⅱ)是否存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. 【答案】(共13分)
解:(Ⅰ)4211a a a ===; 74210a a ?-==. (Ⅱ)假设存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=.
则存在无数个正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. 设T 为其中最小的正整数.
若T 为奇数,设21T t =-(*t ∈N ), 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====. 与已知411n a +=矛盾. 若T 为偶数,设2T t =(*t ∈N ),
则22n T n n a a a +==, 而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=.
而t T <,与T 为其中最小的正整数矛盾.
综上,不存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=
错误！未指定书签。．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,且
339a S ==.
(Ⅰ)求}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)若等比数列}{n b 满足1244,b a b S ==,求}{n b 的前n 项和公式. 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d .因为339a S ==,
所以11
29
339a d a d +=??+=? 解得13,6a d =-=
所以3(1)669n a n n =-+-?=-
(II)设等比数列{}n b 的公比为q ,因为1244(3)63,=-12+36=24,b a b S ==-+== 所以3
324, 2.q q ==解得， 所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)3(21).1n
n
n b q T q
-=
=--
错误！未指定书签。．（2013届北京丰台区一模文科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为
n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”: ① 1230n a a a a ++++= ; ② 1231n a a a a ++++= .
(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”; (Ⅱ)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式;
(Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ,试证:2
1≤k S .
丰台区2013年高三年级第二学期统一练习(一
【答案】设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为n(n=2,3,4,,)阶“期待数列”: ③ 1230n a a a a ++++= ; ④ 1231n a a a a ++++= .
(Ⅰ)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”;
(Ⅱ)若某个2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式; (Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n = ,试证:2
1≤
k S .
解:(Ⅰ)数列11,0,
2
2
-
为三阶期待数列
数列3113
,,,8
888
-
-
为四阶期待数列, (其它答案酌情给分) (Ⅱ)设该2013阶“期待数列”的公差为d , 因为12320130a a a a ++++= ,120132013()
0,2
a a +∴=120130a a ∴+=,
即10070a =, 1008a d ∴=, 当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾,
当d>0时,据期待数列的条件①②可得1008100920131,2
a a a +++=
∴10061005
111006,2
2
10061007
d d d ?+
=
=
?即,
∴该数列的通项公式为10071007(1007).10061007
n n a a n d -=+-=
?()*2013n N n ∈≤且,
当d<0时,同理可得1007.10061007
n n a -+=
?()*2013n N n ∈≤且
(Ⅲ)当k=n 时,显然102
n S =≤成立;
当k 1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-++???+ , 即n k k k k a a a a a a S +++=+++=++ 2121, 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == 所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 高三上期末考试数学试题分类汇编 数列 一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则 公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围 是（ ） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围 是 12、（长宁区2019届高三） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于 2020年一模汇编——函数 一、填空题 【杨浦1】函数12 ()f x x - =的定义域为 【答案】(0,)x ∈+∞ 【解析】12 ()f x x -== (0,)x ∈+∞ 【长宁，嘉定，金山2】方程27x =的解为 【答案】2log 7x = 【解析】本题考察了对数的概念 【杨浦3】已知函数()f x 的反函数1 2()log f x x -=，则(1)f -= 【答案】 12 【解析】因为2 1log 12=-，所以1(1)2 f -= 【宝山3】函数)1(3 1 <=-x y x 的反函数是 . 【答案】1log 3+=x y ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，1 3 -=y x ?1log 3 +=x y ]1,0(∈x 【普陀5】设函数()log (4)(01)a f x x a a =+≠＞且，若其反函数的零点为2，则a =__________. 【答案】2 【解析】反函数-1 (2)0f =，有2 (0)log (04)=log 2=2a a f =+，易知2a = 【崇明5】函数 ()f x =的反函数是 ． 【答案】1 2()1(0)f x x x -=-≥ 【解析】令1+= x y ,2211y x x y ∴=+?=- 【徐汇5】 已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是 【答案】 (][),22,-∞-+∞U 【解析】由题，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，则 ()f x 在 (],0-∞上单调递减，(2)()f f a -≤，则2a -≤，解得a 的取值范围是(][),22,-∞-+∞U 【闵行6】设函数22log (1)1 ()log 1 x f x x --= ，则方程()1f x =的解为 【答案】2x = 【解析】22222log (1)1 ()=log (1)log log (1)1log 1 x f x x x x x x --= -+=-=Q ()()12 100x x x x -=?? ∴-??? ＞＞2x ∴= 【奉贤8】已知点()3,9在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数为()1 f x -= __________. 【答案】()2log 1x - 【解析】将点()3,9代入函数()1x f x a =+中得2a =，所以()12x f x =+，用y 表示x 得 ()2log 1x y =-，所以()1f x -=()2log 1x - 【虹口8】设1()f x -为函数2()log (41)x f x =-的反函数，则当1()2()f x f x -=时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】由于函数2()log (41)x f x =-的反函数为)12(log 4+=x y ，当1()2()f x f x -=， 即)12(log 2)14(log 42+=-x x ，计算出1=x 【松江8】已知函数()y f x =存在反函数()-1y f x =，若函数()+2y f x =的图像经过 点 ()16 ，，则函数()-12+log y f x x =的图像必过点__________. 【答案】 ()43， . 专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 数列 1（2017山东文）（本小题满分12分） 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ） {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2（2017新课标Ⅰ文数）（12分） 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 3（（2017新课标Ⅲ文数）12分） 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4（2017浙江）（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n N *∈）． 证明：当n N *∈时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1? x n ≤12 n n x x +； （Ⅲ）112 n -≤x n ≤212n -． 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N ． 5（2017北京理）（本小题13分） 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???， 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数． （Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时， n c M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列． 6（2017新课标Ⅱ文）（12分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=. （1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 7（2017天津文）（本小题满分13分） 已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于 0， 【浦东卷】 （四）阅读下文，完成第15—20题。（18分） ①任旭，字次龙，临海章安人也。父访，吴南海太守。 ②旭幼孤弱，儿童时勤于学。及长，立操清修，不染流俗，乡曲推而爱之。郡将蒋秀嘉其名，请为功曹。秀居官贪秽，每不奉法，旭正色苦谏。秀既不纳，旭谢去，闭门讲习，养志而已。久之，秀坐．事被收，旭狼狈 ．．营送，秀慨然叹曰：“任功曹真人也。吾违其谠言，以至于此，复何言哉！” ③寻察孝廉，除郎中，州郡仍举为郡中正，固辞归家。永康初，惠帝博求清节俊异之士，太守仇馥荐旭清贞洁素，学识通博，诏下州郡以礼发遣。旭以朝廷多故，志尚隐遁，辞疾不行。寻天下大乱，陈敏作逆，江东名豪并见羁絷，惟旭与贺循守死不回。敏卒不能屈。 ④元帝初镇江东，闻其名，召为参军，手书与旭，欲使必到，旭固辞以疾。后帝进位镇东大将军，复召之；及为左丞相，辟．为祭酒，并不就。中兴建，公车征，会遭母忧。于时司空王导启立学校，选天下明经之士，旭与会稽虞喜俱以隐学被召。事未行，会有王敦之难，寻而帝崩，事遂寝．。明帝即位，又征拜给事中，旭称疾笃，经年不到，尚书以稽留除名，仆射荀崧议以为不可。 ⑤太宁末，明帝复下诏备礼征旭，始下而帝崩。 ⑥咸和二年卒太守冯怀上疏谓宜赠九列值苏峻作乱事竟不行。 ⑦子琚，位至大宗正，终于家。 （节选自《晋书·列传六十四》） 15．写出下列加点词在句中的意思。（2分） （1）久之，秀坐．事被收（2）及为左丞相，辟．为祭酒 16．为下列句中加点词选择释义正确的一项。（2分） 营送（） （1）旭狼狈 ．． A．尴尬 B. 窘迫 C. 急忙 D. 疲惫 （2）寻而帝崩，事遂寝．（） A．耽误 B. 平息 C. 忽略 D. 停止 17．下列句中加点词意义和用法都相同的一项是（）。（2分） A．乡曲推而．爱之勤而．无所，必有悖心 B．州郡仍举为．郡中正为．击破沛公军 C．手书与．旭合从缔交，相与．为一 D．与会稽虞喜俱以．隐学被召少以．父任，兄弟并为郎 18．第⑥段画线部分断句正确的一项是（）。（2分） A．咸和/二年卒/太守冯怀上/疏谓宜赠九列值/苏峻作/乱事竟不行。 B．咸和二年卒/太守冯怀上疏/谓宜赠九列/值苏峻作乱/事竟不行。 C．咸和/二年卒/太守冯怀上疏/谓宜赠九列/值苏峻作/乱事竟不行。 D．咸和二年卒/太守冯怀上/疏谓宜赠九列值/苏峻作乱/事竟不行。 19．把第②段画线句译成现代汉语。（6分） 任功曹真人也。吾违其谠言，以至于此，复何言哉！ 2013年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案）一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=，所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . （Ⅱ ） 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、（全国新课标卷理）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时， 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. （Ⅱ）由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和．已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ，求数列}{n b 的前n 项和T n ． . 4、（辽宁卷）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 上海市各区2017年高考二模语文试卷分类汇编：写作专题宝 山（青浦、长宁、金山）区 27.作文 2016年4月12日，物理学家“大牛”史蒂芬·霍金在新浪网开通微博，并发布了对中国人的第一句问候语。此后不到一天时间，他的粉丝数量突破了200万，评论，转发和点赞达数百万，由此，霍金也成了“网红”。 “霍金也‘网红’”，引发了你怎样的思考？请自拟题目，写一篇不少于800字的文章。 崇明区 27.当今社会有一种现象，人们往往习惯首先用怀疑的眼光看待他人，而不是首先思考需不需要怀疑。 请写一篇文章，谈谈你对这一现象的思考。 要求：（1)自拟题目，自选角度；(2)不少于800字。 奉贤区 29.不只在数学里，人生也处处在做加减法，有人为之所累，有人为之所乐，有人甚至尝到了别样的味道…… 对“人生中的加减法”你有怎样的认识和思考，请自拟题目，写一篇不少于800字的文章。 虹口区 根据以下材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章（不要写成诗歌）。 锤子的打击造就了宝剑的锋芒，而溪水的欢歌却使鹅卵石臻于完善。黄浦区 27．随着国门打开，经济发展和文化交流的不断增强，现代生活方式层出不穷；传统生活方式面临种种挑战，人们处于难以抉择的境地。 对“传统生活方式面临种种挑战”的现象谈谈你的看法。 要求：（1）自拟题目；（2）不少于800字。 嘉定区 26.作文。 有人说，中国人之间几乎没有辩论，只有争吵。这是因为“中国式辩论”忽略了辩论的两个最基本要素：事实和逻辑，而专注于姿态与声势。“中国式辩论”中的常见问题如：偏离论点、情绪激烈、攻击对方人品、滥用比喻、使用嘲笑和反问句等等。 对此，你有怎样的思考？请自拟题目，写一篇不少于800宇的文章。 静安区 27.作文 阅读下面的文字，请自拟题目，写一篇不少于800字的文章（不要写成诗歌）。 一位先哲说，人的一生应努力追求这样的境界：为人如山，处事若水。 闵行区 28.阅读下面材料，根据要求作文。 中华老字号是中国商业对民族品牌特有的称谓，它们从形成到发展大都经历了几十年甚至数百年的时间，因此被人们称为“活文物”。但随着网购的迅速普及和扩展，中华老字号受到强大冲击，它们大多前景黯淡，有的甚至倒闭。 请写一篇文章，谈谈你对这种现象的思考。要求：（1）自拟题目；（2）不少于800字。 江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 . One【2018届上海市西南位育高三英语上学期10月试题】 III. Reading Comprehension Section A Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context. Many people think that listening is a passive business. It is just the ___41___one. Listening well is an active exercise of our attention and hard work. It is because they do not realize this, or because they are not __42____to do the work, that most people do not listen well. Listening well also requires total ____43____upon someone else. An essential part of listening well is the rule known as ‘bracketing’. Bracketing includes the temporary giving up or ___44___your own prejudices and desires, to experience as far as possible someone else’s world from the inside, stepping into his or her shoes. ____45____, since listening well involves bracketing, it also involves a temporary ____46____ of the other person. Sensing this acceptance, the speaker will seem quite willing to____47____up the inner part of his or her mind to the listener. True communication is under way and the energy required for listening well is so great that it can be _____48____ only by the will to extend oneself for mutual growth. Most of the time we____49____ this energy. Even though we may feel in our business dealings or social relationships that we are listening well, what we are usually doing is listening _____50____. Often we have a prepared list in mind and wonder, as we listen, how we can achieve certain_____51_____ results to get the conversation over as quickly as possible or redirected in ways more satisfactory to us. Many of us are far more interested in talking than in to hear. listening, or we simply____52____ to listen to what we don’t want It wasn’t until toward the end of my doctor career that I have found the knowledge that one is being truly listened to is frequently therapeutic. In about a quarter of the patients I saw, ____53_____ improvement was shown during the first few months of psychotherapy, before any of the____54_____of problems had been uncovered or explained. There are several reasons for __55____ that he or she this phenomenon, but chief among them, I believe, was the patient’s __ 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 2020宝山一模 VI. Guided Writing 76. Directions: Write an English composition in 120?150 words according to the instructions given below in Chinese. 假如你是红星中学高三年级的学生，你的英语老师在作文批阅时经常采用学生自批，学生互批或教师批阅（或集体批阅或面批）的方式。请就此情况通过微信和英语老师沟通一下，谈谈你的看法，你的文章必须包括： *你喜欢哪种方式？为什么？ *提出你认为可以提高作文批阅效率的合理化建议并给出理由。 注意：请勿透露本人真实姓名和学校名称。 2020崇明一模 VI. Guided Writing Directions: Write an English composition in 120-150 words according to the instructions given below in Chinese. 76. 明启中学为了进一步丰富学校艺术节，决定在原有三个专场（分别是：书法专场、器乐专场、歌曲专场）的基础上再增加一个专场，现向广大师生征求意见。假设你是该校学生林平，给负责的王老师写一封电子邮件，表达你的意见。邮件内容须包括： > 增加的专场的名称； > 该专场的具体内容； > 增加该专场的理由。 注：文中不得提及你的真实姓名或学校。 2020奉贤一模 VI. Guided Writing Directions: Write an English composition in 120-150 words according to the instructions given below in Chinese. 随着移动网络的发展，各种手机APP应运而生，给我们的生活带来了极大便利，但许多同学也因此沉迷网络。现学生会发起一项清理手机APP的倡议，如果你只能从以下四个APPs：Wechat，Taobao，E-dictionary，Glory of Kings (mobile game)中保留两个，你会如何选择，并说明理由。 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的数列历年高考真题分类汇编
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