当前位置：文档之家› 江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：导数及其应用

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：导数及其应用

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编

导数及其应用

一、选择题、填空题 1、（潮州市2013届高三上学期期末）定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时

()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，()b f =１，2(2)c f =--，则 A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ． a b c >> 答案：A

2、（广州市2013届高三上学期期末）已知e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增区间是

A . )1,?-+∞?

B ．(1,?-∞-?

C ．)1,?+∞?

D ．(

1,?-∞? 答案：B

3、（增城市2013届高三上学期期末）函数x x f ln )(=的图像在点1=x 处的切线方程是．答案：1-=x y

4、（中山市2013届高三上学期期末）若曲线4

y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直，

则的方程为。答案：4x －y －3＝0

5、（中山市2013届高三上学期期末）函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数

()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（）

A ．11(,)

42 B ．1

(,1)2

C ．（1，2）

D ． (2,3) 答案：B

二、解答题

1、（潮州市2013届高三上学期期末）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==，且最小值是1

-．

（1）求()f x 的解析式；

（2）实数0a ≠，函数2

()()(1)g x xf x a x a x =++-，若()g x 在区间(3,2)- 上单调递减，求实数a 的取值范围．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，

则221()()24a

f x ax ax a x =-=--．

又()f x 的最小值是14-，故

a -=-．解得1a =． ∴2()f x x x =-； …… 4分

（2）2

()()(1)g x xf x a x a x x x ax x a x x ax a x =++-=-++-=+-．

∴2

2'()32(3)()g x x ax a x a x a =+-=-+． ………… 6分

由'()0g x =，得3a x =

，或x a =-，又0a ≠，故3

a ≠-．………… 7分当3a a >-，即0a >时，由'()0g x <，得3

a x -<<． ………… 8分 ∴()g x 的减区间是(,)3

a -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，

∴3

23a a -≤-??

?≥??，解得36a a ≥??≥?，故6a ≥（满足0a >）； ……… 10分

当

3a a <-，即0a <时，由'()0g x <，得3

x a <<-． ∴()g x 的减区间是(,)3

a -，又()g x 在区间(3,2)-上单调递减，

∴3

a ?≤-???-≥?，解得92a a ≤-??≤-?，故9a ≤-（满足0a <）． ……… 13分

综上所述得9a ≤-，或6a ≥．

∴实数a 的取值范围为(,9][6,)-∞-+∞ ． ……… 14分 2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数()ln f x ax b x c =++，(,,a b c 是常数）在x=e 处的切线方程为(1)0e x ey e -+-=，1x =既是函数()y f x =的零点，又是它的极值点．

(1)求常数a,b,c 的值；

(2)若函数2

()()()g x x mf x m R =+∈在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m 的取

值范围；

(3)求函数()()1h x f x =-的单调递减区间，并证明：

ln 2ln 3ln 4ln 20121

23420122012????<

解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,x

a x f +=)(', …1分又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有 e

e e b a e

f 1

)('--

=,① …………2分由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('

=+=b a f ，③ …………4分由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分（2）由(1)知)0(1ln )(>++-=x x x x f ，

因此，2

()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>，所以

)0)(2(1

2)(2'>+-=+

-=x m mx x x

x m m x x g . …………6分要使函数)(x g 在)3,1(内不是单调函数，则函数)(x g 在)3,1(内一定有极值，而 )2(1

)(2'm mx x x

x g +-=

，所以函数)(x g 最多有两个极值. …………7分令2

()2(0)d x x mx m x =-+>.

（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('

=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即

02)(2

=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当

0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根

x =

，当0)3(≠d 时，应有0)3(m ，所以有9m ≥. ………8分

.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('

=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函数02)(2

=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以

???

??<<>+-?=>+-=>??-=?,

341,0332)3(,

02)1(,02422m m m d m m d m m 解得98<

综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …10分（3）由1)()(-=x f x h )0(ln >+-=x x x ，得x

x h -=

1)('，令0)('

≤x h ，得1≥x ，即)(x h 的单调递减区间为[)+∞,1. 由函数)(x h )0(ln >+-=x x x 在[)+∞,1上单调递减可知，

当),1(+∞∈x 时, )1()(h x h <，即1ln -<+-x x ， …………11分亦即ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞都成立，

亦即x x x x 1

ln 0-<

<对一切(1,)x ∈+∞都成立， …………12分所以2122ln 0<<， 3233ln 0<<， 4

44ln 0<<，

…

2012

2011

20122012ln 0<

， …………13分所以有 2012

2011

43322120122012ln 44ln 33ln 22ln ?

???

20122012ln 44ln 33ln 22ln <

???? . …………14 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数1

()x e f x x

-=，0x ≠．

（1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；

（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．

解析：（1）22

(1)(1)1

()x x x xe e x e f x x x

---+'==， -----------2分令()(1)1x

h x x e =-+，则()(1)x

h x e e x xe '=+-=，当0x >时，()0x

h x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数，

∴()(0)0h x h >=，

故2

()

()0h x f x x '=

>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． -----------------6分（2）11

()11x x e e x f x x x

----=-=，当0x >时，令()1x

g x e x =--，则()10x

g x e '=->， ---8分

故()(0)0g x g >=，∴1

()1x e x f x x

---=，

原不等式化为1

x e x a x

--<，即(1)10x e a x -+-<，-----------------10分

令()(1)1x

x e a x ?=-+-，则()(1)x

x e a ?'=-+，由()0x ?'=得：1x

e a =+，解得ln(1)x a =+，

当0ln(1)x a <<+时，()0x ?'<；当ln(1)x a >+时，()0x ?'>．

故当ln(1)x a =+时，()x ?取最小值[ln(1)](1)ln(1)a a a a ?+=-++，-----------------12分

令()ln(1),01a

s a a a a

-+>+，则22

11()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++．故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0a a a a ?+=-++<．因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立．----------------14分 4、（广州市2013届高三上学期期末）已知()f

x 是二次函数，不等式()

0f x <的解集是

()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y +

+=平行.

（1）求()f

x 的解析式；

（2）是否存在t ∈N *

，使得方程()370f

x x

+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数

根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，

∴可设()()5f

x ax x =-，0a >. …………… 1分

∴25f x ax a /

()=-. …………… 2分

∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y +

+=平行，

∴()

16f

=-. …………… 3分

∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210f

x x x x x =-=-. …………… 5分

解法2：设()

x ax bx c =++， ∵不等式()

x <的解集是()05,，

∴方程2

0ax bx c ++=的两根为05,.

∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /

()=+. 又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y +

+=平行，

∴()

16f

=-.

∴26a b +=-. ② …………… 3分

由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分 ∴()

2210f

x x x =-. …………… 5分

（2）解：由（1）知，方程()37

x x

+=等价于方程32210370x x -+=.

…………… 6分

设()

h x

=3221037x x -+，

则()

()26202310h

x x x x x /

=-=-. …………… 7分

当1003x ,

??∈ ?

?时，()0h x /

<，函数()h x 在1003,?? ???

上单调递减； ……… 8分当103x ,??∈+∞

???时，()0h x />，函数()h x 在103,??

+∞ ???

上单调递增. … 9分 ∵()

()101

3100450327h h h ,,??=>=-<=>

， …………… 12分

∴方程()

0h x

=在区间1033,?? ???，1043,??

???

内分别有唯一实数根，在区间()03,,

()

4,+∞内没有实数根. …………… 13分

∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()37

x x

=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分

5、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数3

()3()f x x ax a R =-∈ （1）当1a =时，求()f x 的极小值；

（2）若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围；（3）设()|()|,[1,1]g x f x x =∈-，求()g x 的最大值()F a 的解析式．

解：（1）11,0)(,33)(,1'

=-==-==x x x f x x f a 或得令时当 …………1分当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('

+∞--∞∈< x x f 当时，0)('

>x f ，

上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f …………2分

)(x f ∴的极小值是(1)2f =- …………………3分

（2）法1：/

()33f x x a =-，直线0=++m y x 即y x m =-+，

依题意，切线斜率/

()331k f x x a ==-≠-，即2

3310x a -+=无解……………4分

043(31)0a ∴?=-?-+<

∴a ………………6分法2：f x x a a =-≥-/

()333，……………4分

要使直线0=++m y x 对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，当且仅当a -<-13时成立，3

∴a ………………6分（3）因,]1,1[|3||)(|)(3

上是偶函数在--==ax x x f x g

故只要求在]1,0[上的最大值. …………7分

①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)(/

x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在

.31)1()(a f a F -== …………………9分

②当0>a 时，),)((333)(2

a x a x a x x f -+

=-=

（ⅰ）当1,1≥≥a a 即 ()|()|(),g x f x f x ==-

()f x -在[0,1]上单调递增，此时()(1)31F a f a =-=- …………………10分

（ⅱ）当10,10<<<<

a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；

1°当13

,031)1(<≤≤-=a a f 即时，

,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --==a a a f a F 2)()(=-=；

2°当3

10,031)1(<

<>-=a a f 即（ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,4

0,31)1()(-==≤

<-=≤-时即（ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3

41,31)1()(=-=<<-=>-时即……13分

综上 ???

≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F ………………14分

6、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数x x a x x f ln )1( 2

)(2---

=，其中R a ∈．

⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值； ⑵若0>?x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围．解：⑴x

x a x f 1

)1( 1)(/

--=……2分，因为2=x 是)(x f 的极值点，所以0)2(/

=f ……3分，

解021)12( 1=---a 得2

=a ……4分，

⑵（方法一）依题意1ln )1( 2

≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，0>x

……5分。

1=x 时，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-恒成立……6分

0>x 且1≠x 时，由)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-得)ln 1()1(2

x x x a ---≤

…8分

设x x x g ln 1)(--=，0>x ，x

x g 11)(/-

=……9分，当10<

x 时0)(/

>x g ……10分，所以0>?x ，0)1()(=≥g x g ……12分

所以，当0>x 且1≠x 时，0)ln 1()1(2

>---x x x ，从而0≤a ……13分，

综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分．

（方法二）由⑴)1(1

1)1( 1)(/ax x

x x x a x f --=---=……5分，

若0≤a ，则01>-ax ，由0)(/=x f 得1=x ……7分，且当10<

当1>x 时0)(/

>x f ……8分，所以0>?x ，1)1()(=≥f x f ……10分

若0>a ，由0)(/

=x f 得1=x 或a x 1=

……11分，取?

???=a m 1 , 1max 为1与a 1两数的较大者，则当m x >时0)(/

x x a x x f ln )1( 2

)(2---=无最小值，1)(≥x f 不恒成立……13分。

（说明一：本段解答如举反例亦可，评分如下：若0>a ，取)3(2

30>+=a

x (11)

分，)23ln()123(2123)(2

0a a a a x f +--+-+=10)23ln(21<<+---=a

a ，1

)(≥x f 不恒成立……13分。说明二：若只讨论一个特例，例如1=a ，给1分）

综上所述，a 的取值范围为]0 , (-∞……14分．

7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知函数32

1()223

g x ax x x =+-，函数()f x 是函数

()g x 的导函数.

（1）若1a =，求()g x 的单调减区间；

（2）当(0,)a ∈+∞时，若存在一个与a 有关的负数M ，使得对任意[],0x M ∈时，

4()4f x -≤≤恒成立，求M 的最小值及相应的a 值。

8、（汕头市2013届高三上学期期末）设函数a x a e a x x f x

+-+-=)1()()(，R a ∈．（注：e 为自然对数的底数．）

(1)当1=a 时，球的单调区间；

(2)(i)设)(x g 是)(x f 的导函数，证明：当2>a 时，在),0(+∞上恰有—个0x 使得0)(0=x g (ii)求实数a 的取值范围，使得对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立．解：(1)当1=a 时，x

xe x f e x x f =∴+-=)(,1)1()( …………1分

0>x e ，令0)('x f 得：0>x

所以函数)(x f 的减区间是)0,(-∞；增区间是),0(+∞ …………3分

(2)(i)证明：

)1()(')(+-==a x e x f x g x )2()('),1(+-=∴-+a x e x g a x ………4分 02,2>-∴>a a ，且0,0>>x e x ，

令0)('x g 得：2->a x

则函数)(x g 在)2,0(-a 上递减；在),2(+∞-a 上递增 ………6分

0)2(,0)0(<-∴=a g g ，又01)(>-+=a e a g a

所以函数)(x g 在)2,0(-a 上无零点，在),2(+∞-a 上有惟一零点

因此在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g . …………8分 (ii)若2≤a ，则02≥+-a ，对0)2()('],2,0[≥+-=∈?a x e x g x x

恒成立，

故函数)(x g 在]2,0[上是增函数，0)0()(=≥∴g x g ，因此函数)(x f 在]2,0[内单调递增，而0)0(=f ，0)0()(=≥∴f x f ，不符题意。 ………10分

2>∴a ，由(i)知)(x f 在),0(0x 递减，),(0+∞x 递增，

设)(x f 在[0，2]上最大值为M ，则)}2(),0(max{f f M =，

故对任意的]2,0[∈x ，恒有0)(≤x f 成立等价于??

?≤≤0

)2(0

)0(f f ， ……12分

由0)2(≤f 得：022)2(2

≤+-+-a a e a ，23

2322222>-+=--≥∴e e e a ，

又0)0(=f ，3

222--≥∴e e a 。 ……14分

9、（增城市2013届高三上学期期末）圆2

1x y +=内接等腰梯形ABCD ，其中AB 为圆的直径（如图）．

（1）设(,)(0)C x y x >，记梯形ABCD 的周长为

()f x ，求()f x 的解析式及最大值；

D y

（2）求梯形ABCD 面积的最大值．

解：（1）过点C 作AB CE ⊥于E , 则)10(<<=x x OE x EB -=∴1 1分

222

2)1(,1x y CB y x -+=

∴=+ 2分

x 22-= 3分

)10(22222)(<<-++=∴x x x x f 4分

令t x =-22，则)20(222

<-=t t x 5分

55)1(24)(2

2≤+--=+-=∴t t t x f 6分

当1=t ，即2

=x 时)(x f 有最大值5 7分一、设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(21

)(+= 8分

)10(1)1()22(2

<<-+=+=x x x y x 9分

1221)1(1)(x

x x x x S --?+

++-='∴ 10分

211

x x -+--=

=0 11分

,0)1)(12(,0122

=∴=+-=-+∴x x x x x 12分且当210<

'x S ，当12

=x 时，)(x S 有最大值433，即 14分

或解：设)900(?<<=∠ααBAC ，过点C 作AB CE ⊥于E

AB 是直径，?=∠∴90ACB αcos 2=∴AC 8分

ααααα

c o s s i n 2s i n ,c o s 2c o s 2

=?==?=∴AC CE AC AE 9分 1c o s s i n 2-=∴ααOE 10分 αααααααc o s s i n 4c o s s i n 2)2c o s s i n 42(2

1)(3

=-+=

S 11分 )s i n (s i n 4c o s c o s s i n 34)(3

αααα

αα-+?='S 0)tan 3(cos sin 4)sin cos 3(sin 42

=-=-=αααααα 12分

?=∴=∴60,3tan αα

13分

当?<<600α时，0)(>'αS ，当?<

所以当?=60α时)(αS 有最大值4

3 14分

或解：设)0)(,(>x y x C ，则y DC AB x S )(2

)(+=

8分 )10(1)1()22(2

2<<-+=+=x x x y x 9分 )1()1(3x x -+= 10分

)33)(1)(1)(1(3

x x x x -+++=

11分 4

33)26(314=≤

12分当且仅当331-=+x x ，即2

x 时等号成立 13分

所以 14分

10、（湛江市2013届高三上学期期末）设函数2

()(2)(0)x

f x x e ax x =--≥，其中e 是自然对数的底，a 为实数。

（1）若a ＝1，求f （x ）的单调区间；

（2）当a ≠1时，f （x ）≥－x 恒成立，求实数a 的取值范围。

11、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知函数2

()()x

f x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈．

（1）当0a >时，解不等式()0f x ≤；

（2）当0a =时，求整数t 的所有值，使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解；（3）若()f x 在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围．

解：(1)因为e 0x >，所以不等式()0f x ≤即为20ax x +≤，又因为0a >，所以不等式可化为1()0x x a +≤，

所以不等式()0f x ≤的解集为1

,0a

-????

． (4 分) (2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，所以原方程

等价于2e 10x x --=，令2()e 1x h x x =--，因为22

()e 0x h x x '=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞ 恒

成立，

所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31

(3)e 03h --=-<，2(2)e 0h --=>，所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别

在区间[]12，

和[]32--，上，所以整数t 的所有值为{}3,1-．（8分）

(3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，

①当0a =时，()(1)e x

f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，

故

0a =符合要求；

(10 分)

②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ?=+-=+>，所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()f x 有极大值又有极小值．

若0a >，因为(1)(0)0g g a -?=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点，

故()f x 在[]11-，上不单调．（12分）

若0a <，可知120x x >>，

因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>，必须满足(1)0,(1)0.g g ??

-?≥≥即320,0.

a a +??-?≥≥所以2

03a -<≤. 综上可知，a 的取值范围是2,03??

-????

． (14分)

12、（中山市2013届高三上学期期末）已知函数()b ax x x f +-=3

1，其中实数b a ,是常数．

（Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；

（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时

()a g 的解析式；

（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．

解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，其中事件A ： “1

(1)03

f a b =

-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，

故62()93P A =

=．即事件“(1)0f ≥”发生的概率2

（Ⅱ）31

(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）

∴31(),3

f x x ax =- 2

()f x x a '=-,

16．当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1

()(1)3

g a f a ==

-； 17．当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，

从而1

()(1)3g a f a =-=-

+, 综上，知1

,13

().1,13a a g a a a ?-≤-??=??-+≥??

（Ⅲ）当1=a 时，

()()1,3

123

-='∴+-=

x x f b x x x f 当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时

()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==3

1min

又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()??????++-∈∈∴b b x f x 32,3

20时，，当

而()[]2

10,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-

对任意[]2,01

∈x ，总存在[]2,02

∈x 使得)()(21x f x f '=

()()f x f x '∴?的值域的值域，[]22-,1,333b b ??

++?-????

即

∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-7

b ≤≤

13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知函数()ln a x

f x x x

-=+

，其中a 为常数，且0>a .

（1）若曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12

+=x y 垂直，求a 的值；（2）若函数()f x 在区间[1，2]上的最小值为2

，求a 的值. 解：2221()1'()x a x a x a f x x x x x x

----=

+=-=(0x >) ………………… 2分（1）因为曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与直线12

+=x y 垂直，，

所以'(1)-2f =，即12, 3.a a -=-=解得 ……………………………………4分

(2)当01a <≤时，'()0f x >在（1，2）上恒成立，

这时()f x 在[1，2]上为增函数

min ()(1)1f x f a ∴==- ………………………………………6分当12a <<时，由'()0f x =得，(1,2)x a =∈

对于(1,)x a ∈有'()0,f x <()f x 在[1，a ]上为减函数，

对于(,2)x a ∈有'()0,f x >()f x 在[a ，2]上为增函数，

min ()()ln f x f a a ∴== …………………………………8分

当2a ≥时，'()0f x <在（1，2）上恒成立，

这时()f x 在[1，2]上为减函数，

min ()(2)ln 212

f x f ∴==+-.…………………………………10分于是，①当01a <≤时，min ()1f x a =-0≤ ②当12a <<时，min ()ln f x a =，令2

ln =a ，得e a =…11分

③当a ≤2时，min ()ln 212a f x =+-2

2ln >≥…12分

综上，e a =

……………………………14分

文档之家

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编： 导数及其应用

江苏2013届高三数学(文)试题分类汇编：导数及其应用