冯国臣大学数学资料——微积分
2001-2002 学年第一学期高等数学(B)Ⅰ期末考试试卷答案(A 卷)
一.填空题(本题满分 30 分,共有 10 道小题,每道小题 3 分) ,请将合适的答案填在空中.
1. 设函数 f ( x ) = 解:
1 0
x ≤1 x >1
,则函数 f [ f ( x )] = ______________________.
由于函数 f ( x ) 的取值非 0 即 1,所以 f ( x ) ≤ 1 ,因此 f [ f ( x )] = 1 . 应填: 1 . 2. lim x cot 2 x = ________________.
x →0
解:
x 2 x cos 2 x 1 lim x cot 2 x = lim cos 2 x = lim = x →0 x →0 sin 2 x 2 2 x→0 sin 2 x
应选:
1 . 2
tan x
3. 设当 x → 0 时, e 解:
e x 与 x n 是同阶无穷小,则 n = __________.
lim
e tan x e x e tan x sec 2 x e x e tan x sec 4 x + e tan x 2 sec 2 x tan x e x = lim = lim x →0 x →0 x →0 xn nx n 1 n(n 1)x n 2
= lim
e tan x sec 6 x + e tan x 4 sec 4 x tan x + e tan x 2 sec 4 x tan x + e tan x 4 sec 2 x tan 2 x + 2e tan x sec 4 x e x 所 x →0 n(n 1)(n 2 )x n 3
以,当 n = 1 时, lim
e tan x e x =0; x →0 xn
e tan x e x 当 n = 2 时, lim =0; x →0 xn
当 n = 3 时, lim
e tan x e x 1 = ≠ 0 ;即当 n = 3 时, e tan x e x 与 x n 是同阶无穷小. n x →0 3 x
应填: n = 3 .
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4. 设 y = x ln x + 1 + x 解:
(
2
),则 y′ =
_____________________________.
y ′ = x ln x + 1 + x 2
{ (
)}′ = ln(x +
x 1+ x2
1+ x2 + x
)
x 1 + x + 1+ x2 1+ x2 1
= ln x + 1 + x 2 +
(
)
应填: ln x + 1 + x
(
2
)+
x 1+ x2
.
5. 曲线 解:
x = 1 + t 2 y = t
3
在 t = 2 处的切线方程为__________________________.
dy dy dx dy dt 3t 2 3 dy 3 2 = 3t , = 2t .所以, = = = t .因此, = t = 3. dt dt dx t =2 2 t =2 dx dx 2t 2 dt
又当 t = 2 时, x = 5 , y = 8 .所以,所求切线方程为
y 8 = 3 ( x 5) ,即 3x y 7 = 0 .
应填: 3 x y 7 = 0 . 6. 曲线 y = x + 6 x 16 的拐点坐标是______________________.
3 2
解:
y ′ = 3 x 2 + 12 x , y ′′ = 6 x + 12 = 6( x + 2 ) .
令 y ′′ = 0 ,得 x = 2 . 当 x < 2 时, y ′′ < 0 ;当 x > 2 时, y ′′ > 0 . 并且当 x = 2 时, y = 0 . 因此曲线 y = x + 6 x 16 因此曲线 y = x + 6 x 16 当 x = 2 时为拐点.
3 2 3 2
的拐点坐标为 ( 2, 应填: ( 2,
0) . 0) .
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7.
∫x
0
1
1 x dx = ___________________.
解: 令 u = 1 x ,则 du = dx .
∫x
0
1
1 x dx = ∫ (1 u )
1
0
3 3 5 2 2 4 u du = ∫ u u 2 du = u 2 u 2 = . 3 0 5 0 15 0 1
1
1
应填:
+∞
4 . 15
8.
∫
ln x dx = ___________________. x2 1
解:
+∞
ln x ln x ∫ x 2 dx = x 1 + 1
+∞
+∞
dx 1 ∫ x2 = x 1 = 1 1
+∞
应填: 1 .
d 9. 设 f ( x ) 是连续函数,则 dx
解:
sin x 2
3x
∫ f (t )dt = _____________________________.
( )
d dx
sin x 2
3x
∫ f (t )dt = 2 x cos(x ) f (sin (x )) 3 f (3x )
2 2
( )
应填: 2 x cos x f sin x
2
( ) ( ( )) 3 f (3x ) .
2
10. 已知向量 AB 的终点为 B (2, 1, 7 ) ,它在 x , y , z 轴上的投影分别为 4, 4, 7 ,则向 量 AB 的始点 A 的坐标为_______________. 解: 设向量 AB 的始点坐标为 ( x0, y0, z 0 ) ,则由题意,得
2 x0 = 4, 1 y0 = 4, 7 z 0 = 7
解方程,得 x0 = 2, y0 = 3, z 0 = 0 ,即所求始点坐标为 ( 2, 3, 0 ) . 应填: ( 2, 3, 0 ) .
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二.计算题(本题满分 42 分,共有 7 道小题,每道小题 6 分) .
x 1 2
3+ x 11. 求极限 lim x→∞ 6 + x
解:
.
3+ x lim x →∞ 6 + x
x 1 2
3 = lim1 x →∞ 6+ x
x 1 2
6+ x 3 3 1 = lim x →∞ 6+ x x 1 2 3 2
3 x 1 6+ x 2
而
3 x 1 3 3+ x lim = ,所以, lim x→∞ 6 + x x→∞ 6 + x 2 2
xy
=e
.
12. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 + xe 所确定,求 解: 方程 y = 1 + xe 两端对 x 求导,得
xy
dy . dx
dy dy = e xy + xe xy y + x ,即 dx dx
所以,
dy dy , = e xy + xye xy + x 2 e xy dx dx
dy (1 + xy )e xy . = dx 1 x 2 e xy
13. 设 f ( x ) 的原函数 F ( x ) > 0 ,且 F (0 ) = 1 ;当 x ≥ 0 时,有
f ( x )F ( x ) = sin 2 2 x .
试求 f ( x ) . 解:
1 (1 cos 4 x )dx = x sin 4 x + C1 2 2 8 1 2 另一方面, ∫ f ( x )F ( x )dx = ∫ F ( x )dF ( x ) = [F ( x )] + C1 2 sin 4 x 2 所以, [F ( x )] = x + C ( C = 2C1 2C2 ) 4 sin 4 x 2 由 F (0 ) = 1 ,代入上式,得 C = 1 .所以, [F ( x )] = x +1, 4
2
∫ f (x )F (x )dx = ∫ sin
2 xdx = ∫
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因此, F ( x ) =
x
sin 4 x + 1 .所以, f ( x ) = F ′( x ) = 4
(n )
1 cos 4 x . sin 4 x 2 x +1 4
14. 设 y = ln x ,求 y 解:
.
y′ =
1 2 1 , y′′ = 2 , y′′′ = 3 , x x x
由数学归纳法,可得
(n )
y
( 1)n1 (n 1)! (n = 2, 3, L) . = n
x
15. 计算不定积分 sin (ln x )dx .
∫
解:
∫ sin (ln x )dx = x sin (ln x ) ∫ cos(ln x )dx = x sin (ln x ) x cos(ln x ) ∫ sin (ln x )dx
所以, sin (ln x )dx =
∫
x [sin (ln x ) cos(ln x )] + C . 2
16. 指出下面计算积分 e dx 过程中的错误地方,说明道理:
1
∫
1
x
由于函数 f ( x ) = e 在区间 [ 1, 1] 上是连续的.而且函数
x
ex F (x ) = x e
x
x≥0 x<0
1 x
是可导的,且 F ′( x ) = f ( x ) = e ,所以, e dx = F ( x )
1
∫
1
= 2e .
1
并给出计算积分 e dx 的正确解法.
1
∫
1
x
解: 错误地方:由于函数 F ( x ) = 原函数. 正确解法:
ex e
x
x≥0 x<0
在点 x = 0 处不可导,因此函数 F ( x ) 不是 f ( x ) = e 的
x
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x x ∫ e dx = ∫ e dx + ∫ e dx = 2(e 1) . x
1 0 1 0 1
1
17. 已知单位向量 OA 与三个坐标轴的正向夹角相等,且为钝角, B 是点 M (1, 3, 2 ) 关于点
N ( 1, 2, 1) 的对称点,求 OA× OB .
解: 设 OA 的方向角为 α, β, γ ,则有 OA = {cos α, cos β, cos γ } .
2
由 cos
α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 以及 α, β, γ 为相等的钝角, cosα = cos β = cos γ = 得
3 3 3 OA = , , . 3 3 3
3 , 因此, 3
又由题设, B ( x, y, z ) 是点 M (1, 3, 2 ) 关于点 N ( 1, 2, 1) 的对称点,所以点 N 是线段 MB 的中点,因此,
1 =
1+ x , 2
2=
3+ y 2+ z , 1= . 2 2
所以, x = 3, y = 7, z = 0 ,即 OA = { 3, 7
0}.所以
r i
r j
r k
OA × OB =
3 3 3
3 3 7
3 7 3 10 3 , 3 = . 3 3 3 0
三.应用题(本题满分 14 分,共有 2 道小题,每道小题 7 分) .
18. 求曲 线 y = ln x
( x ∈ [2, 6] ) 上 的一 条 切 线 ,使 得 该 切 线与 直 线 x = 2 , x = 6 及 曲 线
y = ln x 所围成的图形的面积为最小.写出该切线方程.
解: 设 ( x, ln x ) 为曲线 y = ln x 上的任一点,则此点处的切线方程为
Y ln x =
因此所求的面积为
1 (X x) x
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1 1 S ( x ) = ∫ ( X x ) + ln x ln X dX = 4 (4 x ) + ln x + 1 + ln 4 ln 6
6 2
x
x
4 (4 x ) .令 S ′(x ) = 0 ,有驻点 x0 = 4 . x2 4 4 且当 x < 4 时, S ′( x ) = 2 (4 x ) < 0 ;当 x > 4 时, S ′( x ) = 2 (4 x ) > 0 .所以 x0 = 4 是函数 x x
所以, S ′( x ) =
1 S ( x ) = 4 (4 x ) + ln x + 1 + ln 4 ln 6 x
的极小值点,也是最小值点.因此所求切线方程为
y ln 4 =
1 (x 4) . 4
19. 以半径为 R 的球的直径为轴线钻一个半径为 a 的圆柱形孔 (0 < a < R ) ,求所剩部分的体积. 解: 所剩部分的体积为
V =π
R 2 a 2
R 2 a 2
∫ [(R
2
x a dx = 2π
2 2
)
]
R 2 a 2
∫ (R
0
2
4 x 2 a 2 dx = π R 2 a 2 3
)
(
)
3 2
四.证明题(本题满分 14 分,共有 2 道小题,每道小题 7 分) .
20. 证明不等式: x ≥ e ln x 证明: 令 f ( x ) = x e ln x
(0 < x < +∞ ) .
(0 < x < +∞ ) ,则 f ′(x ) = x e .
x
xe 令 f ′( x ) = = 0 ,得驻点 x0 = e x
当 0 < x < e 时, f ′( x ) < 0 ;当 x > e 时, f ′( x ) > 0 . 所以 x0 = e 是函数 f ( x ) = x e ln x 的极小值点.又由于它是函数 f ( x ) = x e ln x 在区间 (0, + ∞ ) 上 的极小值点,因而它是函数在区间 (0, + ∞ ) 上的最小值点. 即对于 x ∈ (0, + ∞ ) ,有 f ( x ) ≥ f (e ) = 0 . 即对于 x ∈ (0, + ∞ ) ,有 x ≥ e ln x . 21. 设 a < b < c ,函数 f ( x ) 在区间 [a, c ] 上具有 2 阶导函数 f ′′( x ) .证明:在区间 (a, c ) 内至 第 7 页 共 8 页
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少存在一点 ξ ,使得
f (a ) f (b ) f (c ) 1 + + = f ′′(ξ ) . (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b ) 2
解: 令: F ( x ) =
(x b )(x c ) f (a ) + (x a )(x c ) f (b ) + (x a )(x b ) f (c ) f (x ) , (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b )
则 F ( x ) 在区间 [a, c ] 上二阶可导,且
F (a ) = F (b ) = F (c ) = 0 .
对函数 F ( x ) 在区间 [a, b ] 与 [b, c ] 上分别应用 Rolle 中值定理,得存在 ξ1 ∈ (a, c ) ,使得
F ′(ξ1 ) = F ′(ξ 2 ) = 0
再在区间 [ξ1, ξ 2 ] 上对函数 F ′( x ) 应用 Rolle 中值定理,知至少存在一点
ξ ∈ (ξ1, ξ 2 ) (a, c )
使得 F ′′(ξ ) = 0 .而
F ′′(x ) =
2 f (a ) 2 f (b ) 2 f (c ) + + f ′′( x ) (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b )
所以,至少存在一点 ξ ∈ (ξ1, ξ 2 ) (a, c ) ,使得
F ′′(ξ ) =
即
2 f (a ) 2 f (b ) 2 f (c ) + + f ′′(ξ ) = 0 (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b )
f (a ) f (b ) f (c ) 1 + + = f ′′(ξ ) . (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b ) 2
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往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 2. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221 n n n n n n π π ππ . 3. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共 16分) 4. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 5. ) ( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 6. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1) -二阶可导且'>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 7. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 8. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--?????≤<-≤=1 32 )(1020 )(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 ()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在 =0x 处的连续性. 13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1(1)9y 的 解. 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01， 且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵 坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线 x y ln =及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所 得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的 [,]∈01q ，1 ()()≥??q f x d x q f x dx . 17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且 )(0 =?π x d x f ， cos )(0 =? π dx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个 不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设 ?= x dx x f x F 0 )()(）
2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?
5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分
2011 学年第一学期 《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷 专业班级 姓名 学号 开课系室考试日期 高等数学 2010 年 1 月11 日 页号一二三四五六总分得分 阅卷人 注意事项 1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.
本页满分 36 分 本 页 得 一．填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分） 分 1 lim( e x x) x 2 . 1． x 0 1 x 2005 e x e x dx x 1 2． 1 . x y t 2 dy 3．设函数 y y( x) 由方程 e dt x x 0 1 确定，则 dx x tf (t)dt f (x) 4. 设 f x 1 ，则 f x 可导，且 1 ， f (0) . 5．微分方程 y 4 y 4 y 的通解为 . 二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分） . f ( x) ln x x k 1．设常数 k e 0 ，则函数 在 ( 0, (A) 3 个; (B) 2 个 ; (C) 1 2． 微分方程 y 4y 3cos2 x 的特解形式为（ （ A ） y Acos2 x ; （ B ） y （ C ） y Ax cos2 x Bx sin 2x ; （ D ） y * 3．下列结论不一定成立的是（ ） . ) 内零点的个数为（ 个 ; (D) 0 个 . ） . Ax cos2x ; A sin 2x . ） . d b x dx （ A ）若 c, d a,b , 则必有 f x dx f ; c a b x dx 0 （B ）若 f (x) 0 在 a,b f 上可积 , 则 a ; a T T （ C ）若 f x 是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有 a f x dx x t dt （D ）若可积函数 t f f x 为奇函数 , 则 0 也为奇函数 . 1 f 1 e x x 1 4. 设 2 3e x , 则 x 0 是 f ( x) 的（ ）. (A) 连续点 ; (B) 可去间断点 ; (C) 跳跃间断点 ; (D) 无穷间断点 . f x dx ; 三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321