2008-2009学年第一学期期末试题
一、填空题（每题5分，共30分）
1．曲线1ln()y x e x
=+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y
e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________
3．设()f x 连续，且21
40
()x f t dt x -=?
，则(8)______f =
4．积分
20
sin n xdx π
=?
___________________
5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6
．曲边三角形y =
0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________
二．选择题（每题3分，共15分）
1．当0x +→
）
()
A 1- ()
B ()
C 1 ()
D 1-2. 若1()(21)f x x x
??=-????
，则()f x 在（ ）处不连续
()A 3x = ()B 2x = ()C 12x =
()D 13
x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ）
()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π
是极大值
()C (0)f 是极大值，()2f π
也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2
f π
也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，
12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ）
()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--，
5．极限2
1
33lim (
)n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2
2
13x dx -? ()B 1
2
03(31)x dx -? ()C 2
2
1
(31)x dx --? ()
D 1
20
x dx ?
三、计算题（每题6分，共36分） 1
．x x → 2.2
(1)
x
xe dx x +? 3．设()y f x =为单调函数， 且二阶可导，()g x 为其反函数，若(1)2,f =
(1)3
f '=-
,(1)2f ''=, 求(2)g ''. 4．若曲线)(x f y =
由221
1
,t t x y ==?
?
确定，
，求该曲线对应于01t ≤≤的弧长。
5. 求微分方程2
cos tan y x y x '+=满足(0)0y =的特解。
6．设曲线3
2
x at
y t bt
?=??=-??在1t =处切线斜率为13, 试确定,a b 使曲线与x 轴所围图形的面积最
大
四．综合题（1题7分，2、3题6分，共19分，） 1．设21
()lim sin
[(2)(2)]t x f x t g x g x t t
→∞
=+-，其中()g x 可导， （1）证明：()(2)f x xg x '=；
（2）若()g x 的一个原函数为ln(1)x +，求
1
()f x dx ?
.
2．设)(x f 在0=x 的某邻域内可导，且(0)1,(0)2f f '==，求1
1
(1cos )1lim[()]n n
n f n
-→∞
3．设()f x 是周期为2的连续函数，证明：2
()2()()x g x f t dt x f t dt =-??也是周期为2
的函数。
五．附加题（共20分，本题的得分记入总分）
1．设()f x 在[0,1]连续，(0,1)可导，且(0)(1)0f f ==，1()12
f =，证明：(0,1)ξ?∈，使得()1f ξ'=.
2．设()f x ''在[2,4]上连续，且(3)0f =，证明：(2,4)ξ?∈，使得4
2
()3()f f t dt ξ''=?
2008-2009学年第二学期期末试题
一、选择题（每题3分，共15分）
1．下列结论正确的是（ ）
()A 若(,)f x y 在00(,)x y 处可微，则(,)x f x y '，(,)y f x y '在00(,)x y 处一定连续。
()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任意方向的方向导数都存在，
则00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在； ()C 若00(,)x f x y '存在，则一元函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，所以0
0lim (,)x x f x y →存在；
()D 若00(,)x f x y a '=，00(,)y f x y b '=，则00(,)
x y dz
adx bdy =+；
2．设(,,)f x y z 具有一阶连续偏导数，且(,,)0f x y z >，曲面∑为椭球面222
2221
x y z a b c
++=的外侧在第二卦限内的部分，则下列积分小于零的是（ ）
()(,,)A f x y z ds ∑
?? ()
(,,)B f x y z dxdy ∑??
()
(,,)C f x y z dzdx ∑
?? ()(,,)D f x y z dydz ∑
??
3．设幂级数
(1)
n
n n a x ∞
=+∑在2x =-处条件收敛，则此级数在2x =处（ ）
()A 条件收敛 ()B 绝对收敛 ()C 发散 ()D 收敛性不能确定
4．设α为非零实数，则级数
2
2
(1)
ln n
n n n
α∞
=--∑（ ）
()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与a 有关
5．设函数(,)u x y 在平面有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且满足
2(,)
0u x y x y ?≠??， 2222
(,)(,)
0u x y u x y x y ??+=??，则(,)u x y 的（ ） ()A 最大值点和最小值点都在D 的内部 ； ()B 最大值点和最小值点都在D 的边界上；
()C 最大值点在D 的内部，最小值点都在D 的边界上； ()D 最小值点在D 的内部，最大值点都在D 的边界上。
二、填空题（每题3分，共15分）
1．曲面3z
e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程是______________________ 2．积
分11
210
2
(,)(,)I dx f x y dy dx f x y dy =
+?
?在极坐标系下的累次积分为
____________________________ 3．设()f u 具有连续导数，且4
()4f u du =?
，L
为半圆周y ，起点为(0,0)A ，
终点为(2,0)B ，则
22()()L
f x y xdx ydy ++=?
_______________________________
4．设L 为正向闭曲线2x y +=，则
L axdy bydx x y -=+??_____________________
5．设函数2
()()f x x x x πππ=+-<<的付立叶级数展开式为
01
(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞
=++∑，则其中系数3b 的值为________________
三、计算题（每题8分，共48分） 1．设(,)z z x y =由方程
ln x z z y =所确定，求z y
?? 2．设2
2
2
2
:x y z a ∑++= ，求2
(sin )xy z ds ∑
+??ò 3．求
(sin )x z dV Ω
+???，其中Ω
是由曲面z
与z =所围的区域
4．若()f x 具有连续的导数，曲线积分()[1]()L
f x ydx f x dy x +
-?
与路径无关，
且1
(1)2
f =，求()f x
5．计算2
42(1)xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
-+-??，其中∑为曲线0y
z e x ?=?=?(0)y a ≤≤绕z 轴旋
转而成的曲面的上侧
6．求级数2
()ln(32)f x x x =--在1x =-处展开成幂级数，并指出收敛域
四、综合与证明题（选作两题，每题11分，共22分）
1．设2
2
(,)f x y x xy y =-+，L 为抛物线2
y x =自原点至点(1,1)A 的有向弧段，n 为L 的
切向量顺时针旋转
2π角所得的法向量，f n
??表示(,)f x y 在曲线L 上点(,)M x y 处沿法向量n 的方向导数，计算L f
ds n
???
2．设闭曲面∑上任一点{},,x y z 处的法向量为{},,P Q R ，Ω为∑所围成的闭区域， （1
）证明：
(
)P Q R
dV x y z
∑
Ω
???=++?????
??? （2）利用（1
）中所得的结论计算：
∑
??
，其中222
:14z x y ∑++=
3.．设()f x 在0x =的某领域内连续，且0
()
lim 1x f x x
→=，{}
2222(,,)x y z x y z t Ω=++≤ （1）计算4
()
lim
t F t t π→ 其中()F t
=f dxdydz Ω
??? （2）问λ为何值时，级数
1
11
()n F n n λ∞
='∑收敛 4．设∑为曲面(,)y f x y =的上侧，∑的正向边界曲线为Γ，(,,)P x y z 在∑及其边界Γ上有一阶连续偏导数，证明：(,,)P P dzdx dxdy P x y z dx Z y Γ∑
??-=??????
考生注意：第四大题如选作两个以上，可酌情加分，但卷面总分不得超过100分。
2009-2010学年第一学期期末试题
一. 填空题（每题3分，共15分）
1
．设()f x =，则(0)f '=______________________
2．若函数)(x y y =与sin y x =在(0,0)点处相切，0
()
lim
x f x x
→=____________ 3
．积分
2
2
[ln(x -++=?
______________________
4．积分21x
x
e dx e +?=_________ 5．111lim 12n n n n n →∞??+++=
?+++??
L _______________________。
二．选择题（每题3分，共15分）
1．1x =是函数1
2111()1
01
x x e x f x x x -?-≠?
=-??=?
的（ ）间断点。
（A ）可去 (B) 跳跃 (C) 无穷 (D) 振荡
2．0→x 时，与2
43
x 等价的无穷小量是（ ）
(A) (B) ()ln 1x x +-
(C)
1
(D) x +3. 若1x →时，()(1)f x f -与3
(1)x -为等价无穷小量，则在1=x 处()f x （ ） (A) 连续，但不可导 (B) 可导，但0)1(≠'f
(C),0)1(='f 但)1(f 不是)(x f 的极值 (D) ,0)1(='f 且)1(f 是)(x f 的极小值 4．设()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''><，x ?为x 在0x 点处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（ ）
()A 0dy y <
5.设()f x 为连续的奇函数，且0()()x
x f t dt ?=
?，(2)a ?=，3
2
()4
a
f x dx =-? （A) 3(3)(2)4??=-- (B) 5
(3)(2)4??=
(C) 3(3)(2)4
??-= (D) 5
(3)(2)4??-=--
三、计算题（每题8分，共48分） 1．30sin cos lim
x x x x
x
→- 2.
22arctan (1)x
dx x x +?
3．若221cos 0sin ()t x t y f u du -?=??=??
? 其中()f u 可导，求2
2d y dx . 4．设2
2
1
()x t f x e dt -=?
，求1
()I xf x dx =?
5. 设()f x 是以π为周期的连续函数，求
20
sin ()n xf x dx π?
6. 若)(x f 在[0,
]2
π
上连续，且2
40
()sin (2)f x x f x dx π+=?，求20
()f x dx π?
四．综合题（共22分，选作三题）
1．若()f x 在0x =的邻域内可导，且0()lim 1x f x x →=
，求0ln cos()x
x x t dt →- 2. 设 1
01n
n x a dx x
=+? （1）写出n a 的递推关系式； （2）证明：lim 0n n a →∞
=
(3) 证明：11111
1(1)ln 2234n n
+-
+-++-+=L L 3. 设数列{}n x 满足101x <<
，11n x += （1）证明lim n n x →∞
存在，并求该极限；
（2）计算1sin 12lim n
x n n n x x +→∞??
???
4. 设()f x 在[0,1]上有连续的导数，且(0)0f =，证明[0,1]ξ?∈，使得
1
()()f f x dx ξ'=?
2009-2010学年第二学期期末试题
一、选择题（每题3分，共15分）
1．下列命题正确的是（ ）
()A 若00(,)x f x y '存在，则函数0(,)f x y 在00(,)x y 处连续，所以0
0lim (,)x x f x y →存在；
()B 若(,)f x y 在00(,)x y 处沿任何方向的方向导数都存在，
则00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在； ()C 若00(,)1x f x y '=，00(,)2y f x y '=，则00(,)2df x y dx dy =+；
()D 若00(,)1x f x y '=，00(,)2y f x y '=，则(,)f x y 沿{}1,1的方向导数
00(,)
x y u
l
?=
?2．设321(cos )I x y x dv Ω
=
-???，223
2(sin )I x y x y z dv Ω
=+??? 3223(cos )I z x xy dv Ω
=+???，其中{}
222(,)1x y x y z Ω=++≤，则（ ）
321()A I I I >> 123()B I I I >> 213()C I I I >> 312()D I I I >>
3．设()f t 是连续的奇函数，区域{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤， 则 （ ）
()
A ()0D
f x y dxdy +=??； ()B ()0D
f x y dxdy -=??；
()C (2)0D
f x y dxdy +=??； ()D (2)0D
f x y dxdy -=??
4．设
1
n
n u
∞
=∑条件收敛，且1
lim
n n n
u u ρ+→∞=，则（ ）
()A 1ρ= ()B 1ρ=- ()C 1ρ> ()D 1ρ<
5.函数2
2
(,)235f x y x xy y =-++在(0,0)点处（ ）
()A 取得极大值 ()B 取得极小值 ()C 不取得极值 ()D 不能确定
二、填空题（每题3分，共15分）
1．力22F i j k =-+在向量i j k α=++上的分力为（ ） 2．级数111
12!3!!
n +
++++=L L （ ） 3．设l 为正向圆周2
2
1x y +=，则
2L
xdy ydx -=??（ ）
4．设曲线2222:0
x y z R x y z ?++=Γ?++=?，则22
()x y z dl Γ
++?=（ ）
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-上定义为3
2,10,(),01,
x f x x x -<≤?=?<≤?
则()f x 的付立叶级数在1x =处收敛于（ ） 三、计算题（每题10分，共50分） 1.
计算二重积分
2
1
1
x
dx ?
?
2.设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续二阶偏导数，求2z
x y ???.
3. 设l 是从1(1,)2
A 沿2
2y x =到(2,2)B 的弧段，计算222l x x dx dy y y -? 4.计算曲面积分
3
23232()()()x
y dydz y z dzdx z x dxdy ∑
+++++??其中∑为上半球
面
z =的上侧.
5．设()y y x =满足微分方程322x
y y y e '''-+=，且其图形在点(0,1)处的切线与曲线
21y x x =-+在该点的切线重合，求函数()y y x =
四、综合与证明题（20分）
1．证明：若{}n a 单调递减，且0n a >，证明：22
1
1n n n n
a a a ∞
+=-∑收敛 （6分）
2．设04a π
=，122
arctan (1)(1)n n D
n y
a dxdy x y -=++??，1,2,n =L 其中{}
(,)0,01D x y y x x =≤≤≤≤ （1）求n a ；（2）求幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛域及和函数 （6分）
3．设P 为椭球面2
2
2
:10S x y z yz ++--=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，（1）求点P 的轨迹C ；（2
）计算I ∑
=，其中∑是椭球面
S 位于曲线C 上方的部分 （8分）
2010-2011学年第一学期期末试题
一、填空题（每题5分，共30分） 1．20
lim[1ln(1)]x
x x →++=（ ）
2．若ln t x t y t t
?=?=?，则
1
t dy dx ==（ ）
3．
1
1x dx e =+?（ ） 4．201ln dx x x
+∞=?（ ） 5．方程0y y ''+=的通解是（ ）
6．设()y f x =由3
3
332x y y x ++-=确定，则()f x 的极大值点为（ ） 二、选择题（每题3分，共15分）
1．下列函数在其定义域内无界的是（ ）
()A 2
x xe
- ()B 2
1ln(1)
x x +
()C 2
sin x x ()D 21sin x x 2．设(0)0f =且0(1cos )
lim 2x f x x α→-=，若(0)0f '=，则（ ） ()A 2α=； ()B 2α>； ()C 2α<； ()D 不能确定
3．曲线2
2ln(
)1
x y x x =+-渐近线的条数为（ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3
4．设0
lim ()0x f x →=，0
lim ()0x g x →=，则0
()lim
()
x f x g x →''存在是0()
lim ()x f x g x →存在的（ ）
()A 必要条件 ()B 充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件
5．设2,0
()sin 1,0
x x f x x x ?≥=?+
()()x x f t dt ?=?，则（ ）
()A ()x ?是()f x 的一个原函数； ()B ()x ?在(,)-∞+∞上不连续； ()C ()x ?在(,)-∞+∞上可导，但不是()f x 的原函数；. ()D ()x ?在(,)-∞+∞上连续，但不是()f x 的原函数；.
三、计算题（每题7分，共35分）
1．设凹函数()f x 具有连续的二阶导数，在(0,0)处()f x 的曲率半径为2，且与2
y x =相
切，求2
0lim ()
x x f x →
2．若
1
sin ln x
t
dt x t
>?
成立，求 x 的取值范围
3．已知1x y e =，2x y x e =+，23x
y x e =+为某二阶非齐次微分方程的三个解，求该微分
方程的通解
4．从10m 深的井中，把10kg 的水匀速上提，若每升高1m ，漏掉0.25kg 的水，计算把水从井底提高到井口外力所做的功？
5．设()y y x =满足cos sin y y x x '-=-，(0)0y =，求曲线()y y x =与x 轴在[0,]π内所围成平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积？ 四、综合题（每题10分，共20分）
1．已知()g x 是以T 为周期的连续函数，且(0)1g =，且20
()()x
f x x t
g t dt =-?
，
求2．设()f x 可微，()1,()1,22
f f π
π
-
==-()g x 为()f x 的反函数，且满足 ()2
21sin 3()1cos f x x
t
g t dt dt t π
π-
-+=+??, 求22
()f x dx π
π-?
五、附加题（共10分）
1．若()f x 在[0,1]具有连续的二阶导数，且20
()
lim
1x f x x
→=，(1)2f =， 证明：(0,1)ξ?∈使得()3f ξ''=
2011-2012学年第二学期期末考试试题
一、选择题：（每题4分，共20分）
1、设L 为圆周2
2
1x y +=，方向为顺时针，则2L
xdy ydx -?
（ ）
()A 3π ()B -3π ()C 12π ()D 12π-
2、设2
2
()(2)(2)f x ax x by y =--，则(,)f a b （ ）
()A 不是极值 ()B 不能确定是极值； ()C 是极小值 ()D 是极大值；
3、设(,)z f x y =在(0,0)
的领域内连续，0
x y A →→=，0A ≠
则（ ）
()A (0,0)点是(,)f x y 的极值点，且(,)f x y 在(0,0)可微； ()B (0,0)点是(,)f x y 的极值点，但(,)f x y 在(0,0)不可微； ()C (0,0)点不是(,)f x y 的极值点，但(,)f x y 在(0,0)可微； ()D (0,0)点不是(,)f x y 的极值点，且(,)f x y 在(0,0)也不可微；
4、设()y f x =与sin y a x =（0a ≠）在(0,0)相切，且()f x 的一阶导数连续，
则级数
1
1
(1)
()n
n f n
∞
=-∑（ ） ()A 绝对收敛 ()B 条件收敛 ()C 发散， ()D 敛散性与a 有关
5、设级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛，则11
()
lim
()
n
k
k k n
n k
k k a
a a
a =→∞=-+∑∑的值为（ ）
()A 0 ()B 1 ()C 1- ()D 不存在
二、填空：（每题4分，共20分）
（1）曲面2
2
2
1x y z yz ++-=与平面20y z -=的交线在xoy 面的投影曲线为______；
（2）
1
arcsin 0
arcsin _______y
y
dy xdx π-=?
?
；
（3）设曲线L 为,(01)y x x =≤≤，其质量密度分布为x y
e
+，则L 的质量为_________；
（4）设有向曲线L 为cos ,()2
2
y x x π
π
=-≤≤
，起点为(,0)2π，终点为(,0)2π
-
则
2
sin()______x y L
xy dx e dy +=?
；
（5）设0n a >，且1
lim (1cos )1p
n n n a n →∞-=，若1
n n a ∞
=∑收敛，则p 的取值范围是______；
三、设(,)x
z f x ye =，其中f 存在二阶连续偏导数，求2,
z z
x x y
?????；（10分） 四、计算221D
I dxdy x y =
+??，其中22
:14D x y ≤+≤
，x y ≤≤；（10分）
五、计算(x y dv Ω+???，其中222222
:1;1x y z x y z ?++≤?
Ω+≤??≥?
（10分） 六、计算曲线积分2
2(23)42(1)I x z
dydz yzdzdx z dxdy ∑
=
-++-??，其中∑是旋转曲面
2)z z e =≤≤的下侧；
（10分） 七、将函数()arctan(1)f x x =+在1x =-处展开幂级数，并指出收敛域；（10分）
八、设()2()n n xf x nf x '=，（n 为正整数），且21
(1)!n n f n +=，求级数1
()n n f x ∞
=∑的和；
（10分）
2012—2013学年第一学期期末试题
一、填空题：（每个小题5分，共25分）
1．函数sin ln ()1x x f x x =-的可去间断点是________
2．设2
cos(1)
()1)(1)x
x f x x e x e -=
-+-（，则(1)________f '=
3．设222
33312lim n n n n n
→∞+L (++)=______
4．设()f x 连续，
arctan 0
()x
f t dt x =?
，则(0)______f =
5．设 320y y y '''-+=的通解为________ 二、选择题：（每个小题3分，共15分）
1．曲线2
ln (1)(2)
x y x x x =---的渐近线条数为______条
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 4
2．下列函数在区间其定义域内无界的是______
()A
()B
2
x ()C
()D
3．设对任意的(,)x ∈-∞+∞，总有()()()x f x g x ?≤≤，且lim[()()]0x g x x ?→∞
-=， 则lim ()______x f x →∞
()A 存在且一定等于零 ()B 存在当不一定等于零
()C 一定不存在 ()D 不一定存在
4．设函数()f x 在[0,2]上连续，且(0)(1)(2)6f f f ++=，则必[0,2]ξ?∈使得，
()f ξ等于________
()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 6
5．设2
2
2x y +=，23
[1()]a y '=+，2
()b y ''=，则________
()A a b = ()B 2a b = ()C 3a b = ()D 9a b =
三、解答题：（共60分） 1． 求极限 0sin ln(1sin )
lim
ln(1sin )
x x x x x →-+-+ （8分）
2． 设()y y x =
由方程arctan
y x =所确定，求dy
dx
（ 8分） 3． 设()f x 可导，且cot 1
()
()1,lim[
]2()n x n f x n f e f x π→∞+==，求 ()f x （8分） 4. 计算：2
(1)x
xe dx x +?
（ 8分） 5.
计算：
20
a
?
(0a >) （7分）
6．计算：微分方程2
2
()20y x dy xydx -+=的通解（7分）
7．若方程2
ln (1)0x x k x --=恰有两个不同的根，求k 的取值范围？ (7分) 8
．求曲线1
)2
y x =≤≤绕x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积 (7分) 四、附加题：（共20分） 1．设1
()()()x f x x e
x x ?-=-，其中()x ?在[0,1]上二阶可导,(0)0?=, (1)0?≠,
（1）问1x =是否为()f x 的极值点，(1,0)点是否为()f x 的拐点？说明你的理由； （2）证明：(0,1)ξ?∈使得，()0f ξ'''=
2．设()f x 在[0,)+∞上可导，且20()1x f x x ≤≤+,证明：0ξ?>使得，2
22
1()(1)
f ξξξ-'=+
2012—2013学年第二学期期末试题
一、选择题（每题3分，共15分）
1、
(,)(0,0)lim
_____x y xy
x y →=+
()A 0 ()B 1 ()C -1 ()D 不存在；
2、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的____
()A 充分但不必要 ()B 必要但不充分()C 充分必要 ()D 既不充分也不必要；
3、设()f x 为连续函数，1
()()t
t
y
F t dy f x dx =
?
?，则(2)____F '=
()A 2(2)f ()B (2)f ()C (2)f - ()D 0
4、直线
1011
x y z
-==绕z 轴旋转一周所得旋转面的方程为____ ()A 2221x y z +-= ()B 2221x y z --= ()C 2221x y z -+= ()D 222x y z +=；
5、函数2
()f x x =在[,]ππ-上展开成傅里叶级数，其中_____n b =
()A 1 ()B 1-()C 0 ()
D 1
n
二、 填空题（每题3分，共15分）
1、已知?6,3,3,(,)6a b c a b π====r r r r r ，且,c a c b ⊥⊥r r r r ，则()____a b c ?=r r r g
2、函数z xy =在点(,)x y 处沿方向(cos ,sin )l αα=r
的最大方向导数为______
3、设l 为周长为a 的椭圆22
143x y +=，则22(234)_____l
xy x y ds ++=?i 4、设Ω是由球面2
2
2
1x y z ++=围成的闭区域，则222222
ln(1)
z x y z dV x y z Ω+++++???
_______=
5、设积分2()L
x y dx x ydy ?+?
与路径无关，其中(0)0?=，()y ?具有一阶连续的导数，
则
(1,2)
2(0,1)
()______x y dx x ydy ?+=?
三、 计算（每题10分，共70分）
1、若f 具有连续的二阶偏导数，且2
2
(,)xy
z f x y e =+，求2z x y
???
2、求旋转抛物面22
z x y =+与平面1x y z +-=之间的最短距离； 3
、计算
),D y dxdy +其中22:D x y x +≤
4、计算
V
zdV ???，其中Ω
是曲面z =
与z =所围成的区域
5、
2
2()x
y ds ∑
+??
其中:z ∑=及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；
6、设l 是由(,0)A a 到(0,0)O 得上半圆2
2
(0)x y ax y +=≥， 计算(sin )(cos )x x
l
e y my dx e y m dy -+-?
；
7、求级数
1
(21)2
n
n n ∞
=+∑的和；
四、选作（共10分） 1、计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑
++??ò，其中2
222:()
()()x a y b z c R ∑-+-+-=的外
侧；
2013—2014学年第一学期期末试题
一、填空题（每题3分，共24分） 1、20
lim(1ln(1))______x
x x →++=
2、函数sin ln ()1
x x
f x x =
-的可去间断点是________
3、2
cos(1)
()(1)e (1)e ,x
x f x x x -=-+- 则(1)_______f '=
4、设,0
(x)sin ,0
ax e x f b x x ?<=?+≥? 在0x = 处可导，则____,______a b ==
5、设()f x 连续，
arctan 0
()x
f t dt x =?
，则(0)_____f =
6、设2
2
2x y += ，23
2
(1()),()a y b y '''=+= ，则2____a b -= 7
、
2
32
(sin ________x -+=?
8、设320y y y '''-+=的通解为________ 二、简答题（每题8分，共48分） 1、设()y f x = 是由2cos()1x y
e
xy e +-=-所确定，求()y f x =在(0,1)的切线方程；
2、讨论3
2
3x y x
=- 的渐近线； 3、若曲线()y f x =由参数方程sin ,cos t
t
x e t y e t ==所确定，求该曲线对应于02
t π<<
的弧长； 4、若0
sin (),x
t
f x dt t
π=-?
求0()d f x x π?
5、
3
22
1(1)
dx x +∞
+?
；
6、已知()F x 是()f x 的一个原函数，且2
()
()1xF x f x x
=+ 求()f x ； 三、证明题与综合题（每题7分，共28分）
1、已知某曲线过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求曲线方程
2、若方程2
ln (1)x x k x =-恰有两个不同的根，讨论k 得取值范围； 3、曲线21(0)2
y x x =
≥ 上一点M 处作切线，曲线及x 轴围成的面积为13
1）切点M 坐标； 2）过点M 的切线方程
3）上述平面绕2x = 旋转一周得到的旋转体的体积； 4、证明 当1x <时，(1)1x
e x -≤ 附加题：（20分）
1．求
2
1000
3
1
n n
-
=∑的整数部分；
2．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()0f x ''>，且0x ?使得0()0f x <，又
lim ()0x f x α→-∞
'=<，lim ()0x f x β→+∞
'=>，证明：()f x 有且仅有两个零点。
安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷） 院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人 得分 一、选择题（每小题2分，共10分） 1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。 n （A）； （B）1(2)2A ?=1A ?11(2)(2)T T A A ??=； （C）； （D）。 1111(())(())T T A A ????=11(())(())T T T A A ???=1 2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是 （ ）。 （A）； （B）r ； r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。 3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。 n （A）E A E B λλ?=?； （B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D）对任意常数，与k kE A ?kE B ?相似。 4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。 （A）11212,,3ααααα??； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++?； （D）12231,,3αααααα+++。 5.设，，()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =，则下列结论正确的是（ ）。 （A）事件A 与B 互不相容； （B）A B ?； （C）事件A 与B 互相独立； （D）。 ()()()P A B P A P B =+∪
遵章守纪考试诚信承诺书 在我填写考生信息后及签字之后，表示我已阅读和理解《XX 学院学生考试违规处理办法》有关规定，承诺在考试中自觉遵守该考场纪律，如有违规行为愿意接受处分；我保证在本次考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。 承诺人签字： 数理部《高等数学》(专科)课程期末考试卷 2016——2017学年第二学期 闭卷 考试时间： 100分钟 任课教师: （统一命题的课程可不填写） 年级、专业、班级 学号 姓名 一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设 2 1 ,1()1 ,1x x f x x a x ?-≠? =-??=?，)(x f 在1=x 处连续，则=a 。 2.已知()3 f x '=，则0 ( 2)() lim x f x x f x x ?→-?-= ? 。 3. 2 11x +是 () f x 的一个原函数，则()f x d x = ? 。 4.已知曲线ln y x =，求曲线点(,1)e 的切线方程 。 5.函数 ()ln f x x x =+在[1,]e 上满足拉格朗日中值定理的点ξ = 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.函数2 11y x = -的定义域是（ ）。 A.(2,2)- B.[2,2]- C.[2,1)(1,2]--- D.[2,1) (1,1) (1,2] --- 2.设函数(,) z f x y =有一阶、二阶偏导数，则当（ ）时， 2 2 z z x y y x ??= ????。 A.函数(,) z f x y =连续 B.函数(,) z f x y =可微 C. ,z z x y ????连续 D.,x y y x z z ''''连续 3.若函数 () f x 在点0x 处满足 00()0,()0 f x f x '''=≠，则点0x 是曲线() y f x =的（ ）。 A.拐点 B.极大值点 C.极小值点 D.单调性不能确定 4.由曲线2 y x =，直线2,2,0 x x y =-==围成的屏幕图形的面积为（ ）。 A.22 x d x ? B.22 2 x d x -? C.40 y ? D.4 2y ? 5.以下方程中（ ）是一阶线性微分方程。 A.x y y e +'= B.x y y '= C.0 y x y y '''+ += D.ln y y x '- = 三、计算题（每小题6分，共54分） 1.1 1lim ( ) ln 1 x x x x →- - 2.22lim ( ) x x x x -→∞ -
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
大一高等数学期末考试卷（精编试题）及答案详解 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）2 2x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,))f x y y ，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ：13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=??（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数 21n n a ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数11 (1)!n n n x n ∞-=-∑ 的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ --<≤??=?+<≤??以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ?
5 一、 单项选择题 1. D （解释：， 2. A （解释： 在 处连续 ，所以 必须存在， 也就是 在 处有定义。） 3. B （解释： ，可以这样理解： 。） 4. C ，见书P90。） 5. D 就是 ，定积分 是一个常数， 所以它的导数为0。 ， 。 二、 填空题 1. 解：由的定义， 在 处连续，是指： ，也就是： 2. 解：先回顾导数的定义 看作 ，那么原极限可以变为： 计算两部分的极限，其中 所以答案为：。 3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在 处的导数（也就是切线斜率），法 线的导数是切线斜率的负倒数。 在点 出导数 ，代入 ， 得到，所以法线的斜率为 。 4. 解：函数 的正负变化情况 所以极大值： 。5. 解：此题可先计算不定积分
计算定积分： 5
三、求解下列各题 1.解： 2.解： 3.解： 4.解： 5.解：先对原等式两侧求微分，得到： 整理后得到 再计算 即：，代入，并代入点 得到： 6.解： 5
5 7.解：可以令 ， 代换原式得到： 8.解：第一步用凑微分的方法，就是 可知：当为最小 值。 边际成本函数为，代入。 2.解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。 首先计算： ， 用使上面两式等于0： 1.是垂直渐进线； 2.由可知，是其水平渐进线； 3.无斜渐进线。 3.解：先计算，并作图
曲线的切线斜率为 方程则为，此线过原点，也就是说：代入 ，所以切线位于曲线的切点坐标为：。红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为： 但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（在区间上绕轴形成）体积减去其中由抛物线在区间上绕轴形成的旋转体体积，即：五、证明题 证：构造函数，由条件可知：，且上连续，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存在使得，而通过计算我们知道： 所以：，其中，所以. 5
往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020
（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、
5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
西南科技大学2013-2014-2学期《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） 2、设y z x =，求dz=__________。
3、求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线方程________。 4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、 求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、 设2 2 (,),z f x y xy = -，其中 f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、 求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、 计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、 把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。
1、解：令222(,,)14F x y z x y z =++-， 在点000(,,)P x y z 处的法向量为000(,,)n x y z =r 000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2 200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131 lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时1131 3n n n n n n ∞ ∞ ===∑∑g 发散（2 分），当1x =-时11(3)(1)3n n n n n n n ∞ ∞ ==--=∑∑ g 收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5 分） 8、解：由高斯公式得22322 ()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++????? ò（4分） 由柱面坐标224 22300 28()3 r x y dxdydz d r dz π π θΩ +== ?????（5分）
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321