圆方程的求法
（1）转移法——化未知为已知
若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：
?
??βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得???=β=α)
,(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.
【例5】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于
Q ，求点Q 的轨迹方程.
【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ).
∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴3
1||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为3
1. ∴???????=-=?????
??????=+?+=+=+?+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622
=+??? ??-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16
9)43
(22>=+-y y x . 【法二】 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =
2α，则OQ 直线方程为y =x ·tan 2
α=kx ① k P A ＝,3
cos sin -αα∴直线P A 方程为y =)3cos(sin -α(x －3) ② 由Q 满足①②且k =tan 2α.由②得y =12)3()3(3111222
22+--=-?-+-+k x k x k k k k
.消去k
有
y =,12)3(2
2
+--
x y x x y ∴x 2+y 2－023=x ，由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为x 2＋y 2－2
3x =0(y >0). 【点评】上述两种方程为求轨迹的基本方法：相关点及参数法.
（2）待定系数法——把方程（组）带进几何
当已知动点的轨迹是所学过的曲线方程时，则可设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程. 其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.
【例6】求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4=0和x 2＋y 2＋6y －28=0的交点，并且圆心在直线x
－y －4=0上的圆的方程. 【法一】 解方程组?????=-++=-++028********y y x x y x 得?
??=-=31y x 或???-=-=26y x ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2).
设所求圆方程为：x 2＋y 2＋dx ＋ey ＋f =0
? ?????-==-=??????????=-??
? ??---=+---+-=++-+-32710422026)2()6(033)1(2222f e d e d f e d f e d ∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y
－32=0 .
【法二】 解方程组 ?????=-++=-++028********y y x x y x 得?
??=-=31y x 或???-=-=26y x ∴两圆交点为(－1，3)，(－6，－2). 设所求圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2=r 2
????
?????=-==????????=--=--+--=-+--?4178272104)2()6()3()1(2222222r b a b a r b a r b a ∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y －32=0.
【法三】设所求圆方程为： x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2+6y －28)=0 即：
01284161622=λ
+λ+-λ+λ+λ+++y x y x ∴圆心为??
? ??λ+λ-λ+-13,13 又∵圆心在直线x －y －4=0上 ∴041313=-λ
+λ+λ+- ∴λ=－7
∴所求圆方程为：x 2＋y 2－x ＋7y －32=0
（3）几何法——与向量或三角沟通
直线被圆截得的弦长计算，运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角
三角形计算，此公式是
半径2=弦心距2+半弦长2.
【例7】 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB |=2|OA |，
且点B 的纵坐标大于零.
（1）求向量AB 的坐标； （2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方
程；
【解析】 （1）设???=-=+?????=?==,
034100,0||||||2||),,(22v u v u OA AB OA AB 、v u AB 即则由得
},3,4{.8
6,86-+=+=???-=-=???==v u v u v u 因为或
所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.
（2）由={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.2
1x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y (y +1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设
圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则
,31,23
1021223???==???????-=-+=-?-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （4）参数法——与函数或不等式接轨
当动点P （x,y ）直接找不出坐标x ,y 之间的关系时，可设动点P （x ,y ）满足关于参数t 的方程 ?
??==)()(t y y t x x （t 是参数） ③ 则由方程组③消去参数t ，即求得动点P (x,y )的普通方程：f (x,y )=0.
【例8】点P （x ，y ）在圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0上运动，点A （2，2），B （2，-2）是平面上两点，求BP AP ?的最值.
【解析】∵ (),2,2),2,2(+-=--=y x y x ∴BP AP ?=()()()()()x y x y y x y x y x 42222,22,2222
++=+-+-=+-?-- 设x 2+y 2+4x=k ，即（x +2）2+y 2=4+k ，视为以K （-2，0）为圆心，k +4为半径.
(问题转化为求半径的取值范围)
∵x 、y 在圆()()1112
2=-+-y x 上运动，而点K （-2，0）在圆C 外， 又两圆心距为10)1()21(22=-+--
当圆K 与圆C 内切时k +4取最大值，最大值为10+1，此时k =（10+1）2-4=7+210.
当圆K 与圆C 外切时k +4取最小值，此时有k +4+1=10，.1027-=k 即x 2+y 2+4x 的最大值为7+210，最小值为.1027-
圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时． 例1已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：，动点M 到圆C 的切线长与的比等于常数（如图），求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 【解析】：设M （x ，y ），直线MN 切圆C 于N ，则有 ，即 ， ．整理得，这就是动点 M 的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x 轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆． 二、代入法 若动点M （x ，y ）依赖已知曲线上的动点N 而运动，则可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M 的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况． 例2 已知抛物线，定点A （3，1），B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线． 【解析】：设，由题设，P 分线段AB 的比，∴ 解得.又点B 在抛物线上，其坐标适合抛物线方程，∴ 整理得点P 的轨迹方程为其轨迹为抛物线． 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 12 2 =+y x MQ ()0>λλλ=MQ MN λ=-MQ ON MO 2 2λ=+--+2 222)2(1y x y x 0)41(4)1()1(222222=++--+-λλλλx y x 1=λ45= x )0,4 5 (2 222 222)1(3112-+=+-λλλλy x ）－（)0,12(2 2-λλ1 3122-+λλ12 +=x y ),(),,(11y x B y x P 2== PB AP λ.2121,212311++=++= y y x x 2 1 23,232311-=-=y y x x 12+=x y .1)2 3 23()2123( 2+-=-x y ),3 1 (32)31(2-=-x y 4)2(2 2 =++y x
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
直线与圆常见公式结论 1、斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2、直线的五种方程（熟练掌握两点和截距式、一般式） （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 点法式和点向式在求直线方程时较直观. 3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠；11112222A B C l l A B C ?==与重合 ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4、到角公式和夹角公式 1l 到2l 的角公式 (1)2121 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=, 12120A A B B +≠). 夹角公式 (1)2121 tan | |1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)12 211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π. 当12121210k k A A B B =-+=或时，直线12l l ⊥，直线l 1到l 2的角及l 1及l 2的夹角都是2 π.